4　分數的意義和性質

一、了解分數的產生,理解分數的意義,明確分數與除法的聯系。

1.實際生活中,在進行測量、分物或計算時,往往不能正好得到整數的結果,在這種情況下就產生了另一種數——分數。

2.一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體,這個整體可以用自然數1表示,通常把它叫做單位“1”。

3.把單位“1”平均分成若干份,這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。

4.把單位“1”平均分成若干份,表示其中一份的數叫做分數單位。

一個分數的分母是幾,它的分數單位就是幾分之一,分子是幾,它就有幾個這樣的分數單位。

5.兩個數相除,商可以用分數來表示,即被除數÷除數=被除數除數,用字母表示為a÷b=ab(b≠0)。反之,分數也可以看作兩個數相除,分數的分子相當于被除數,分母相當于除數,分數線相當于除號。

6.求一個數是另一個數(0除外)的幾分之幾的問題的解題方法:一個數÷另一個數=一個數另一個數,即比較量÷標準量=比較量標準量,商表示的是兩個數的倍比關系(也可以稱部分與整體的關系),沒有單位名稱。

7.分數不但可以表示部分與整體的關系,還可以表示具體的數量。當分數表示具體的數量時,可以加單位名稱。

二、認識真分數、假分數和帶分數,能把假分數化成帶分數或整數。

1.分子比分母小的分數叫做真分數,真分數小于1。

2.分子比分母大或分子等于分母的分數叫做假分數,假分數大于1或等于1。

3.由整數(0除外)和真分數合成的數叫做帶分數,帶分數大于1。

4.帶分數的讀法:先讀帶分數的整數部分,再讀分數部分,分數部分和整數部分中間加一個“又”字。

5.帶分數的寫法:“又”前面是整數部分,后面是分數部分,先寫整數部分,再寫分數部分。

6.假分數化成整數或帶分數的方法:根據分數與除法的關系,把假分數化成整數或帶分數的方法是用分子除以分母。當分子是分母的整數倍時,能化成整數,商就是這個整數;當分子不是分母的整數倍時,能化成帶分數,商是帶分數的整數部分,余數是分數部分的分子,分母不變。

三、理解并掌握分數的基本性質,會比較分數的大小。

1.分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數(0除外),分數的大小不變,這叫做分數的基本性質。

2.根據分數的基本性質,可以把一個分數化成分母不同而大小不變的分數,也可以把一個分數化成指定分母的分數。

四、理解公因數與最大公因數、公倍數與最小公倍數的意義,能找出兩個數的最大公因數和最小公倍數,能比較熟練地進行通分。

1.幾個數公有的因數,叫做這幾個數的公因數,其中最大的公因數,叫做它們的最大公因數。

2.求兩個數最大公因數的方法:

(1)列舉法:先分別找出兩個數的因數,從中找出公因數,再找出公因數中最大的那個;

(2)篩選法:先找出兩個數中較小數的因數,從中圈出另一個數的因數,再看哪一個最大;

(3)分解質因數法:先把每個數都寫成幾個質因數相乘的形式,再從這些質因數中找出這兩個數公有的質因數,這些公有的質因數的乘積就是這兩個數的最大公因數;

(4)短除法:先把這兩個數公有的質因數按從小到大的順序依次作除數,連續去除這兩個數,直到得出的兩個商只有公因數1為止,再把所有的除數相乘,所得的積就是這兩個數的最大公因數。以求12和18的最大公因數為例:

12和18的最大公因數是2×3=6。

3.求兩個數的最大公因數的特殊情況:

(1)當兩個數成倍數關系時,較小數就是它們的最大公因數;

(2)當兩個數的公因數只有1時,它們的最大公因數就是1。

4.把一個分數化成和它相等,但分子和分母都比較小的分數,叫做約分。約分依據的是分數的基本性質。

5.分子和分母只有公因數1的分數是最簡分數。約分時,通常要約成最簡分數。

6.幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。

7.求兩個數最小公倍數的方法:

(1)列舉法:先分別找出兩個數的倍數,從中找出公倍數,再找出最小的那個;

(2)篩選法:先找出兩個數中較大數的倍數,從中圈出另一個數的倍數,再看哪一個最小;

(3)分解質因數法:把每個數都寫成幾個質因數相乘的形式,其中相同的質因數與各自獨有質因數的乘積就是這兩個數的最小公倍數;

(4)短除法:先把這兩個數公有的質因數按從小到大的順序依次作除數,連續去除這兩個數,直到得出的兩個商只有公因數1為止,再把所有的除數和最后所得的商連乘,所得的積就是它們的最小公倍數。以求12和18的最小公倍數為例:

12和18的最小公倍數是2×3×2×3=36。

8.同分母分數、同分子分數的大小比較方法:

(1)分母相同的兩個分數,分子大的分數比較大;

(2)分子相同的兩個分數,分母小的分數反而大。

9.通分的意義及通分的方法:

(1)通分的意義:把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分。

(2)通分的方法:通分時用原分母的公倍數作公分母,為了計算簡便,通常選用它們的最小公倍數作公分母,然后把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。

10.分數的大小比較:

比較異分母分數的大小:先通分化成分母相同的分數,再比較大小。

五、掌握分數與小數的互化方法。

1.小數就是表示十分之幾,百分之幾,千分之幾……的數,所以可以先直接寫成分母是10,100,1000……的分數,再化簡。

2.小數化分數的規律:一位小數化分數,用10作分母,一位小數去掉小數點作分子;兩位小數化分數,用100作分母,兩位小數去掉小數點作分子……把小數化成分數,能約分的都應約成最簡分數。

3.分數化成小數的方法:

(1)分母是10,100,1000……的分數化成小數,可以直接去掉分母,看分母中有幾個0,有幾個0就在分子中從右邊起向左數出幾位,點上小數點;

(2)分母不是10,100,1000……的分數化成小數,用分子除以分母,除不盡時,要根據需要按“四舍五入”法保留幾位小數。

(3)把帶分數化成小數,方法與上面相同,帶分數的整數部分作為小數的整數部分,分數部分化成小數,作為小數的小數部分。

如125=1+0.4=1.4。

溫馨提示:

把誰平均分,就應該把誰看作單位“1”。

分成若干份是指分成除0以外的任意整數份,分時一定是平均分,只有平均分才可以用分數來表示。

分數與除法之間的聯系非常緊密,但分數不等同于除法,二者之間有一定的區別:除法是一種運算,分數是一種數。

特別注意:

因為除法算式中的除數不能為0,所以在分數中分母也不能為0。

溫馨提示:

任何整數(0除外)都可以化成分母是1的假分數。

舉例:

因為13÷4=3……1,所以13÷4=314。

溫馨提示:

分數的基本性質與除法中商不變的規律類似,要注意不為0的條件。

溫馨提示:

在鋪地磚問題中,要使地面鋪滿且使用的地磚是整塊時,就是求長和寬的公因數,要求地磚的邊長最大是多少,就是求長和寬的最大公因數。

特別注意:

有些實際問題可轉化為求幾個數的公因數,如果題目是求“最長”“最多”等問題,就是求幾個數的最大公因數。

溫馨提示:

每個數的因數的個數是有限的,因此兩個數或多個數的公因數的個數也是有限的。

溫馨提示:

約分的方法:

(1)逐步約分法。用分數的分子和分母的公因數(1除外)逐次去除分子和分母,直到得出一個最簡分數。

(2)一次約分法。用分數的分子和分母的最大公因數去除分子和分母,即可得到最簡分數。

溫馨提示:

公因數只有1的兩個數叫做互質數。

特別注意:

一個數的倍數的個數是無限的,因此兩個數的公倍數的個數也是無限的,只有最小公倍數,沒有最大公倍數。

特別提醒:

利用公倍數和最小公倍數可以解決生活中的很多問題,如學生在排隊的時候,每排5人或6人都正好站完。求一共有多少人,就是求5和6的公倍數;求最少有多少人,就是求5和6的最小公倍數。

特別提醒:

在比較異分母分數的大小時,如果分母較大,且分數的分子較小,這時可以化成同分子分數進行比較。

特別提醒:

分母如果只含有2和5這兩個因數,這樣的分數可以化成有限小數;分母如果含有2

和5以外的質因數,這樣的分數就不能化成有限小數。