第一篇：微分幾何期中考試
2009—2010年微分幾何期中考試試題
一、判斷題（10分）
1.在光滑曲線的正常點處，切線存在而且唯一。()
2.空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀。()
3.保角變換一定是等距變換。()
4.撓率是空間曲線的副法向量對于弧長的旋轉速度。（）
5.空間曲線穿過密切平面和從切平面,不穿過法平面。()
二、計算與證明題：
1．已知圓柱螺線的參數方程
(C):r={acost,asint,bt},t R
（1）求曲線C上任一點M的基本向量a,b,g。
（2）求曲線C上任一點M及A(a,0,0)點的切線和法平面及密切平面的一般方程。
（3）求曲線C的主法線曲面的參數方程和一般方程。
2．已知空間曲線(Viniani曲線)：
222ì?x+y+z=1(C):?í22???x+y=x
求曲線C在(0,0,1)點的曲率。
3．
第二篇：微分幾何教案 第七講
具體如下：
取M上的向量場X，對給定的x?M,有
*?(x)?T于是X(x)?TxM，xM為關于X的齊次線性函數，有
?(X)(x)??(x)?X(x)?,x?M.對?f,g?C(M)和?X,Y?X(M), 有
?(fX?gY)?f?(X)?g?(Y).下面設?1,?,?p?T*M（即1-形式），X1,?,XP為M上的向量場。
d?(?1????p)(X1,?,Xp)?????(p)?(?1)S(?)?1(Xi1)??p(XS(?)(i1?ip)?(?1)?1(Xi1)??p(Xip)?det(?i(Xj))，其中?(p)是?1,2,?,p?的置換群，即Sp,?{i1,?,ip}??(p),S(?)是?的逆序數。一般地，設
??i1??ip?ai1?ip?i1????ipi1??ip?(X1,?,Xp)?
?ai1?ip?i1????ip(X1,?,Xp).1
并且，設?和?分別為M上的p?形式和q?形式，則
(???)(X1,?,Xp?q)???(?1)S(?)(X??(p?q)?i1,?,Xip)??(Xip?1，設U?,U?是M上x處的兩個坐標鄰域，它們的局部坐標分別為?x?i?和?x?j?。設M上的p?形式?(x)在這兩個局部坐標系中分別表示為
?(x)???a??iip1?ip(x)dx?i1???dxi?i1p??b
jjp1?jp(x)dxj?j1???dx?j1???p.則有坐標變換公式：
b(x?i1,?,x?ip)j1?jp(x)????(xaii1???ip1?ip(x).?j1,?,x?jp)
三、外微分
對流形M上的0-形式f（即函數f?C?(M)），由函數的微分，有
df(x)??n?fdxi?1?xi，i 2
Xip?q?,為M上的1-形式，上式表明，“d”是F0(M)到F1(M)的映射。下面將“d”推廣為Fp(M)到Fp?1(M)的映射。df
定義：設U為流形M上含x的坐標鄰域，局部坐標為?xi?。如果M上的p?形式在U中寫成
?(x)??iai1?ip(x)dx?i1???dx?1???ip則定義外微分如下：
d??d(x)dxi?dai1?ipi1???dxip1???ip?a?n?i1?ip(x)i?1???ipj?1?xdxj?dxij1???d:Fp(M)?Fp?1(M)??d?
性質：
① 對??,??Fp(M),?1,?2?R有
d(?1???2?)??1d???2d?.② 對??Fp(M),??Fq(M),有
d(???)?d????(?1)p??d?.ip，dxip.r③ d?d?0,即???F(M),都有
d(d?)?0.③ 當p?n時，對
???Fp(M),必有 d??0.例 考慮R3，取它的直角坐標系(x,y,z),則R3上所有微分形式為
0?形式：?0?f(x,y,z),f?C?(R3).1?形式：?1?adx?bdy?cdz,a,b,c?C?(R3).2?形式：
?2?ady?dz?bdz?dx?cdx?dy,a,b,c?C
3?形式：?3?adx?dy?dz,a?C?(R3).分別求它們的外微分。龐卡萊引理及逆命題
定義： 設M是n維微分流形，??Fp(M)。如果d??0,則稱?為閉微分形式（簡稱閉形式）。如果存在??Fp?1(M)使得??d?,則稱?為恰當微分形式（簡稱恰當形式）。顯然有
(R3).?定理（Poincare?引理）設?是M上的p?形式且是恰當的，則?必是閉形式。定理（Poincare?引理的逆命題）
?是U上的p?形設開集U?M可收縮為一點，式，若?是閉的，則?是恰當的。
對偶映射
定義：設M,N分別為m維和n維微分流形，F:M?N是C?映射。定義映射
F*:FP(N)?FP(M),(0?p?n)??F(?)*
使得對任何x?M,X1,?,Xp?TxM有
(F*(?))(x)?X1,?,XP???(F(x))?F*(x)X1,?,F*(x)XP?
