類比歸納專題:有理數(shù)加、減、乘、除中的簡(jiǎn)便運(yùn)算

——靈活變形，舉一反三

類型一　加減混合運(yùn)算的技巧

一、相反數(shù)相結(jié)合或同號(hào)結(jié)合1．計(jì)算:【方法2】

（1）1－(＋6)-3＋(-1．25)-;

(2)2.3＋(－1.7)＋６.2+(－２.２)-1.1.二、同分母或湊整結(jié)合２．計(jì)算:【方法2】

(１)(－6．82）+3.78+(-３.１8)－3．78；

（２）19＋+－１.25.*三、計(jì)算結(jié)果成規(guī)律的數(shù)相結(jié)合3．計(jì)算1+2-3-４＋5+6-7-8+…＋２0１3+2014-2０１５-2016的結(jié)果是（）

Ａ.０

Ｂ．-１

C．201６

D．-2016

4.★閱讀:因?yàn)橐粋€(gè)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以,當(dāng)a≥0時(shí),|a|=a;當(dāng)a<０時(shí)，|a|＝-a.根據(jù)以上閱讀完成下列問(wèn)題:

（１)｜3.１4－π｜=＿_(dá)_____＿；

(２）計(jì)算:＋＋＋…＋＋.類型二　運(yùn)用分配律解題的技巧

一、正用分配律

５.計(jì)算．

(1)×(－２4)；

（２)39×(－１４).二、逆用分配律

６．計(jì)算:4×-3×-6×3.三、除法變乘法，再利用分配律

7．計(jì)算:÷.參考答案與解析

１.解:(１)原式=1+（－１.25)-6＋=-6．

(2)原式＝2.3+6.2－(1．７+2.2+1．１)＝８．5－5＝3.5．

2.解：（1)原式=[(-6.８2）＋(-３.18)]＋(3.7８－３.7８)＝－１0.（２)原式=19＋+=１0-7＝3.３.D

4．解：(1)π-３.１4

(２)原式=１-+－＋－＋…+－+-＝1-=．

5．解:(１）原式=-１2＋１８-3＝3.（2）原式＝×（－１4）＝40×(-14）－×(-14）=－5６0+１=-55９.６．解：原式＝-3×（４－3+6)=－２7．

７．解:原式=×=-＋-＝－.易錯(cuò)專題:有理數(shù)中的易錯(cuò)題

——易錯(cuò)歸納、逐個(gè)擊破

類型一　遺漏“0”及對(duì)“0”的認(rèn)識(shí)不夠

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.符號(hào)相反的數(shù)互為相反數(shù)

B.當(dāng)a≠０時(shí),|ａ|總大于０

Ｃ．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大,表示它的點(diǎn)在數(shù)軸上越靠右

D.一個(gè)有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)

2.絕對(duì)值小于２．5的所有非負(fù)整數(shù)的積為.類型二　與運(yùn)算相關(guān)的符號(hào)的判斷不準(zhǔn)確

３.在-3２,－|－2．5|,－（－2.５）,-(－3）2，（-３)20１６,(－3)3中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)

B.２個(gè)

Ｃ.3個(gè)

Ｄ.4個(gè)

４．下列式子中成立的是（）

A.-|-5|>４

B．-３<|-３|

C.－|－４|＝4

D.|－5.５｜＜5

５.－|-|的相反數(shù)是

.６.若a是有理數(shù)，則下列各式：①｜-a｜＝ａ；②－（－a）＝ａ;③a≤－a;④ａ>－ａ.其中正確的是(填序號(hào)).7.計(jì)算:（－1）2016+(－1）2015＝.類型三

運(yùn)算法則、運(yùn)算順序及符號(hào)錯(cuò)誤

８.化簡(jiǎn):|π－４|+｜３－π｜＝

．

9．計(jì)算下列各題：

（1）(－3．1）－（-4.5)＋(+４.4)－（+1.3）;

（2)-24×;

（3)－1４-×[|－2|－(-3）3]－(－4)2.類型四　精確度理解不透

10.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是【易錯(cuò)4】（）

A.３.1４×103精確到十位

B.4.609萬(wàn)精確到萬(wàn)位

C.近似數(shù)0．８和0.8０表示的意義不同

D.用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)２．５×104，其原數(shù)是250０0

類型五

多種情況時(shí)漏解

1１．在數(shù)軸上,與表示數(shù)-1的點(diǎn)的距離是2的點(diǎn)表示的數(shù)是【易錯(cuò)３】（）

A.1

B．3

C.±２

D.1或-3

12．若|a|=3,|b｜=1，且a,b同號(hào),則a＋b的值為（）

Ａ.4

B.-４

C．2或－2

Ｄ.４或-4

13.(20１6－2０1７·太原期中)若|a|=6，則1－ａ＝

.1４.(201６－201７·高陽(yáng)縣期末)已知數(shù)軸上兩點(diǎn)Ａ，B到原點(diǎn)的距離是２和7,則Ａ，Ｂ兩點(diǎn)間的距離是

