1　觀察物體(三)

一、能用小正方體擺出從某一方向觀察看到指定圖形的幾何體。

1.從同一方向觀察不同的幾何體,看到的圖形可能相同。

2.觀察由小正方體搭成的幾何體時,由于前面的小正方體遮擋了后面的小正方體、左面的小正方體遮擋了右面的小正方體、右面的小正方體遮擋了左面的小正方體或者是上面的小正方體遮擋了下面的小正方體,常會漏數被遮擋的小正方體。例如:

圖1是由5個小正方體搭成的,而不是由4個小正方體搭成的;

圖2是由4個小正方體搭成的,而不是由3個小正方體搭成的。

解決此類問題時,一定要具體問題具體分析。

3.在觀察物體時,從正面看可以確定所擺的幾何體有幾層和幾列;從上面看可以確定所擺的幾何體有幾行和幾列;從左面看可以確定所擺的幾何體有幾行和幾層。

二、能根據從不同方向看到的圖形搭出幾何體。

1.從正面、左面和上面看到的圖形確定了,這個幾何體也就確定了。

2.根據從三個不同方向觀察到的圖形還原幾何體,先從上面觀察到的圖形分析確定基本形狀,推測可能出現(xiàn)的各種情況,然后根據從其他兩個方向看到的圖形綜合分析,確定層數和每層小正方體的個數。

3.數組合成幾何體的小正方體的個數時,可以先把這個幾何體分層、分行或分列統(tǒng)計,然后把每一部分的小正方體的個數相加。

溫馨提示:

從不同的方向觀察幾何體,所看到的圖形可能相同,也可能不同。

溫馨提示:

根據從三個不同的方向觀察到的圖形搭成幾何體時,先從上面確定基本形狀,然后從正面和左面確定層數和每層的個數。

易錯點:僅根據從某一方向觀察到的平面圖形,是無法判斷幾何體的擺法的,更無法確定組成這個幾何體的小正方體的個數。

2　因數與倍數

一、理解因數和倍數的意義,掌握找一個數的因數和倍數的方法。

1.在整數除法中,如果商是整數而沒有余數,我們就說被除數是除數的倍數,除數是被除數的因數。如:在算式c÷a=b(a、b、c均是非0自然數)中,a和b是c的因數,c是a和b的倍數。一個數的因數的個數是有限的,其中最小的因數是1,最大的因數是它本身。一個數的倍數的個數是無限的,最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數。

2.找一個數的因數的方法:(1)列乘法算式找,根據因數的意義,有序地寫出兩個整數相乘得此數的所有乘法算式,算式中的每個乘數都是該數的因數。(2)列除法算式找,用此數除以大于等于1而小于它本身的整數,所得的商是整數而無余數,這些除數和商都是該數的因數。以找24的因數為例:

(1)列乘法算式:(2)列除法算式:

24=1×24

24÷1=24

=2×12

24÷2=12

=3×8

24÷3=8

=4×6

24÷4=6

24的因數有1,2,3,4,6,8,12,24。

3.找一個數的倍數的方法:(1)列乘法算式找,用這個數依次與非0自然數相乘,所乘之積就是這個數的倍數。(2)列除法算式找,看哪些數除以這個數,商是整數而無余數,這些數就是這個數的倍數。以找9的倍數為例:

(1)列乘法算式:(2)列除法算式:

9×1=9

9÷9=1

9×2=18

18÷9=2

9×3=27

27÷9=3

9×4=36

36÷9=4

9×5=45

45÷9=5

……

……

9的倍數有9,18,27,36,45……

4.表示一個數的因數和倍數的方法:(1)列舉法;(2)集合表示法。

以表示42的因數為例:

(1)列舉法表示:

42的因數有1,2,3,6,7,14,21,42。

(2)集合表示法:

