第27章

相似

一．選擇題（共15小題）

1．已知＝，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

2．若ac＝bd（ac≠0），則下列各式一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

3．勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉，生活中到處可見黃金分割的美．如圖，點C將線段AB分成AC、CB兩部分，且AC＞BC，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．若C是線段AB的黃金分割點，AB＝2，則分割后較短線段長為（）

A．

B．

C．

D．

4．下列四組圖形中，一定相似的是（）

A．正方形與矩形

B．正方形與菱形

C．菱形與菱形

D．正五邊形與正五邊形

5．如果兩個相似多邊形面積的比為1：5，則它們的相似比為（）

A．1：25

B．1：5

C．1：2.5

D．1：

6．如圖，已知在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）

A．5：8

B．3：8

C．3：5

D．2：5

7．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長為（）

A．4

B．5

C．6

D．8

8．如果兩個相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（）

A．1：2

B．1：4

C．1：

D．2：1

9．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動點D從A點出發到B點止，動點E從C點出發到A點止．點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒．如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（）

A．3秒或4.8秒

B．3秒

C．4.5秒

D．4.5秒或4.8秒

10．如圖所示，給出下列條件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD?AB．其中能夠判定△ABC∽△ACD的個數為（）

A．1

B．2

C．3

D．4

11．如圖，在矩形ABCD中，P為BC邊的中點，E、F分別為AB、CD邊上的點，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，則EF的長為（）

A．5

B．2

C．2

D．4

12．如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF＝4：25，則DE：EC＝（）

A．2：5

B．2：3

C．3：5

D．3：2

13．如圖是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖．點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是（）

A．6米

B．8米

C．18米

D．24米

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值為（）

A．

B．

C．

D．3

15．如圖，在直角坐標系中，有兩點A（6，3），B（6，0），以原點O位似中心，相似比為，在第一象限內把線段AB縮小后得到線段CD，則點C的坐標為（）

A．（2，1）

B．（2，0）

C．（3，3）

D．（3，1）

二．填空題（共1小題）

16．利用標桿CD測量建筑物的高度的示意圖如圖所示，使標桿頂端的影子與建筑物頂端的影子恰好落在地面的同一點E．若標桿CD的高為1.5米，測得DE＝2米，BD＝16米，則建筑物的高AB為

米．

三．解答題（共5小題）

17．如圖，在10×10的正方形網格中，點A，B，C，D均在格點上，以點A為位似中心畫四邊形AB′C′D′，使它與四邊形ABCD位似，且相似比為2．

（1）在圖中畫出四邊形AB′C′D′；

（2）填空：△AC′D′是

三角形．

18．如圖，在8×8的網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，△OAB的頂點都在格點上，請在網格中畫出△OAB的一個相似圖形，所畫圖形與△OAB的相似比為2：1．（溫馨提示：畫圖用直尺、鉛筆）

19．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點，（1）求證：AC2＝AB?AD；

（2）求證：CE∥AD；

（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的長．

21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD＝∠B．

（1）求證：AC?CD＝CP?BP；

（2）若AB＝10，BC＝12，當PD∥AB時，求BP的長．

參考答案與試題解析

一．選擇題（共15小題）

1．已知＝，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

【分析】直接利用已知表示出a，b的值，進而得出答案．

【解答】解：∵＝，∴設a＝3x，b＝2x，故＝＝．

故選：C．

2．若ac＝bd（ac≠0），則下列各式一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

【分析】根據比例的性質，兩內項之積等于兩外項之積對各選項分析判斷后利用排除法求．

【解答】解：A、由＝得ad＝bc，故本選項錯誤；

B、由＝得c＝b，故本選項錯誤；

C、由＝得ac＝bd，故本選項正確；

D、由＝得a2c＝bd2，故本選項錯誤．

故選：C．

3．勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉，生活中到處可見黃金分割的美．如圖，點C將線段AB分成AC、CB兩部分，且AC＞BC，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．若C是線段AB的黃金分割點，AB＝2，則分割后較短線段長為（）