其中F*即dF，是F的微分。F*稱為映射F*的對偶映射。性質：
⑴ F*是線性的，即對??1,?2?FP(N)，有
F*(?1?1??2?2)??1F*(?1)??2F*(?2).⑵ 對??,??Fp(N),有
F*(???)?F*(?)?F*(?).⑶ d?F*?F*?d，即對???Fp(N)有
d(F*?)?F*(d?).⑷ 若 F:M?N,G:N?P是C?的，則
(G?F)*?F*?G*.局部地，設(U,?)和(V,?)分別為M和N上包含x和y?F(x)的坐標圖，F(U)?V,局部坐標分別為?xi?和?yj?。如果設
?(y)??ai1?ip(y)dyi1???dyip，i1???ip則
F(?)(x)??ai1?ip(F(x))*i1???ipj1???jpdxj1???dxjp.?(xj1,?,xjp)?(yi1,?,yip)§5.8 流形上的積分
一、體積元與可定向流形
設 ?x1,?,xn?是Rn的一個直角坐標系?e1*,?,en*?為xi方向的單位向量構成的一個有序標準正交基，取Rn的一個n?形式：
??dx1???dxn, 顯然
?(e,?,e)?det(dxi(e))?1.*1*n*j它給出以e1*,?,en*為邊構成的n維正立方體。一般地，若?e1,?,en?是Rn的任一個有序基，則
于是
可將之視為以“有向?e1,?,en反）”。如R2上，取一般地，在?e1,?,en
eni??a1ije*j.j?
(e1,?,en)?(dx1???dxn)(e1,?,en)?det(dxi(ej))?det(aij).(e1,?,en)為邊的平行多面體的積”。若det(aij)?0(?0)則稱基底?e**1,?,en?的“定向相同（相dx1???dxn稱為Rn的標準體積元。e1?(1,0),e2?(0,1).（如圖示）
e1'?e2,e2'?e1.[ee?01?1',2']?[e1,e2]??10??, det(aij)??1?0.n維實向量空間V上任取兩組基?e1',?,en'?，它們的關系為
ej'?aijei,j?1,?,n.?體?與標準基???及或
?e',?,e'???e,?,e?[a].1n1nij定義等價關系：
?e1,?,en?~?e1',?,en'??det(aij)?0.這樣就可將V的所有有序基分為兩個類，稱之為V的定向。同一等價類中各元的定向相同，不同的等價類的元之間的定向相反。如 R3中，{i,j,k}代表的右手系習慣稱為正定向，而{i,k,j}代表的左手系為反定向。又如Rn中??1?,?n?確定它的一個標準定向流形的定向。
定義：設M是n維微分流形，?(U?,??)?是M的一個圖集。若該圖集能確定?x?M的切空間TxM的定向，則稱M是可定向的。M可定向??x?U??U?處雅可比行列式
??x?j??(x?1,?,x?n)??det??0.??x???i?x?(x?1,?,x?n)x并非所有的流形都可定向，如Mobius帶。定義：設?是M上的一個n-形式，若對?x?M，都有?(x)?0，則稱?為流形M的一個體形式（體積元）。可以證明：M可定向?M上有一個體積元。設x點處局部坐標系?x1,?,xn?，則TxM有自然基?????,?,??xn???x1，若對?x?M都有?????(x)????x,?,1?xn向，否則反向。定義：設M，形，其定向分別由?:M?N為C?向相同，則稱向的。
命題：設映射N分別由n-形式所定向，則
?
保定向流形上的積分首先考慮Rn中開集系。取切空間的基
?0,則?確定了流形M
N是兩個已定向的n維微分流??Fn(M)和??Fn(N)確定，若微分形式?*?與?是保定向的；否則稱?是:M?N,x?y??(x),流形??dx1???dxn和??dy1????(y1,?,yn)?(x?0.1,?,xn)U，?xi?為Rn的整體坐標
???????x,?,?確定U的正方
1?xn?9
正
M和?dyn的???的定映射。?反定? 向，于是Rn成為一定向流形。
設f為U上一個可積函數，??f(x)dx1???dxn.?U???Uf(x)dx1???dxn??Uf(x1,?,xn)dx1?dxn.d
下面考慮n維可定向的微分流形M。設 ?(U?,??)?是M上的一個圖冊，局部坐標為?x?1,?,x?n?，下面用切空間上的自?????x,?,??1?x?確定M的定向。
n?取M的開覆蓋?U??的一個單位分解?f?在M上的C?函數族?f??，滿足
① 對任何?及?x?M，有0?f?(x)?x?U?時，f?(x)?0； ② 對 ?x?M，僅有有限個f?(x)?0。③ 對 ?x?M，?f?(x)?1。
?設?是M上的一個n?形式，且其支集Supp??d?x?M|?(x)?0?，是一個緊子集。如果對某個?有Supp??有U?上可表示為
??a(x)dx?1???dx?n.然基，即存,且當
U?,則?1
?定義：
?U????U?a(x)dx?1???dx?n???(U?)a(x?1,?,x?n)dx?1?dx?n.d
