第一篇：摩擦力課外拓展課

摩擦力的課外拓展教學(xué)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：知道改變摩擦力大小的方法（重點(diǎn)）。

2、過程與方法：培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

3、情感·態(tài)度·價值觀：培養(yǎng)解決問題的能力。

二、教學(xué)器材：

（1）“甘碧”礦泉水瓶一個，切去上半部分，留下下半部分；（2）普通大米適量；（3）普通筷子一根。

技巧是：在瓶中加滿（過滿）米，用手蓋住杯口，壓緊，然后微張開手指，將筷子插入米中，緩慢提起筷子。實(shí)驗(yàn)成功，轉(zhuǎn)動筷子，杯子和米也不會掉下。

三、教學(xué)過程：

向同學(xué)們表演小魔術(shù)“筷子提米”。將大米導(dǎo)入杯中，將筷子插入米中，提起筷子（顯然是提不起米的），問學(xué)生:為什么提不起？接著再增加適量米，讓杯中米過滿再試一試。自主探究，直到實(shí)驗(yàn)成功。

讓學(xué)生思考三個問題：

1、筷子靠什么力提起米？

2、為什么第一次提不起？

3、為什么第二次提起了？

4、做了怎樣處理？

5、什么原理？

引導(dǎo)學(xué)生（1）對杯（杯和米視為整體）畫圖進(jìn)行受力分析，筷子靠摩擦力提起米。

（2）Ff < G，筷子提不起米。

（3）當(dāng)Ff >G，米被提起。為什么Ff會變大？是改變了那個因素？壓緊米后，再將筷子插入，筷子與米發(fā)生擠壓，米對筷子的壓力增大，從而增大了筷子與米之間的摩擦力。

（4）再問：靜止在空中后，摩擦力與重力什么關(guān)系？

原理揭秘：物體和物體之間有靜摩擦力，當(dāng)物體受力要運(yùn)動時，摩擦力就會以相反方向阻礙物體的運(yùn)動。在實(shí)驗(yàn)中，由于杯子內(nèi)米粒與筷子之間的擠壓，使杯子、筷子和米粒緊緊地?cái)D在一起，這樣杯子、筷子和米粒之間的摩擦力增大。將筷子向上提起，米粒和杯子由于摩擦力的作用阻礙筷子向上運(yùn)動，結(jié)果反而將米粒和杯子一起提了起來。

生活中還有很多關(guān)于摩擦力的應(yīng)用：

1、鞋底探秘

從記事時算起，你穿過的鞋有多少？恐怕你沒有認(rèn)真統(tǒng)計(jì)過吧！這些鞋的鞋底各有什么特色，人們很少去注意．其實(shí)，鞋底也隱藏著許多有趣的物理知識。通過圖片展示所有的平底鞋，鞋底都會有凹凸不平的花紋。

這不是為了美觀，而是為了增大鞋底與地面間的摩擦。讓學(xué)生觀察自己的鞋底。一雙塑料底的棉鞋，鞋底花紋已磨平，冬天穿上這雙棉鞋到冰面上走一走，你就能體會到鞋底有花紋是多么必要。展示一雙田徑鞋，讓學(xué)生觀察它的鞋底。思考：這樣的鞋底設(shè)計(jì)有什么好處？

鞋底的前后掌花紋并不一樣，前掌是鋸齒形花紋，后掌則是粗寬的橫條形花紋。這種特殊的設(shè)計(jì)與田徑運(yùn)動技術(shù)的特點(diǎn)有密切關(guān)系，田徑運(yùn)動員下肢蹬離地面或著地的動作，都和前腳掌與地面的相互作用有關(guān)，它要求鞋底具有良好的抓著力和防滑性能，并且需要鞋底有增大地面對人體運(yùn)動的反作用力的功能等等。田徑鞋前掌的鋸齒形花紋，恰可以滿足上述要求。

例如運(yùn)動員在蹬離地面的瞬間，前腳掌對地面的壓力較大，鞋底的前掌花紋會產(chǎn)生定向傾角，而鋸齒形花紋所產(chǎn)生的定向傾角較小，因此使花紋的彈性形變增大，從而增大了地面對人體運(yùn)動的反作用力。在穿著過程中，鋸齒形花紋可使腳掌的著地面積逐漸增大，使鞋底始終保持較強(qiáng)的抓著力和防滑性能，至于鞋底后掌，在運(yùn)動中受力面積較小，因而壓力就集中，容易磨損。刻上粗寬的橫條形花紋，可以使后掌的面積增大，從而使壓力分散，提高鞋底的耐磨程度。