5.因數與倍數是相互依存的。

二、掌握2、3、5倍數的特征,認識奇數、偶數。

1.自然數中個位上是0,2,4,6,8的數都是2的倍數。整數中,是2的倍數的數叫做偶數(0也是偶數),不是2的倍數的數叫做奇數。

2.個位上是0或5的數都是5的倍數。

3.一個數各個數位上的數字之和是3的倍數,這個數就是3的倍數。

三、理解質數和合數的意義,能正確判斷一個數是質數還是合數,能找出100以內的質數,并熟記20以內的質數。

1.一個數,如果只有1和它本身兩個因數,那么這樣的數叫做質數(或素數)。

一個數,如果除了1和它本身還有別的因數,那么這樣的數叫做合數。

3.1既不是質數,也不是合數。

4.20以內的質數有2,3,5,7,11,13,17,19。

四、和與積的奇偶性。

奇數+奇數=偶數　奇數+偶數=奇數　偶數+偶數=偶數

奇數×奇數=奇數　奇數×偶數=偶數　偶數×偶數=偶數

溫馨提示:

為了方便,在研究因數和倍數的時候,我們所說的數指的是自然數(一般不包括0)。

易錯點:1.2=0.3×4,我們可以說1.2是0.3的4倍,卻不能說1.2是0.3的倍數。倍數是相對于因數而言的,只適用于非0整數。

溫馨提示:

因數和倍數是兩個不同的概念,但又是一對相互依存的概念,不能單獨存在,不能說誰是因數,也不能說誰是倍數,應該說誰是誰的因數或誰是誰的倍數。

易錯點:在24÷3=8中,我們不能說24是倍數,3是因數,而要說24是3的倍數,3是24的因數。

溫馨提示:

1是任何數的因數,一個非0自然數既是它本身的因數,也是它本身的倍數。一個數的倍數的個數是無限的,在寫一個數的倍數時,要在寫出的倍數的后面加省略號。

溫馨提示:

同時是2和3的倍數的特征:個位上是0,2,4,6,8,且各個數位上的數字之和是3的倍數;

同時是3和5的倍數的特征:個位上是0或5的數,各個數位上的數字之和是3的倍數;

同時是2和5的倍數的特征:個位上是0的數;

同時是2、3、5的倍數的特征:個位上是0,且各個數位上的數字之和是3的倍數。

易錯點:判斷質數與合數時,與因數的個數有關;判斷奇數與偶數時,與能否被2整除有關,它們之間沒有必然的聯(lián)系,但有交叉部分,所有的偶數都是合數(2除外);質數與質數的和也有可能是質數,如2+3=5。

3　長方體和正方體

一、認識長方體和正方體的特征及它們的展開圖。

1.長方體是由6個長方形(特殊情況有兩個相對的面是正方形)圍成的立體圖形。在一個長方體中,相對的面完全相同,相對的棱長度相等。長方體有8個頂點,12條棱。

2.相交于同一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。

3.長方體12條棱的長度和叫做長方體的棱長總和。

長方體的棱長總和=4條長+4條寬+4條高=(長+寬+高)×4。

用字母表示:C=(a+b+h)×4。

4.正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形,正方體有8個頂點,12條棱,12條棱的長度都相等。

5.正方體是長、寬、高都相等的長方體,正方體是特殊的長方體。

6.正方體的棱長總和=棱長×12。用字母表示:C=12a。

7.認識長方體和正方體的展開圖。

二、掌握長方體和正方體表面積的計算方法,并能運用所學知識解決一些簡單的實際問題。

1.長方體或正方體6個面的總面積,叫做它的表面積。

2.長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2。

用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。

3.正方體的表面積=棱長×棱長×6。

用字母表示:S=6a2。

4.如果把一個長方體沿一個面截成n塊,就增加了2(n-1)個截面,每個截面的4條棱就是增加的棱,總共增加了8(n-1)條棱。

三、了解體積的意義及計量單位,會進行單位之間的換算。

1.物體所占空間的大小叫做物體的體積。

2.常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米,可以分別寫成cm3、dm3、m3。

3.棱長是1

cm的正方體,體積是1

c;