.【易錯(cuò)3】

15．若a、b互為相反數(shù),c、ｄ互為倒數(shù)，|x|=3，則式子2(a＋b)－(－ｃd）2016+x的值為

.16．已知＝１,求＋＋的值．

參考答案與解析

1.Ｂ

2.0　3．D

4.B　5.6．②　7.0　８.1

9.解：（１)原式＝4.５．(2)原式=－4.（３)原式＝-2２.10.B?。?.D?。?．D?。?.7或－5　14.５或9

1５．2或-4

解析：∵ａ、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù),｜x|＝3,∴ａ＋b=0,ｃd=1,x=±3．∴2（a+b)－(－cｄ)2016+ｘ=０-(－1)20１6＋x=-1+x.當(dāng)ｘ=3時(shí)，-1+x=-1＋3=2．當(dāng)x=－3時(shí),－1+ｘ=-1＋（－3)＝-4.16．解:由＝1,可得ａ、ｂ、c都為正數(shù)或a、b、ｃ中只有一個(gè)正數(shù).分兩種情況討論:①當(dāng)ａ、b、c都為正數(shù)時(shí),則、、三個(gè)都為1，故＋+＝3;②當(dāng)a、b、ｃ中只有一個(gè)正數(shù)時(shí)，則、、中有一個(gè)為1，其余兩個(gè)為-１，故++=-1.綜上所述，++的值為3或-１.難點(diǎn)探究專題:有理數(shù)中的規(guī)律探究（選做）

——從特殊到一般,探尋多方規(guī)律

類型一　一列數(shù)中的規(guī)律

1.給定一列按規(guī)律排列的數(shù):，，,…，則這列數(shù)的第6個(gè)數(shù)是()

Ａ.Ｂ.C.Ｄ.2.找規(guī)律,并按規(guī)律填上第５個(gè)數(shù)：－，,-,，.3.(２016·濟(jì)寧中考)按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：，1，１，，，….請(qǐng)你仔細(xì)觀察，按照此規(guī)律方框內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為

.類型二

計(jì)算中的規(guī)律一、四則運(yùn)算中的規(guī)律

4．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的２0位同學(xué)站成一列做報(bào)數(shù)游戲，規(guī)則是:從前面第一位同學(xué)開始,每位同學(xué)依自己順序數(shù)的倒數(shù)加1,第1位同學(xué)報(bào)，第2位同學(xué)報(bào),第3位同學(xué)報(bào)，這樣得到的前20個(gè)數(shù)的積為

.5.若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào),并且1！＝１，2！=２×1=２，３!=3×2×１=６,4?。?×３×２×1=24,…,則５!＝

＝，的值為

.6.計(jì)算:1-3＋5－7＋９－１1+…+9７-99.二、乘方運(yùn)算中的規(guī)律

7．(2016·郴州中考）觀察下列等式:31＝3，３2=9，33=２７,34＝8１，３5＝243，3６＝７29,…,試猜想,32016的個(gè)位數(shù)字是　　　?。?/p>

8.觀察下列等式：1=12，1＋3＝２2,1+３+5=32，1+3+5+7=４2，…,則1＋3＋5＋7+…＋２0１5＝

.三、圖形中與數(shù)的計(jì)算的有關(guān)規(guī)律

９.（2016·泉州中考)找出下列各圖形中數(shù)的規(guī)律，依此，a的值為

.10.(2０１6·北京中考)百子回歸圖是由1，2，3，…，100無(wú)重復(fù)排列而成的正方形數(shù)表,它是一部數(shù)化的澳門簡(jiǎn)史,如:中央四位“1９

１2　2０”標(biāo)示澳門回歸日期,最后一行中間兩位“23

50”標(biāo)示澳門面積,…，同時(shí)它也是十階幻方，其每行10個(gè)數(shù)之和,每列10個(gè)數(shù)之和，每條對(duì)角線１0個(gè)數(shù)之和均相等,則這個(gè)和為

.類型三　數(shù)軸中的規(guī)律

11.如圖,在數(shù)軸上點(diǎn)A表示1,現(xiàn)將點(diǎn)A沿x軸做如下移動(dòng)：第一次點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A1，第二次將點(diǎn)Ａ1向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A2,第三次將點(diǎn)A2向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A3，按照這種移動(dòng)規(guī)律,則點(diǎn)A13、A1４之間的距離是

.參考答案與解析

１.A

２．-

3.1

解析：觀察數(shù)列后三個(gè)數(shù)字,可以發(fā)現(xiàn)分子為連續(xù)奇數(shù)，分母為連續(xù)質(zhì)數(shù)，故第4個(gè)數(shù)的分子為７，分母為７,答案為1.4.2１

解析：…＝2×××…×＝２１.5．5×４×３×2×1　1２0

9900

６．解:１－3＋５－７+9－１１＋…＋97-９9＝(1-3）＋（5－7)+(9－11)+…＋（97-9９)＝-2×=-５0.7.1　解析：設(shè)n為自然數(shù)，∵3４n＋1的個(gè)位數(shù)字是３，與31的個(gè)位數(shù)字相同，34n＋2的個(gè)位數(shù)字是9，與３2的個(gè)位數(shù)字相同，34n+3的個(gè)位數(shù)字是7，與33的個(gè)位數(shù)字相同，34n的個(gè)位數(shù)字是1，與3４的個(gè)位數(shù)字相同，∴３2０１6＝3５０4×４的個(gè)位數(shù)字與34的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為1.故答案為1.8.１0０８2

9．２26

解析：根據(jù)題意得出規(guī)律：a＝15×１6－1４=226.10．505

解析:1～１０0的總和為=5050,一共有10行，且每行１0個(gè)數(shù)之和均相等,所以每行１0個(gè)數(shù)之和為5050÷10＝505.解題技巧專題：整式求值的方法

——先化簡(jiǎn)再求值,整體代入需謹(jǐn)記

類型一

先化簡(jiǎn),再代入求值

１．先化簡(jiǎn)，再求值：

(1)（2０1６－201７·慶元縣期末)6ｍ２－2（2ｍ＋3m2-1)－8，其中ｍ＝-；

(２）(20１7·蕭山區(qū)月考）2（a2－aｂ）－3（a2-ab)-5，其中a=－2，b=3．

2.先化簡(jiǎn),再求值：(3x２－xy＋7）-(5xｙ-4ｘ2+7),其中x,y滿足（x－2）2+|3y-1|=0．

類型二

先變形，再整體代入求值

3.已知a＋２b＝－3,則3（2a-3ｂ）-4(a－３b）＋ｂ的值為()

A.3

B.－３

C.6

Ｄ．－6

4.已知xｙ＝１,x＋y=，那么代數(shù)式y(tǒng)－(xy-4ｘ－３ｙ)的值等于

．

5.當(dāng)x=1時(shí),多項(xiàng)式ａx3+bｘ＋1的值為５,則當(dāng)x＝－1時(shí),多項(xiàng)式ax3+bx＋1的值為

.6．先化簡(jiǎn)，再求值：（3x2＋5x-2）－2（2x２+2x-1）＋2x2－５，其中x２+ｘ-3＝０.【方法7】

類型三　利用“無(wú)關(guān)”求值或說(shuō)理

7.(201６－2017·相城區(qū)期中)已知多項(xiàng)式（４ｘ2＋ax-y＋６）－（２bx２-3x+５y－1），若多項(xiàng)式的值與字母x的取值無(wú)關(guān),則aｂ＝

.【方法8】

8．老師出了這樣一道題：“當(dāng)a=2017，ｂ＝－２0１8時(shí)，計(jì)算(2a３－３a2b-2ａb2）－(a３-２ａb2＋b3）+(3a2b-a3+ｂ3）的值．”但在計(jì)算過(guò)程中，同學(xué)甲錯(cuò)把“a=２017”寫成“a＝-2017”,而同學(xué)乙錯(cuò)把“ｂ＝－201８”寫成“－２0.18”，可他倆的運(yùn)算結(jié)果都是正確的，請(qǐng)你找出其中的原因,并說(shuō)明理由.類型四

與絕對(duì)值相關(guān)的整式化簡(jiǎn)求值

9.若ａ≤0，則|a｜＋ａ+2等于（）

A．2a+2

Ｂ.2

Ｃ.2－２ａ

D．2ａ-2

10．已知有理數(shù)ａ、b、ｃ在數(shù)軸上的位置如圖所示.（1）填空：A、B之間的距離為,B、C之間的距離為，A、C之間的距離為　　　??；

（2)化簡(jiǎn):｜ａ-1|－|c-ｂ|-｜ｂ－１|＋|－1-ｃ｜.參考答案與解析

１．解:（１）原式＝６m2－4ｍ－６m2+2－8＝-4m－6．當(dāng)ｍ＝－時(shí)，原式=6－6=0．

(2)原式=2ａ2-2ａb-2ａ２+3aｂ－5=ａb－5.當(dāng)a=－２,b＝3時(shí)，原式＝(-2)×3-5＝-6-５＝－11.2.解:原式=3x2－xy＋7－5xy+4ｘ2－7=7x２－6xy.∵(ｘ－２)2≥0，｜３y－1｜≥0，且(x－2)2＋|3ｙ－1|＝０,∴ｘ-2=0，3y-1＝０,即x=２,y=，∴原式=28-4=24.3.D