2、摩擦與自行車

沒有摩擦自行車也就無法存在了。由于存在摩擦，我們才能用螺絲把自行車組裝起來，形成一個完整的、能夠使用的整體。車把套、腳蹬子、輪胎上的花紋都是利用摩擦防止打滑的例子。自行車上的閘也是利用摩擦力剎車的，剎車時閘皮對車輪的壓力增大，同時閘皮與輪子間摩擦力也隨之增大，使車子盡快停下來。

在另外一些情況下，我們不希望有摩擦力。在自行車前軸、中軸、后軸都要加滾珠、潤滑油來減小摩擦力。

按照上述分析問題的方法，你還可以研究一下家里的縫紉機(jī)，還有汽車、拖拉機(jī)等機(jī)械或器械，在構(gòu)造和工作原理上，哪些地方是應(yīng)用摩擦的，哪些地方是需要減小摩擦的。

第二篇：摩擦力課外拓展

一、摩擦小史

人類很早就對摩擦現(xiàn)象有了認(rèn)識并加以利用，許多早期的文獻(xiàn)里，都有把摩擦的影響減至最小的多種嘗試的記載．2000多年前的亞里士多德就已經(jīng)提到摩擦力的概念．但是真正對摩擦進(jìn)行定量的研究，則始于15世紀(jì)的文藝復(fù)興時期．500多年的漫長而曲折的歷史大致可劃分為五個時期來討論．

（一）達(dá)芬奇的早期研究時期

1508年，達(dá)芬奇（1452——1519）使用石頭和木頭開始了對固體摩擦的實(shí)驗(yàn)研究，測量了水平和斜面上物體間的摩擦力，測量了半圓形槽與滾筒間的摩擦，進(jìn)行了表面接觸面積對摩擦阻力影響的實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)了等重物體之間的摩擦力與接觸面積無關(guān)的重要結(jié)論．

達(dá)芬奇首先引入了摩擦系數(shù)的概念．他將該系數(shù)定義為摩擦力和垂直載荷的比值。他的結(jié)論是：“每一個摩擦物體所具有的摩擦阻力等于自身重量的四分之一．”當(dāng)時他使用的材料大多為硬木或鐵與硬木的組合，他的結(jié)論對于這些材料來說還是比較符合實(shí)際的．

達(dá)芬奇還研究了摩擦面間有潤滑油和其它介質(zhì)時對摩擦的影響．他認(rèn)為“所有東西，不管它如何薄，當(dāng)它放入兩個互相摩擦的物體之間時，摩擦都會減少．”

（二）阿蒙頓的進(jìn)一步研究時期

進(jìn)入16世紀(jì)后，由于水力和風(fēng)力能源的廣泛應(yīng)用，機(jī)器大量增加．特別是磨的發(fā)展，大大推進(jìn)了對摩擦的研究．許多科學(xué)家進(jìn)行了各種各樣的摩擦實(shí)驗(yàn)，其中最有成就者當(dāng)推法國實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家阿蒙頓（1663——1705）．作為一個永動機(jī)的積極倡導(dǎo)者，他自然對摩擦產(chǎn)生的損失特別感興趣．他通過多次實(shí)驗(yàn)后，于1699年12月19日向皇家科學(xué)院提交了一分經(jīng)典論文．在文中提出了摩擦力的經(jīng)典規(guī)律，這就是后來人們所熟知的阿蒙頓定律．

①靜摩擦定律：兩接觸物體間的最大靜摩擦力，跟接觸面上的正壓力成正比，并與接觸面的性質(zhì)及狀態(tài)有關(guān)；但與接觸面的面積及形狀無關(guān)．即：f靜＝μ0·N．

②滑動摩擦定律：滑動摩擦力跟摩擦物體接觸面上的正壓力成正比，跟外表的接觸面積無關(guān)．即：f滑＝μ·N．

（三）庫侖對摩擦的總結(jié)時期 進(jìn)入18世紀(jì)的法國，在經(jīng)濟(jì)、軍事、工業(yè)等方面有了很大的發(fā)展．機(jī)器的大量使用，使得機(jī)械的效率和耐磨問題成為了一大難道．為此，巴黎科學(xué)院于1781年以“摩擦定律和繩的倔強(qiáng)性”為題，進(jìn)行了一次有獎競賽．庫侖（1736——1806）研究總結(jié)了達(dá)芬奇和阿蒙頓的實(shí)驗(yàn)和理論之后，又進(jìn)一步做了大量的實(shí)驗(yàn)．最終以《簡單的機(jī)械理論》為題的論文贏得了這次競賽的優(yōu)勝獎，提出了他的摩擦理論——庫侖摩擦定律．

①庫侖摩擦第一定律：摩擦力跟作用在摩擦面上的正壓力成正比，跟外表的接觸面積無關(guān)．這實(shí)際上就是阿蒙頓定律，也就是現(xiàn)在稱謂的靜摩擦定律和滑動摩擦定律．

②庫侖摩擦第二定律：滑動摩擦力和滑動速度大小無關(guān)．

這一結(jié)論，若作為普遍法則是不正確的．實(shí)際上滑動摩擦力和滑動速度的關(guān)系是相當(dāng)復(fù)雜的．

③庫侖摩擦第三定律：最大靜摩擦大于滑動摩擦力，即f靜＞f滑． ④庫侖二項(xiàng)式定律：這是反映摩擦力和負(fù)載之間的關(guān)系．即滑動摩擦力f＝μN(yùn)＋A．

庫侖認(rèn)為“常數(shù)A”跟正壓力的平方根成正比，但它都沒有反映出A的物理意義．這一定律也只適用于干摩擦和邊界摩擦．

庫侖對摩擦的研究，總結(jié)了從達(dá)芬奇到阿蒙頓的理論，提出了他的庫侖摩擦定律．但是，實(shí)際上這些定律只能是經(jīng)典的經(jīng)驗(yàn)公式，對于實(shí)際情況也僅僅是近似的、粗淺的描述．

（四）19世紀(jì)對摩擦的研究時期

19世紀(jì)，隨著蒸汽機(jī)進(jìn)入實(shí)用階段，工業(yè)革命迅速普及，為了防止機(jī)器的高速轉(zhuǎn)動而帶來的軸承燒焦和磨損，潤滑成了這個時期摩擦研究的特征．

1883年，英國的托爾（1845——1904）在研究軸承的潤滑中發(fā)現(xiàn)油膜具有高壓力；同時代的雷諾（1842——1912）根據(jù)托爾的發(fā)現(xiàn)，利用流體力學(xué)的原理，從理論上證明了因旋轉(zhuǎn)而在油膜中產(chǎn)生高壓力的現(xiàn)象，說明了軸與軸承的間隙能支持載荷的道理．

1896年，金斯伯里（1863——1943）證明了用空氣代替潤滑油的設(shè)想，在一次美國軍事系統(tǒng)的展覽會上進(jìn)行了空氣軸承的公開表演．這種軸承后來在高速磨床、高級陀螺儀上得到了廣泛的應(yīng)用．

滑在這一時期，雷尼（1791——1866）、莫倫（1795——1880）等人測定了許多物體間的摩擦系數(shù)，迄今仍在廣泛應(yīng)用．

總之，進(jìn)入19世紀(jì)，由于摩擦的實(shí)驗(yàn)定律大體已確立完畢，只是在研究如何減小摩擦方面進(jìn)行了一系列工作．但仍然沒有對摩擦的物理機(jī)制給以科學(xué)的、滿意的解釋．

（五）從經(jīng)典理論到近現(xiàn)代理論時期

①早在達(dá)芬奇、阿蒙頓、庫侖等人在研究摩擦定律的同時，就對摩擦的物理機(jī)制提出了一個凹凸說．他們認(rèn)為摩擦的根源在于兩表面的凹凸相互嚙合，當(dāng)一個物體在另一個物體表面上滑動時，互相嚙合的凹凸部分，就會相互撞碰，并且被破壞，阻礙物體運(yùn)動，就產(chǎn)生了滑動摩擦．但是這一理論無法解釋為什么表面越光滑，反而摩擦越大，新生成的結(jié)晶表面在空氣中停留時間一長，摩擦系數(shù)會急劇減小等現(xiàn)象的產(chǎn)生．

②1734年，貝薩克利基于光滑鉛柱的粘合實(shí)驗(yàn)，認(rèn)為摩擦的物理機(jī)制在于相互摩擦的表面分子間的相互作用力．因而提出了一種分子說．他預(yù)言：“只要把平面無止境地研磨得很光滑，摩擦遲早會增大的．”這一理論得到了英國物理學(xué)家文斯（1749——1821）的贊同．到了本世紀(jì)還被哈迪的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)．

凹凸說認(rèn)為摩擦源于凹凸體間的相互擠壓、剪切的機(jī)械阻力；而分子說則認(rèn)為摩擦來源于接觸面上晶體分子間電性引力．其是非焦點(diǎn)在于前者認(rèn)為摩擦是凹凸間的斥力，后者認(rèn)為是接觸面間的粘著引力．

③1939年，克拉格爾斯基統(tǒng)一了爭論很久的凹凸說和分子說．認(rèn)為摩擦具有二重性：它不僅要克服兩表面分子相互吸引所決定的作用力，還要克服由于表面粗糙互相嚙合而發(fā)生變形所引起的機(jī)械阻力．從而提出了一套分子—機(jī)械理論學(xué)說．

④1950年，包登等人認(rèn)為兩物體個別接觸區(qū)產(chǎn)生的高壓引起局部熱熔而粘為一體，這樣形成的連結(jié)又因表面相對滑動而剪斷．粘著點(diǎn)的形成和剪斷在接觸表面上交替進(jìn)行，構(gòu)成摩擦的粘著分量；較硬表面的微凸體犁削較軟材料的基體，構(gòu)成摩擦的變形分量．總的摩擦力是二者之和．這種理論被稱為粘著說，被普遍承認(rèn)適用于金屬間的摩擦． ⑤近年來，由于表面技術(shù)加工的發(fā)展，半導(dǎo)體工業(yè)所帶來的高真空、高潔凈環(huán)境技術(shù)的發(fā)展等有利條件，相繼又出現(xiàn)了表面微凸體的塑性作用學(xué)說和熱活化分子動力交換學(xué)說．這些學(xué)說也能在一定范圍內(nèi)說明摩擦所產(chǎn)生的物理機(jī)制． 但是，由于影響摩擦的因素相當(dāng)復(fù)雜，現(xiàn)有的這些學(xué)說都不是包羅萬象的，無法完整和圓滿地將摩擦的物理機(jī)制說清楚．一句話，摩擦的原因到現(xiàn)在還沒有完全研究清楚．

二、力氣大的隊(duì)拔河一定贏嗎？

拔河比賽比的是什么？很多人會說：當(dāng)然是比哪一隊(duì)的力氣大嘍！實(shí)際上，這個問題并不那么簡單。

根據(jù)牛頓第三定律（即當(dāng)物體甲給物體乙一個作用力時，物體乙必然同時給物體甲一個反作用力，作用力與反作用力大小相等，方向相反，且在同一直線上），對于拔河的兩個隊(duì)，甲對乙施加了多大拉力，乙對甲也同時產(chǎn)生一樣大小的拉力。可見，雙方之間的拉力并不是決定勝負(fù)的因素。

對拔河的兩隊(duì)進(jìn)行受力分析就可以知道，只要所受的拉力小于與地面的最大靜摩擦力，就不會被拉動。因此，增大與地面的摩擦力就成了勝負(fù)的關(guān)鍵。首先，穿上鞋底有凹凸花紋的鞋子，能夠增大摩擦系數(shù)，使摩擦力增大；還有就是隊(duì)員的體重越重，對地面的壓力越大，摩擦力也會增大。大人和小孩拔河時，大人很容易獲勝，關(guān)鍵就是由于大人的體重比小孩大。

另外，在拔河比賽中，勝負(fù)在很大程度上還取決于人們的技巧。比如，腳使勁蹬地，在短時間內(nèi)可以對地面產(chǎn)生超過自己體重的壓力。再如，人向后仰，借助對方的拉力來增大對地面的壓力，等等。其目的都是盡量增大地面對腳底的摩擦力，以奪取比賽的勝利。

三、摩擦三兄弟

摩擦三兄弟就是指靜摩擦、滑動摩擦和滾動摩擦，它們都是摩擦家族的成員。

說起摩擦，大家一定不陌生，因?yàn)槟Σ潦俏覀兩钪兴究找姂T的現(xiàn)象，我們每時每刻都在和摩擦打交道。我們走路、吃飯、洗衣服依靠摩擦；各種車輛的行使依靠摩擦，機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)離不開摩擦；就是建造房子也離不開摩擦。

假如沒有了摩擦，世界將會變成什么樣？真是不可想象。可以說，摩擦是我們?nèi)祟愲x不開的好朋友。但是在很多場合，摩擦三兄弟扮演著“不受歡迎”的角色。

在現(xiàn)代汽車中，20％的功率要用來克服摩擦；飛機(jī)上的活塞式發(fā)動機(jī)因摩擦損耗的功率要占10％，就是最先進(jìn)的渦輪噴氣發(fā)動機(jī)也要為克服摩擦損耗2％的功率。世界上有數(shù)以萬計(jì)的汽車、數(shù)以萬架的飛機(jī)，這樣每年要有多少燃料被白白浪費(fèi)掉，真是可惜。

但更為嚴(yán)重的是，摩擦還會造成機(jī)器零部件的磨損。據(jù)報道，英國在這方面損失每年要超過20億美元。摩擦除了導(dǎo)致磨損之外，還會使航空和航天器過度發(fā)熱，這更是現(xiàn)代科技遇到的又一難題。

當(dāng)飛機(jī)著陸的時候，閘閥和閘輪會摩擦產(chǎn)生紅熱現(xiàn)象，這樣的高溫使機(jī)閘材料變軟、變質(zhì)，一幅價格昂貴的閘瓦和閘輪，往往只使用了幾次就報廢了。

當(dāng)宇宙飛船返回地面的時候，由于高速船體與空氣之間的摩擦，會使整個船體成為一個通紅的火球，為了保護(hù)飛船里的宇航員和各種儀器設(shè)備，人們不得不付出昂貴的代價，用耐高溫的特種合金制造船體，并且還在外面加裝了耐高溫材料。

為了能駕馭摩擦，讓摩擦三兄弟為人類更好地服務(wù)，人們一直進(jìn)行著艱苦的研究和探索。早在15世紀(jì)，達(dá)·芬奇就開始了對摩擦的研究。到17、18世紀(jì)，法國形成了一股摩擦研究熱，庫侖根據(jù)達(dá)·芬奇的想法完成了摩擦起因的凹凸說。到了18世紀(jì)上半葉，有人又創(chuàng)立了分子說。進(jìn)入20世紀(jì)后又出現(xiàn)了粘合說。

可以說有關(guān)摩擦起因的爭論還在進(jìn)行著，凹凸說、分子說和粘合說都持之有理，言之有據(jù)，究竟怎樣圓滿地解釋摩擦的起因，還一直是一個很活躍的研究課題。

四、摩擦力的本質(zhì)

兩個物體接觸，接觸面越平滑摩擦力越小”的觀點(diǎn)是否正確呢，首先探究一下摩擦力的本質(zhì)：

1．凹凸嚙合說．是從15世紀(jì)至18世紀(jì)，科學(xué)家們提出的一種關(guān)于摩擦本質(zhì)的理論，嚙合說認(rèn)為摩擦是由于互相接觸的物體表面粗糙不平產(chǎn)生的．兩個物體接觸擠壓時，接觸面上很多凹凸部分就相互嚙合．如果一個物體沿接觸面滑動，兩個接觸面的凸起部分相碰撞，產(chǎn)生斷裂、摩損，就形成了對運(yùn)動的阻礙．  2．粘附說．這是繼凹凸嚙合說之后的一種關(guān)于摩擦本質(zhì)的理論．最早由英國學(xué)者德薩左利厄斯于1734年提出，他認(rèn)為兩個表面拋得很光的金屬，摩擦?xí)龃螅梢杂脙蓚€物體的表面充分接觸時它們的分子引力將增大來解釋．

上世紀(jì)以來，隨著工業(yè)和技術(shù)的發(fā)展，對摩擦理論的研究進(jìn)一步深入，到上世紀(jì)中期，誕生了新的摩擦粘附論．

新的摩擦粘附論認(rèn)為，兩個互相接觸的表面，無論做得多么光滑，從原子尺度看還是粗糙的，有許多微小的凸起，把這樣的兩個表面放在一起，微凸起的頂部發(fā)生接觸，微凸起之外的部分接觸面間有10-8 m或更大的間隙．這樣，接觸的微凸起的頂部承受了接觸面上的法向壓力．如果這個壓力很小，微凸起的頂部發(fā)生彈性形變；如果法向壓力較大，超過某一數(shù)值（每個凸起上約千分之幾牛頓），超過材料的彈性限度，微凸起的頂部便發(fā)生塑性形變，被壓成平頂，這時互相接觸的兩個物體之間距離變小到分子（原子）引力發(fā)生作用的范圍，于是，兩個緊壓著的接觸面上產(chǎn)生了原子性粘合．這時要使兩個彼比接觸的表面發(fā)生相對滑動，必須對其中的一個表面施加一個切向力，來克服分子（原子）間的引力，剪斷實(shí)際接觸區(qū)生成的接點(diǎn)，這就產(chǎn)生了摩擦．

在現(xiàn)代摩擦理論中，還加進(jìn)了靜電作用。光滑表面摩擦過程中可能帶上異號電荷，它們之間的靜電作用，也是摩擦力的一個原因。

綜上所述，摩擦現(xiàn)象的機(jī)理是復(fù)雜的，是必須在分子尺度內(nèi)才能加以說明的。由于分子力的電磁本性，摩擦力說到底也是由于電磁相互作用引起的。

上述理論，已經(jīng)否定了“物體表面越光滑，摩擦力越小”的說法。在非常平滑的物體表面之間，摩擦力是存在的。老師在教學(xué)中經(jīng)常使用“表面光滑”，其含義是指無摩擦或摩擦因數(shù)等于零的表面，即沒有摩擦力。這是教學(xué)中的一種約定，而并非真的是說兩個表面光滑。在平玻璃板上推木塊很容易，而在平玻璃板上推與木塊相同質(zhì)量的玻璃時就不容易了，這說明摩擦力增大了。

第三篇：課外拓展

課外拓展

進(jìn)貨次數(shù)問題探討

題目 某公司某年需要某種計(jì)算機(jī)元件8000個，在一年內(nèi)連續(xù)作業(yè)組裝成整機(jī)賣出（每天需同樣多的元件用手組裝，并隨時運(yùn)出整機(jī)至市場），該元件向外購買進(jìn)貨，每次（不論購買多少件）須花手續(xù)費(fèi)500元，如一次進(jìn)貨，可少花手續(xù)費(fèi)，但8000個元件的保管費(fèi)很可觀，如果多次進(jìn)貨，手續(xù)費(fèi)多了，但可節(jié)省保管費(fèi)，請你幫該公司出個主意，每年進(jìn)貨幾次為宜，該公司的庫存保管費(fèi)可按下述方法計(jì)算：每個元件每年2元，并可按比例折算成更短的時間：如每個元件保管一天的費(fèi)用為件的買價、運(yùn)輸費(fèi)及其他費(fèi)用假設(shè)為一常數(shù)．

元（一年按360天計(jì)算）．每個元解： 設(shè)購進(jìn)8000個元件的總費(fèi)用為F，一年總保管費(fèi)為E，手續(xù)費(fèi)為H，元件買價、運(yùn)輸費(fèi)及其他費(fèi)用為C（C為常數(shù)），則 F=E＋H＋C.如果每年進(jìn)貨n次，則每次進(jìn)貨個，用完這些元件的時間是年．進(jìn)貨后，因連續(xù)作業(yè)組裝，一年后保管數(shù)量只有（－a）個（a為一天所需元件），兩天后只有（－2a）個，……，因此年中個元件的保管費(fèi)可按平均數(shù)計(jì)算，即相當(dāng)于個保管了年，每個元件保管年須元，在這年中個元件的保管費(fèi)為.每進(jìn)貨一次，花保管費(fèi)En元，一共n次，故

當(dāng)且僅當(dāng)為宜．

=n·500，即n=4時，總費(fèi)用最少，故以每年進(jìn)貨4次說明： 這道尋求最佳進(jìn)貨次數(shù)的問題，是北京市首屆“方正杯”中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽初賽試題（1993.11），求解的關(guān)鍵數(shù)學(xué)知識是“的極小值是”.周知識概述

本周學(xué)習(xí)第六章不等式的性質(zhì)和算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)兩部分內(nèi)容，前一部分中，主要用于講述實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和大小順序之間的關(guān)系，從而掌握比較兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的方法；在此基礎(chǔ)上，給出了不等式的性質(zhì)，一共講了五個定理和三個推論，并給出了證明．不等式的其他性質(zhì)都可由它們推導(dǎo)出來．第二部分中課本首先證明了一個重要的不等式a＋b≥2ab，通過這一公式，得出了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理．利用均值不等式求函數(shù)的最值問題，這是均值不等式的一個重要應(yīng)用。最后通過例題，說明此定理在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的應(yīng)用.二、重難點(diǎn)知識選講

1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系

不等式的等價性：兩個實(shí)數(shù)、b比較大小，有大于、等于、小于之別，且有，（1）＞b －b＞0；（2）=b

－b=0；（3）＜b

－b＜0.2

2等價符號左邊不等式反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，右邊不等式反映的則是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合起來就成為實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，它是不等式這一章的理論基礎(chǔ)，是不等式性質(zhì)的證明，證明不等式以及解不等式的主要依據(jù).本周學(xué)習(xí)的另一重點(diǎn)是用作差法比較兩實(shí)數(shù)的大小.用作差法比較兩實(shí)數(shù)的大小，其步驟為①作差；②變形；③判斷差的正負(fù)．在解題中應(yīng)加強(qiáng)化歸意識，把比較大小與實(shí)數(shù)減法運(yùn)算聯(lián)系起來，利用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決比較大小的問題.例

1、已知，b∈R+ ,求證：[分析與解答] 分析：

比較兩個實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.證明此題要注意分類討論。證明：nn

＋b≥

nn-

1b＋b

n-1

．（nN）

＋b －(nn-1b＋b)=(n-1n-1

－b)－b（n-1n-1

－b)=(－b)（n-1n-1

－b)

n-1 若＞b

若=b(－b)(n-1－b)=0.若＜bn-1

綜上,≥O,即

n

＋b

－(n-1b＋b n-1)≥O∴

nn

＋b ≥

nn-1

b＋b ．

n-1小結(jié)： 比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號．變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.2、不等式的性質(zhì)、推論及證明

不等式的五個性質(zhì)和三個推論是不等式這一章的理論依據(jù)。

（1）＞b

（3）＞bb＜；（反身性）

（2）＞b，b＞c

＞c；（傳遞性）

＋c＞b＋c；（兩邊同加數(shù)號不變）；推論：移項(xiàng)法則.（4）；（兩邊同乘正數(shù)號不變）；

（5）；（兩邊同乘負(fù)數(shù)號改變）；推論：去系數(shù)法則.（6）；（同向相加）（7）；（異向相減）

（8）；（同向相乘）

（9）；（異向相除）

（10）＞b（倒數(shù)關(guān)系）

（11）＞b＞0n＞b n（nN+）；（不等式的冪）

（12）＞b＞0

2（nN+）；（不等式的方根）

例

2、已知f(x)=px－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍.[分析與解答] 分析：

本題可考慮將f(3)寫成f(1)，f(2)的線性組合，即f(3)=mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的運(yùn)算性質(zhì)推算f(3)的取值范圍.解答：依題意，有

點(diǎn)評：

（1）這種類型題目常見的錯誤是：

由，加減消元得0≤p≤3，1≤q≤7，從而得－7≤f(3)＝9p－q≤26，事實(shí)上，f(3)不可能取到[－7，26]上的一切值.p，q是兩個相互聯(lián)系，相互制約的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味著p、q可以獨(dú)立地取得區(qū)間[0，3]及[1，7]上的一切值，例如p=0，q=7時，p－q=－7已不滿足－4≤p－q≤－1.（2）依不等式的性質(zhì)求變量的范圍是一種常見的題型，變形不等式時要防止擴(kuò)大了變量的范圍.例

3、（1）已知30

[分析與解答] 分析：（1）同向不等式不能相除，應(yīng)先求出的取值范圍.（2）注意運(yùn)用取倒法則，優(yōu)化解題過程.解：

（1）

（2）．

小結(jié)：不等式的性質(zhì)中講了加法和乘法運(yùn)算，對于減法和除法必須轉(zhuǎn)化為加法和乘法來運(yùn)算，千萬不能把等式的減、除法運(yùn)算平移到不等式的運(yùn)算中來.3、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

若a、b∈R，那么a＋b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）通常稱為重要不等式．兩正數(shù)a，b的算術(shù)平22均數(shù)，幾何平均數(shù)，平方平均數(shù)，調(diào)和平均數(shù)的大小關(guān)系為H≤G≤A≤Q（等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取得），這也稱作均值不等式.運(yùn)用重要不等式和均值不等式，可以比較大小，證明不等式，求最值．

基本不等式有：

①，；

②，；

③，；

④，；

⑤，；

⑥，.例

4、已知a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c=1，求證：

[分析與解答] 分析：

在不等式證明中，幾個正數(shù)的和為1，常常作為條件出現(xiàn)在題設(shè)，這時用好這個“1”常常成為解題的關(guān)鍵.證明：

（1）∵ a＋b＋c=1，且a＋b＋c∈R.＋

＋

（2）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.（3）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.＋

小結(jié)：

以上各小題在證題過程中，或是將分子的1看作a＋b＋c，然后拆項(xiàng)，或是將原代數(shù)式乘以一個值為1 的因式（a＋b＋c）以利用整理變形，這些常用的“1”的變換技巧很重要.2利用基本不等式求最值：

①當(dāng)成立； ③若時，不等式為定值，不等式即為

成立； ②當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)

時，不等式時，有最小值

中，“等號”；

④若為定值，不等式即為，當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值；

注：以上簡稱“和小積大”；有否最值的關(guān)鍵為是否有定值，且當(dāng)時，能否求出解來.例

5、已知a，b為正數(shù)，且，求的最大值以及達(dá)到最大值時a，b的值.[分析與解答] 分析：

分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系是非常重要的解題步驟.本題條件，結(jié)論的最大值，所以必須把結(jié)論中a進(jìn)入根號內(nèi)，即是用條件的第一步，而條件中的的b系數(shù)為，還得繼續(xù)變換結(jié)論解析式的形式，即：，再用均值不等式就完成了這一轉(zhuǎn)化過程.解答：∵a，b為正數(shù).當(dāng)時，即時取等號.∴ 當(dāng)時，的最大值為