棱長是1

dm的正方體,體積是1

dm3;

棱長是1

m的正方體,體積是1

m3。

四、掌握長方體和正方體體積的計算,并會運用公式解決實際問題。

1.長方體的體積=長×寬×高。

用字母表示:V=abh。

2.正方體的體積=棱長×棱長×棱長。

用字母表示:V=a3。

3.長方體和正方體體積的統(tǒng)一公式:

長方體和正方體的體積=底面積×高。

用字母表示:V=Sh。

4.體積單位間的進率:

1立方分米=1000立方厘米　　　1立方米=1000立方分米

相鄰的兩個體積單位間的進率是1000。

5.體積單位的換算與以前學過的長度、面積單位的換算方法基本相同,只是相鄰的兩個體積單位間的進率是1000。

6.已知長方體的體積、長、寬、高四個量中的任意三個量,都能求出另一個未知量。

a=V÷b÷h　　b=V÷a÷h　　h=V÷a÷b

五、認識容積的意義及計量單位,會進行容積單位和體積單位的互化。

1.容器所能容納物體的體積,通常叫做它們的容積。

2.計量容積,一般用體積單位。計量液體的體積,如水、油等,常用容積單位升和毫升,也可以寫作L或mL。

3.容積單位的換算:1升=1000毫升

容積單位和體積單位的關系:1升=1立方分米

1毫升=1立方厘米

4.長方體或正方體容器容積的計算方法跟體積的計算方法相同,但要從容器里面量長、寬、高。

六、測量不規(guī)則物體的體積。

測量不規(guī)則物體的體積,通常采用排水法:

1.利用有刻度的量筒或量杯,記錄下放入不規(guī)則物體前后的刻度,上升的那部分水的體積就是不規(guī)則物體的體積。

2.容器內裝滿水,把不規(guī)則物體放進容器里(完全浸沒),溢出的水的體積就是不規(guī)則物體的體積。

七、把棱長為1厘米的小正方體拼成棱長為n厘米的大正方體后涂色,涂色面的規(guī)律是:

1.三面涂色的小正方體的個數=正方體的頂點個數=8;

2.兩面涂色的小正方體的個數=正方體的棱長總數乘棱長減2的差=12×(n-2);

3.一面涂色的小正方體的個數=正方體的面數乘棱長減2的差的平方=6×(n-2)2。

特別注意:

當長方體相對的兩個面是正方形時,其他四個面是大小和形狀完全相同的長方形。

溫馨提示:

長方體的長、寬、高的位置不是固定不變的。長方體的擺法不同,長、寬、高也就不同。

溫馨提示:

長方體的上面和下面、前面和后面、左面和右面分別是相對的面。

溫馨提示:

長方體和正方體的展開圖并不是唯一的,左圖只是其中的一種。

特別注意:

在解決實際生活中有關長方體物品的表面積問題時,首先要根據實際情況確定要求的是哪些面的面積之和。

溫馨提示:

要根據具體情況靈活運用不同的計量單位進行計算,問題的單位和已知條件的單位不統(tǒng)一時,可以先計算,再換算單位;也可以先換算單位,再計算。

特別注意:

有時候可以把物體的橫截面積看作底面積。

溫馨提示:

在同類的計量單位中,較大的單位叫高級單位,較小的單位叫低級單位,高級單位和低級單位是相對而言的。由高級單位換算成低級單位,要乘進率;由低級單位換算成高級單位,要除以進率。

特別注意:

體積和容積是兩個不同的概念,對同一個物體來說,兩者的大小是不同的。

特別注意:

用排水法測量不規(guī)則物體的體積時,不規(guī)則物體必須完全浸入水中,才能測量。

4　分數的意義和性質

一、了解分數的產生,理解分數的意義,明確分數與除法的聯(lián)系。

1.實際生活中,在進行測量、分物或計算時,往往不能正好得到整數的結果,在這種情況下就產生了另一種數——分數。

2.一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體,這個整體可以用自然數1表示,通常把它叫做單位“1”。

3.把單位“1”平均分成若干份,這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。

4.把單位“1”平均分成若干份,表示其中一份的數叫做分數單位。

一個分數的分母是幾,它的分數單位就是幾分之一,分子是幾,它就有幾個這樣的分數單位。

5.兩個數相除,商可以用分數來表示,即被除數÷除數=被除數除數,用字母表示為a÷b=ab(b≠0)。反之,分數也可以看作兩個數相除,分數的分子相當于被除數,分母相當于除數,分數線相當于除號。

6.求一個數是另一個數(0除外)的幾分之幾的問題的解題方法:一個數÷另一個數=一個數另一個數,即比較量÷標準量=比較量標準量,商表示的是兩個數的倍比關系(也可以稱部分與整體的關系),沒有單位名稱。

7.分數不但可以表示部分與整體的關系,還可以表示具體的數量。當分數表示具體的數量時,可以加單位名稱。

二、認識真分數、假分數和帶分數,能把假分數化成帶分數或整數。

1.分子比分母小的分數叫做真分數,真分數小于1。

2.分子比分母大或分子等于分母的分數叫做假分數,假分數大于1或等于1。

3.由整數(0除外)和真分數合成的數叫做帶分數,帶分數大于1。

4.帶分數的讀法:先讀帶分數的整數部分,再讀分數部分,分數部分和整數部分中間加一個“又”字。

5.帶分數的寫法:“又”前面是整數部分,后面是分數部分,先寫整數部分,再寫分數部分。

6.假分數化成整數或帶分數的方法:根據分數與除法的關系,把假分數化成整數或帶分數的方法是用分子除以分母。當分子是分母的整數倍時,能化成整數,商就是這個整數;當分子不是分母的整數倍時,能化成帶分數,商是帶分數的整數部分,余數是分數部分的分子,分母不變。

三、理解并掌握分數的基本性質,會比較分數的大小。

1.分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數(0除外),分數的大小不變,這叫做分數的基本性質。

2.根據分數的基本性質,可以把一個分數化成分母不同而大小不變的分數,也可以把一個分數化成指定分母的分數。

四、理解公因數與最大公因數、公倍數與最小公倍數的意義,能找出兩個數的最大公因數和最小公倍數,能比較熟練地進行通分。

1.幾個數公有的因數,叫做這幾個數的公因數,其中最大的公因數,叫做它們的最大公因數。

2.求兩個數最大公因數的方法:

(1)列舉法:先分別找出兩個數的因數,從中找出公因數,再找出公因數中最大的那個;

(2)篩選法:先找出兩個數中較小數的因數,從中圈出另一個數的因數,再看哪一個最大;

(3)分解質因數法:先把每個數都寫成幾個質因數相乘的形式,再從這些質因數中找出這兩個數公有的質因數,這些公有的質因數的乘積就是這兩個數的最大公因數;

(4)短除法:先把這兩個數公有的質因數按從小到大的順序依次作除數,連續(xù)去除這兩個數,直到得出的兩個商只有公因數1為止,再把所有的除數相乘,所得的積就是這兩個數的最大公因數。以求12和18的最大公因數為例:

12和18的最大公因數是2×3=6。

3.求兩個數的最大公因數的特殊情況:

(1)當兩個數成倍數關系時,較小數就是它們的最大公因數;

(2)當兩個數的公因數只有1時,它們的最大公因數就是1。

4.把一個分數化成和它相等,但分子和分母都比較小的分數,叫做約分。約分依據的是分數的基本性質。

5.分子和分母只有公因數1的分數是最簡分數。約分時,通常要約成最簡分數。

6.幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。

7.求兩個數最小公倍數的方法:

(1)列舉法:先分別找出兩個數的倍數,從中找出公倍數,再找出最小的那個;

(2)篩選法:先找出兩個數中較大數的倍數,從中圈出另一個數的倍數,再看哪一個最小;

(3)分解質因數法:把每個數都寫成幾個質因數相乘的形式,其中相同的質因數與各自獨有質因數的乘積就是這兩個數的最小公倍數;

(4)短除法:先把這兩個數公有的質因數按從小到大的順序依次作除數,連續(xù)去除這兩個數,直到得出的兩個商只有公因數1為止,再把所有的除數和最后所得的商連乘,所得的積就是它們的最小公倍數。以求12和18的最小公倍數為例:

12和18的最小公倍數是2×3×2×3=36。

8.同分母分數、同分子分數的大小比較方法:

(1)分母相同的兩個分數,分子大的分數比較大;

(2)分子相同的兩個分數,分母小的分數反而大。

9.通分的意義及通分的方法:

(1)通分的意義:把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分。

(2)通分的方法:通分時用原分母的公倍數作公分母,為了計算簡便,通常選用它們的最小公倍數作公分母,然后把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。

10.分數的大小比較:

比較異分母分數的大小:先通分化成分母相同的分數,再比較大小。

五、掌握分數與小數的互化方法。

1.小數就是表示十分之幾,百分之幾,千分之幾……的數,所以可以先直接寫成分母是10,100,1000……的分數,再化簡。

2.小數化分數的規(guī)律:一位小數化分數,用10作分母,一位小數去掉小數點作分子;兩位小數化分數,用100作分母,兩位小數去掉小數點作分子……把小數化成分數,能約分的都應約成最簡分數。

3.分數化成小數的方法:

(1)分母是10,100,1000……的分數化成小數,可以直接去掉分母,看分母中有幾個0,有幾個0就在分子中從右邊起向左數出幾位,點上小數點;

(2)分母不是10,100,1000……的分數化成小數,用分子除以分母,除不盡時,要根據需要按“四舍五入”法保留幾位小數。

(3)把帶分數化成小數,方法與上面相同,帶分數的整數部分作為小數的整數部分,分數部分化成小數,作為小數的小數部分。

如125=1+0.4=1.4。

溫馨提示:

把誰平均分,就應該把誰看作單位“1”。

分成若干份是指分成除0以外的任意整數份,分時一定是平均分,只有平均分才可以用分數來表示。

分數與除法之間的聯(lián)系非常緊密,但分數不等同于除法,二者之間有一定的區(qū)別:除法是一種運算,分數是一種數。

特別注意:

因為除法算式中的除數不能為0,所以在分數中分母也不能為0。

溫馨提示:

任何整數(0除外)都可以化成分母是1的假分數。

舉例:

因為13÷4=3……1,所以13÷4=314。

溫馨提示:

分數的基本性質與除法中商不變的規(guī)律類似,要注意不為0的條件。

溫馨提示:

在鋪地磚問題中,要使地面鋪滿且使用的地磚是整塊時,就是求長和寬的公因數,要求地磚的邊長最大是多少,就是求長和寬的最大公因數。

特別注意:

有些實際問題可轉化為求幾個數的公因數,如果題目是求“最長”“最多”等問題,就是求幾個數的最大公因數。

溫馨提示:

每個數的因數的個數是有限的,因此兩個數或多個數的公因數的個數也是有限的。

溫馨提示:

約分的方法:

(1)逐步約分法。用分數的分子和分母的公因數(1除外)逐次去除分子和分母,直到得出一個最簡分數。

(2)一次約分法。用分數的分子和分母的最大公因數去除分子和分母,即可得到最簡分數。

溫馨提示:

公因數只有1的兩個數叫做互質數。

特別注意:

一個數的倍數的個數是無限的,因此兩個數的公倍數的個數也是無限的,只有最小公倍數,沒有最大公倍數。

特別提醒:

利用公倍數和最小公倍數可以解決生活中的很多問題,如學生在排隊的時候,每排5人或6人都正好站完。求一共有多少人,就是求5和6的公倍數;求最少有多少人,就是求5和6的最小公倍數。

特別提醒:

在比較異分母分數的大小時,如果分母較大,且分數的分子較小,這時可以化成同分子分數進行比較。

特別提醒:

分母如果只含有2和5這兩個因數,這樣的分數可以化成有限小數;分母如果含有2

和5以外的質因數,這樣的分數就不能化成有限小數。

5　圖形的運動(三)

一、認識圖形的旋轉,探索圖形旋轉的特征和性質,體會圖形旋轉的基本要素。

1.旋轉的含義:

物體繞某一點或軸運動,這種運動現(xiàn)象稱為旋轉。

2.旋轉的特征:

旋轉中心的位置不變,所有邊旋轉的方向相同,旋轉的角度也相同;旋轉后圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化,只是位置變了。

3.把與鐘表上指針的旋轉方向相同的方向稱為順時針方向,與鐘表上指針的方向相反的方向稱為逆時針方向。

4.圖形旋轉的性質:

圖形繞某一點旋轉一定的度數,圖形中的對應點、對應線段都旋轉相同的度數,對應點到旋轉點的距離相等,對應線段、對應角都分別相等。

5.旋轉的三要素:

(1)旋轉中心:

物體旋轉時所繞的點,也叫旋轉中心。

(2)旋轉方向:

順時針方向或逆時針方向。

(3)旋轉角度:

對應線段的夾角或對應頂點與旋轉點連線的夾角的度數。

6.描述圖形旋轉的方法:

圖形繞哪個點按什么方向轉動了多少度。

二、能在方格紙上進行旋轉作圖。

1.把一個簡單圖形旋轉一定角度的畫法:

(1)找出原圖形的幾個關鍵點所在的位置;

(2)確定關鍵點到旋轉點的距離;

(3)確定關鍵點的對應點,對應點與旋轉點所連線段和相應關鍵點與旋轉點所連線段形成的夾角和旋轉的度數一致,對應點到旋轉點的距離與相應的關鍵點到旋轉點的距離相等;

(4)把描出的對應點按順序連線。

2.圖形旋轉時,它的中心點、角上的點都可以作為旋轉中心,可根據實際需要來選擇。哪一點在旋轉過程中位置沒有改變,就是繞那一點旋轉的。

3.圖形旋轉180度時,順時針和逆時針得到的結果是相同的,所以可以不必注明旋轉方向。

三、在具體的操作過程中探索多個圖形拼組新圖形的運動變化,學會用圖形變換解決實際問題。

1.用平移和旋轉拼組圖形時,先確定原來的每個圖形在拼成的圖形上的位置,再確定每個圖形是如何通過平移或旋轉得到的。

2.在探究圖形的運動時,要多角度思考,圖形的運動有時不只一種形式,有可能是多種運動相結合。

溫馨提示:

把鐘面看作一個圓周,是360度。鐘面上有12個大格,每個大格是360÷12=30(度),也就是說,指針每走1個大格就旋轉了30度。

溫馨提示:

描述物體的旋轉時,一定要說清旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度。旋轉后的圖形與旋轉前的圖形相比較,每條邊、每個點都旋轉了相同的角度,但圖形的大小、形狀都沒有發(fā)生改變。

易錯點:用平移和旋轉拼組圖形時,要先觀察和思考變化前后各部分的位置,再確定位置改變的圖形是如何通過平移或旋轉得到的。

平移作圖:①選好基本圖案;②確定平移的方向;③確定平移的距離;④畫出平移后的圖形。

旋轉作圖:①選好基本圖案;②確定旋轉中心;③確定旋轉角度和方向;④依次畫出每次旋轉后的圖形。

6　分數的加法和減法

一、理解同分母分數加、減法的算理,掌握同分母分數加、減法的計算方法。

1.分數加法的意義:與整數加法的意義相同,就是把兩個數合并成一個數的運算。

2.分數減法的意義:與整數減法的意義相同,就是已知兩個加數的和與其中的一個加數,求另一個加數的運算。

3.分數單位相同,也就是計數單位相同,計數單位相同的數可以直接相加、減。

4.同分母分數加、減法的計算方法:

(1)同分母分數相加,只把分子相加,分母不變。用字母表示是ba+ca=b+ca;

(2)同分母分數相減,只把分子相減,分母不變。用字母表示是ba-ca=b-ca。

二、理解異分母分數加、減法的算理,掌握異分母分數加、減法的計算方法。

1.異分母分數相加、減,先通分,把它們化成同分母分數,再按照同分母分數加、減法的法則進行計算。

2.分子是1的分數相加、減的簡便運算:

(1)1a+1b=a+bab;

如:15+17=5+75×7=1235

(2)1a-1b=b-aab;

如:15-17=7-55×7=235

(分子是1的分數相加、減,如果分母a和b是互質數,那么計算結果一定是最簡分數;如果分母a和b不是互質數,那么計算結果一定不是最簡分數,要約成最簡分數。)

(3)一個分數如果由兩個相鄰自然數的積作分母,1作分子,形如1a(a+1)(a為不等于0的自然數),那么可以把這個分數拆分成1a-1a+1,即1a(a+1)=1a-1a+1.三、掌握分數加減混合運算的運算順序,能正確進行分數加減混合運算。

1.分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的順序相同。有括號的,先算括號里面的,再算括號外面的;沒有括號的,按從左往右的順序依次進行計算。

2.異分母分數的混合運算:

算式中如果沒有括號,幾個分數可以一次通分進行計算,也可以分步通分,分步計算;有括號的,要先將括號里的分數通分,計算出結果,再與括號外面進行計算。

3.一個數連續(xù)減去幾個分數,等于從這個數里減去這幾個分數的和。

4.在有括號的分數加減混合運算中,括號前是減號,去掉括號后,原括號里的加、減運算符號要變成相反的運算符號;減號后加括號,括號里的加、減運算符號也應和原來的運算符號相反。如:

1811-711-38　　　　319-715+715

=1811-711+38

=319-715-715

=1+38

=319-0

=138

=319

5.在計算的過程中,“1”可以化成任意一個在計算中需要的分子和分母相同的分數,最后結果要約成最簡分數。

四、理解整數加法的運算定律對于分數加法同樣適用,并能靈活運用這些運算定律進行一些分數加法的簡便運算。

整數加法的交換律和結合律對于分數加法同樣適用。

溫馨提示:

同分母分數相加、減,分母不變,只把分子相加、減,計算的結果要約成最簡分數。

溫馨提示:

可以用驗算的方法檢驗計算結果是否正確。分數加、減法的驗算方法與整數加、減法的驗算方法相同。

特別提醒:

雖然實際生活中不會有分子是0的情況,但是在計算過程中有時會出現(xiàn)分子是0的情況,分子是0的分數,它的分數值是0。

例如:

15-15=05=0。

特別提醒:

假分數也可以作為分數計算的最后結果,但一定要約成最簡分數。

易錯點:分數加減混合運算的運算順序容易產生錯誤,改變算式的運算順序時,一定要按照運算定律和運算性質進行。

7　折線統(tǒng)計圖

一、認識單式折線統(tǒng)計圖,了解單式折線統(tǒng)計圖的特點,能根據需要用折線統(tǒng)計圖直觀地表示數據。

1.折線統(tǒng)計圖:先用一定的單位長度表示一定的數量,根據數量的多少描出各點,然后把各點用線段順次連接起來。

2.折線統(tǒng)計圖的作用:既可以表示出數量的多少,又能反映出數量的增減變化。

3.繪制折線統(tǒng)計圖的方法:

(1)畫出橫軸和縱軸(補畫統(tǒng)計圖時,此步驟已給出);(2)確定一個單位長度表示數量的多少(補畫統(tǒng)計圖時,此步驟已給出);(3)描點,描點時應注意先找準橫軸上的點,再找準縱軸上相對應的點,過兩點分別作橫軸、縱軸的垂線,兩條垂線的交點就是所要描的點,在交點處點上實心點;(4)用線段順次連接所有點,并標注數據;(5)標注好日期和標題。

4.折線統(tǒng)計圖的應用:

可以根據折線統(tǒng)計圖發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,并進行合理的推測。

二、認識復式折線統(tǒng)計圖,了解復式折線統(tǒng)計圖的特點,能根據需要用復式折線統(tǒng)計圖直觀地表示數據,并能對數據進行簡單的分析。

1.復式折線統(tǒng)計圖:如果在統(tǒng)計過程中存在兩組(或多組)數據,且需要在一幅統(tǒng)計圖中表示出這兩組(或多組)數據,就要用兩種(或多種)不同顏色(或不同形式)的折線來表示不同數量的變化情況,這種統(tǒng)計圖就是復式折線統(tǒng)計圖。

2.復式折線統(tǒng)計圖的特點:復式折線統(tǒng)計圖不但能表示出各組數據的多少,數據的增減變化情況,而且便于比較各組相關數據的差異和變化趨勢。

3.復式折線統(tǒng)計圖的繪制方法:與單式折線統(tǒng)計圖的繪制方法基本相同,只是用不同的折線表示不同的量,需標明圖例。

溫馨提示:

折線統(tǒng)計圖的特點:先根據數量的多少描出各點的位置,然后把各點用線段順次連接起來。觀察折線統(tǒng)計圖,各點反映的是數量的多少,折線反映的是數量的增減變化。在實際問題中,如果需要了解數量的增減變化,選用折線統(tǒng)計圖比較方便。

折線陡,說明數量上升(或下降)得較快;折線平緩,說明數量上升(或下降)得較慢。

連線時要用直尺,且順次連接,不能漏掉點,數據不要寫在折線上。

在表示路程和時間的有關行程問題的折線統(tǒng)計圖中,折線上升,表示向目的地運動;折線處于水平狀態(tài),表示在同一地點停留;折線下降,表示返回出發(fā)地。

復式折線統(tǒng)計圖的最大優(yōu)勢是便于比較兩組數據的變化趨勢,所以看圖時要善于對比觀察。

8　數學廣角——找次品

一、會用天平找次品,掌握“找次品”這類問題的解題方法,尋找解決問題的最優(yōu)方案。

1.在找次品的活動中,可以通過天平演示,也可以不實際稱量,利用天平平衡的原理找出次品。

2.實驗記錄,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

零件個數

分成的份數

每份的數量

保證能找出次品至少需要稱的次數

2,2,2,2

4,4

3,3,2

3.用天平找次品的最優(yōu)策略(稱量次數最少):

(1)把待測物品平均分成3份;

(2)不能平均分時,也應使多的一份與少的一份只相差1,這樣才能使稱量的次數最少。

二、能利用“找次品”的數學方法解決生活中的實際問題。

用天平找次品時,所測物品數目與至少需要稱的次數有以下關系:

要辨別的物品數目

保證能找出次品至少需要稱的次數

2~3

4~9

10~27

28~81

82~243

……

……

溫馨提示:

“保證能”就是指每一條“可能的路徑”都要考慮到,不能停留在“運氣好”的情況。

溫馨提示:

“至少”就是指在保證一定能找出次品的各種方法中,稱量次數最少的那種方法。

特別注意:

在稱量找次品的過程中,有時一次就能找到次品,但這是偶然的情況,不具有一般性。