一般地，由于Supp是緊致的，可選有限個鄰域?U1,?,Um?覆蓋Supp?，即有
Supp???mj?1Uj.由單位分解?fm??可知???f?1j?jSupp(fi?)?Uj,j?1,?,n.于是，定義：n?形式?在已定向流形M上的積分為d?mmmM????Mfj????Ujfj?????j(Uj)fj(x)a(x)dxj?1j?1j?11可以證明，有如下性質：
設 ?,?1,?2是已定向的n維流形M上的有緊支集的n?形式，則 ① ?M(?1??2)??M?1??M?2;② ?M?????M?,??R;③ ??M????M?;
④ 若?為M上的體積元，它確定M的正向，g(x)?0 為M上的連續實函數，則
且
dxn.，? ?Mg??0
當且僅當g?0上式取等號。
M?M1?M2,⑤ 若M1,M2為M的不相交開集，且M1,M2的定向與M一致，則
?M???M???M?.12變量置換公式：
設M,N是已定向的n維微分流形，?:M?N是一個保定向的微分同胚，?為N上的n?形式，則
*????N?M? 特別地，當?:U??(U)?Rn,x??(x)?y,（U為Rn的一開子集）是一微分同胚時，則對?(U)上的可積函數f(y)有
??(U)f(y)dy1?dyn??Uf(?(x))|J|dx1?dxn.如 當n?1時，?:[a,b]?[a',b']是一C?同胚，??f(x)dx,則有
*????[a',b']?[a,b]?，即
?a'f(x)dx??af[?(t)]?'(t)dt，b'b即 經典的變量變換公式。
第三篇：第四版微分幾何期末復習總結
1.求I弧長和交角.(1)I?du2?sinh2udv2,求u=v的弧長.解：u=v?I?du2?sinh2udu2=（1+sinh2u）du2=cosh2udu2,設曲線u=v上兩點A(u1),B(u2)?u1
1212?切線R-r0=?r1(0);主法線R-r0=?（?r01??r0?r0）?;副法線?R-r0?=?(r0?r0).dx2dx)?b]/[()2?1]dydy
第四篇：微分幾何答案彭家貴陳卿
習題一（P13）
2.設是向量值函數，證明：
（1）常數當且僅當；
（2）的方向不變當且僅當。
（1）證明：常數常數常數。
（2）注意到：，所以的方向不變單位向量常向量。
若單位向量常向量，則。
反之，設為單位向量，若，則。
由為單位向量。
從而，由常向量。
所以，的方向不變單位向量常向量
。即的方向不變當且僅當。
補充：
定理
平行于固定平面的充要條件是。
證明：：若平行于固定平面，設是平面的法向量，為一常向量。
于是。
：若，則。若
則方向固定，從而平行于固定平面。
若，則。令則
3.證明性質1.1與性質1.2。
性質1.1（1）證明：設，則
（2）證明：設，則
（3）證明：設，則
同理，所以。
性質1.2
證明：（1）
證明：（2）
4.設是正交標架，是的一個置換，證明：
（1）是正交標架；
（2）與定向相同當且僅當是一個偶置換。
（1）證明：當時，；
當時，所以，是正交標架。
（2）證明：
A)當
B)當
C)當
D)
當，此時，；
E)
當
F)
當
所以，與定向相同當且僅當是一個偶置換。
習題二（P28）
1.求下列曲線的弧長與曲率：
（1）
解：
所以，2.設曲線，證明它的曲率為
證明：
3.設曲線C在極坐標下的表示為，證明曲線C的曲率表達式為
證明：
所以，；；
。
因此，4.求下列曲線的曲率與撓率：
（4）
解：。
所以，。
5.證明：的正則曲線的曲率與撓率分別為。
證明：
根據弗雷內特標架運動方程，得：
所以。
6．證明：曲線
以為弧長參數，并求出它的曲率，撓率與Frenet標架。
證明：1）
所以，該曲線以為弧長參數。
由及
得
所以，2）。
3）所求Frenet標架是，其中。
10.設是中的一個合同變換。是中的正則曲線。求曲線與曲線的弧長參數、曲率、撓率之間的關系。
解：（1）
可見，與曲線除相差一個常數外，有相同的弧長參數。
（2）
可見，與曲線有相同的曲率。
（3）
可見，與曲線的曲率相差一個符號。
13.（1）求曲率（是弧長參數）的平面曲線。
解：設所求平面曲線因為是弧長參數，所以
可設，由曲率的定義，知
所以，所求平面曲線。
20.證明：曲線與曲線是合同的。
證明：1）對曲線作參數變換，則。
可知是圓柱螺線()，它的曲率和撓率分別為。因此，只要證明曲線的曲率，撓率，從而根據曲線論基本定理，它們可以通過剛體運動彼此重合。
2）下面計算曲線的曲率與撓率。
由，進而。
21.證明：定理4.4
定理4.4
設是連續可微函數，則
（1）
存在平面的曲線，它以為弧長參數，為曲率；
（2）
上述曲線在相差一個剛體運動的意義下是唯一的。
證明：先證明（1），為此考慮下面的一階微分方程組
給定初值，其中是中的一個與自然標架定向相同的正交標架，以及，則由微分方程組理論得，有唯一一組解滿足初始條件：。
若為所求曲線，則必是它的Frenet標架。因此，我們首先證明
均是與自然定向相同的正交標架。
將微分方程組改寫成其中。
是一個反對稱矩陣，即令
對求導，并利用有：
表明是微分方程組的解。