點(diǎn)評：在求解過程中，不要急于運(yùn)用均值不等式，使解答陷入僵局．

例

6、如圖所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a，b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A、B孔的面積忽略不計(jì)）

[分析與解答] 析：

先由面積列出a，b的方程，由題意將問題轉(zhuǎn)化為使ab取最大值時a、b的值.解法一：

依題意，即所求的a，b值使ab最大.由題設(shè)知 4b＋2ab＋2a=60（a>0，b>0）

即 a＋2b＋ab=30（a>0，b>0）

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時，上式取等號.

第四篇：課外拓展

九年級（上）科學(xué)第三章第5節(jié) 物體的內(nèi)能

班級 學(xué)號 姓名

【閱讀與思考】

1、大型飛機(jī)在空中飛行時，為了使機(jī)艙內(nèi)空氣清新，必須用空氣壓縮機(jī)把空氣從艙外壓進(jìn)來。雖然艙外空氣溫度一般低于零下40℃，但壓縮機(jī)把空氣壓入艙內(nèi)過程中，氣體的溫度可達(dá)50℃以上，其原因是 對 做功，使 能轉(zhuǎn)化為 能。為了確保艙內(nèi)氣溫適宜，飛機(jī)上同時還使用空調(diào)，空調(diào)的作用是（填降溫或升溫）。如果高壓機(jī)艙出現(xiàn)裂縫，在高壓氣體向外噴射的過程中，艙內(nèi)氣體的溫度將（下降或升高），原因是。

2、火箭發(fā)動機(jī)工作時，燃料在氧化劑的作用下在燃燒室里燃燒，產(chǎn)生高溫燃?xì)猓細(xì)馔ㄟ^噴管向后高速噴出，對火箭產(chǎn)生推力，把火箭發(fā)射出去。請分析火箭發(fā)射過程中的能量轉(zhuǎn)化。

【課外拓展】

1、熱機(jī)是一種重要的動力機(jī)械。現(xiàn)代的各種交通工具，如汽車、火車、飛機(jī)、火箭等都是以熱機(jī)作動力的。火力發(fā)電設(shè)備也主要是利用熱機(jī)做動力。燃料直接在發(fā)動機(jī)氣缸內(nèi)燃燒產(chǎn)生動力的熱機(jī)，叫內(nèi)燃機(jī)。常用的有汽油機(jī)和柴油機(jī)。請你課外通過查找資料了解汽油機(jī)和柴油機(jī)是什么時候又是怎樣點(diǎn)火的？

2、有這樣一道駕駛員考試題：“壓縮氣體遇燃燒、爆炸等險情時，應(yīng)向氣瓶覆蓋沙土，并及時將氣瓶移出危險區(qū)域。”請你判斷這種做法是否正確，如若不對，請說明正確的救險方法。

3、請你設(shè)計(jì)一款新型打氣筒使它能達(dá)到括號內(nèi)的一個或多個目的（使用更方便、更輕便、更牢固、使用壽命更長、效率更高、能顯示氣壓、功能更多）

第五篇：課外拓展

數(shù)學(xué)家·韋達(dá)

韋達(dá)定理簡史

法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間存在著關(guān)系。他不僅發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，而且發(fā)現(xiàn)了一元n次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：

如果一元n次方程

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0

的n個根是x1, x2, …, xn, 那么

人們?yōu)榱思o(jì)念他，把這個關(guān)系稱為韋達(dá)定理。

課本上講的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，就是上述定理在n=2時的情況。

韋達(dá)，(Fran?ois Viète,1540-1603)1540年生于法國普瓦圖地區(qū)[Poitou,今旺代省的豐特奈-勒孔特(Fontenay.-le-Comte)];1603年12月13日卒于巴黎。

韋達(dá)是法國十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。《分析方法入門》是韋達(dá)最重要的代數(shù)著作，他引入字母來表示量，并將這種代數(shù)稱為“類的運(yùn)算”以此區(qū)別于用來確定數(shù)目的“數(shù)的運(yùn)算”。當(dāng)韋達(dá)提出類的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別時，就已規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界。這樣，代數(shù)就成為研究一般的類和方程的學(xué)問，這種革新被認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上的重要進(jìn)步，它為代數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了道路，因此韋達(dá)被西方稱為“代數(shù)學(xué)之父”。

他對數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)很大，而其中一成就是記載了著名的韋達(dá)定理，即方程的根與系數(shù)的關(guān)系式。