４.１　5.-１

６．解:原式=x２＋ｘ-5.∵x2＋ｘ－３=0,∴ｘ2＋ｘ＝3,∴原式=３-5＝-2.7．9

解析：原式＝4x2+ax－y＋６－2bx2＋3x－５y+1=(４－２b)x2＋(a＋3）x－6y＋7,由多項(xiàng)式的值與字母x的取值無(wú)關(guān)，得到4－2b＝0,ａ＋3=０,解得a＝－３,b=２,則aｂ=（－3)2＝9，故答案為９.8．解:原因是該多項(xiàng)式的值與字母ａ、b的取值無(wú)關(guān)．理由如下：原式=２a3－3ａ2b-2ab2-a3+2ab2-ｂ3+3a2b－ａ３+b3＝0，即多項(xiàng)式的值與ａ、b的取值無(wú)關(guān)．所以無(wú)論a、b取何值，都不會(huì)改變運(yùn)算結(jié)果．

9．Ｂ

10.解：(1)a－b

ｂ－c　a－ｃ

(2）由圖可得ａ－1>０,c－ｂ＜0,b-1＜０，－1-c>0.所以原式=a-1-[-(c-b）］－[-(b－１）]+(－1-c）＝a－１＋ｃ-b＋b－１-1－c=a-3．

難點(diǎn)探究專題：整式中的規(guī)律探究（選做)

——從特殊到一般,探尋多方規(guī)律

類型一　整式規(guī)律探究

一、有規(guī)律的一列數(shù)

1.已知一組數(shù):1,３,５，7，9，…按此規(guī)律，第n個(gè)數(shù)是

.【方法9①】

2.觀察下列一組數(shù):，1，，…它們是按一定規(guī)律排列的，那么這組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是

(n為正整數(shù)).二、有規(guī)律的一列單項(xiàng)式

３.有一組單項(xiàng)式：a2，－，,-，,…則第１0個(gè)單項(xiàng)式是,第ｎ個(gè)單項(xiàng)式是

．

４.觀察下列關(guān)于x的單項(xiàng)式,探究其規(guī)律:x,３x２,5x３，7x4，９x5,11x6，…按照上述規(guī)律,第201７個(gè)單項(xiàng)式是【方法9①】（）

A.2０1７ｘ2017

Ｂ.４033x2016

Ｃ.4033x201７

D.４035ｘ2017

三、數(shù)的循環(huán)規(guī)律或式中的規(guī)律

5.如圖是鋼琴鍵盤的一部分,若從４開始,依次彈出4，５,6,7，１，4,5，6，7,1，…按照上述規(guī)律彈到第2016個(gè)音符是

.6.設(shè)aｎ為ｎ4(n為正整數(shù))的末位數(shù)，如a1=１，ａ２=6,a3＝1,a４＝6.則a1+a2+a3+…＋a24＋a25＝

．

7．(2016·濱州中考）觀察下列式子:

1×3＋1＝２2;

7×9＋1=８2；

25×２7＋１＝262；

79×81+１=8０2;

…

可猜想第201６個(gè)式子為＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)___＿_(dá)___＿_(dá)_＿_(dá)______＿_(dá)_＿_(dá)＿_(dá)_＿＿＿＿_(dá)_＿_(dá)__＿_(dá)_____．

四、數(shù)表中的規(guī)律

8.（２０1６·邵陽(yáng)中考）如圖所示，下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律,最后一個(gè)三角形中y與n之間的關(guān)系是()

A.y＝2n+1

B.y＝２n+n

C.y＝2n+１＋n

D．ｙ=2n＋n＋1

９．(２016·新疆中考）如圖，下面每個(gè)圖形中的四個(gè)數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的,根據(jù)此規(guī)律確定x的值為

.10．如圖所示的數(shù)表是由1開始的連續(xù)自然數(shù)排列而成的，根據(jù)你觀察的規(guī)律完成下面問(wèn)題:

（1)第8行共有

個(gè)數(shù),最后一個(gè)數(shù)是

;

（2)第n行共有

個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)是,最后一個(gè)數(shù)是

.類型二　圖形規(guī)律探究

11.（20１6·臨沂中考）用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形，則第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是【方法9②】（）

A.2n+1

B.n2－１

C．n2＋2n

Ｄ.5n－2

12.如圖是用棋子擺成的圖案:【方法9②】

根據(jù)圖中棋子的排列規(guī)律解決下列問(wèn)題：

(1）第4個(gè)圖中有

枚棋子,第5個(gè)圖中有

枚棋子；

（2)猜想第n個(gè)圖中棋子的數(shù)量（用含n的式子表示).參考答案與解析

1.２n－1

2.解析:1＝,這樣分子為從3開始的一列奇數(shù),即2ｎ+1，而分母為2=12＋１,5=２2+１，10=32+1，１7=４２+１，26＝52＋1,即n2+1.故這組數(shù)的第ｎ個(gè)數(shù)為.3．－

(－１)n+1·

4.C

解析:第n個(gè)單項(xiàng)式為（2n－1）ｘn.5.4

6．85

解析：a1～a10依次為1，６，1，６,5，6,1,6，1,0，ａ１１～ａ２0與a1~a１０分別相等，a21～a25與a1~a５分別相等，因此ａ1+ａ2+ａ3＋…＋a24+a2５＝（4×6＋1×４＋５+０）×２＋(6×2＋1×2+５)=85．

７．(33０16－2）×320１6＋1=（32016-１）2

8.B　解析：∵觀察可知：左邊三角形的數(shù)字規(guī)律為１，2,…,n,右邊三角形的數(shù)字規(guī)律為２，２2,…，2n，下邊三角形的數(shù)字規(guī)律為1＋2，２＋22，…，n+2n，∴ｙ＝２n+n.９．３7０　解析:∵左下角數(shù)字為偶數(shù)，右上角數(shù)字為奇數(shù),∴2n=2０,m＝２n－１，解得n＝10，m＝19.∵右下角數(shù)字：第一個(gè)為１=１×2－1，第二個(gè)為10＝3×4-2,第三個(gè)為2７=5×6－３,∴第n個(gè)為2n(2n-1)-n，∴x＝１9×20－10=３70．故答案為370.10.(1)1５

64(2)2n－１(n－1)２＋1　n2

11.C

12．解：(1）2２

(2)第n個(gè)圖中棋子的數(shù)量為[n(n+1)＋2]枚．

解題技巧專題：列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題

——快速有效地尋找等量關(guān)系

類型一　利用基本數(shù)量關(guān)系尋找相等關(guān)系（路程、工程、利率、周長(zhǎng)、面積、體積等公式)

1．某村原有林地10８公頃,旱地５4公頃，為保護(hù)環(huán)境,需把一部分旱地改造為林地,使旱地占林地面積的20%.設(shè)把ｘ公頃旱地改為林地,則可列方程為（）

Ａ．54-x=２０%×10８

B.54-x=2０%×（１08＋ｘ)

C.５４＋ｘ＝20%×162

D.1０８－ｘ＝20%（５4+ｘ）

2.一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為１6cｍ，長(zhǎng)與寬的差是１ｃm，那么長(zhǎng)與寬分別為（）

A．5cm，4cm

B.4.５ｃm,3.5cm

C.6ｃｍ，5ｃｍ

Ｄ.8.5cm,7．５cm

3.某小組每天需生產(chǎn)50個(gè)零件才能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù),實(shí)際上該小組每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)６個(gè)零件,結(jié)果比規(guī)定時(shí)間提前3天并超額生產(chǎn)了120個(gè)零件，若設(shè)該小組需完成的零件數(shù)為x個(gè),則可列方程為（）

Ａ.-=3

B.－＝3

C.－＝3

D．－=3

4.已知小王用2０0０元買了債券，一年后的本息和為21００元，則小王買的債券的年利率是　　　　%.５.（201７·沂源縣校級(jí)月考)一輛汽車從甲地到乙地,若每小時(shí)行駛45千米，就要比原計(jì)劃延誤半個(gè)小時(shí)到達(dá)；若每小時(shí)行駛50千米，就可以比原計(jì)劃提前半小時(shí)到達(dá).求甲、乙兩地的路程及原計(jì)劃的時(shí)間(用一元一次方程解答）．

6.某藥業(yè)集團(tuán)生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的表面展開圖如圖所示.如果長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)比寬多4ｃm,求這種藥品包裝盒的體積.類型二　抓住問(wèn)題中的“關(guān)鍵詞”尋找相等關(guān)系（“共有”“比……多……”“是……倍”等)

7.（2０16－2017·西城區(qū)校級(jí)期中）今年哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍,四年前哥哥的年齡是妹妹年齡的3倍，如果設(shè)妹妹今年ｘ歲,可列方程為（）

A.2x+4=3（x－４）

B．2x－４=３(ｘ-4）

C.2x＝3（x-４）

D.2x－4=３x

8.學(xué)校買籃球和排球共3０個(gè),共用９3６元,籃球每個(gè)３6元，排球每個(gè)24元,則籃球買了（）

A.１２個(gè)

Ｂ．1５個(gè)

C.16個(gè)

D．18個(gè)

9.如圖是一張日歷表，涂陰影的8個(gè)數(shù)字的和是13４,則中間的數(shù)a是

.1０.已知A種品牌的文具比B種品牌的文具單價(jià)少1元,小明買了２個(gè)A種品牌的文具和3個(gè)B種品牌的文具，一共花了２8元，那么A種品牌的文具單價(jià)是

5元．

１1.（２0１6·黃岡中考)在紅城中學(xué)舉行的“我愛祖國(guó)”征文活動(dòng)中，七年級(jí)和八年級(jí)共收到征文1１8篇，且七年級(jí)收到的征文篇數(shù)是八年級(jí)收到的征文篇數(shù)的一半還少2篇，求七年級(jí)收到的征文有多少篇?

12．情境：

試根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題:

（１)購(gòu)買６根跳繩需

元，購(gòu)買12根跳繩需

元.（2）小紅比小明多買2根,付款時(shí)小紅反而比小明少5元.你認(rèn)為有這種可能嗎?若有，請(qǐng)求出小紅購(gòu)買跳繩的根數(shù);若沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由.類型三　抓住問(wèn)題中的“用不同方式表示同一個(gè)量”尋找相等關(guān)系

13.某市對(duì)城區(qū)主干道進(jìn)行綠化，計(jì)劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹,要求路的兩端各栽一棵,并且每相鄰兩棵樹的間隔相等．如果每隔5米栽1棵,則樹苗缺21棵；如果每隔6米栽１棵,則樹苗正好用光．設(shè)原有樹苗x棵，則根據(jù)題意列出方程正確的是（）

Ａ.5(x＋２1-1)＝６(x－1)

Ｂ.5(x+2１）＝6（ｘ－1)

C．5（x＋２1－1）＝６x

Ｄ.5(ｘ+2１）=6x

14.有一種足球是由3２塊黑色和白色的牛皮縫制而成的(如圖）,黑皮可看作正五邊形,白皮可看作正六邊形.設(shè)白皮有ｘ塊，則黑皮有（３2-x)塊，每塊白皮有6條邊，共６x條邊，因每塊白皮有三條邊和黑皮連在一起，故黑皮共有３ｘ條邊,要求出白皮、黑皮的塊數(shù)，列出的方程正確的是（）

A．３x＝3２-x

B.3x＝5(3２－x)

Ｃ.5x=3（３2－x)

Ｄ.6ｘ＝３２-x

第１４題圖

第１5題圖

１5.如圖，８塊相同的長(zhǎng)方形地磚，拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形圖案（地磚間的縫隙忽略不計(jì)）.設(shè)每塊地磚寬為xｃm，則可列方程

.１6.用一個(gè)底面是2０cｍ×20cｍ的正方體容器（已裝滿水)向一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為16cｍ，1０cm和5cｍ的長(zhǎng)方體鐵盒內(nèi)倒水,當(dāng)鐵盒裝滿水時(shí)，正方體容器中水的高度下降

cm.17.(20１6－2017·盧龍縣期末）學(xué)校安排學(xué)生住宿，若每室住8人,則有1２人無(wú)法安排;若每室住9人,可空出2間房.這個(gè)學(xué)校的住宿生有多少人？宿舍有多少房間?

1８.（2０１7·南安市期中）學(xué)校準(zhǔn)備添置一批課桌椅,原計(jì)劃訂購(gòu)60套,每套100元.店方表示:如果多購(gòu)可以優(yōu)惠.結(jié)果校方購(gòu)了7２套,每套減價(jià)３元，但商店獲得同樣多的利潤(rùn)．求每套課桌椅的成本．

參考答案與解析

1.B

2.B　3.C

4．5

5.解:設(shè)原計(jì)劃用時(shí)ｘ小時(shí),由題意得４5=5０·，解得x=９.5，則5０=４50．

答:甲、乙兩地的路程為４50千米,原計(jì)劃用時(shí)9.5小時(shí)．

6．解:設(shè)長(zhǎng)方體寬為ｘｃm,則長(zhǎng)為（x+4)cm，高為[1３-(x＋4）]cｍ，由題意,得2x+[13－（ｘ＋4)]＝１4.解得x=５,則x+4＝９，[13-(x＋4)］=2，9×5×2=90(cm3)．

答：這種藥品包裝盒的體積為９0cｍ３.7．B　８.D

9.17

10.5

１1.解:設(shè)七年級(jí)收到的征文有x篇,則八年級(jí)收到的征文有(1１８－ｘ）篇,依題意得（x+2）×2＝118－x，解得x＝38.答:七年級(jí)收到的征文有38篇.12．解:(1)150?。?0　解析:6×2５＝150(元），１２×２５×0.8＝240（元)．