A．

B．

C．

D．

【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．

【解答】解：根據黃金分割點的概念得：AC＝AB＝×2＝﹣1，∴BC＝AB﹣AC＝3﹣；

故選：B．

4．下列四組圖形中，一定相似的是（）

A．正方形與矩形

B．正方形與菱形

C．菱形與菱形

D．正五邊形與正五邊形

【分析】根據相似圖形的定義和圖形的性質對每一項進行分析，即可得出一定相似的圖形．

【解答】解：A、正方形與矩形，對應角相等，對應邊不一定成比例，故不符合題意；

B、正方形與菱形，對應邊成比例，對應角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合題意；

C、菱形與菱形，對應邊比值相等，但是對應角不一定相等，故不符合題意；

D、正五邊形與正五邊形，對應角相等，對應邊一定成比例，符合相似的定義，故符合題意．

故選：D．

5．如果兩個相似多邊形面積的比為1：5，則它們的相似比為（）

A．1：25

B．1：5

C．1：2.5

D．1：

【分析】根據相似多邊形的面積的比等于相似比的平方解答．

【解答】解：∵兩個相似多邊形面積的比為1：5，∴它們的相似比為1：．

故選：D．

6．如圖，已知在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）

A．5：8

B．3：8

C．3：5

D．2：5

【分析】先由AD：DB＝3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根據平行線分線段成比例定理，可得CE：AC＝BD：AB，然后由EF∥AB，根據平行線分線段成比例定理，可得CF：CB＝CE：AC，則可求得答案．

【解答】解：∵AD：DB＝3：5，∴BD：AB＝5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．

故選：A．

7．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長為（）

A．4

B．5

C．6

D．8

【分析】由AD∥BE∥CF可得＝，代入可求得EF．

【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝1，BC＝3，DE＝2，∴＝，解得EF＝6，故選：C．

8．如果兩個相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（）

A．1：2

B．1：4

C．1：

D．2：1

【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出．

【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是1：2，∴（1：2）2＝1：4．故選B．

9．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動點D從A點出發到B點止，動點E從C點出發到A點止．點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒．如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（）

A．3秒或4.8秒

B．3秒

C．4.5秒

D．4.5秒或4.8秒

【分析】根據相似三角形的性質，由題意可知有兩種相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求運動的時間是3秒或4.8秒．

【解答】解：根據題意得：設當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是x秒，①若△ADE∽△ABC，則，∴，解得：x＝3；

②若△ADE∽△ACB，則，∴，解得：x＝4.8．

∴當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是3秒或4.8秒．

故選：A．

10．如圖所示，給出下列條件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD?AB．其中能夠判定△ABC∽△ACD的個數為（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】由圖可知△ABC與△ACD中∠A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應邊成比例即可解答．

【解答】解：有三個．

①∠B＝∠ACD，再加上∠A為公共角，可以根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定；

②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A為公共角，可以根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定；

③中∠A不是已知的比例線段的夾角，不正確

④可以根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來判定；

故選：C．

11．如圖，在矩形ABCD中，P為BC邊的中點，E、F分別為AB、CD邊上的點，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，則EF的長為（）

A．5

B．2

C．2

D．4

【分析】利用相似三角形的性質求出BP，PC，再利用勾股定理求出PE，PF即可解決問題．

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠EPB+∠CPF＝90°，∠CPF+∠CFP＝90°，∴∠EPB＝∠CFP，∴△EPB∽△PFC，∴＝，∵PB＝CP，BE＝2，CF＝3，∴BP＝PC＝，∴PE＝＝＝，PF＝＝＝，∴EF＝＝＝5，故選：A．

12．如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF＝4：25，則DE：EC＝（）

A．2：5

B．2：3

C．3：5

D．3：2

【分析】先根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質即可求出

DE：AB的值，由AB＝CD即可得出結論．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝4：25，∴DE：AB＝2：5，∵AB＝CD，∴DE：EC＝2：3．

故選：B．

13．如圖是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖．點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是（）

A．6米

B．8米

C．18米

D．24米

【分析】由已知得△ABP∽△CDP，則根據相似形的性質可得，解答即可．

【解答】解：

由題意知：光線AP與光線PC，∠APB＝∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，∴CD＝＝8（米）．

