第一篇：第二章導數與微分總結

第二章 導數與微分總結

一、導數與微分概念

1．導數的定義

設函數y?f?x?在點x0的某領域內有定義，自變量x在x0處有增量?x，相應地函數增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果極限

limf?x0??x??f?x0??y ?lim?x?0?x?x?0?x，存在，則稱此極限值為函數f?x?在x0處的導數（也稱微商），記作f??x0?，或y?x?x0df?x?dy，等，并稱函數y?f?x?在點x0處可導。如果上面的極限不存在，x?xx?xdxdx00則稱函數y?f?x?在點x0處不可導。

導數定義的另一等價形式，令x?x0??x，?x?x?x0，則f??x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?x

我們也引進單側導數概念。

右導數：f???x0??lim?x?x0

左導數：f???x0??lim?x?x0

則有

f?x?在點x0處可導?f?x?在點x0處左、右導數皆存在且相等。

2．導數的幾何意義與物理意義

如果函數y?f?x?在點x0處導數f??x0?存在，則在幾何上f??x0?表示曲線y?f?x?在點?x0,f?x0??處的切線的斜率。

切線方程：y?f?x0??f??x0??x?x0?

法線方程：y?f?x0???1?x?x0??f??x0??0? f??x0?

設物體作直線運動時路程S與時間t的函數關系為S?f?t?，如果f??t0?存在，則f??t0?表示物體在時刻t0時的瞬時速度。

3．函數的可導性與連續性之間的關系

如果函數y?f?x?在點x0處可導，則f?x?在點x0處一定連續，反之不然，即函數y?f?x?在點x0處連續，卻不一定在點x0處可導。例如，y?f?x??x，在x0?0處連續，卻不可導。

4．微分的定義

設函數y?f?x?在點x0處有增量?x時，如果函數的增量?y?f?x0??x??f?x0?有下面的表達式

?y?A?x0??x?o??x?

??x?0?

其中A?x0?為?x為無關，o??x?是?x?0時比?x高階的無窮小，則稱f?x?在x0處可微，并把?y中的主要線性部分A?x0??x稱為f?x?在x0處的微分，記以dy或

x?x0df?x?x?x0。

我們定義自變量的微分dx就是?x。

5．微分的幾何意義

?y?f?x0??x??f?x0?是曲線y?f?x?在點x0處相應于自變量增量?x的縱坐標f?x0?的增量，微分dy增量（見圖）。x?x0是曲線y?f?x?在點M0?x0,f?x0??處切線的縱坐標相應的6．可微與可導的關系

f?x?在x0處可微?f?x?在x0處可導。

且dyx?x0?A?x0??x?f??x0?dx

一般地，y?f?x?則dy?f??x?dx

所以導數f??x??dy也稱為微商，就是微分之商的含義。dx

7．高階導數的概念

如果函數y?f?x?的導數y??f??x?在點x0處仍是可導的，則把y??f??x?在點x0處

d2y的導數稱為y?f?x?在點x0處的二階導數，記以y??，或f???x0?，或等，x?x0dx2x?x0也稱f?x?在點x0處二階可導。

如果y?f?x?的n?1階導數的導數存在，稱為y?f?x?的n階導數，記以y?n?，dnyy?x?，n等，這時也稱y?f?x?是n階可導。

dx?n?

二、導數與微分計算

1．導數與微分表（略）

2．導數與微分的運算法則

（1）四則運算求導和微分公式

[f1f2]?f1f2?f1f2

[f1f2f3]?f1f2f3?f1f2f3?f1f2f3 '''''''f'f'g?fg'

()? 2gg

（2）反函數求導公式

設y?f(x)的反函數為x?g(y)，則g(y)?

（3）復合函數求導和微分公式

設y?f(u),u?g(x)，則

（4）隱函數求導法則

每一次對x求導，把y看作中間變量，然后解出y

例：ex?y''11? ''f(x)f[g(y)]dydydu??f'[g(x)]g'(x)dxdudx?sin(3x?2y)?5x?6y?7，確定y?y(x)，求y'

解：兩邊每一項對x求導，把y看作中間變量

ex?y(1?y')?[cos(3x?2y)](3?2y')?5?6y'?0

'

然后把y解出來

（5）對數求導法

取對數后，用隱函數求導法則

y?

lny?

求導得

(x?1)(x?2)

(x?3)(x?4)1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)] 2y'11111?(???)y2x?1x?2x?3x?4

解出y'

y?xxx?0

xlnx

y?e 解出y'

lny?xlnx

y'?lnx?1解出y' y

（6）用參數表示函數的求導公式

dydydt?'(t)設x??(t),y??(t),則??dxdx?'(t)dt

(?'(t)?0)

第二篇：導數與微分(教案)

重慶工商大學融智學院

《微積分》教案

（上冊）

章節名稱： 第三章導數與微分 主講教師： 聯系方式：

岳斯瑋 ***

《微積分》（上冊）教案

第三章 導數與微分

本章教學目標與要求

理解導數的概念，會利用導數定義求導數。了解導數的物理意義（速度），幾何意義（切線的斜率）和經濟意義（邊際），掌握基本初等函數的導數公式，導數的四則運算法則，復合函數求導法則。掌握反函數和隱函數求導法，對數求導法。理解可導性與連續性的關系。了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。理解微分的概念，導數與微分之間的關系，以及一階微分形式的不變性，會求函數的微分。了解導數在經濟中的應用

本章教學重點與難點

1．導數概念及其求導法則； 2．隱函數的導數； 3．復合函數求導；

4．微分的概念，可微和可導的關系，微分的計算

§3.1 導數的概念

教學目的與要求

1.理解函數導數的概念及其幾何意義.2.掌握基本初等函數的導數，會求平面曲線的切線和法線.3.了解導數與導函數的區別和聯系.4.理解左右導數的概念、可導與連續的關系.教學重點與難點

1.函數導數的概念、基本初等函數的導數

2.函數導數的概念、利用定義求函數在某一點的導數

教學過程

一、引例

導數的思想最初是由法國數學家費馬(Fermat)為研究極值問題而引入的，但與導數概念直接相聯系的是以下兩個問題：已知運動規律求速度和已知曲線求它的切線．這是由英國數學家牛頓(Newton)和德國數學家萊布尼茨(Leibniz)分別在研究力學和幾何學過程中建立起來的．

下面我們以這兩個問題為背景引入導數的概念．

《微積分》（上冊）教案

1．瞬時速度

思考：已知一質點的運動規律為s?s(t)，t0為某一確定時刻，求質點在t0時刻的速度。在中學里我們學過平均速度

?s，平均速度只能使我們對物體在一段時間內的運動大致?t情況有個了解，這不但對于火箭發射控制不夠，就是對于比火箭速度慢的多的火車、汽車運行情況也是不夠的，火車上坡、下坡、轉彎、穿隧道時速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飛行速度的變化規律.不過瞬時速度的概念并不神秘，它可以通過平均速度的概念來把握.根據牛頓第一運動定理，物體運動具有慣性，不管它的速度變化多么快，在一段充分短的時間內，它的速度變化總是不大的，可以近似看成勻速運動.通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”.設質點運動的路程是時間的函數 s(t)，則質點在 t0到 t0??t 這段時間內的平均速度為

v?s(t0??t)?s(t0)

?t可以看出它是質點在時刻t0速度的一個近似值，?t越小，平均速度 v 與 t0時刻的瞬時速度越接近.故當?t?0時，平均速度v就發生了一個質的飛躍，平均速度轉化為物體在t0時刻的瞬時速度，即物體在 t0時刻的瞬時速度為

v?limv?lim?t?0_s(t0??t)?s(t0)（1）

?t?0?t思考：按照這種思想和方法如何計算自由落體的瞬時速度？ 因為自由落體運動的運動方程為：

s?12gt，2按照上面的公式，可知自由落體運動在t0時刻的瞬時速度為

112g(t0??t)2?gt0s(t??t)?s(t0)12v(t0)?lim0?lim2?lim(gt0?g?t)?gt0。?t?0?t?0?t?00?t?t2這正是我們高中物理上自由落體運動的速度公式.2．切線的斜率

思考：圓的的切線的定義是什么？這個定義適用于一般的切線嗎？

引導學生得出答案：與圓只有一個交點的直線叫做圓的切線，但這個定義只適用于圓周曲線，并不適用于一般的曲線.因此，曲線的某一點的切線應重新定義.（1）切線的概念

《微積分》（上冊）教案

曲線C上一點M的切線的是指：在M外另取C上的一點N，作割線MN，當點N沿曲線C趨向點M時，如果割線MN繞點M轉動而趨向極限位置MT，直線MT就叫做曲線C在點M處的切線。簡單說：切線是割線的極限位置。這里的極限位置的含義是：只要弦長MN趨于0，?NMT也趨向于0.（如圖所示）

（2）求切線的斜率

設曲線C為函數y?f(x)的圖形，M(x0,y0)?C，則y0?f(x0)，點N(x0??x,y0??y)為曲線C上一動點，割線MN的斜率為：

?yf(x0??x)?f(x0)??x?x根據切線的定義可知，當點N沿曲線C趨于M時，即?x?0，割線的斜率趨向于切線的tan??斜率。也就是說，如果?x?0時，上式的極限存在，則此極限便為切線的斜率記為k，即

k?tan??limf(x0??x)?f(x0)?y

（2）?lim?x?0?x?x?0?x3.邊際成本

設某產品的成本C是產量x的函數C?C(x)，試確定產量為x0個單位時的邊際成本。用前兩例類似的方法處理得：

?CC(x0??x)?C(x0)表示由產量x0變到x0??x時的平均成本，如果極限 ??x?x?CC(x0??x)?C(x0)

（3）

lim??x?0?x?x存在，則此極限就表示產量為x0個單位時成本的變化率或邊際成本。

思考：上述三個問題的結果有沒有共同點？

上述兩問題中，第一個是物理學的問題，第二個是幾何學問題，第三個是經濟學問題，分屬不同的學科，但問題都歸結到求形如

lim

?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x68

《微積分》（上冊）教案 的極限問題.事實上，在學習物理學時會發現，在計算諸如物質比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都歸化為討論形如（4）的極限問題.為了統一解決這些問題，引進“導數”的概念.二、導數的定義

1．導數的概念

定義

設函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，當自變量x在點x0處取得增量?x（點x0??x仍在該鄰域內）時，函數相應地取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)，如果極限

f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?xlim存在，則這個極限叫做函數f(x)在點x0處的導數，記為

y'?x?x0,f(x0),dydxx?x0或df(x)dxx?x0

當函數f(x)在點x0處的導數存在時，就說函數f(x)在點x0處可導，否則就說f(x)在點x0處不可導.特別地，當?x?0時，點x0處的導數為無窮大.關于導數有幾點說明：

（1）導數除了定義中的形式外，也可以取不同的形式，常見的有

?y??，為了方便起見，有時就說y?f(x)在?xf?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)

hf(x)?f(x0)

x?x0f?(x0)?lim（2）

x?x0?yf(x0??x)?f(x0)反映是自變量 x 從x0改變到x0??x時，函數f(x)的??x?x?y'平均變化速度，稱為函數f(x)的平均變化率；而導數f(x0)?lim反映的是函數f(x)?x?0?x在點x0處的變化速度，稱為函數f(x)在點x0處的變化率。

2．導函數的概念

《微積分》（上冊）教案

上面講的是函數在某一點處可導，如果函數y?f(x)在開區間I的每一點都可導，就稱函數y?f(x)在開區間I上可導，這時，?x?I，都對應f(x)的一個確定的導數值，就構成一個新的函數，這個函數叫做y?f(x)的導函數，記作：

y',f'(x),即，導函數的定義式為：

dydf(x)。或dxdxf(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x)或f?(x)?lim.?x?0h?0?xh在這兩個式子中，x可以取區間I的任意數，然而在極限過程中，x是常量，?x或h才y??lim是變量；并且導數f(x0)恰是導函數f(x)在點x0處的函數值.''3.單側導數的概念

我們知道在極限有左、右極限之分，而導數實質是一個“比值”的極限。因此，根據左右極限的定義，不難得出函數左右導數的概念。

定義

極限lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)和lim?分別叫做函數?x?0?x?xf(x)在點x0處的左導數和右導數，記為f??(x0)和f??(x0).如同左、右極限與極限之間的關系，顯然：

函數f(x)在點x0處可導的充分必要條件是左導數f??(x0)和右導數f??(x0)都存在并且相等.還應說明：如果f(x)在開區間(a,b)上可導，且f??(a)和f??(b)都存在，就說f(x)在閉區間[a,b]上可導.三、按定義求導數舉例

1．根據定義求函數的導數的步驟

根據導數的定義可以總結出求函數某一點的步驟為： ① 求增量：?y?f(x??x)?f(x)

?yf(x??x)?f(x)??x?x?y③ 求極限：y??lim

?x?0?x2．運用舉例 ② 算比值： 70

《微積分》（上冊）教案

例

1求y?C的導數（C為常數）.解 求增量?y?C?C?0

?y?0 ?x?y取極限

lim?0

?x?0?x作比值

所以

(C)?0

即常量的導數等于零.例

2求函數y?x(x?N)的導數.解 ?y?(x??x)?x?nxnnn?1n?'?x?n(n?1)n?2x(?x)2???(?x)n，2!?yn(n?1)n?2?nxn?1?x?x???(?x)n?1，?x2!?yy'?lim?nxn?1，?x?0?x即

(xn)'?nxn?1

注意：以后會證明當指數為任意實數時，公式仍成立，即

(x?)???x??1.'例如：(x)?(??R)

12x?1'，(x)??1x2

例3 求f(x)?sinx的導數.解

(sinx)?lim'f(x?h)?f(x)sin(x?h)?sinx?lim

h?0h?0hhhsinh2?cosx ?limcos(x?)?h?0h22即

(sinx)'?cosx.用類似方法，可求得

(cosx)'??sinx.71

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例4 求y?logax(a?0,a?1)的導數.hloga(1?)loga(x?h)?logaxx 解 y'?lim?limh?0h?0hhhloga(1?)x11hx??limlog(1?)h ?limah?0hxxh?0xx1?logae x所以

(logax)'?特別地，當a?e時，有

1logae x(lnx)'?例5 教材例3.4 x

四、導數的幾何意義

由前面對切線問題的討論及導數的定義可知：函數y?f(x)在點x0處的導數f(x0)在幾何上表示曲線y?f(x)在點M（x0,f(x0)）處的切線的斜率。因此，曲線y?f(x)在點M（x0,f(x0)）處的切線方程為

'y?y0?f?(x0)(x?x0).思考：曲線某一點處切線和法線有什么關系？能否根據點M處切線的斜率求點M處的法線方程？

根據法線的定義：過點M（x0,f(x0)）且垂直于曲線y?f(x)在該點處的切線的直線叫做曲線y?f(x)在點M（x0,f(x0)）處的法線.如果f(x0)?0，根據解析幾何的知識可知，切線與法線的斜率互為倒數，則可得點M處法線方程為：

y?y0??例6 求雙曲線y?程.1(x?x0).f?(x0)11在點(,2)處的切線的斜率，并寫出該點處的切線方程和法線方

2x 72

《微積分》（上冊）教案

解

根據導數的幾何意義知，所求的切線的斜率為：

k?y'所以切線的方程為

121?()'x12??1x212??4

1y?2??4(x?)，2即 4x?y?4?0.法線的方程為

11y?2?(x?)，42即

2x?8y?15?0.五、可導與連續的關系

定理 函數在某點處可導，則一定在該點連續.證明：因為如果函數y?f(x)在點x處可導，即

?y?f?(x0)?x?0?x，lim從而有

?y?f?(x0)???x，其中，??0(?x?0)，于是

?y?f?(x0)?x???x，因而，當?x?0時，有?y?0。這說明函數f(x)在點x處連續。

思考：定理的逆命題成立嗎？

例7 討論函數f(x)?x在x?0處是否可導。解

因f??(0)?lim?f(0??x)?f(0)?x?lim??1，h?0h?0?x?xf(0??x)?f(0)??xf??(0)?lim??lim???1，h?0h?0?x?x即f(x)在點x?0處的左導數、右導數都存在但不相等，從而f(x)?x在x?0處不可導。

《微積分》（上冊）教案

注意：通過例7可知，函數f(x)?x在原點（0,0）處雖然連續，但該點卻不可導，所以函數在某點處可導，則一定連續，反之不一定成立.課堂小結

1.導數的表達式：limf(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?x2.基本初等函數的導數：

(C)'?0(x)?nxn'n?1(sinx)'?cosx(cosx)'??sinx

(logax)'?11logae(lnx)'?(ax)'?axlna(ex)'?ex xx3.可導與連續的關系：函數在某點處可導，則一定在該點連續，反之不一定成立。4.導數的幾何意義：函數某一點處的導數值，在幾何表示為曲線在此點的切線的斜率。

《微積分》（上冊）教案

§3.2 求導法則與導數的基本公式

教學目標與要求

1.掌握并能運用函數的和、差、積、商的求導法則 2.理解反函數的導數并能應用；

3.理解復合函數的導數并會求復合函數的導數； 4.掌握隱函數的求導方法； 5.掌握并能運用對數求導法；

6.熟記求導法則以及基本初等函數的導數公式。

教學重點與難度

1.會用函數的和、差、積、商的求導法則求導； 2.會求反函數的導數； 3.會求復合函數的導數

4.會求隱函數的導數以及能運用對數求導法。

教學過程

前面，我們根據導數的定義，求出了一些簡單函數的導數。但是，如果對每一個函數都用定義去求它的導數,有時候將是一件非常復雜或困難的事情。因此，本節介紹求導數的幾個基本法則和基本初等函數的導數公式。鑒于初等函數的定義，有了這些法則和公式，就能比較方便地求出常見的函數——初等函數的導數。

一、函數的和、差、積、商求導法則

1.函數的和、差求導法則

定理1 函數u(x)與v(x)在點x處可導，則函數y?u(x)?v(x)在點x處也可導，且

y'?[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)。

同理可證：[u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)即證。

''' 75

《微積分》（上冊）教案

注意：這個法則可以推廣到有限個函數的代數和，即

''[u1(x)?u2(x)???un(x)]'?u1'(x)?u2(x)???un(x)，即有限個函數代數和的導數等于導數的代數和。

例1 教材例3.9

2.函數積的求導公式

定理2 函數u(x)與v(x)在點x處可導，則函數y?u(x)?v(x)在點x也可導，且

y'?[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v(x)?u(x)?v'(x)。

注意：1）特別地，當u?c（c為常數）時，y'?[cv(x)]'?cv'(x)，即常數因子可以從導數的符號中提出來。而且將其與和、差的求導法則結合，可得：

y'?[au(x)?bv(x)]'?au'(x)?bv'(x)。

2）函數積的求導法則，也可以推廣到有限個函數乘積的情形，即

''(u1u2?un)'?u1'u2?un?u1u2?un???u1u2?un。

例2 求下列函數的導數。

1）y?3x?2x?5x?4sinx；

2）y?3x?4lnx?5cosx。解 1）323

《微積分》（上冊）教案

2）y'?4x?4?5sinx x3例3 求下列函數的導數（教材例3.10）。

sinx；

2）y?x?1）y?x?4x?lnx?cosx

解

1）3y'?(x3?4x?sinx)'?(x3)'?4[(x)'sinx?x(sinx)'] 2sinx?3x?4(?sinx?x?cosx)?3x??4x?cosx2xx2122）

y'?(x3?lnx?cosx)'?(x3)'?lnx?cosx?x3?(lnx)'?cosx?x3?lnx?(cosx)'1?3x2?lnx?cosx?x3??cosx?x3?lnx?sinxx?x2(3lnx?cosx?cosx?x?lnx?sinx)

3.函數商的求導法則

定理3 函數u(x)與v(x)在點x處可導，且v(x)?0，則函數y?導，且

u(x)在點x處也可v(x)u(x)'u'(x)?v(x)?u(x)?v'(x)y?[]?。

v(x)v2(x)'

《微積分》（上冊）教案

注意：特別地，當u?c（c為常數）時，c'cv'(x)y?[]??2(v(x)?0)。

v(x)v(x)'

思考：請各位同學總結一下三角函數的導數公式。

《微積分》（上冊）教案

總結：根據上一節中求出的正弦和余弦的導數公式，可得三角函數的導數為：

二、反函數的導數

想一想：在基本初等函數中，還有那么函數沒有求導法則？

在基本初等函數中，我們還有反三角函數和指數函數的導數求法沒有討論，如何求呢？易知，反三角函數和指數函數分別是三角函數和對數函數的反函數。能否通過三角函數和對數函數的導數來求反三角函數和指數函數呢？這是可以的，這就是我們下面將要介紹的反函數的導數：

定理4 設函數y?f(x)在某一區間是單調連續，在區間任一點x處可導，且f(x)?0，則它的反函數x?f?1(y)在相應區間內也處處可導，且

[f?1(x)]'?或 f'(x)[f(x)]'?1

[f?1(x)]'?1證 因為函數y?f(x)在某一區間內是單調連續函數，可知其反函數x?f應區間內也是單調連續函數。

當y?f(x)的反函數x?f的單調性知?x?f?1?1(y)在相

?1(y)的自變量y取得改變量?y(?y?0)時，由x?f(y)(y??y)?f?1(y)?0，于是

?x1 ??y?y?x

《微積分》（上冊）教案

又因為x?f?1(y)連續，所以當?y?0時，?x?0。由條件知f(x)?0，所以

[f?1(y)]'?lim故

?x111 ?lim??'?y?0?y?x?0?y?yf(x)lim?x?0?x?x11'或。[f(x)]?f'(x)[f?1(x)]'[f?1(x)]'?即證。

例6 求下列反三角函數的導數。

1）y?arcsinx；

2）y?arccosx；

3）y?arctanx；

4）y?arccotx。

例7 求函數y?a(a?0,a?1)的導數。

解 由于y?a(x?(??,??))為對數函數x?logay(y?(0,??))的反函數，根據反函數的導數法則得 xxy'?(ax)'?所以，指數函數的導數公式為

1x?y?lna?alna '(logay)(ax)'?axlna

特別地，當a?e時，有

(ex)'?ex

三、復合函數的求導法則

《微積分》（上冊）教案

綜上，我們對基本初等函數的導數都進行討論，根據基本初等函數的求導公式，以及求導法則，就可以求一些較復雜的初等函數了。但是，在初等函數的構成過程中，除了四則運算外，還有復合函數形式，例如：y?sin2x。

思考：如果y?sin2x，是否有(sin2x)?cos2x？

因此，要完全解決初等函數的求導法則還必須研究復合函數的求導法則。

定理 設函數u??(x)在點x處有導數ux??(x)，函數y?f(u)在對應點u處有導數yu?f(u)，則復合函數y?f[?(x)]在點x處也有導數，且 '''''(f[?(x)])'?f'(u)??'(x)

簡記為dydydu'''?yu?ux。??或yxdxdudx（證明略）

注意：（1）復合函數的求導法則表明：復合函數對自變量的的導數等于復合函數對中間變量求導乘以中間變量對自變量求導。這種從外向內逐層的求導的方法，形象稱為鏈式法則。

（2）復合函數的求導法則可以推廣到有限個中間變量的情形。例如，設y?f(u)，u?g(v),v??(x)，則

dydydudv''''?yu?uv?vx ???或yxdxdudvdx（3）在熟練掌握復合函數的求導法則后，求導時不必寫出具體的復合步驟。只需記住哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，然后由外向內逐層依次求導。

例8

教材例3.15 例9

教材例3.16 例10 求冪函數y?x的導數。

u

例11 教材例3.17（抽象函數求導）例12 求下列函數的導數。

1）y?f()；

2）y?e1xf(x)。

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四、隱函數的導數及對數求導法

1.隱函數的導數

（1）隱函數的概念

函數y?f(x)表示兩個變量y與x之間的對應關系，這種對應關系可以用各種不同的方式表達。例如y?sinx,y?lnx?1等，用這種方式表達的函數稱為y是x得顯函數。而有些函數自變量x與因變量y之間的對應規律是由一個包含x，y的方程F(x,y)?0來確定的，例如x?y?1,y?5y?x?0等，用這種方式表達的函數稱為y為x的隱函數。

（2）隱函數的求導方法

1）可以化為顯函數的隱函數：先化為顯函數，再用前面所學的方法求導。

2）不易或不能化為顯函數的隱函數：將方程兩邊同時對自變量x求導，對與只含x的項，按通常的方法求導，對于含有y以及y的函數的項求導時，則分別作為x的函數和x的復合函數求導。這樣求導后，就得到一個含有x，y，y的等式，從等式中解出y，即得隱函數的導數。

（3）隱函數求導舉例

例13（教材例3.18）由方程e?xy?e?0確定y是x得函數，求y的導數。解

將方程中的y看成x的函數y?f(x)，利用復合函數的求導法則，將方程兩邊同時對x求導得

y2235''ey?y'?y?x?y'?0?0，解出y??'yy(x?e?0)。yx?e

例1

4教材例3.19

2.對數求導法

（1）方法

對于某些類型的函數，可以采用先取對數，變成隱函數，利用隱函數的求導方法：對x求導,解出y的方法求導。即所謂的對數求導法。

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（2）適用范圍：

對數求導法對冪指函數y?[f(x)]g(x)與多個函數乘積的形式特別方便。它可以使積、商導數的運算化為和、差的導數運算。

例1

5求函數y?x(x?0)的導數。

x

例16 教材例3.22

課堂小結

想一想：求導法則、基本初等函數的公式、反函數求導法則、復合函數的求導法則？

通過本節以及上一節學習，到目前為止。我們已經學習了全部初等函數的求導公式和函數的求導法則，以及反函數、復合函數、隱函數的求導法則。從而解決了初等函數的求導問題。這些公式和法則是基礎，所以，必須要牢記和熟記。歸納如下：

1.求導法則

（1）[u?v]?u?v

（2）(uv)?uv?uv ''''''u'u'v?uv'(v?0)（3）(cu)?cu（c為常數）

（4）()?vv2''c'cv'（5）()??2（c為常數）

vv（6）[f'?1(y)]'?''1(f'(x)?0)'f(x)ux，其中y?f(u),u??(x)（7）yx?yu? 83

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2.基本初等函數的導數公式

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§3.3 高階導數

教學目標與要求

1.高階導數的定義以及求法； 2.熟記一些常見函數的高階導數公式。

教學重點與難點

高階導數的求法

教學過程

一、回顧一階導數的相關概念

1．導數的定義 2．到函數的概念

二、高階導數

1.高階導數的定義

思考：什么是變速直線運動物體的加速度？

前面講過，若質點的運動方程s?s(t)，則物體的運動速度為v(t)?s?(t)，或v(t)?ds，dt而加速度a(t)是速度v(t)對時間t的變化率，即a(t)是速度v(t)對時間t的導數：??a(t)?dvdt???dds由上可見，加速度?是s(t)的()或??v?(t)?(s?(t))?，dtdt導函數的導數，這樣就產生了高階導數，一般地，先給出下列定義：

定義 若函數y?f(x)的導函數f?(x)在x點可導，就稱f?(x)在點x的導數為函數

d2yddyy?f(x)在點x處的二階導數，記為y,f(x)或2?()，即

dxdxdx''''f'(x??x)?f'(x)y?f(x)?lim，?x?0?x''''此時，也稱函數y?f(x)在點x處二階可導。

關于高階導數有以下幾點說明：

1）若y?f(x)在區間I上的每一點都二次可導，則稱f(x)在區間I上二次可導，并稱f??(x),x?I為f(x)在I上的二階導函數，簡稱二階導數；

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2）仿上定義，由二階導數f??(x)可定義三階導數f???(x)，即

f''(x??x)?f''(x)。y?f(x)?lim?x?0?x''''''由三階導數f???(x)可定義四階導數f導數f(n)(4)(x)，一般地，可由n?1階導數f(n?1)(x)定義n階(x)；

3）二階和二階以上的導數統稱為高階導數，高階導數與高階導函數分別記為：f(n)(x0)，y(n)dny(x0)，ndxx?x0dnf或dxnx?x0與f(n)(x),y(n)dnydnf(x),n或n；

dxdxd2s

4）開始所述的加速度就是s對t的二階導數，依上記法，可記??或??s??(t)； 2dt

5）未必任何函數所有高階都存在；

6）由定義不難知道，對y?f(x)，其導數（也稱為一階導數）的導數為二階導數，二階導數的導數為三階導數，三階導數的導數為四階導數，一般地，n?1階導數的導數為n階導數，否則，因此，求高階導數是一個逐次向上求導的過程，無須其它新方法，只用前面的求導方法就可以了。

2.求高階導數舉例

例

1y?ax?bx?c，求y??,y???,y解

y??2ax?b例2 教材例3.23

例3 y?e，求各階導數。解

y??e，y???e，y????e，y

即(e)

例

4y?sinx，求各階導數。解 y?sinx,x(n)xxx(4)x2(4)。

?y???2a?y????0,y(4)?0。

?ex，顯然易見，對任何n，有y(n)?ex，?ex。

y??cosx?sinx(??2)

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y????sinx?sinx(??)?sinx(?2?

y?????cosx??sinx(??2)

?2)?sinx(????)?sinx(?3?)

22?

y(4)?sinx?sinx(?2?)?sinx(?4?

??

一般地，有y(n)?sin(x?n?2)

?)，即(sinx)(n)?sinx(?n)。

22?

同樣可求得(coxs)(n)?cosx(?n

?2)。

例

5y?ln1(?x)，求各階導數。解

y?ln1(?x)，y??11?21???y?，y????，1?x(1?x)2(1?x)y(4)??1?2?3，?? 4(1?x)(n)

一般地，有

y?(?1)n?1(n?1)!n(1?x)(n)

即

(ln(1?x))?(?1)n?1(n?1)!。

(1?x)n例6

y?x，?為任意常數，求各階導數。解

y?x，y???x

y一般地，y(4)????1,y????(??1)x??2，y?????(??1)(??2)x??3，??(??1)(??2)(??3)x??4，??(??1)(??2)??(??n?1)x??n ??(??1)(??2)??(??n?1)x??n。(n)即

(x)?(n)當??k為正整數時，n?k時，(x)

n?k時，(x)

n?k時，(x)kkk(n)?k(k?1)(k?2)??(k?n?1)xk?n；

(k)?k!(?n!)； ?0。(n)87

《微積分》（上冊）教案

注意：上述例子中，所得的結論是一些常見函數的高階導數公式，因此。請各位同學牢記，以后直接作為公式應用。為了便于同學們掌握，特歸納如下：

課堂小結

1.二節導數的定義是什么？ 2.常見函數的高階導數公式。

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§3.4 函數的微分

教學目標與要求

1.理解函數微分的定義以及可微與可導的關系； 2.知道微分的幾何意義；

3.掌握微分的基本公式和運算法則。

教學重點與難點

1． 微分的定義的理解；

2． 微分的基本公式和運算法則的運用。

教學過程

一、微分的定義

1.微分的定義

思考：在學習微分之前，請同學們想一想，導數有何實際意義？

根據導數的知識，知道導數表示函數相對于自變量的變化快慢的程度。在實際生活中，還會經常遇到與導數密切相關的一種問題，即在運動或變化過程中，當自變量有一個微小的改變量時，要計算相應的函數改變量。但是，通常，計算函數的改變量是比較困難的，因此，希望能找到函數改變量的一個便于計算的近似表達式，這樣就引入了微分學中的另一個重要概念——微分。

那么，微分的定義是什么呢？首先，我們通過一個簡單的例子來體會一下微分的思想。引例：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由x0變到x0??x(?x?0)，如圖所示，問此薄片的面積改變了多少？

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設正方形的邊長為x，面積為S，則有S?x。因此，當薄片受溫度變化的影響時面積改變量可以看成是當自變量x由由x0變到x0??x(?x?0)時，函數S?x相應的改變量

2?2x0?x?(?x)2。?S。即?S?(x0??x)2?x022從上式可以看出，?S由兩部分構成： 1）第一部分2x0?x是?x的線性函數；

2）第二部分(?x)，當?x?0時，是比?x高階的無窮小。

于是，當?x很小時，面積S的增量?S可以近似地用其線性主部2x0?x來代替。即2?S?2x0?x。

數學上，這樣的例子有很多，思考：是否所有函數的?y都可以分成兩部分：一部分是?x的線性部分，其余部分是?x的高階無窮小？

并不是所有函數的?y都具有上述特點，數學上，將具有上述特性的函數的?x的線性部分稱為函數的微分。因此，微分的定義如下;定義

設函數y?f(x)在某區間內由定義，x及x??x在這區間內，如果函數的增量?y?f(x??x)?f(x)可以表示為

?y?A??x?o(?x)，其中A是不依賴?x的常數，而o(?x)是?x的高階無窮小量。則稱函數y?f(x)在點x處可微，并稱A??x為函數y?f(x)在點x處的微分，記為dy或df(x)，即

dy?A??x或df(x)?A??x。

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如果改變量?y不能表示為?y?A??x?o(?x)的形式，則稱函數y?f(x)在點x處不可微或微分不存在。

根據微分定義，易知：

2．微分與導數的關系

注意：

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綜上可知，求微分的問題可歸結為求導數的問題，因此求導數與求微分的方法稱為微分法。

二、微分的幾何意義

設函數y?f(x)的圖形如圖所示，過曲線y?f(x)上一點M(x,y)處作切線

tan??f?(x)MT，設MT的傾角為?，則

當自變量x有增量?x時，切線MT的縱坐標相應地有增量

QP?tan???x?f?(x)??x?dy

因此，微分dy點M(x,?f?(x)?x幾何上表示當自變量x有增量?x時，曲線y?f(x)在對應y)處的切線MT的縱坐標的增量.由dy近似代替?y就是用點M處的縱坐標的增量QP近似代替曲線y?f(x)的縱坐標的增量QN。由圖可知，函數的微分dy與函數的增量?y相差的量在圖中以PN表示，當?x?0時，變動的PN是?x的高階無窮小量.因此，在點M的鄰近，可以用切線段來近似代替曲線段。簡稱“以直代曲”。

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三、微分的基本公式與運算法則

由微分的定義dy?f(x)dx可以看出，要計算函數的微分，只要計算函數的導數，再乘以自變量的微分。因此，利用函數求導的基本公式和運算法則，可得出求函數微分的基本公式和運算法則.為使用方便，列出如下.'1.微分公式

（1）dC?0

（C為任意常數）

?（2）d(x（3）d(a)???x??1dx

（?為任意實數）)??x?lnadx

（??0且??1）特殊

d(ex)?exdx x（4）d(loga（5）

x)?11dx（??0且??1）特殊

d(lnx)?dx xlnaxd(sinx)?cosxdx

d(cosx)??sinxdx

22d(tanx)?secxdx

d(cotx)??cscxdx

d(secx)?secx?tanxdx

d(cscx)??cscx?cotxdx

（6）d(arcsinx)?11?x2dx(?1?x?1)dx(?1?x?1)d(arccosx)??11?x211dx d(arctanx)?dx

d(arccotx)??1?x21?x2

2．微分的運算法則

d(u?v)?du?dv

d(Cu)?Cdu

（C為任意常數）d(uv)?udv?vdu

?u?vdu?udvd??? 2v?v?

（證明略）

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3．復合函數的微分法則

設函數y?f(u),u??(x)分別關于u和x可導，則由復合函數的求導法則可知

'''yx?yu?ux?f'(u)??'(x)

于是，根據微分的定義有

'dy?yxdx?f'(u)??'(x)dx

并且du??(x)dx。所以，dy?f(u)du或dy?yudu。

注意：由此可見不管自變量u是自變量還是中間變量，微分的形式dy?f(u)du總保持不變，我們稱此性質為微分形式的不變性。

''''4．微分的運算舉例

例3 教材例3.27

例4 教材例3.28

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課堂小結

1.微分的概念； 2.微分的幾何意義； 3.微分的基本公式 4.微分的運算法則。

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§3.5 導數與微分的簡單應用

教學目標與要求

1.掌握導數在經濟學中的應用：邊際分析與彈性分析 2.了解微分的應用：近似計算與誤差分析

教學重點與難點

理解并能運用邊際分析與彈性分析

教學過程

一、導數在經濟學中的應用

邊際與彈性是經濟學中的兩個重要概念。從實質上講，它們都是變量的某種增量比的極限。由于增量比值的極限總與導數有關，而許多經濟函數又均可視為一個連續、可導的函數，因此可利用導數的概念來研究經濟變量的邊際和彈性。在經濟學中，常把用導數研究經濟變量邊際和彈性的方法，稱為邊際分析與彈性分析。下面我們就具體來介紹邊際分析與彈性分析.（一）邊際與邊際分析

1．函數的變化率與邊際函數

在經濟學中，常常用到平均變化率與邊際這兩個概念。設函數y?f(x)可導，在數量關系上，1）平均變化率指的是函數值的改變量與自變量的改變量的比值，如果用函數形式來表示的話，就是?yf(x0??x)?f(x0)，它表示在(x0,x0??x)內f(x)的平均變化速度。??x?x?y'2）而邊際則是自變量的改變量?x趨于零時的極限，即f(x)，可以說，導數應用

?x'在經濟學上就是邊際，f(x)在點x?x0的導數f(x0)稱為f(x)在點x?x0的邊際函數值，f'(x0)表示f(x)在點x?x0處的變化速度。

值得注意是：

對于經濟函數f(x)，經濟變量x在x0有一個改變量?x，則經濟變量y的值也有一個相應的改變量為

?y?f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x

特別是，當?x?1時，則?y?f(x0)。這就說明當x在x0改變“一個單位”時，y相應地近似改變f(x0)個單位。在實際應用中，經濟學家常常略去“近似”而直接說y改變f(x0)

'''《微積分》（上冊）教案

個單位，這就是邊際函數值的含義。

2．邊際成本

設某產品生產q個單位時的總成本為C = C(q)，當產量達到q 個單位時，任給產量一個增量?q，相應的總成本將增加?C?C(q??q)?C(q)，于是再生產?q個單位時的平均成本為(總成本在產量從q變到q+?q時的平均變化率)：

C??CC(q??q)?C(q)??q?q如果總成本為C = C(q)在q可導，那么，C?(q)?limC(q??q)?C(q)

?q?0?q稱為產量為q個單位時的邊際成本，一般記為： CM(q)?C?(q)。

邊際成本的經濟意義是：當產量達到q 個單位時，再增加一個單位的產量，即。?q?1時，總成本將增加C?(q)個單位（近似值）例1 設一企業生產某產品的日產量為800臺，日產量為q個單位時的總成本函數為：

C(q)?0.1q2?2q?5000

求（1）產量為600臺時的總成本；

（2）產量為600臺時的平均總成本；

（3）產量由600臺增加到700臺時總成本的平均變化率；

（4）產量為600臺時的邊際成本，并解釋其經濟意義。

解（1）C(600)?0.1?600?2?600?5000?42200；

（2）C(600)?

（3）

2C(600)211 ?6003?CC(700)?C(600)??132 ?q100

（4）CM(600)?0.2?600?2?122

這說明，當產量達到600臺時，再增加一臺的產量，總成本大約增加122。3．邊際收益

設某商品銷售量為q個單位時的總收入函數為R = R(q)，當銷量達到q 個單位時，再給銷量一個增量?q，其相應的總收入將增加?R?R(q??q)?R(q)，于是再多銷售?q個單位時的平均收益為：

《微積分》（上冊）教案

R??RR(q??q)?R(q)??q?q如果總收入函數R = R(q)在q可導，那么，R?(q)?limR(q??q)?R(q)

?q?0?q稱為銷售量為q個單位時的邊際收入，一般記為：RM(q)?R?(q)

邊際收入的經濟意義是：銷售量達到q個單位的時候，再增加一個單位的銷量，即?q?1時，相應的總收入增加R?(q)個單位。

例3設某種電器的需求價格函數為：q?120?4p。其中，p為銷售價格，q為需求量。求銷售量為60件時的邊際收益，銷售量達到70件時，邊際收益如何？并作出相應的經濟解釋。（單位：元）

1q)

41'于是，銷售量為60件時的總收入為：R(q)?30?p（元）；

41所以，銷售量為60件時的邊際收益為：RM(60)?R?(60)?30??60?0。

2解 由已知總收入函數為： R?pq?q(30?這說明，當銷售量達到60件時，再增加一件的銷量，不增加總收入。

銷售量為70件時的邊際收益為：RM(70)?R?(70)?30?1?70??5。

2這說明，當銷售量達到70件時，再增加一件的銷量，總收入會減少5元。

4．邊際利潤

設某商品銷售量為q個單位時的總利潤函數為L = L(q)，當銷量達到q 個單位時，再給銷量一個增量?q，其相應的總利潤將增加?L?L(q??q)?L(q)，于是再多銷售?q個單位時的平均利潤為：

L?如果總利潤函數在q可導，那么，L(q??q)?L(q)

?qL?(q)?limL(q??q)?L(q)

?q?0?q稱為銷售量為q個單位時的邊際利潤，一般記為：LM(q)?L?(q)

邊際利潤的經濟意義是：銷售量達到q個單位的時候，再增加一個單位的銷量，即?q?1 99

《微積分》（上冊）教案

時，相應的總利潤增加L?(q)個單位。

由于總利潤、總收入和總成本有如下關系：

L(q)?R(q)?C(q)

因此，邊際利潤又可表示成：L?(q)?R?(q)?C?(q)

例3 設生產q件某產品的總成本函數為：

C(q)?1500?34q?0.3q2

如果該產品銷售單價為：p = 280元／件，求

（1）該產品的總利潤函數L(q)；

（2）該產品的邊際利潤函數LM(q)以及銷量為q?420個單位時的邊際利潤，并對此結論作出經濟意義的解釋。（3）銷售量為何值時利潤最大？

解（1）由已知可得總收入函數：R(q)?pq?280q，因此總利潤函數為：

L(q)?R(q)?C(q)?280q?1500?34q?0.3q2

??1500?246q?0.3q

（2）該產品的邊際利潤函數為：LM(q)?L?(q)?246?0.6q；

2LM(420)?246?0.6?420?? 6

這說明，銷售量達到420件時，多銷售一件該產品，總利潤會減少6元。

（3）令L?(q)?0，解得q?410（件），又L??(410)?? 0.6?0，所以當銷售量q?410件時，獲利最大。

（二）彈性與彈性分析

1．彈性函數

在引入概念之前，我們先看一個例子：

有甲、乙兩種商品，它們的銷售單價分別為p1 = 12元，p2 = 1200元，如果甲、乙兩種商品的銷售單價都上漲10元，從價格的絕對改變量來說，它們是完全一致的。但是，甲商品的上漲是人們不可接受的，而對乙商品來說，人們會顯得很平靜。

就其原因，就是相對改變量的問題。相比之下，甲商品的上漲幅度為83.33％，而乙商品的漲幅只有0.0083％，乙商品的漲幅人們自然不以為然。

在這一部分，我們將給出函數的相對變化率的概念，并進一步討論它在經濟分析中的應用。

《微積分》（上冊）教案

定義 設f(x)在x0處可導，那么函數的相對改變量

?yf(x0??x)?f(x0)?與自變y0f(x0)?y?xy量的相對改變量的比值：0稱為函數y = f(x)從x0到x0??x之間弧彈性，令

?xx0x0?yy?x?0，0?xx0的極限稱為y = f(x)在x0的點彈性，一般就稱為彈性。并記為

EyExx?x0。即EyExx?x0?limx?yx0?f?(x0)0。

?x?0?xf(x)f(x0)0y = f(x)在任一點x的彈性記為：

EyEx?f?(x)x，并稱其為彈性函數。f(x)Ey?yEy?x??一般來說，因此函數的彈性反映了自變量相對改變量對相應函數yExxEx值的相對改變量影響的靈敏程度。即

EyExx?x0表示當自變量在點x?x0處變化1%時，函數f(x)近似地變化EyExx?x0%，在實際應用問題中解釋彈性的具體意義時，略去“近似”二字。

例

4教材例3.32

2．需求彈性和供給彈性（1）需求彈性

定義

1設某種商品的需求量為Q，銷售價格為p，若需求函數為Q?f(p)在p0處可導，稱?QQ0為該商品在p0到p0??p兩點間的需求彈性，記為

?pp0?(p0,p0??p)?_?QQ0?Qp0??

?pp0?pQ0 101

《微積分》（上冊）教案

而極限lim?QQ0p0?Qp0稱為該商品在p0處的需求彈性，?lim??f'(p0)??p?0?pp?p?0?pQf(p0)00?QQ0p0。?f'(p0)??p?0?ppf(p)00'記為?p?p0?lim一般地，若需求函數Q?f(p)可導，任意一點的需求彈性為：f(p)?需求彈性函數，記為

p，稱其為f(p)??f'(p)?p f(p)注意：一般情況下，Q?f(p)是減函數，價格高了，需求量反而會降低，為此??0。

另外，?Q?p，其經濟解釋為：在銷售價格為p的基礎上，價格上漲1％，相應的需??Qp求量將下降?％。

例

5教材例3.33

（2）供給彈性

定義

2設某種商品的供給量為Q，供給價格為p，若供給函數為Q??(p)在p0處可導，稱?QQ0為該商品在p0到p0??p兩點間的供給彈性，記為

?pp0?(p0,p0??p)?_?QQ0?Qp0??

?pp0?pQ0而極限lim?QQ0p0?Qp0?lim???'(p0)?稱為該商品在p0處的供給彈性，?p?0?pp?p?0?pQf(p0)00?QQ0p0??'(p0)?。

?p?0?ppf(p)00'記為?p?p0?lim一般地，若供給函數Q??(p)可導，任意一點的供給彈性為：?(p)?供給彈性函數，記為

p，稱其為f(p)???'(p)?

p f(p)《微積分》（上冊）教案

注意：一般情況下，供給函數Q?f(p)是增函數，價格高了，供給量會增加，為此??0。

另外，?Q?p，其經濟解釋為：在供給價格為p的基礎上，價格上漲1％，相應的供??Qp給量將增加?％。

（3）用需求彈性分析總收益的變化

在商品經濟中，經營者關心的是提價（?p?0）或降價（?p?0）對總收益的影響。而根據我們需求彈性的概念，可以分析出價格變動是如何影響銷售收益的。具體分析為： 根據前面的知識可知：總收益R是商品價格p與銷售量Q的乘積，即R=Qp。又因為需求彈性為??Q(p)?'pdQp??。所以pdQ??Qdp。QdpQ根據函數的微分知，當價格p變化很小的時候，收益的改變量

?R??(Qp)?d(Qp)?Qdp?pdQ?Qdp??Qdp?(1??)Qdp

即?R?(1??)Qdp?(1??)Q?p。

由此，我們給出三類商品的經濟分析：（1）富有彈性商品

若|?|?1，則稱該商品為富有彈性商品。

對于富有彈性商品，適當降價會增加總收入。如果價格下降10％，總收入將相對增加10(|?|?1)％。

富有彈性商品也稱為價格的敏感商品，價格的微小變化，會造成需求量較大幅度的變化。（2）單位彈性商品

若??1，則稱該商品為具有單位彈性的商品。

單位彈性的商品，對價格作微小的調整，并不影響總收入。（3）缺乏彈性商品

若|?|?1，則稱該商品為缺乏彈性商品。

對于缺乏彈性商品，適當漲價會增加總收入。如果價格上漲10％，總收入將相對增加10(1?|?|)％。

例6

教材例3.34 例7 設某商品的需求價格函數為：q?1.5e并進一步做出相應的經濟解釋。

? p5，求銷售價格p?9時的需求價格彈性，103

《微積分》（上冊）教案

解 Eqpp?9?? 0.3e? p5p1.5e? p5p?9?? 1.8，由于Eqp|p?9?1.8?1，這是一種富有彈性的商品，價格的變化對需求量有較大的影響，在p?9的基礎上，價格上漲10％，需求量將下降18％，總收入下降8％，當然價格下降10％，需求量將上升18％，總收入上升8％。通過以上分析，價格p?9時應當作出適當降價的決策。

二、微分的應用

設函數y?f(x)在點x0處可微。則根據微分的定義有近似公式：

?y?f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x

（1）

或

f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x

（2）

并且，近似公式（1）通常用來計算函數的改變量?y的近似值，常用于誤差估計；近似公式（2）常用于計算函數y?f(x)在點x0附近的近似值f(x0??x)。下面我們就分別來介紹兩個近似公式的應用。

1．近似計算

在近似計算某點處的近似值時，對近似公式（2）常作如下的變換：令x0=0，?x?x，得到如下更簡單的近似公式：當x很小時，有

f(x)?f(0)?f'(0)x

例8 教材例3.35 例9 教材例3.36 例10 教材例3.37 例11 教材例3.38

2．誤差估計

（1）絕對誤差與相對誤差

設函數y?f(x)可微，若自變量經過測量而得到的近似值為x，它與自變量實際值得誤差估計為?x，那么由x確定的函數值的近似值y與實際值的誤差可相應地估計為

?y?f(x??x)?f(x)，104

《微積分》（上冊）教案

則稱?x與?y分別為自變量x與函數y的絕對誤差，稱數y的相對誤差

關于絕對誤差和相對誤差有幾點說明：

?y?x與分別為自變量x與函

yx1）絕對誤差不足以說明近似程度的好壞，只有相對誤差才能較準確地說明近似地精確度。

2）實際中，由于很難得知?x的精確值，所以實際計算中總是估計自變量的最大絕對誤差為?x，即?x

?y?dy?f'(x)??x?f'(x)??x。

因此，在用x的實際測量值算出的近似值f(x)來代替準取值f(x??x)時，可用f(x)??x'f'(x)??x作為最大相對誤差。因此，若記函數作為近似值y?f(x)的最大絕對誤差；用

f(x)y?f(x)的絕對誤差和相對誤差分別別為：?y與

?y，則有 yf'(x)??x。?y?f(x)??x，?yf(x)'?y（2）應用舉例 例12 教材例3.39

課堂小結

1.導數在經濟學中的應用

（1）邊際與邊際分析：邊際成本、邊際收益、邊際利潤

（2）彈性與彈性分析：需求彈性、供給彈性 2.微分的應用

（1）近似計算

（2）誤差估計

第三篇：高等數學考研大總結之四導數與微分

第四章

導數與微分 第一講

導數 一，導數的定義：

1函數在某一點x0處的導數：設y?f?x? 在某個U?x0,??內有定義,如果極限limf?x0??x??f?x0?f?x0??x??f?x0?(其中稱為函數f?x?在(x0,x0+?x)上的平均?x?x?x?0變化率(或差商)稱此極限值為函數f?x?在x0處的變化率)存在則稱函數f?x?在x0點可導.并稱該極限值為f?x?在x0點的導數記為f/?x0?,若記?x?x?x0,?y?f?x??f?x0?則f?x??f?x0??ylim/x?x0=f?x0?=?x

x?x0?x?0lim解析：⑴導數的實質是兩個無窮小的比。即：函數相對于自變量變化快慢的程度,其絕對值越大,則函數在該點附近變化的速度越快。

⑵導數就是平均變化率(或差商)的極限,常用記法: f/?x0?,y/x?x0,dydxx?x0。

⑶函數f?x?在某一點x0處的導數是研究函數f?x?在點x0處函數的性質。

⑷導數定義給出了求函數f?x?在點x0處的導數的具體方法,即：①對于點x0處的自變量增量?x,求出函數的增量（差分）?y=f?x0??x??f?x0?②求函數增量?y與自變量增

?y?ylim量?x之比③求極限?x若存在,則極限值就是函數f?x?在點x0處的導數,若極限不?x?x?0存在,則稱函數f?x?在x0處不可導。

⑸在求極限的過程中, x0是常數, ?x是變量, 求出的極限值一般依賴于x0

⑹導數是由極限定義的但兩者仍有不同，我們稱當極限值為?時通常叫做極限不存在，而導數則不同，因其具有實在的幾何意義，故當在某點處左，右導數存在且為同一個廣義實數值時我們稱函數在某點可導。實質是給導數的定義做了一個推廣。

⑺注意: 若函數f?x?在點x0處無定義,則函數在x0點處必無導數,但若函數在點x0處有定義,則函數在點x0處未必可導。單側導數：設函數f?x?在某個?x0??,x0?（或?x0,x0???）有定義，并且極限

第1頁 limf?x0??x??f?x0?f?x0??x??f?x?lim（或）存在，則稱其極限值為f?x?在x0點?x?x?x?0??x?0?/的左（右）導數，記為：f統稱為單側導數。

。左導數和右導數?x0?0?或f?/?x0?（或f/?x0?0?,f?/?x0?）函數在某一點處有導數的充要條件：左導數和右導數存在且相等。函數在某一區間上的導數：⑴在?a,b?內可導：如果函數f?x?在開區間?a,b?內每一點都可導，則說f?x?在?a,b?內可導（描述性）。⑵在?a,b?內可導：如果函數f?x?在?a,b?內可導且f?/?a?,f?/?b?存在則說函數f?x?在?a,b?上可導。導函數：如果函數f?x?在區間I上可導，則對于任意一個x?I都對應著唯一一個（極

?x?，這樣就構成了一個新的函數，稱為函數y?f?x?的導dydf?x?//函數。記為：f?x?或或或y，由此可知函數f?x?某一點x處的導數實質是在限的唯一性）確定的導數值f/dxdx0點x0處的導函數值。解析：（1）區別f//而?f?x0???x0?與?f?x0??/：f/?x0?表示函數f?x?在點x0處的導函數值，表示對函數值f?x0?這個常數求導，其結果為零。

（2）與在某一區間可導的關系：在某一區間可導就是在該區間上存在導函數。可導與連續的關系：可導必連續，但連續不一定可導。二，導數的幾何意義： 當y=f?x?表示一條曲線時,則f/?x?表示曲線在?x,y?點的切線的斜率，f/?x?的正和負分

/別表示曲線在該點是上升還是下降.f?x?的大小則表示曲線在該點的鄰域內起伏的程度，f/f/?x?越小說明曲線在該點的鄰域內近似水平,反之

?x?越大說明曲線在該點的鄰域內越陡,起伏明顯。

解析：⑴用曲線上某點和增量點連線的割線的斜率的極限來表達曲線在某點的斜率。

⑵過曲線y=f?x?上的點(x0,y0)的方程:①切線方程y-y0=f②法線方程: y-y0=?/?x0?(x-x0).1?x?x0?(f/f?x0?/?x0?≠0)

⑶如果點P(A,B)在曲線y=f?x?外,那么過P點與曲線相切的切線有兩條。

第2頁 ⑷若f/?x0?=?說明函數f?x?的曲線在點x0處的切線與

x軸垂直。若f/?x0?=0則說明f?x?的曲線在點x0處的切線與x軸平行。

三，導數的四則運算

如果函數u?u?x?及v?v?x?都在點x具有導數,那么其和差積商(除分母為零的點外)都在點x具有導數。

⑴?u?x??v?x???u/?x??v/?x? /⑵?u?x?v?x???u/?x?v?x??u?x?v/?x?

?ku?x???ku/?x? //?k?kv/?x??u?x??u?x?v?x??u?x?v?x?⑶??v?x??0?

????2?v?x??0? ??2v?x?v?x??v?x???v?x??////解析：和差積可推廣為有限項即：⑴?u1?x??u2?x????un?x??/?u1/?x??u2/?x????un/?x?

⑵?u1?x?u2?x??un?x??/u?x? ???u1?x?u2?x??un?x??kuk?x?k?1n//四，幾類函數的求導法則

1反函數的求導法則：如果函數x?f?y?在區間Iy內單調且fy=f?1?y??0則它的反函數

1f/?x?在區間Ix?xx?f?y?,y?Iy內也可導，且f????1?x??/??y?或

dy1?即：dxdxdyｙ是ｘ的函數反函數的導數等于直接函數導數的倒數。

解析：⑴f/?y??0且x?f?y?在點y處連續。

/⑵反函數求導法則的幾何意義：由于f?x?是函數f?x?的曲線上點x處的切線與x軸正向夾角?的正切。而反函數x?f?y?與y=f?x?在同一坐標系中有相同的曲線，只不過反函數x?f?y?的自變量是y所以導數f/?y?就是y=f?x?曲線上x的對應點y處

/的同一條切線與y軸正向夾角?的正切，因此：f?y??1f/?x?即：tan??1（?，tan??之和為?）22 復合函數的求導法則（鏈式求導）：如果u?g?x?在點x可導，而y=f?u?在點u?g?x?

第3頁 可導，則復合函數y?f?g?x??在點x可導，且其導數為：dydydudy??f/?u?g/?x?或。dxdudxdx解析：⑴復合函數整體在某點是否可導與u?g?x?和g?x?在某點是否可導無關。

⑵逐層分解為簡單函數在求導，不重，不漏。隱函數求導法則：對方程F?x,y??0所確定的隱函數求導，要把方程F?x,y??0的兩邊分別對x求導即可。在求導過程中應注意y是x的函數，所以在對y或y的函數求導時應理解為復合函數的求導。參數方程求導法則：由參數方程??x???t????t???所確定的ｙ與ｘ的函數的導數為：

?y???t??/?t?f?x??/。??t?/dydf/?x??//?t??/?t???/?t??//?t?//?yx2??解析：注意理解y?。3/dtdt??t?dxdxdtdt/??5 對數求導法則：是求冪指數y?f??x??x?型導數的有效方法即：對函數y?f??x??x?的兩邊同時取對數，然后根據對數的性質將作為指數的函數??x?化為與lnf?x?相乘的一個因子，再利用上述方法求導。兩個結論：⑴可微分的周期函數其導數仍為具有相同周期的周期函數。

⑵可微分的偶函數的導函數為奇函數，而可微分的奇函數的導函數為偶函數。這個事實說明：凡對稱于y軸的圖形其對稱點的切線也關于y軸對稱。凡關于原點對稱的圖形，其對稱點的切線互相平行。五，常見函數的一階導數 ⑴c?0（ｃ為常數）⑵xa⑹?lnx??//??/?axa?1⑶ax??/?lna?ax⑷ex??/x???ex⑸?loga/1 xlna11///2⑺?sinx??cosx⑻?cosx???sinx⑼?tanx??secx? xcos2x1///2⑽?cotx???cscx??⑾⑿????secx?secxtanxcscx??cscxcotx

sin2x⒀?arcsinx??//11?x2⒁?arccosx???/11?x2⒂?arctanx??/1 21?x⒃?arccotx???/211///2??thx?sechx?⒄⒅⒆ ????shx?chxchx?shx1?x2ch2x1/??arcshx?（21）sh2x⒇?cthx??cschx?1x?12（22）?archx??/1x?12

第4頁（23）?arcthx??/1

1?x2六，高階導數 設f/并且f/?x?也在I上可導，則稱f?x?在I上二階可導，?x?是函數f?x?在I上的導數，//并稱f?x?的導函數是f?x?在I上二階導數，記為：f//?x?或f?2??x?，一般地，設f?n?1??x??n?2?是f?x?在區間I上的?n?1?階導函數并且f?n?1??x?也在I上可導則稱f?x?在I上ｎ階可導，并稱f?n?1??x?的導函數是f?x?在區間I上的ｎ階導函數記為：f?n?dny?x?當函數由y?f?x?給出時f?x?的ｎ階導數也可表示為：y,n,f?n??x?。若在dx?n??n?x0點的ｎ階導數常記為：fdnydnf?x??x0?,yx?x0,nx?x0,xx?x0。dxdxn解析：⑴規定函數f?x?的零階導數為函數f?x?的本身。

⑵該定義的給出具有數學歸納法的性質，因此在求某一函數的高階導數時常用數學歸納法。

⑶f?x?的ｎ階導數是由f?x?的?n?1?階再一階導而求得，所以其具有逐階刻畫的性質。

⑷高階導數的常用求法：萊布尼茨(Leibniz)公式：?uv??n?k?n?k??k?(u,v??a,b?上的ｎ階連續函數）其展開式為：??Cnuvk?0n1?n?1?/2?n?2?//u?n?v?Cnuv?Cnuv???uv?n?。

七，常見函數的高階導數 ⑴?C?⑶ax?n?n?0（Ｃ為常數）⑵xanxkxn?????a?a?1??a?2???a?n?1?xnnkxa?n

nx??????lna?a⑷?a?????klna?ax⑸ekx?????knnkxe⑹ex?????e

⑺loga???????1??nn?1??n?1?!lna?xn⑻?lnx??n????1??n?1??n?1?!⑼?sinx??n??sin?x?n??

xn???2?⑽

n???sinkx??n??knsin??kx???2?設

⑾

n???cosx??n??cos??x???2? ⑿

n???coskx??n??kncos?kx????2?⒀

y?ekxg?x?且

y/?aekxg?x?b?則有

第5頁 y?n??anekxg?x?nb?⒁設

y?ekxg?x?且

y/?kekx?g?x?b??c?則有y?n??knekx?g?x?nb??nc?（⒀，⒁用同一函數的思想求ｂ，ｃ）⒂?e?eaxsin?bx?c???n??n??a?b?2n22?eaxsin?bx?c?n??eaxcos?bx?c?n??（其

中axcos?bx?c???a?b?2n22?sin??ba?b22,cos??aa?b22）

第二講 微分 一，微分的定義

設f?x?在點x0的某個鄰域U?x0,??中有定義如果存在常數

A使f?x0??x??f?x0??A?x????x?,??x???則稱函數f?x?在x0點可微，并稱A?x為f?x?在點x0處的微分，記為：dyx?x0,df?x?x?x0,df?x0?其中稱A?x為函數增量?y的線性主部。

解析：⑴給出了求函數值的改變量的近似計算方法（極限的無窮小判別法），簡單地反映了函數增量與自變量增量的關系即：線性關系。這是一種局部線性逼近的思想。

⑵令函數y?x則dy?dx這表明自變量的微分dx就是它的增量?x。

⑶導數與微分的關系：函數f?x?在點ｘ處可微的充要條件是函數在該點可導，并且有dy?f/，所以導數稱為微商。?x?dx（一種常見求微分的方法）

/ ⑷ 函數f?x?的微分是關于?x的線性函數，A?x（其中A?f導數與?x無關。

二，導數與微分幾何意義的比較 三，微分的四則運算法則

設u?u?x?,v?v?x?均可微分則有：⑴d?u?v??du?dv

?x?）且函數f?x?的⑵d?uv??udv?vdu

d?ku??kdu（ｋ為常數）⑶d????u??v?vdu?udv 2vkdv?k?d????2（ｋ為常數）

v?v?四，復合函數一階微分形式的不變性

設函數y?f?u?，u?g?x?均可導，則復合函數y?f?g?x??的導數為y?f//?g?x??g/?x?

第6頁 故其微分為：dy?f上式為：dy?f//?g?x??g/?x?dx注意f/?g?x???f/?u?，g/?x?dx?dg?x??du因此?u?du，無論ｕ是自變量還是中間變量都保持形式的不變性。

解析：第一類積分換元法（湊微分）的理論基礎。五，微分的近似計算及誤差估計 微分的近似計算：若函數y?f?x?在點x0處可微，則當?x?x?x0很小時，可用微分dy近似代替增量

?y即：f?x??f?x0??f/?x0??x?x0??f?x??f?x0??f/?x0??x?x0?。

解析：⑴用微分進行近似計算的實質就是在微小局部將給定的函數線性化，將復雜函數簡單化，從幾何意義角度看就是用曲線y?f?x?在點?x0,f?x0??處的切線來近似代替該曲線（達到化曲為直的目的）。另一種理解就是尋求其等價無窮小量。

⑵用函數微分dy?f/①dx不一定是無窮小量但應比較?x?dx近似計算?y時要注意：小。②dx應是一個不依賴于ｘ的增量。

⑶一般利用微分解決四個方面的問題：①計算函數增量?y的近似值即：?y?dy?f/?x?dx②計算函數的近似值即：f?x??x??f?x??f/?x?dx③求方程的近似

/解即：f?a??x??f?a??f?a??x④按照誤差的精度要求進行近似計算。微分在誤差估計中的實際應用：設某量的測量值為ａ，精確值為A如果A?a??則正數?稱為測量的絕對誤差。

??稱為測量的相對誤差，而在實際應用中相對誤差多用來計

aA算。

解析：分清精確值與測量值。六，高階微分

由于對自變量x來說dx=?x與x無關，因此可微函數y?f?x?的微分dy?f/?x?dx仍是x的函數這樣若dy還可微，則把它的微分d?dy??d?f/?x?dx??f//?x??dx?2叫做函數y?f?x?的二階微分，并將d?dy?記作：d2y，把?dx?2記作：dx2，于是二階微分為d2y?f//?x?dx2由此可以更一般地若y?f?x?的?n?1?階微分d?n?1?y?f?n?1??x?dxn?1仍可微，則把它的微分：dy?fn?n?這時稱函數y?f?x??x?dxn叫做y?f?x?的ｎ階微分，ｎ階可微，二階與二階以上的微分稱為高階微分。

第7頁 解析：⑴其描述過程具有數學歸納法的性質，所以求解高階微分的一般方法為數學歸納法。

⑵高階微分沒有微分形式不變性。第三講 導數的應用

一，函數的單調性：設函數y?f?x?在?a,b?上連續，在?a,b?內可導⑴如果在?a,b?內f/?x??0那么函數y?f?x?在?a,b?上單調增加⑵如果在?a,b?內f/?x??0那么函數y?f?x?在?a,b?上單調減少。

解析：⑴區間?a,b?具有任意性，無論開閉還是有窮，無窮均可。

⑵若在?a,b?內f/?x??0則嚴格單增，若在?a,b?內f/?x??0則嚴格單減。

⑶在該定理中我們研究的是導函數值域的性質，并不是某一點導函數值的性質，而是區間上任意點導函數值的性質。

⑷此定理為充要條件，所以結合定義域可求出某函數的單調增（減）區間，與此同時一定要針對函數的單調區間去談函數的單調性。

⑸幾何意義：由函數y?f?x?的導數f/?x?的正負來判斷曲線的升降，進而判斷其單調性。

⑹該定理具有逐層描述的特性，即：二階導函數的正負決定一階導函數的增減性，可推廣到ｎ階。二，函數的極值

1函數極值的定義：設函數y?f?x?在點x0的某鄰域內有定義，如果對于其去心鄰域內的任一ｘ有f?x??f?x0?（f?x??f?x0?）則稱f?x0?是函數y?f?x?的一個極大值（或極小值）函數的極大值與極小值統稱為函數的極值。使函數取得極值的點稱為極值點。解析：⑴在研究函數在點x0處的極值時，一般要求函數是連續函數即：應考察函數在點x0及其附近是否有定義。

⑵極值是一個局部性定義，它只與一點及其附近的函數值有關，而與整個定義域或定義域內某個區間上的一切函數值無關，因此對于同一個函數來說在一點的極大值也可能小于另一點的極小值。在一個區間內可能取得多個極值。（極值與最值的區別）

⑶極值點處函數曲線的切線平行于ｘ軸，即：導數為0，但導數為0的點（或稱穩定點，臨界點，駐點）不一定是極值點。換句話說，費馬(Fermat)引理只是可導函數極值的必要條件。

⑷函數極值與方程根的個數有一定的關系。常用兩種極值的判別法（兩個充分條件）：⑴第一判別法：設函數f?x?在x0連續在U0?x0,??上可導①若當x??x0??,x0?時f/?x??0，當x??x0,x0???時f/?x??0則f?x?在x0取得極大值②若當x??x0??,x0?時f/?x??0，當x??x0,x0???時

第8頁 f/?x??0則f?x?在x0取得極小值。

解析：⑴反映了單調性與極值的關系。

⑵按此法求極值的步驟：①確定函數f?x?的定義域。②求函數f?x?的導數f③令f//?x?。?x??0求出函數f?x?的所有駐點和不可導點。④檢查f/?x?在各駐點附近左右的值的符號，如果左正右負則f?x?在這個駐點取得極大值，如果左負右正則f?x?在這個駐點取得極小值，如果左右同號，那么函數f?x?在這個駐點不取得極值。⑤求出函數在所有極值點的函數值就得到函數f?x?的各極值。

⑵第二判別法：設函數f?x?在x0處具有二階導數且f/?x0??0,f//?x0??0那么①當f//?x0??0時函數f?x?在x0處取得極大值②當f//?x0??0時函數f?x?在x0處取得極小值。

解析：⑴其與函數的凸凹性是統一的。

⑵有時多用第一，二判別法綜合起來使用。

⑶按此法求極值的步驟：①確定函數f?x?的定義域且函數f?x?在定義域內有二階導數②求函數f?x?的一階導數和二階導數③令f/?x??0求出函數f?x?的所有駐點和不可導點④計算各駐點（有不可導點時用列表法）的二階導數值，若二階導數值為正則函數在該．．點取得極小值，若二階導數值為負則函數在該點取得極大值。若二階導數值為0則此法失效。⑤求出函數在所有極值點的函數值就得到函數f?x?的各極值。

⑶定理推廣：若函數f?x?在U?x0,??上至少存在n?2階導數且f/?x0??f//?x0????f?n?1??x0??0而f?n??x0??0則⑴ｎ為奇數則函數f?x?在x0不取得極值。⑵ｎ為偶數f?n??x0??0則函數f?x?在x0取得極大值；ｎ為偶數f?n??x0??0則f?x?在x0取得極小值。

解析：上述等式可用高階泰勒(Taylor)公式證明。三，函數的最值

1函數的最值與極值的區別與聯系：⑴從研究范圍看函數的極值是局部性的，它只與某一點及其附近的函數值有關，因此對于整個區間來說可能存在多個極值而函數的最值則不然，它與閉區間?a,b?上的任意一點的函數值有關是對整個區間來說的，因此是唯一的。⑵最值與極值沒有必然的聯系即：如果在區間?a,b?內部取得函數的最值，它不一定是極值。同理取

第9頁 得函數的極值，它不一定是最值。并且最大值不一定比極小值大。⑶求函數在某點的極值時僅把該點的函數值與該點附近的左右函數值相比較，而求函數在閉區間?a,b?上的最值時，需要與開區間?a,b?內的所有函數值比較并且還要與端點處的函數值比較。2 求閉區間?a,b?上函數最值的步驟：⑴求函數f?x?的導數f/?x?。⑵令f/?x??0求出函數f?x?在開區間?a,b?內的所有駐點和不可導點。⑶求出開區間?a,b?內的所有可能的極值（包括駐點和不可導點處的值）和區間端點的函數值f?a?,f?b?。⑷比較上述所有函數值，選出最大者為函數f?x?在?a,b?上的最大值，最小者為函數f?x?在?a,b?上的最小值。3 最值在實際問題（最優化問題）中的應用：⑴分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題轉化為數學問題，即：列出函數關系式y?f?x?。⑵確定ｘ和ｙ的變化范圍，并求出ｘ變化范圍內的各駐點及不可導點。⑶求出ｘ變化范圍的端點函數值。⑷比較函數各駐點及不可導點處的函數值和端點函數值，根據實際意義確定函數的最值。⑸在實際問題中由f/?x??0常常僅解到一個駐點，若能判斷函數的最值，在ｘ的變化區間內部得到駐點處的函數值就是所求的最值。四，函數的凸凹性與拐點 函數的凸凹性：設函數f?x?在區間上有定義，如果對任意的x1,x2?I且x1?x2及任意實數???0,1?總有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?則稱函數f?x?是I上的下凸函數，簡稱凸函數。若總有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?則稱函數f?x?是I上的下凹函數，簡稱凹函數。若不等式是嚴格不等式則稱函數f?x?在I上是嚴格凸函數或凹函數。

解析：⑴凸凹性是相對方向性定義，隨所選方向的不同而不同。

⑵實際上，在研究凸凹性時就是在相同的橫坐標下，曲線上相異兩點連線的縱坐標與相應曲線縱坐標的比較。為了研究的方便常取??1，這時其定義為：設函數f?x?在區間2上有定義，如果對任意的x1,x2?I且x1?x2，若有f??x1?x2?f?x1??f?x2?為該區??2?2?間上的下凸函數；若有f??x1?x2?f?x1??f?x2?為該區間上的下凹函數。??22?? ⑶琴生(Jensen)不等式：設函數f?x?是區間上的下凸函數，則對于任意的第10頁

?x?x2??xnx1,x2,x3?xn?I有不等式f?1n?函數

?f?x1??f?x2???f?xn?成立，反之若??n?函

數，那

么

有

不

等

式f?x?是區間上的下凹?x?x2??xn?f?x1??f?x2???f?xn?對于上述兩式當且僅當x1?x2???xnf?1??nn??時取等號。

解析：此不等式是一些重要不等式的基礎例如：①三角形不等式：?????2???xi2???yi2?????xiyi???i?1??i?1??i?1?rn12n12n12（ri?N*）②冪平均不等式：1nr1nr?1n??1n???ak???ak?r?1?；??ak???ak?1?r?③調和，幾何，算術平均值不nk?1nk?1?nk?1??nk?1?1n?n等式：?a?aa?R??iiin1ni?1i?1?i?1ainn??④柯西(Cauchy)不等式：?n?22xy?xy???iiii??xi,yi?0? i?1?i?1?⑵凸，凹函數的幾何解釋：嚴格下凸函數的圖象在任意一點處切線的上方，嚴格下凹函數的圖象在任意一點處切線的下方。函數凸凹性的判斷：設函數y?f?x?在?a,b?上連續，在?a,b?內具有一階和二階導數，那么⑴若在?a,b?內f//n2?x??0則f?x?在?a,b?上的圖形是嚴格下凸的。⑵若在?a,b?內f//?x??0則f?x?在?a,b?上的圖形是嚴格下凹的。

解析：由于二階導數可以用來刻畫一階導數的性質，故得到兩點結論：⑴f?x?在?a,b?上連續在?a,b?內可導，若有對于任意的x0??a,b?使得有：f?x??f?x0??f/?x0??x?x0??a?x0?b?成立則稱f?x?為?a,b?上的下凸函數，若有對于任意的x0??a,b?使得有：f?x??f?x0??f/?x0??x?x0??a?x0?b?成立則稱f?x?為?a,b?上的下凹函數。⑵反映了過曲線上任意一點切線斜率的變化趨勢。拐點：使連續曲線y?f?x?在經過點?x0,f?x0??時其凸凹性發生改變的點?x0,f?x0??稱為曲線的拐點。

第11頁 解析：⑴拐點的性質：若函數f?x?在U?x0,??上存在二階導數且點?x0,f?x0??是函數y?f?x?的拐點那么f//?x0??0。

⑵求函數拐點的步驟：①求f//?x?②令f//?x??0解出這個方程在區間Ｉ內的實根并求出在區間Ｉ內二階導數不存在的點③判斷符號：對②中所求的的每一個實根或二階不可導的點，根據f//?x?進行左右鄰近兩側的符號判斷若兩側異號則是拐點，同號則不是拐點。

五，函數凸凹性（拐點）與單調性（極值）的比較 對于連續函數我們通常用一階導數確定單調性，而用二階導數來確定凸凹性。根據一階導數在某點鄰近兩側單調性的不同從而確定其點為極值點，而根據二階導數在某點鄰近兩側凸凹性的不同從而確定其點為拐點。但二者統一于二階導數，當二階導數大于0時函數是下凸函數取得極小值；當二階導數小于0時函數是下凹函數取得極大值。（如果存在極值的話）六，曲線的漸近線 定義：設曲線f?x?上的動點P沿曲線無限的遠離原點時，點P與某一直線L之間的距離趨于0，則稱直線L是曲線f?x?的漸近線。（體現了數學的辯證法思想）分類：⑴垂（鉛）直漸近線：若

limf?x???x?x0??（或當x?x0）則x?x0是曲線,x?x0f?x?的垂（鉛）直漸近線。

解析：確定x0點是關鍵，一般采用羅比塔(L’Hospital)法則或求其反函數且當x??解出ｙ，ｙ即為x0。

⑵水平漸近線：若

limf?x??b則y?b就是曲線f?x?的水平漸近線。

x??f?x? ⑶斜漸近線：設曲線f?x?有斜漸近線y?kx?b那么ｋ=x，ｂ

x??lim=lim?f?x??kx? x??解析：判斷一個函數的漸近線時一般采取水平，垂直，斜漸近線的順序依次驗證。七，函數圖象的描繪 ⑴確定函數的定義域。

⑵討論函數的奇偶性，周期性。

⑶確定函數的某些特殊點（如與坐標軸的交點）。⑷確定函數的單調區間，極值點，凸凹區間及拐點。

⑸求出漸近線（也可能不存在）列表綜合上述各情況描繪函數圖象。

第12頁 八，弧微分與曲率 弧微分：在L上取定一點A，作為度量弧長的基點，并規定x增大的方向為L的正向，?L設M?x,y?為上任意一點，并規定有向弧段AM的長為Ｓ，則Ｓ是Ｍ的橫坐標x的函數，即：S?S?x?而且S?x?是x的單增函數，我們稱弧長函數S?x?的微分ds為弧微分，下面是三種形式弧微分計算公式：⑴普通方程：ds?1?y??dx⑵參數方程：

/2ds??/?t???/?t?dt⑶極坐標方程：ds?r2?r/d?。

222解析：實際與積分的求弧長是統一的。

???2 曲率：⑴平均曲率：若記曲線弧AM的弧長為?s切線轉角為??則稱k?為曲線弧

?s的平均曲率。

????s?0A?MAM ⑵曲率：當（即：）時如果的平均曲率k?的極限

?slim????limd?k?存在，則稱此極限的絕對值為曲線在點Ｍ處的曲率，記為：=。?s?sds?s?0?s?0解析：⑴曲率反映了曲線的彎曲程度，曲率是平均曲率的精確化，其描述曲線上每一點的彎曲程度（與導數定義的比較）

⑵曲率的計算：①普通方程：k?y//?1?y?3/22②參數方程：k??/?t??//?t???//?t??/?t???/2?t???/2?t??32。曲率圓與曲率半徑：設曲線y?f?x?在點Ｍ的曲率為k?k?0? 過Ｍ點作曲線的切線，1??，以C為圓心，以?為半徑作圓，則k稱此圓為曲線在點Ｍ處的曲率圓，C稱為曲率圓的中心，?稱為曲率半徑。并在曲線凹向一側的法線上取一點C使MC?解析：⑴在點Ｍ處，曲線與曲率圓具有關系：有共同的函數值，有共同的曲率，有共同的一，二階導數，有共同的切線，即曲率圓與曲線在Ｍ點相切（轉化的思想）。

⑵曲率半徑與曲率互為倒數，所以曲率半徑R??1?y?y//32/2。

⑶曲率中心的計算：設其中心坐標為o??,??曲線的對應點為M?x,y?，則

第13頁 2?y/1?y/???x?y//? ?/21?y???y??y//??? ⑷曲率圓方程由?x?????y????R2確定。

22曲線的漸屈線與漸伸線：當點?x,f?x??沿曲線C移動時，相應的曲率中心O的軌跡曲線G稱為曲線C的漸屈線，而曲線C稱為曲線G的漸伸線。所以漸屈線的參數方程為2?y/1?y/???x?y//?//////其中y?f?x?，y?f?x?，y?f?x?，ｘ為參數，直角坐標系?21?y/????y?y//????o?與xoy重合（有時須坐標平移）。

九，方程近似解的計算

在上一章中，我們介紹了二分法（根本思想）求方程近似解，下面結合本章我們再介紹兩種求解方法： 弦位法：⑴定義：過曲線上A，B兩點作弦，則弦AB必與X軸有交點x1，我們就可把x1作為x0的一個近似值，為了達到規定的精度，我們還可以在?a,x1?內作弦AB1，用弦AB1與X軸的交點x2作為x0的第二個近似值。顯然x2較x1更接近x0，如此依次作下去，我們就可以達到符合任意精度的x0的近似值，這種方法稱為弦位法。其思想核心是用直線段弦與X軸的交點橫坐標逼近的方法近似表示曲線與X軸交點的橫坐標x0。

⑵具體操作過程：在曲線上截取較短區間?a,b?，使?a,b?存在實根x0，這時連接兩端點A?a,f?a??,B?b,f?b??成弦AB，再求出AB與X軸的交點x1（且x1?a?b?af?a?）并根據具體的情況（單調性，凸凹性）選擇?a,x1?或?x1,b?之f?b??f?a?間選取一點C?c,f?c??再連AC或BC，如此依次作下去，直到達到規定的精度。2 切線法：⑴定義：過曲線f?x?上與f//?x?同號的那個端點作切線，則這切線與ｘ軸的交

/點的橫坐標x1就可作為x0的一個近似值，為了達到預定的精度，還可以在?x1,b?內，過A

第14頁 點再作切線，并把這切線與ｘ軸的交點的橫坐標x2作為x0的第二個近似值。顯然x2較x1更接近x0，如此做下去，就可以得到符合任何精度的x0的近似值，這種方法稱為切線法。其思想核心是用切線與ｘ軸交點的橫坐標近似表示曲線與ｘ軸交點的橫坐標x0。應該注意的是，用切線法求近似值時必須在縱坐標與f//?x?同號的那個端點作切線，如果把切線與f//?x?異號的那個端點，就不能保證切線與ｘ軸交點的橫坐標x1比較接近于x0。另外，在實際計算中，常將弦位法與切線法綜合應用，以求較快地得到符合規定精度的方程的近似解。⑵具體操作過程：我們只在縱坐標與f//?x?同號的端點作切線，不妨設f?a?與f//?x?同號于是，區間?a,b?的左端點對應點?a,f?a??作切線，并求其切線與ｘ軸的交點x1（x1=a?f?a?），并在?x1,b?內取一點x2，再作切線，如此做下去直至達到規定的精度。

f/?a?3 弦位法與切線法的比較：應用切線法求得同樣精度的近似值要比弦位法快一些。

第15頁

第四篇：大學課件-高等數學課件導數、微分及其應用

第二講

導數、微分及其應用

一、導數、偏導數和微分的定義

對于一元函數

對于多元函數

對于函數微分

注：注意左、右導數的定義和記號。

二、導數、偏導數和微分的計算：

1）能熟練運用求導公式、運算法則計算導數、偏導數和微分；

2）隱函數、參數方程的導數

3）高階導數：特別要注意萊布尼茨公式的運用。

例1：求函數在處的階導數。

解：，所以有

（1）

利用萊布尼茨公式對（1）兩邊求階導數得

當時，由此可得

例2：求的階導數。

解：

設

其中，則有

注：計算時注意一階微分不變性的應用。

4）方向導數與梯度

三、導數、偏導數及微分的應用

1）達布定理：設在上可導，若則對介于的一切值，必有，使得。

證明：在上可導，則在上一定有最大值和最小值。

1、如果異號，無妨設，由于，由極

限的保號性，當充分接近時有；當充分接近時有，這就說明不可能是在上的最大值，所以一定存在，使得是在上的最大值，由費馬

定理可得。

2、對于一般的的情形，設是介于的值，考慮函

數，則有異號，由前

面的證明可得，存在有，即。

2）羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

其中，這里在與之間的某個值。

3）一元函數的單調性及極值、最值

4）一元函數的凹凸性：

在區間上凹：和，若，則；

在區間上凸：和，若，則；

性質：1、如果在區間上是凹的，則和，若，一定有；

2、如果在區間上是凸的，則和，若，一定有

證明：因為

其中，所以用數學歸納法可證明以上結論。

例3：證明：若，則有

證明：考慮函數，因為

所以時，是凹函數。因此對于由性質有

5）多元函數幾何應用

6）多元函數的極值：拉格朗日乘數法。

例4：設在上連續，在上可導。又在上連續，證明：至少存在一點使得。

證明：因為在上連續，所以在上存在原函數，即有。

考慮函數，則有，由羅爾中值定理可得至少存在一點使得

因此至少存在一點使得。

例5：設函數在上連續，在上可導，（1）如果，證明：至少存在一點，使得。

（2）如果，且對一切有，證明：至少存在一點，使得。

證明：（1）如果函數在上是常數，則對于任意的都有。下面設不是常數，此種情形下存在使得，無妨設，取，因為，所以存在，當時有

因此我們有，由此我們可得在上的最大值不在端點取得，由最大值和最小值定理和費馬定理至少存在一點使得

(2)因為，由夾逼準則得

考慮函數，則有在上連續，在上可導，并且，由（1）的結論可得至少存在一點，使得。

例6：設函數在區間上可微，是個正數，且，證明：存在使得

證明：利用介值定理，存在使得，無妨我們設，對函數分別在以為端點區間上運用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之間使得

因此我們有

例7：設在上可導，證明：。

證明：1）設在內的最大值為，則有

這就得到在上有，特別是；

2）設在上有，設設在內的最大值為，則有

這就得到在上有，由數學歸納法可得在上有。同理可得在上有。

例8：設在上有二階導數，證明：存在，使得

證明：設，將在點處展成三階泰勒公式

當時，（1）

當時，(2)

得

因為在可導，且在之間，由達布定理可得，存在使得，此時即有

例9：設在上二階可導，證明：對于，存在使得

證明：構造函數，則有，利用羅爾中值定理，存在有，再利用一次羅爾中值定，存在使得，又因為

由此可得

即有

例10：設函數在連續，在內可微，且。證明：（1）存在使得；

（2）存在使得。

證明：（1）考慮函數，因為，由零點定理，存在使得；

（2）考慮函數，因為，由羅爾中值定理，存在使得，即有。

例11：設在上無窮次可微，并且滿足：存在，使得，；且，求證：在上。

四、練習題

1）求函數的階導數。

2）設在上有階導數，且，證明：存在，使得。

3）設在上有二階導數，且存在使得證明：存在，使得。

4）設在區間上三次可微，證明：存在，使得

5）設函數在上是導數連續的有界函數，證明：

五、

第五篇：大學 高等數學 競賽訓練 導數、微分及其應用

導數、微分及其應用訓練

一、（15分）證明：多項式無實零點。

證明：用反證法證明，設存在實根，則此根一定是負實根（因為當時，）。假設，則有。因為

由此可得，但是，這是一個矛盾。所以多項式無實零點。

二、（20分）設函數在上具有連續導數，在內二階可導，證明：存在，使得

證明：設。對函數在區間上運用拉格朗日中值定理可得，存在使得

再對函數在區間運用拉格朗日中值定理，存在使得

由此可得

三、（20分）設是二階可微函數，滿足，且對任意的有

證明：當時。

證明：因為，設，則有

因此當時，當時。

四、（15分）設函數是可微函數，如果，證明：僅為的函數。

證明：考慮球面坐標，其中，則有，因為

所以僅為的函數。

五、（15分）設在點處可導，且。

證明：因為在點處可導，所以

又因為，所以，由此可得

六、(15分)設函數具有三階連續導數，并且對任意的，都為正值，并且。

證明：任取數，構造函數

因為，并且只有，所以

任取正數，則有

利用拉格拉日中值定理，存在使得，所以有

又因為，所以

當時有，由的任意性可得對任給的有。

七、