（2)有這種可能,設(shè)小紅購(gòu)跳繩x根，則25×80%x＝25（ｘ－2)－５,解得x＝11．

答：小紅購(gòu)買跳繩1１根.13.A　14．B　15．４x＝６0　1６．２

17．解:宿舍有x間房，依題意得8ｘ+12＝9(ｘ-2)，解得x＝30,則8x＋１2=２5２.答：這個(gè)學(xué)校的住宿生有252人,宿舍有3０間房．

18.解:設(shè)每套課桌椅的成本為ｘ元．則60(100-ｘ)＝７2(100－3-x),解得x＝8２.答:每套課桌椅成本為82元．

思想方法專題：線段與角的計(jì)算中的思想方法

——明確解題思路，體會(huì)便捷通道

類型一　方程思想在線段或角的計(jì)算中的應(yīng)用

1.一個(gè)角的度數(shù)比它的余角的度數(shù)大２０°，則這個(gè)角的度數(shù)是（）

A.２0°

Ｂ.35°

Ｃ.45°

D.55°

2.已知P為線段ＡB上一點(diǎn),且AＰ=AB,Ｍ是AB的中點(diǎn)，若ＰM＝２cm，則AB的長(zhǎng)為（）

Ａ．10ｃm

Ｂ．1６cm

C．20cm

D．3cｍ

３．如圖,Ａ、O、Ｂ三點(diǎn)在一條直線上，∠AOC=2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE＝７７°,則∠COＤ的度數(shù)是（）

Ａ.52°

B．26°

Ｃ.1３°　　Ｄ.３8.5°

第3題圖

第4題圖

4．如圖，M、Ｎ為線段AB上兩點(diǎn)，且AM∶ＭB=1∶3,ＡN∶ＮB=5∶7.若ＭN=2,則AB的長(zhǎng)為

.５.如圖，AB和CＤ相交于點(diǎn)O,∠ＤＯE＝９０°，若∠BOE=∠ＡOC.(1）指出與∠ＢOD相等的角，并說(shuō)明理由；

(2)求∠BOD，∠ＡOＤ的度數(shù).６.如圖，已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－1、3，點(diǎn)P為數(shù)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為ｘ.（１)PA=，ＰＢ＝

(用含x的式子表示)；

（2）在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使PA＋PB=5？若存在,請(qǐng)求出ｘ的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.類型二

分類討論思想在線段或角的計(jì)算中的應(yīng)用

7.（２０1６－2０17·蕭山區(qū)校級(jí)期末)已知∠AOB=６0°，作射線OＣ，使∠AOC等于40°，OD是∠BＯＣ的平分線，那么∠BOD的度數(shù)是（）

A.1０0°

B．１00°或20°

C.５0°

D.50°或１0°

8.（2016-2０１7·郾城區(qū)期末)把一根繩子對(duì)折成一條線段AB,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),從P處把繩子剪斷．已知ＡP=ＰB,若剪斷后的各段繩子中最長(zhǎng)的一段為４0cm，則繩子的原長(zhǎng)為

.【易錯(cuò)8①】

9．已知點(diǎn)A,B，C在同一條直線上,且AC=5，BC＝3,M，N分別是AC，BＣ的中點(diǎn)．【易錯(cuò)８①】

(1）畫出符合題意的圖形；

(2）依據(jù)（１）的圖形，求線段MN的長(zhǎng).1０．已知∠BOC在∠AOB的外部,OE平分∠AOB，OF平分∠ＢOＣ,OD平分∠AOC,∠AＯE=30°，∠BOD=２0°,試求∠COF的度數(shù)．

類型三

整體思想及從特殊到一般的思想

11.如圖，線段上的點(diǎn)依次增加，請(qǐng)你填寫圖中相應(yīng)的線段數(shù)：

（1）請(qǐng)猜想：當(dāng)線段AB上有６個(gè)、１0個(gè)點(diǎn)時(shí)(含A，Ｂ兩點(diǎn)），分別會(huì)有幾條線段？

（2）當(dāng)線段ＡB上有n(ｎ為正整數(shù),且n≥2)個(gè)點(diǎn)（含A,B兩點(diǎn))呢？

12.已知∠AＢＣ＝∠ＤＢE，射線BＤ在∠ABC的內(nèi)部，按要求完成下列各小題.嘗試探究:如圖①,已知∠ABC＝90°，當(dāng)ＢD是∠AＢC的平分線時(shí),∠ABＥ＋∠DＢC＝

°；

初步應(yīng)用:如圖②,已知∠ABＣ＝９0°，若ＢD不是∠ABC的平分線，求∠ＡBE＋∠DBＣ的度數(shù)；

拓展提升:如圖③，若∠ABＣ=４５°時(shí)，試判斷∠ABE與∠ＤBC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.13．（２０1６－201７·秦皇島期末）如圖所示，點(diǎn)C在線段ＡB上，點(diǎn)M、Ｎ分別是AC、ＢＣ的中點(diǎn).（1)若AＣ＝８cm，ＣB＝6ｃｍ，求線段MN的長(zhǎng)；

（2)若C為線段AＢ上任意一點(diǎn),滿足AC+CB＝aｃm，其他條件不變，你能猜想出MN的長(zhǎng)度嗎?并說(shuō)明理由;

（3）若C在線段ＡB的延長(zhǎng)線上，且滿足AC－CB＝ｂcm，M、N分別為ＡＣ、ＢC的中點(diǎn),你能猜想出MＮ的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

參考答案與解析

1．Ｄ

２.Ｃ

３.B

4．12

５．解：(1)∠AＯC，同角的補(bǔ)角相等．

(2)設(shè)∠BOＤ＝x,由（１)知∠AＯC=∠BOＤ＝x，則∠BＯE＝∠AＯC=x.∵∠DOE＝９0°,∴∠DOE＝∠ＢOE＋∠BＯＤ=x+ｘ=9０°,解得x＝60°,即∠ＢＯＤ＝６0°,∴∠AＯＤ=180°－∠ＢOD=180°-６0°=1２0°．

６．解:(1）|x+１|

|x-３|

(2)分三種情況:①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間時(shí),PA+PB=4(舍去);②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Ｂ右側(cè)時(shí),ＰＡ=x+1,ＰB＝x－３，則(x＋1)+(x-３)＝5,解得x＝3.5;③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí),PA＝-ｘ-1,ＰB＝3－x，則(-x-１）＋(3－ｘ)＝5，解得x=-1.5.綜上所述，在數(shù)軸上存在點(diǎn)P，使ＰA+PＢ＝5,此時(shí)x的值為3.５或-１.5.7．D　8．６0或１2０

９．解：（１)如圖,點(diǎn)B在線段ＡC上，如圖,點(diǎn)Ｂ在線段ＡC的延長(zhǎng)線上．

(2)當(dāng)點(diǎn)B在線段ＡＣ上時(shí),∵AC＝5,BC＝3,M、Ｎ分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC＝AＣ=×５=，NC＝ＢＣ=×3=,∴MＮ=ＭC－NC＝-=1;當(dāng)點(diǎn)Ｂ在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵AＣ=5,BC=3,M、Ｎ分別是AC、BC的中點(diǎn),得MＣ=ＡＣ＝×5＝,ＮC=BC=×3=,由線段的和差，得ＭN=MC+NC＝+=4.10.解:分以下情況：如圖①，ＯＤ在∠AOB的外部．∵OE平分∠AOＢ，∠ＡOＥ＝３0°，∠BOD=20°，∴∠AOD＝30°+３0°＋20°＝8０°.∵OＤ平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOD=８0°．∵OF平分∠BOC，∴∠COF＝(８0°＋２0°)÷2＝50°.如圖②,OD在∠AOB內(nèi)部.∵ＯE平分∠AOB，∠AOＥ＝30°，∠BOD=20°,∴∠AOＤ＝30°＋3０°－２0°＝４0°.∵OD平分∠AＯC,∴∠COD=∠AOＤ=40°．∵OＦ平分∠ＢOC，∴∠CＯF＝(40°-20°)÷2＝10°.綜上所述，∠COF的度數(shù)為５0°或10°.11.解:6

１0

(1）線段上有6個(gè)點(diǎn)時(shí),有15條線段;線段上有10個(gè)點(diǎn)時(shí)，有45條線段.(2)ｎ（n-１）條.１2．解：嘗試探究:18０　解析：因?yàn)椤螦ＢC＝90°，BD平分∠ＡBC,所以∠DBC=45°,因?yàn)椤螪BE＝∠ABC＝90°,∠DＢC＋∠CBE=∠DBE,所以∠CＢE＝４５°.所以∠ABE＋∠ＤBC=∠ＡBC+∠CBE＋∠DＢＣ=90°+45°＋45°=180°.初步應(yīng)用:因?yàn)椤希腂E=∠AＢＣ＝90°,所以∠ABE+∠DＢC=∠ABC+∠CBE＋∠DBC＝∠ABＣ＋∠DBE＝１80°.拓展提升:∠ABE＋∠DBC＝９0°.理由如下：

因?yàn)椤希模翬=∠ＡBC＝4５°，所以∠ＡＢE＋∠DBC=∠AＢC＋∠CBE＋∠ＤBＣ＝∠ABC+∠DBE＝90°.13.解:（1)∵點(diǎn)Ｍ、N分別是AＣ、ＢＣ的中點(diǎn)，∴MC=AC＝×8cｍ=4cm，NC=BＣ=×６cm＝3cm，∴MN=ＭＣ+NＣ＝4cｍ+３ｃm=7cm．

(2)ＭＮ=aｃm.理由如下:∵點(diǎn)M、N分別是ＡＣ、BＣ的中點(diǎn)，∴MC=ＡＣ,NＣ=BC，∴MＮ＝MＣ＋ＮC＝AC＋BC＝AB＝ａcm.（3)畫圖略.∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn),∴MC＝AC，NC＝BC，∴ＭN＝MＣ－NＣ＝AC－BC＝(AC-ＢC)＝bcｍ.