定義則
且
即
所以，是微分方程組的解。
注意到：，所以是微分方程組
滿足初始條件的唯一解。從而
所以，均是正交標架。
由于是關于的連續函數，且。故由
知。
可見，均是與自然定向相同的正交標架。
于是由微分方程組有：，這表明為弧長參數。從而由推出是單位切向量。由推出是曲線的曲率，從而由推出由，即是單位正法向量。
可見，微分方程組的滿足初始條件：
唯一一組的確表明：存在平面的曲線，它以為弧長參數，為曲率，當是連續可微函數時。
再證明（2）：設與是平面中兩條以為弧長參數的曲線，且定義在同一個參數區間上。則存在剛體運動
把曲線變為，即。
證明開始：設，考慮兩條曲線在處的Frenet標架
與。
則存在平面中一個剛體運動把第二個標架變為第一個標架，即與在處的Frenet標架重合。因此我們只須證明當曲線與在處的Frenet標架重合時。
曲線Frenet標架的標架運動方程為
這是一個關于向量值函數的常微分方程。曲線的Frenet標架與的Frenet標架都是微分方程組的解。它們在處重合就意味著這兩組解在的初值相等，由解對初值的唯一性定理立即得到。定理證明完成。
習題三（P68）
2（1）是什么曲面？
解：
4.證明：曲面的切平面過原點。
證明：無妨假定方程確定一個的隱函數，于是
設，則
所以，處的切平面為
易見，當時，有：
所以結論為真。
6.證明：曲面在點的切平面等于曲面上過點的曲線在點的切向量的全體。
證明：設曲面的參數方程為。令為參數區域中過則的參數曲線，為曲面上過點的曲線。于是
這表明曲線過點的切向量都可由與線性表出。可見過點的切向量都在過點的切平面上。另一方面，對于任意切向量，在參數區域中取過且方向為的參數曲線
則此時，從而。
這表明：在點的切平面中每一個向量都是過點的某一曲線的位于點的切向量。
于是：曲面在點的切平面等于曲面上過點的曲線在點的切向量的全體。
25.求雙曲拋物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它們所對應的主方向.解：
由，。，其中。
由。
于是Gauss曲率：，平均曲率：。
因為，所以，所以主曲率：
對應的主方向為，其中
.所以。
同理，另一個主曲率：，對應的主方向為。
注：設為外恩格爾登變換，則。
補充：定理
（1）函數是主曲率的充要條件是。
（2）方向
d
=
du:dv
是主方向的充要條件是。
證明：（1）設是對應的主方向，則有，即。
分別用與上式兩邊作內積，得。
所以主方向滿足
由于不全為零，可得
（2）在臍點。
從而由可知，，中的兩個方程成為恒等式。此時，任何方向都是主方向。
在非臍點，分別用和代入
得到相應的主方向
和。
將
改寫成由于不全為零，有。
28．曲面上的一條曲線稱為曲率線，如果曲線在每一點的切向量都是曲面在該點的一個主方向。證明：曲線是曲率線當且僅當沿著，與平行。
證明：
設為外恩格爾登變換，則。
所以，曲線是曲率線當且僅當沿著，與平行。
29.設是曲面的一個參數表示，證明：曲面的參數曲線和
是曲率線的充要條件是。
證明：曲面的參數曲線，記是曲率線等價于曲線在每一點的切向量都是曲面在該點的一個主方向曲線在每一點，同理，曲面的參數曲線，記是曲率線等價于曲線在每一點的切向量都是曲面在該點的一個主方向曲線在每一點，顯然，（假若，則矛盾！）。從而。
所以，曲面的參數曲線和是曲率線的充要條件是。
35.若曲面是極小曲面，證明：除相差一個常數外，它可以寫成，這個曲面稱為Scherk面。
證明：設曲面的參數方程為，則。
因此，。
由得到，即。
上式可化為
(1)
由于上式左邊是的函數，右邊是的函數，故只能是常數，設此常數為。
當時，由(1)可知，其中是常數。
于是該極小曲面是平面，其中。(不是Scherk曲面)
下面設。由(1)得，令，即。則有。
于是。在軸方向作一平移，可設，從而，積分得。
同理，由可得。
于是。
第五篇：蘇步青我國微分幾何研究的開拓者著名數學家
蘇步青——我國微分幾何研究的開拓者著名數學家
（１９０２－）
谷超豪
蘇步青，數學家，數學教育家。早年執教于浙江大學，后長期擔任復旦大學領導工作。研究領域涉及仿射曲面理論，射影曲線一般理論，曲面的射影微分
幾何理論等，獲許多優秀成果。在計算幾何及其應用方面頗多建樹。是我國微分幾何研究的開拓者之一。
蘇步青１９０２年９月２３日出生于浙江省平陽縣帶溪村。父親蘇宗善，靠種地為生。童年的蘇步青已學會做些輔助勞動，割草、喂豬、放牛等活兒都干過。由于家境貧寒，不能上學讀書，他靠自己找書看，《水滸》、《聊齋》等名著不只讀過一遍。每當放牛回家路過村上私塾，他總要湊上去偷聽一陣。父親眼看兒子如此好學，終于決定節衣縮食，在他９歲時送他上學。
１９１５年８月，蘇步青考取溫州市浙江省立第十中學，１９１９年７月中學畢業，赴日本留學進東亞日語預備校學習。第二年３月，以第一名成績考入東京高等工業學校電機系。１９２４年，又以第一名成績考進東北帝國大學數學系。１９２７年發表第一篇學術論文，同年入本校研究生院當研究生并兼任教員。１９３１年１月在東北帝國大學獲得理學博士學位，３月偕夫人松本米子（后加入中國籍，改名蘇松本，以畢生精力支持蘇步青的事業）回國。６０年來他一直為中國的數學事業和教育事業奮斗不息，取得了輝煌的成就，受到數學界和全國人民的敬仰和愛戴。
學術上的重大成就
蘇步青的研究方向主要是微分幾何。１８７２年，德國數學家Ｆ．克萊因（Ｋｌｅｉｎ）提出了著名的“愛爾蘭根計劃書”，在其中總結了當時幾何學發展的情況，認為每一種幾何學都聯系一種變換群，每種幾何學所研究的內容就是在這些變換群下的不變性質。除了歐氏空間運動群之外，最為人們所熟悉的有仿射變換群和射影變換群。因而，在１９世紀末期和本世紀的最初三四十年中，仿射微分幾何學和射影微分幾何學都得到很迅速的發展。蘇步青的大部分研究工作是屬于這個方向的。此外，他還致力于一般空間微分幾何學和計算幾何學的研究。一共發表了１５６篇學術論文，并有專著和教材十多部。他的不少成果已被許多國家的數學家大量引用或作為重要的內容被寫進他們的專著。
對仿射微分幾何學的研究 仿射群是比歐幾里德群大一些的變換群，它能夠保持“直線”和“平行性”，但沒有線段長度和正交性等概念。蘇步青在２０年代后期，就致力于微分幾何學這一分支的研究，當時在國際上處于熱門。他的成就之一就是引進和決定了仿射鑄曲面和仿射旋轉曲面，他決定了所有仿射鑄曲面并討論了它們的性質，仿射旋轉曲面是仿射鑄曲面的一種特殊情形，它的特征是這種曲面的仿射法線必和一條定直線相交，因而它們是普通的旋轉曲面非常自然的推廣。
蘇步青對仿射微分幾何的另一極其美妙的發現是：他對一般的曲面，構作出一個仿射不變的４次（３階）的代數錐面。在仿射的曲面理論中為人們注目的許多協變幾何對象，包括２條主切曲線，３條達布（Ｄａｒｂｏｕｘ）切線，３條塞格雷（Ｓｅｇｒｅ）切線和仿射法線等等，都
可以由這個錐面和它的３根尖點直線以美妙的方式體現出來，形成一個十分引人入勝的構圖，這錐面被命名為蘇錐面。蘇步青的關于仿射微分幾何學的成果，使他在３０年代初就成為世界上著名的微分幾何學家，后來據此寫成了《仿射微分幾何》（１９８１年出版）一書，評論者（美國《數學評論》）認為，許多內容是“絕對杰出的”，還說，“這本漂亮的、現代化的書是任何學術圖書館所必備的”。
對射影曲線論的研究射影群比仿射群更大，它能保持直線的概念，但“平行性”的概念已不復出現。在１８、１９世紀中，射影幾何曾長期吸引數學家們的注意。例如，通過子群，它可以把歐氏幾何和另外兩類非歐幾何學統一在同一理論體系中。由于既無度量，又無平行性，其微分幾何的研究更為困難。即使是曲線論，雖經著名幾何學家Ｅ．邦皮亞尼（Ｂｏｍｐｉａｎｉ）、蟹谷乘養等人的多年研究，甚至在３維情況，結果也并不理想，更不用說高維情況了。蘇步青發現平面曲線在其奇點的一些協變的性質，運用幾何結構，以非常清楚的方法，定出了曲線在正常點的相應的射影標架（隨曲線而變動的基本多面體），從而為射影曲線論奠定了完美的基礎，得到國際上高度的重視。搞局部微分幾何的學者，往往把奇點扔掉，而蘇步青恰恰是從奇點發掘出隱藏著的特性，陳省身教授對此十分欣賞。在這項研究中，蘇步青和他的學生也同時推進了代數曲線奇點的研究，有關的工作完成于三四十年代，抗戰期間就已寫成專著，但始終不得出版，到１９５４年，才作為他所寫的第一本專著，由中國科學院出版。后來又出了英譯本，《數學評論》的評閱者說：“現在射影幾何被應用于數學物理和廣義相對論中的各種問題，這本書已成為更重要了。”
對射影曲面論的研究射影曲面論比曲線論要復雜得多，在３０年代到４０年代中，蘇步青對它作了非常深入的，內容豐富的研究，在這里我們僅僅指出以下幾項：
對于一個曲面上一般的點Ｐ，Ｓ．李（Ｌｉｅ）得到一個協變的二次曲面，被命名為李二次曲面。作∞２李二次曲面的包絡，除原曲面外，還有４張曲面，于是，對于每點Ｐ就有４個對應點，它們形成了點Ｐ的德穆林（Ｄｅｍｏｕｌｉｎ）變換。這時，所構成的空間四邊形稱為德穆林四邊形。蘇步青從這種四邊形出發，構作出一個有重要性質的協變的二次曲面，后來這二次曲面被稱為蘇二次曲面。
他還研究了一種特殊的曲面，稱為Ｓ曲面，它們的特點是，其上每點的蘇二次曲面都相同，這類曲面有許多有趣的性質。他完全地決定了它們，并作出了分類。
蘇步青還研究了射影極小曲面，他的定義和Ｇ．湯姆森（Ｔｈｏｍｓｅｎ）用變分方法而引進的定義是相等價的。蘇步青得到了有關射影極小曲面的戈爾多（Ｇｏｄｅａｕｘ）序列的“交扭定理”，顯示出很優美的幾何性質。
蘇步青又研究了一類周期為４的拉普拉斯（Ｌａｐｌａｃｅ）序列，它和另一周期為４的拉普拉斯序列有共同的對角線匯，他把這種序列的決定歸結為求解現在應用上很感興趣的正弦－戈登（Ｇｏｒｄｏｎ）方程或雙曲正弦－戈登方程，指出了這種序列的許多特性。這種研究在國際上很受重視，例如蘇聯的菲尼科夫（Φиников）學派就十分贊賞它。后來被Ｇ．博爾（Ｂｏｌ）命名為蘇鏈。
蘇步青的專著《射影曲面概論》全面總結了他在這一方面的成果。
對高維空間共軛網理論的研究本世紀的大數學家Ｅ．嘉當（Ｃａｒｔａｎ）建立了外微分形式的理論，他和Ｅ．凱勒（Ｋａｈｌｅｒ）的關于一般外微分形式方程組解的存在性和自由度的研究，是現代數學的重要成就之一。嘉當本人以及后來的幾何學家們如蘇聯菲尼科夫學派，都用此工具，得到許多微分幾何方面的重要成果。在５０年代中，蘇步青也運用這一工具來研究高維射影空間中的共軛網理論，構作了高維射影空間中不少的具有優美幾何性質的拉普拉斯序列，分別討論了它們的存在性，自由度和有關的幾何性質。
他的專著《射影共軛網概論》（１９７７年出版）總結了這一方面的成果。
對一般空間微分幾何學的研究在１９世紀，已經出現了黎曼幾何學，它是以定義空間兩無限鄰近點的距離平方的二次微分形式為基礎而建立起來的。２０世紀以來，因受到廣義相對論的刺激，黎曼幾何發展很快，并產生了更一般的以曲線長度積分為基礎的芬斯勒（Ｆｉｎｓｌｅｒ）空間，以超曲面面積積分為基礎的嘉當空間，以二階微分方程組為基礎的道路空間和Ｋ展空間等，通稱一般空間。蘇步青從３０年代后期開始，對于一般空間的微分幾何學的發展，作出了許多重要貢獻。
對于嘉當幾何學，他著重研究了極值離差理論，即研究能保持測地線的無窮小變形的方程，這是黎曼幾何中十分重要的雅可比（Ｊａｃｏｂｉ）方程的一種推廣。
Ｋ展空間是由完全可積的偏微分方程組所定義的，由Ｊ．道格拉斯（Ｄｏｕｇｌａｓ）最早提出。蘇步青得到了射影形式的可積條件，他又研究了仿射同構、射影同構及其推廣，在討論這種空間的幾何結構時，他推廣了嘉當有關平面公理的研究。
１９５８年，包括上述結果的專著《一般空間微分幾何學》由科學出版社出版。他在一般空間幾何學的成果，獲得了我國第一屆自然科學獎。
對計算幾何的研究７０年代初期，由于造船、汽車工業的需要和計算機在工業中的應用日趨廣泛，在國際上形成了計算幾何這一學科。蘇步青出于對經濟建設的關心，在逆境中仍然堅持科學研究。他了解到用舊方法作船體放樣的困難后，毅然投入了這項密切聯系工業生產的研究，把曲線論中的仿射不變量方法首創性地引入計算幾何學科，使過去憑經驗直觀的一些方法有了可靠的理論基礎，使得有廣泛應用的３次參數曲線、貝澤（Ｂéｚｉｅｒ）曲線等等的研究都取得了很大的進展。
這些工作的一部分，已經在我國造船工業中的船體放樣、航空工業中的渦輪葉片空間造型以及有關的外型設計等方面獲得了成功的應用，因而獲得了兩項國家科技進步獎。
有關工作的理論部分，已寫入《計算幾何》（和劉鼎元合著）一書。該書英譯本的出版在國際上引起了重視。
總之，蘇步青在微分幾何領域中做了大量的杰出的研究，在各個時期中處于國際的先進行列，并為幾何學今后的發展，提供了寶貴的財富。由于數學研究的重大成就，他于１９４８年被選為當時在南京的中央研究院院士兼學術委員會常委。１９５５年被選為中國科學院學部委員（今稱中國科學院院士）。
除了從事研究之外，他還做過大量的組織和交流工作。１９３５年，他是中國數學會的發起人之一，并當選為理事。他被任命為我國最早的數學研究期刊《中國數學會學報》的總編輯。中華人民共和國成立后，他又致力于中國數學會的復會工作，曾擔任中國數學會副理事長和上海數學會的理事長。他還積極參加過中國科學工作者協會杭州分會的活動，主持過浙江省科學團體聯合會的籌備工作。后來他又擔任過上海科學技術協會主席。
他還曾主持過中國科學院數學研究所的籌備工作，任數學所籌備處主任直至正式建所時為止。在復旦大學，他除了創建數學研究所外，還創辦了全國性的、高質量雜志《數學年刊》。此刊在國際上享有聲譽。
杰出的教育家
蘇步青不僅是一位卓越的數學家，他同時還是一位杰出的教育家。早在留學日本的時期，他就和我國數學界的另一位老前輩陳建功教授相約，要回國共同建設一個具有世界水平的數學系。
１９３１年蘇步青回到祖國后，就在杭州浙江大學為這個理想而奮斗。１９３３年他晉升為教授并擔任數學系主任。他和陳建功教授設計了一套現代化的教學計劃，重視數學的基礎訓練，對學生要求嚴格，各門課程都有習題課，學生要上黑板算題，算不出就不得下去，稱為“掛黑板”。還設置了為引導學生及早走上當時科研前沿的坐標幾何、級數概論等課程。他們還強調閱讀和講解數學文獻以及從事研究能力的訓練。在大學學習階段就設立了“數學研究”課（現稱討論班），由學生做報告，他們親自聽講提問，對講不清楚的地方抓住不放，層層提問，絲毫不能含混，這門課不及格就不得畢業。這是蘇步青教授主張對學生嚴格要求的體現。他這種做法一直堅持到現在，代代相傳。
到了１９３７年，浙江大學的數學系在培養人才方面已顯示出雄厚的實力，并開始招收研究生。他的最早的學生方德植已寫出了研究論文。下半年，抗日戰爭的烽火燃燒到杭州。浙江大學先后遷到建德、泰和、宜山，直至貴州遵義和湄潭。日本侵略軍的侵略，使浙江大學受到了嚴重的摧殘。浙江大學師生在竺可禎校長的領導下，發揚了民族正氣，在極其艱苦的條件下，克服了萬重困難，堅持教學，堅持科研，堅持“求是”的校風，使得這所處于窮鄉僻壤的學校產生了國際影響，被前來參觀的英國的李約瑟（Ｊ．Ｎｅｅｄｈａｍ）博士稱譽為“東方的劍橋”。在其中，數學系的貢獻是突出的。蘇步青在躲避空襲時，還帶著文獻，在防空洞里堅持研究。在湄潭，蘇步青帶著他的幾位早期學生熊全治、張素誠、白正國等人，堅持了射影微分幾何的研究，產生了一系列的重要成果。許多論文都在國際上很有影響的雜志上發表，在國際幾何學界享有崇高的聲譽，以蘇步青為首的浙江大學微分幾何學派已開始形成。
抗戰勝利后，浙江大學搬回到杭州。盡管國民黨政府的各項政策使教育處于極端困難的境地，反饑餓，反內戰的學生運動遍布全國各大城市，在浙江大學數學系也出現了不少積極分子，但數學系的研究空氣，仍然堅持不衰。學生們在參加學運的同時，仍然認真跟著老師們學習和做研究，討論班進行得有聲有色。蘇步青和陳建功看到了數學各分支之間聯系的必要，貫徹因材施教的原則，決定讓兩名成績突出的學生谷超豪和張鳴鏞同時參加“微分幾何”和“函數論”兩個討論班，這在當時也是一個創舉。浙江大學還為設在上海的中央研究院數學研究所輸送了幾位高材生，也有幾位學術上已有成就的教師被選送到國外深造，這是他們為擴大對外交流、博采眾長的一項措施。
中華人民共和國建立后，蘇步青不僅繼續從事數學的教育工作，而且還當了浙江大學的教務長。１９５２年院系調整，他到了上海復旦大學，仍然擔任教務長，后來還擔任過副校長、校長，１９８３年改任名譽校長。
他在非常繁重的行政工作的同時，仍狠抓數學的教學工作，他繼續為青年教師、研究生開課，舉辦討論班。由于各種客觀原因，微分幾何的研究集體曾幾起幾落，一度只剩了一位成員胡和生，他們兩人仍然堅持舉辦討論班，一有時機，他們就合作培養研究生和高年級大學生。終于，浙江大學的微分幾何學派在復旦大學不僅又生了根，而且繼續發展，同時也培養出一大批學生來支援別的學科的成長。有許多學生去從事微分方程、力學、計算機科學等等，形成了一個又一個新的研究集體，出現了一代又一代的后起之秀。蘇步青創建了復旦大學數學研究所，擔任所長多年，為培養年輕的高質量人才和開展前沿的數學研究而努力奮斗。
作為一位老教育家，他在自己的崗位上為教育青年做出了重大貢獻。他經常對青年講話，教育他們熱愛祖國，堅定社會主義信念；教育他們要勤奮學習，保持艱苦奮斗的優良傳統；教育他們堅持實事求是的學風。他并且主張理科學生要有文史知識，提高這方面的修養。凡此種種，都對青年一代產生了重要的影響。
蘇步青還為中等數學教育付出大量心血。６０年代初，他牽頭在上海進行了中學數學教材的改革，編出了一整套高質量的中學數學試點教材。他還一直關心中學數學師資的質量，主張大學要關心支持中學教育。他年過８５高齡時，還親自為中學教師舉辦系統講座，以擴大他們的眼界，提高他們的教學水平。
從愛國主義發展到共產主義
蘇步青從小抱著讀書救國的宏愿去日本留學，苦讀十多年，始終沒有忘記為祖國效力。獲得博士學位后，不顧日方的挽留和優厚的待遇，毅然回國服務，艱苦創業。
抗日戰爭爆發，他毅然率家小西遷，經歷了千辛萬苦，始終為祖國的教育事業奮斗不息。
抗日勝利，臺灣回歸祖國，蘇步青受命去參與接管臺灣大學，完成任務后，返回浙江大學向學生們介紹了這個寶島。
反饑餓、反內戰的學生運動起來了，他雖然對這個政治運動還不十分理解，但是他反對國民黨政府迫害青年學生。１９４７年他建議教授會罷教以抗議學生領袖于子三被殺害。１９４８年他以訓導長的身份把受迫害的共產黨員保護在校內。１９４９年初又親自去保釋被監禁的進步學生和共產黨員。
１９４９年杭州解放后，蘇步青密切注視共產黨的行為，到學校來接管的軍代表、省委的宣傳部長穿的竟是一雙草鞋。嚴重的經濟困難，終于被克服了。作為科學界的代表人物，他來到了北京，周總理宴請了他。在杭州，他參加了杭州市和浙江省的人民代表會議，和省市委領導有著較多的接觸。他在１９５１年又加入了中國民主同盟，和廣大擁護黨、擁護社會主義的知識分子共求進步。經過他的仔細觀察和努力學習，他相信共產黨是為人民服務的，他相信，共產黨不但能打天下，而且能把中國建設好。他也逐步認識到，中華人民共和國能使知識分子施展才華。他教了１８年的書，浙江大學數學系只有１００多名畢業生，可現在，復旦大學數學系每年就有１００多名畢業生；在抗戰時期花了千辛萬苦寫出來的《射影微分幾何概論》，始終不能出版，現在連同其它的專著都陸續出書了，還出了英文版。１９５６年，蘇步青被邀請參加制訂了第一個發展科技的十年規劃，黨和國家把這一重大任務交給了科學家，同時又引導科學家開拓自己的眼界，從所熟悉的那個小圈圈里擴大開去，擴大到科技工作的全局，擴大到未來的科學技術的發展，擴大到整個國家的社會主義建設。蘇步青深深地感動了，他的心和黨進一步靠近了。
蘇步青努力結合實際學習馬列主義、毛澤東著作，終于在內心產生了參加黨的要求。１９５９年３月，他如愿以償了，他被復旦大學黨委接收為光榮的共產黨員。
此后，他更加努力學習和工作，在歷次上海市和全國人民代表大會上（他是二、三、五、六、七屆全國人民代表大會代表），在全國政治協商會議上（他是第二屆全國政治協商會議委員和第七、八屆全國政治協商會議副主席），他都努力堅持社會主義方向，對政府工作中的缺點也毫不
保留地提出批評。在民盟里，他起著領導的作用（曾擔任副主席，后任參議委員會主任委員）。在“文化大革命”期間，他的處境十分坎坷，他以６０多歲的高齡承受著常人難以承受的重壓。批判的大棒，勞動的懲罰都壓不倒這位堅強的共產黨員。他在勞動中的表現，甚至連青年人都自愧不如。特別是在１９７２－１９７５年，當時他已超過古稀之年，還被迫乘公共汽車到江南造船廠“勞動鍛煉”。他認真地以工人為師，又在勞動中看到了數學的作用。他抽出時間來為技術人員講課，又為了解除工人們在船體放樣中的繁重勞動，在我國發展了計算幾何這一門應用學科。
１９７７年，他在鄧小平同志召開的教育、科學工作座談會上慷慨陳詞，為在科、教戰線上的“撥亂反正”提出了許多重要建議，如恢復研究生制度、恢復高校研究機構等等，產生了重大影響。
蘇步青時刻牢記自己是一名共產黨員，“此身到老屬于黨”是他的高超的詩作中的名句。他時常以周總理的教導“活到老，學到老”為自己的座右銘，盡自己的一切可能為共產主義事業而奮斗。
(作者：谷超豪)
簡歷
１９０２年９月２３日 生于浙江平陽縣。
１９１５—１９１９年 就讀于溫州的浙江省立第十中學。
１９２０—１９２４年 就讀于日本東京高等工業學校電機系。
１９２４—１９２７年 就讀于日本東北帝國大學數學系。
１９２７—１９３１年 就讀于日本東北帝國大學研究生院。１９３１年獲理學博士學位。
１９３１—１９５２年 在浙江大學數學系執教。１９３１為副教授，１９３３年升任教授并兼數學系主任，１９５０年 始任浙江大學教務長。期間于１９４８年任中央研究院院士。
１９５２年 任復旦大學數學系教授。１９５６年前兼任復旦大學教務長，１９５６年始任副校長，１９７８年任校長，１９８３年后任名譽校長。
１９５５年 中國科學院院士。
１９９２年 當選為全國政治協商會議副主席（此前曾任第二、三、五、六、七屆全國人民代表大會代表，第五、六、七屆常務委員，第二、七屆政治協商會議委員。
主要論著
１ 蘇步青．射影曲線概論．北京：中國科學院，１９５４．（英譯本：Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｕｒ—ｅｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＳｃｉｅｎＣｅ
Ｐｒｅｓｓ，１９５８．）
２ 蘇步青．一般空間的微分幾何學．北京：科學出版社，１９５８．
３ 蘇步青．射影曲面概論．上海：上海科學技術出版社，１９６４．
４ 蘇步青．射影共軛網概論．上海：上海科學技術出版社，１９７８．
５ 蘇步青．微分幾何五講．上海：上海科學技術出版社，１９７９．（英譯本：Ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１ ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｗｏｒｌｄ
Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ
Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９８０．）
６ 蘇步青．仿射微分幾何．北京：科技出版社，１９８２．（英譯本：Ａｆｆｉｎｅ ｄｉｆｆｅｒ－ｅｎｅｔｉａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｐｒｅｓｓ，Ｃｈｉｎａ；Ｇｏｒｄｏｎ ａｎｄ
ＢｒｅａＣｈ，Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｐｕｂ１ｉｓｈｅｒｓ，Ｉｎｃ，Ｎｅｗ
Ｙｏｒｋ，ＵＳＡ，１９８３．）
７ 蘇步青．蘇步青數學論文選集．中國科學出版社和美國高登與伯利奇科學出版社，１９８３．（英譯本：Ｓｕ Ｂｕ Ｃｈｉｎ．Ｓｅｌｅｃｔｅｄ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
Ｐａｐｅｒｓ，Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｐｒｅｓｓ ａｎｄ Ｇｏｒｄｏｎ ａｎｄ Ｂｒｅａｃｈ，Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，Ｉｎｃ．）
８ 蘇步青，劉鼎元．計算幾何．上海：上海科學技術出版社，１９８１．（英譯本：Ｓｕ Ｂｕ－ｑｉｎ，Ｌｉｕ Ｄｉｎｇ－ｙｕａｎ．Ｔｒａｎｓｔａｔｅｄ ｂｙ
Ｃｈａｎｇ Ｇｅｎｇ－ｚｈｅ．Ｃｏｍ－ｐｕｔｉｏｎａ１ ｇｅｏｍｅｔｒｙ－Ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｏｄｅｌｉｎｇ．Ａ Ｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，Ｉｎｓ，１９８９．）
９ 蘇步青．高等幾何學五講．上海：上海科學技術出版社，１９９１．
１０ 蘇步青．蘇步青論文選集．北京：科學出版社，１９８６．
參考文獻
〔１〕 蘇步青．蘇步青文選．杭州：浙江科技出版社，１９９１．
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