故選：B．

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值為（）

A．

B．

C．

D．3

【分析】根據射影定理得到：AC2＝AD?AB，把相關線段的長度代入即可求得線段AD的長度．

【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD?AB，又∵AC＝3，AB＝6，∴32＝6AD，則AD＝．

故選：A．

15．如圖，在直角坐標系中，有兩點A（6，3），B（6，0），以原點O位似中心，相似比為，在第一象限內把線段AB縮小后得到線段CD，則點C的坐標為（）

A．（2，1）

B．（2，0）

C．（3，3）

D．（3，1）

【分析】根據位似變換的性質可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根據已知數據可以求出點C的坐標．

【解答】解：由題意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴＝，又OB＝6，AB＝3，∴OD＝2，CD＝1，∴點C的坐標為：（2，1），故選：A．

二．填空題（共1小題）

16．利用標桿CD測量建筑物的高度的示意圖如圖所示，使標桿頂端的影子與建筑物頂端的影子恰好落在地面的同一點E．若標桿CD的高為1.5米，測得DE＝2米，BD＝16米，則建筑物的高AB為　13.5　米．

【分析】根據同一時刻同一地點物高與影長成正比列式求得CD的長即可．

【解答】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴，即，∴AB＝13.5（米）．

故答案為：13.5

三．解答題（共5小題）

17．如圖，在10×10的正方形網格中，點A，B，C，D均在格點上，以點A為位似中心畫四邊形AB′C′D′，使它與四邊形ABCD位似，且相似比為2．

（1）在圖中畫出四邊形AB′C′D′；

（2）填空：△AC′D′是　等腰直角　三角形．

【分析】（1）延長AB到B′，使AB′＝2AB，得到B的對應點B′，同樣得到C、D的對應點C′，D′，再順次連接即可；

（2）利用勾股定理求出AC′2＝42+82＝80，AD′2＝62+22＝40，C′D′2＝62+22＝40，那么AD′＝C′D′，AD′2+C′D′2＝AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．

【解答】解：（1）如圖所示：

（2）∵AC′2＝42+82＝16+64＝80，AD′2＝62+22＝36+4＝40，C′D′2＝62+22＝36+4＝40，∴AD′＝C′D′，AD′2+C′D′2＝AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．

故答案為：等腰直角．

18．如圖，在8×8的網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，△OAB的頂點都在格點上，請在網格中畫出△OAB的一個相似圖形，所畫圖形與△OAB的相似比為2：1．（溫馨提示：畫圖用直尺、鉛筆）

【分析】延長AO、AB到2AO、2AB長度找到各點的對應點，順次連接即可．

【解答】解：延長AO、AB到2AO、2AB長度找到各點的對應點，順次連接．

19．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點，（1）求證：AC2＝AB?AD；

（2）求證：CE∥AD；

（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．

【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC2＝AB?AD；

（2）由E為AB的中點，根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE＝AB＝AE，繼而可證得∠DAC＝∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值．

【解答】（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB?AD；

（2）證明：∵E為AB的中點，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；

（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3，∵AD＝4，∴，∴．

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的長．

【分析】（1）利用對應兩角相等，證明兩個三角形相似△ADF∽△DEC；

（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C．

在△ADF與△DEC中，∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝8．

由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE＝＝＝12．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6．

21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD＝∠B．

（1）求證：AC?CD＝CP?BP；

（2）若AB＝10，BC＝12，當PD∥AB時，求BP的長．

【分析】（1）易證∠APD＝∠B＝∠C，從而可證到△ABP∽△PCD，即可得到＝，即AB?CD＝CP?BP，由AB＝AC即可得到AC?CD＝CP?BP；

（2）由PD∥AB可得∠APD＝∠BAP，即可得到∠BAP＝∠C，從而可證到△BAP∽△BCA，然后運用相似三角形的性質即可求出BP的長．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C．

∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB?CD＝CP?BP．

∵AB＝AC，∴AC?CD＝CP?BP；

（2）如圖，∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP．

∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C．

∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝．

∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝．