第一篇：課題：兩角差的余弦公式教案說明

《兩角差的余弦公式》教案說明

湖南師大附中

吳菲

一、授課內(nèi)容的數(shù)學本質(zhì)與教學目標定位：

《兩角差的余弦公式》這節(jié)課的主要內(nèi)容是公式的探究及應用，它揭示了單角三角函數(shù)與復角三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在學生的認知世界中，開辟了三角函數(shù)研究的新領域．針對學生已有的認知結(jié)構(gòu)，我對教學目標進行了如下定位：

1、知識與技能目標：

學生在前兩章的學習內(nèi)容中，學習了單角三角函數(shù)以及向量的相關知識；初步掌握了一些同角三角函數(shù)關系式；對三角函數(shù)的定義也由銳角三角函數(shù)擴展到任意角的三角函數(shù)；會借助單位圓分析有關三角函數(shù)的問題．本節(jié)課的知識技能目標定位在掌握公式的兩種證明方法上：數(shù)形結(jié)合法和向量法；學會運用分類討論思想完善證明；學會正用、逆用、變用公式；學會運用整體思想，抓住公式的本質(zhì)．在新舊知識的沖撞過程中，讓學生自主地對知識進行重組、構(gòu)建．讓每個學生在頭腦中再生教材，形成屬于自己的知識結(jié)構(gòu)體系． ２、過程與方法目標：

發(fā)展心理學的研究成果表明，學生的思維發(fā)展呈現(xiàn)一定的階段性，高中學生在學習時有時仍要借助于具體運演思維甚至是前運演思維，具體經(jīng)驗對他們學習新的知識仍是必不可少的．所以在情景引入時，以學生學習向量數(shù)量積時物理學中力做功的例子為引例，創(chuàng)設問題情景，調(diào)動學生已有的認知結(jié)構(gòu)，激發(fā)學生的問題意識，展開提出問題、分析問題、解決問題的學習活動，讓學生體會從“特殊”到“一般”的探究過程；不斷激發(fā)師生之間、生生之間的互動，讓學生在探究過程中體會化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想在數(shù)學探究過程中的運用．在公式的證明過程中，培養(yǎng)學生反思的好習慣，打開學生多角度、多方面分析問題的視野；在公式的理解記憶過程中，讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的簡潔、對稱美；在公式的運用過程中，通過對題目的一題多解、一題多變，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣和自我糾錯能力．

3、情感、態(tài)度與價值觀目標： 高中數(shù)學課程標準中指出：學生的數(shù)學活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應提倡自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀交流等學習數(shù)學的方式．這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程．因此，將情感、態(tài)度與價值觀目標定位如下：體驗科學探索的過程，鼓勵學生大膽質(zhì)疑、大膽猜想，培養(yǎng)學生的“問題意識”，使學生感受科學探索的樂趣，激勵學生科學探索的勇氣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和良好的團隊合作意識． 通過對猜想的驗證，對公式證明的完善，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度和科學精神，感受運用新知解決實際問題的成就感．

二、學習內(nèi)容的基礎及今后作用：

《兩角差的余弦公式》是新課標人教版數(shù)學必修四第三章第一課時的教學內(nèi)容，是本模塊第一章《銳角三角函數(shù)》和第二章《平面向量》相關知識的延續(xù)和拓展，也是本章節(jié)中推導兩角和、差，倍角、半角等三角恒等變換公式的基礎，可以說是起著承上啟下，串聯(lián)全書的作用．在教學內(nèi)容的設計上，與物理（功的定義）、哲學（透過表面尋求本質(zhì)）等相關學科相聯(lián)系，擴大學生對知識的理解角度和運用范圍．

三、教學診斷分析：

學生最大的困惑在于如何得到公式．在之前的學習過程中, 課堂上已基本形成了對知識大膽質(zhì)疑,合作探討的學習氛圍．在本節(jié)課的教學中學生希望通過自己的努力收獲成功!教學重點：兩角差的余弦公式的探究和應用

教學難點：兩角差的余弦公式的由來及證明,引導學生通過主動參與,獨立探索,自己得到結(jié)果.四、教法特點及預期效果分析：

教法特點：

從知識的認知程序上看，老師看問題從整體到局部，而學生卻是從局部到整體。本節(jié)課嘗試將“帶著知識走向?qū)W生”的接受式教學模式轉(zhuǎn)變?yōu)椤皫е鴮W生走向知識”的探究式教學模式，充分尊重學生的主體地位．設置了從生活走入知識，從特殊到一般，從猜想到理論證明的探究過程，在學生自主構(gòu)建知識體系的過程中，設置了多條成功路徑，將學習主體由學生群體轉(zhuǎn)移到學生個體上，讓學生在頭腦中主動地對知識進行自主構(gòu)建，再生課堂，達到提高認識，舉一反三的作用．鼓勵學生多角度、多方面思考問題，為突破知識難點，在課件中設置多個鏈接，將學生可能出現(xiàn)的解答思路直觀地呈現(xiàn)在學生面前，用多種方法的對比呈現(xiàn)，激發(fā)學生互相評價的動機，實現(xiàn)預設與生成的和諧統(tǒng)一．

本節(jié)課的教法采用了“一個主題兩種教學”的設計模式．一個主題：公式探究與應用，兩種教學：顯形教學（知識能力教學）、隱性教學（情商培養(yǎng)），利用學生已有知識提出新問題，巧借學生對未知領域的好奇和自我展現(xiàn)的欲望，集思廣益，多角度分析問題，強化團隊合作意識，完善知識體系，剖析部分學生出現(xiàn)的錯誤，培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣，突破易錯點，嘗試自我提高的喜悅，實踐兩種教學相互促進的人性化教學理念．

開放課堂，在課堂上營造民主、開放、平等的教學氛圍，注重教學評價的多元性，將單一的教師評價轉(zhuǎn)換為學生自主評價和同伴合作評價；將簡單的結(jié)果評價上升為對過程的評價；將一味的知識評價拓展為能力評價，突出學生的主體性，體現(xiàn)學生的主體意識，實現(xiàn)顯形教學與隱性教學的雙重評價，為全面發(fā)展學生打下基礎．

利用思維的多元性，引發(fā)師生、生生之間的討論，實踐證明用學生自己的語言、自己的理解、自己的表述方式更能引發(fā)學生之間的共鳴，更能達到對已有知識進行重組、自主構(gòu)建新知識的教學目的。作為老師，要以更高的視角從學生的眼中看問題，和學生一起征服尚未被他們所知（甚至是尚未被老師所知）的領域，享受在征服過程中隨時可能得到的意外驚喜。不需要害怕學生犯錯，因為謬誤本身也有它的認識價值，也是一種很好的課堂教學資源，主要是看老師怎樣正確的引導和評價。

設計探究報告，幫助學生整理、構(gòu)建知識體系．在重、難點突破，作業(yè)布置、課后思考等環(huán)節(jié)，都給學生留出空間，既可以實現(xiàn)課堂知識的再生，又可以為下節(jié)課做預習準備；既符合學生探索思維的連續(xù)性，又培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐探索能力．

現(xiàn)代信息技術在數(shù)學的教學過程中運用越來越廣泛，能夠利用計算機進行一些簡單的數(shù)學實驗也將成為將來數(shù)學教學的一個發(fā)展趨勢，本節(jié)課利用幾何畫板，通過計算機技術，給學生提供一種驗證猜想合理性的途徑． 預期效果: 基于上述分析，我們希望通過這節(jié)課：

１、讓學生在掌握《兩角差的余弦公式》探究方法的基礎上，能夠自我總結(jié)形成公式探究的一般方法．

２、激發(fā)學生的探究欲望，能夠獨立或合作提出推導其它三角恒等式的方案，形成對三角恒等變換的本質(zhì)認識，加深對靈活運用公式的理解．

３、培養(yǎng)學生的“問題意識”，在探索的過程中學會將“知識問題化”，大膽、合理地提出猜測，通過證明、完善，最終達到將“問題知識化”的目的．

４、讓學生在與同伴的合作探討過程中，學會運用數(shù)學語言進行交流，學會辨證地看問題，學會傾聽、學會發(fā)現(xiàn)同伴的優(yōu)點，學會進行信息整合，能從同伴的發(fā)言中提出自己的觀點．

第二篇：3.1.1兩角差的余弦公式教案

3.1.1兩角差的余弦公式

一、教材分析

《兩角差的余弦公式》是人教A版高中數(shù)學必修4第三章《三角恒等變換》第一節(jié)《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》第一節(jié)課的內(nèi)容。本節(jié)主要給出了兩角差的余弦公式的推導，要引導學生主動參與，獨立思索，自己得出相應的結(jié)論。

二、教學目標

1.引導學生建立兩角差的余弦公式。通過公式的簡單應用，使學生初步理解公式的結(jié)構(gòu) 及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎。

2.通過課題背景的設計，增強學生的應用意識，激發(fā)學生的學習積極性。

3.在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學生學會分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生學會合作交流的能力。

三、教學重點難點

重點

兩角差余弦公式的探索和簡單應用。難點

探索過程的組織和引導。

四、學情分析

之前學習了三角函數(shù)的性質(zhì)，以及平面向量的運算和應用，在此基礎上，要考慮如何利用任意角?，?的正弦余弦值來表示cos(???)，牢固的掌握這個公式，并會靈活運用公式進行下一節(jié)內(nèi)容的學習。

五、教學方法

1.自主性學習法：通過自學掌握兩角差的余弦公式.2.探究式學習法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程.3.反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距

六、課前準備

1.學生準備：預習《兩角差的余弦公式》，理解兩種方法的推理過程。2.教師準備：課前預習學案，課內(nèi)探究學案，課后延伸拓展學案。

七、課時安排：1課時

八、教學過程

（一）創(chuàng)設情景，揭示課題

以學校教學樓為背景素材（見課件）引入問題。并針對問題中的cos15用計算器或不用計算器計算求值，以激趣激疑，導入課題。

教師問：想一想: 學校因某次活動的需要,需從樓頂?shù)腃點處往該點正對的地面上的A點處拉一條鋼繩,為了在購買鋼繩時不至于浪費,你能算一算到底需要多長鋼繩嗎?(要求在地面上測量,測量工具:皮尺,測角器)

0

問題：（1）能不能不用計算器求值 ：cos45，cos30，cos15（2）cos(45?30)?cos45?cos30是否成立？

設計意圖：由給出的背景素材，使學生感受數(shù)學源于生活，又應用于生活，喚起學生解決問題的興趣，和拋出新知識引起學生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發(fā)學生的求知欲，引導學習方向。

（二）、研探新知 00000001.三角函數(shù)線法：

問：①怎樣作出角?、?、???的終邊。②怎樣作出角???的余弦線OM

③怎樣利用幾何直觀尋找OM的表示式。設計意圖：盡量用動畫課件把探索過程展示出來，使學生能從幾何直觀角度加強對公式結(jié)構(gòu)形式的認識。

Yp1A?CβαOBα-βMXP

（1）設角?終邊與單位圓地交點為P1，?POP1??,則?POx????。（2）過點P作PM⊥X軸于點M，那么OM就是 ???的余弦線。

（3）過點P作PA⊥OP1于A，過點A作AB⊥x軸于B，過點P作PC⊥AB于C

那么

OA表示

cos?，AP 表示sin?，并且?PAC??POx??.1于是

OM=OB+BM

=OB+CP

=OAcos?+APsin?

=cos?cos??sin?sin?

最后要提醒學生注意，公式推導的前提條件：

?、?、???都是銳角，且???

2.向量法：

問：①結(jié)合圖形，明確應選哪幾個向量，它們怎么表示？ ② 怎樣利用向量數(shù)量積的概念和計算公式得到結(jié)果。③ 對探索的過程進一步嚴謹性的思考和處理，從而得到合理的科學結(jié)論。設計意圖：讓學生經(jīng)歷利用向量知識解決一個數(shù)學問題的過程，體會向量方法解決數(shù)學問題的簡潔性。

如圖,建立單位圓O ????????則OA??cos?,sin??,OB??cos?,sin??由向量數(shù)量積的概念,有A

由向量數(shù)量積的坐標表示,有

因為 ?、?、都是任 意 角,所以???也是任意角,但由誘導公式以總可找到一個??[0,2?)，使得 cos??cos(???)。

例1.利用差角余弦公式求cos15的值

（求解過程讓學生獨立完成，注意引導學生多方向、多維度思考問題）解法1：

cos150?cos(450?300)?cos450cos300?sin450sin300?…=解法2：

?????B O x

于是對于任意角?、?都有

簡記C

（???）0y 6?24 cos150?cos(600?450)?cos600cos450?sin600sin450?…=變式訓練：利用兩角差的余弦公式證明下列誘導公式：（1）cos(2?64

?2??)?sin?；（2）cos(2???)?cos?

4π5例2.已知sinα=，α?（，π），cosβ=-，β第三象限角，求cos（???）的值5213（讓學生聯(lián)系公式C?????和本題的條件，考慮清楚要計算cos?????，應作那些準備。）

34?4????2解：由sin??,???,??，得cos???1?sin???1?????

55?5??2?125?5?2又由cos???，?是第三象限角，得sin???1?cos???1?????

1313?13?3?5?4?12?33所以cos??????cos?cos??sin?sin??(?)???????????

5?13?5?13?65讓學生結(jié)合公式cos(???)?cos?cos??sin?sin?，明確需要再求哪些三角函數(shù)值，可使問題得到解決。變式訓練：已知sin??2215?，?是第二象限角，求cos（??）的值 173

（三）、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

1.利用兩角和（差）的余弦公式，求cos750,cos1050

【點評】：把一個具體角構(gòu)造成兩個角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：cos1050?cos(1500?450)，要學會靈活運用.2)2.求值 cos75cos30?sin75sin30(200003．化簡cos(???)cos??sin(???)sin?(cos?)

115（）4.已知?，?為銳角，cos??，sin（???）?3，求cos?

2714提示：利用拆角思想cos??cos[(???)??]的變換技巧

（設計意圖：通過變式訓練，進一步加深學生對公式的理解和應用，體驗公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題，培養(yǎng)了學生的靈活思維品質(zhì)，提高學生的數(shù)學交流能力，促進思維的創(chuàng)新。）

（四）發(fā)導學案、布置預習

本節(jié)我們學習了兩角和與差的余弦公式，要求同學們掌握公式C(???)的推導，能熟練運用公式C(???)，注意公式C(???)的逆用。在解題過程中注意角?、?的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.課下完成本節(jié)的課后練習以及課后延展作業(yè)，課本P137習題2.3.4(設計意圖：布置下節(jié)課的預習作業(yè)，并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時批閱本節(jié)的延伸拓展訓練。)

九、板書設計

兩角差的余弦公式

1.三角函數(shù)線法 2.向量法

例1 變式訓練 例2 變式訓練 當堂訓練1.2.3.4.十、教學反思

本節(jié)主要考察如何用任意角?，?的正弦余弦值來表示cos(???)，回顧公式

C（???）的推導過程，觀察公式的特征，注意符號區(qū)別以及公式中角?，?的任意性，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變用(即要活用).還要注意掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題.設計意圖：讓學生通過自己小結(jié)，反思學習過程，加深對公式及其推導過程（包括發(fā)現(xiàn)、猜想、論證的數(shù)學化的過程）的理解。

第三篇：4-3.1.1 兩角差的余弦公式教案（定稿）

第三章 三角恒等變換

一、課標要求：

本章學習的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換.三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點上.通過本章學習，要使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，使學生體會三角恒等變換的工具性作用，學會它們在數(shù)學中的一些應用.1.了解用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用； 2.理解以兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；

3.運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導學生推導半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的應用.二、編寫意圖與特色

1.本章的內(nèi)容分為兩節(jié)：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡單的三角恒等變換”，在學習本章之前我們學習了向量的相關知識，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎，運用向量的知識來予以證明，降低了難度，使學生容易接受； 2.本章是以兩角差的余弦公式作為基礎來推導其它的公式；

3.本章在內(nèi)容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學會變換，暗線是發(fā)展推理和運算的能力，因此在本章全部內(nèi)容的安排上，特別注意恰時恰點的提出問題，引導學生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點去分析、處理問題，強化運用數(shù)學思想方法指導設計變換思路的意識； 4.本章在內(nèi)容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調(diào)細枝末葉的內(nèi)容”的理念，嚴格控制了三角恒等變換及其應用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導作為變換的基本練習.三、教學內(nèi)容及課時安排建議

本章教學時間約8課時，具體分配如下：

3.1兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式

約3課時 3.2簡單的恒等變換

約3課時 復習

約2課時

§3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

一、課標要求：

本節(jié)的中心內(nèi)容是建立相關的十一個公式，通過探索證明和初步應用，體會和認識公式的特征及作用.二、編寫意圖與特色

本節(jié)內(nèi)容可分為四個部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用，和差公式的探索、證明和初步應用，倍角公式的探索、證明及初步應用.三、教學重點與難點

1.重點：引導學生通過獨立探索和討論交流，導出兩角和差的三角函數(shù)的十一個公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運用這些公式進行簡單的恒等變換打好基礎； 2.難點：兩角差的余弦公式的探索與證明.3.1.1 兩角差的余弦公式

一、教學目標

掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運用，使學生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎.二、教學重、難點

1.教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式；

2.教學難點：探索過程的組織和適當引導，這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經(jīng)具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等.三、學法與教學用具 1.學法：啟發(fā)式教學 2.教學用具：多媒體

四、教學設想：

（一）導入：我們在初中時就知道 cos45??23?，cos30?，由此我們能否得到22cos15??cos?45??30????大家可以猜想，是不是等于cos45??cos30?呢？

根據(jù)我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式cos???????

（二）探討過程：

在第一章三角函數(shù)的學習當中我們知道，在設角?的終邊與單位圓的交點為P1，cos?等于角?與單位圓交點的橫坐標，也可以用角?的余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角?和角???？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來.）

展示多媒體動畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關系探索cos?????與cos?、cos?、sin?、sin?之間的關系，由此得到cos(???)?cos?cos??sin?sin?，認識兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu).思考：我們在第二章學習用向量的知識解決相關的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？

提示：

1、結(jié)合圖形，明確應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？

2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計算公式得到探索結(jié)果？ 展示多媒體課件

比較用幾何知識和向量知識解決問題的不同之處，體會向量方法的作用與便利之處.思考：cos???????，cos??????cos??????????，再利用兩角差的余弦公式得出

cos??????cos???????????cos?cos?????sin?sin?????cos?cos??sin?sin?

（三）例題講解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15構(gòu)造成兩個特殊角的和、差.????cos75??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??c?os??4523216?2????222241?2?6?

cos1?5??3?0?c?os45??cos30?232sin??45s?in30?22224點評：把一個具體角構(gòu)造成兩個角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：cos15??cos?60??45??，要學會靈活運用.例

2、已知sin??45???，???,??,cos???,?是第三象限角，求cos?????的值.513?2?34?4????2解：因為???,??，sin??由此得cos???1?sin???1?????

55?5??2?125?5?2又因為cos???,?是第三象限角，所以sin???1?cos???1??????

1313?13?所以cos(???)?cos?cos??sin?sin????????2233?3??5?4?12? ????????51351365??????點評：注意角?、?的象限，也就是符號問題.（四）小結(jié)：本節(jié)我們學習了兩角差的余弦公式，首先要認識公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角?、?的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.（五）作業(yè)：P150.T1?T2

第四篇：兩角差的余弦公式教案（小編推薦）

兩角差的余弦公式

———數(shù)學092葉鵬程

【知識與技能目標】：理解兩角差的余弦公式的推導過程，熟記兩角差的余弦公式，運用兩角和與差的余弦公式，解決相關數(shù)學問題。

【過程與方法】：培養(yǎng)自己嚴密而準確的數(shù)學表達能力；培養(yǎng)自己逆向思維和發(fā)【散思維能力】；培養(yǎng)自己的觀察能力，邏輯推理能力和合作學習能力。

【情感態(tài)度價值觀目標】：通過觀察、培養(yǎng)良好的數(shù)學表達和思考的能力，學會從已有知識出發(fā)主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態(tài)度

【教學重點】：兩角差的余弦公式的理解與靈活運用。【教學難點】：兩角差的余弦公式的推導。

【教材分析】：這節(jié)內(nèi)容是教材必修4的第三章《三角恒等變換》第一節(jié)，教材在學生掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標表示以及向量數(shù)量積的坐標表示的基礎上，進一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角差的三角函數(shù)．“兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學的推導方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時成立．對于α，β為任意角的情況，教材運用向量的知識進行了探究．同時，補充了用向量的方法推導過程中的不嚴謹之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性。

【學情分析】：本課時面對的學生是高一年級的學生，數(shù)學表達能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時期，學生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。他們經(jīng)過半個多學期的高中生活，儲備了一定的數(shù)學知識，掌握了一些高中數(shù)學的學習方法，這為本節(jié)課的學習建立了良好的知識基礎。而且，通過上節(jié)課的學習，學生已經(jīng)掌握了兩角和的余弦公式及推導方法。【教學教法】： 獨立思考，生生交流探究，小組合作

【教學過程】：

一.自主探究，引發(fā)思考 層層深入，得出結(jié)論（8分鐘）1.獨立思考以下問題

怎樣利用單位圓中的三角函數(shù)線探究兩角差的余弦（試畫出圖像加以說明）

（目的：回憶單位圓表示角，同時推導公式）

2.繼續(xù)探究

怎樣利用向量數(shù)量積概念的計算公式探究兩角差的余弦。（試畫出圖像加以說明）

（目的：用向量的方式，推導公式）兩角差的余弦公式： cos(???)?_____________________

公式特點（記憶方法。）

二．互相交流 小組活動 公式應用闖關（20分鐘）

請用特殊角（可以使30?,45?,60?等）分別代替?、?你有幾種方法1.求cos15?：

(1)cos150?(2)cos150?

（目的：比較簡單的分解問題，為了加深運用和理解）

?2.若β固定，分別用 ?, 代替α，你將會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？

2(1)cos(???)?

(2)cos(?2??)?

(3)cos(3???)? 2（目的：余弦誘導公式的推導，強化理解運用）

3.倘若讓你對C(α±β)公式中的α、β自由賦值，你又將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？(1)cos（?-?4）?

（?-?）?(2)cos(3)cos????）（????cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____)

????）??cos(_____)(4)cos（?（???）cos(_____)____sin(_____)sin(_____)

（目的：難度逐漸加深，體會理解公式的變形。）4.例題：如何應用兩角差的余弦公式化簡求值

（1）cos80?cos20??sin80?sin20?(2)cos15??sin15?22(3)cos80?cos35??cos10?cos55?（目的：鞏固練習，靈活運用公式）

三.師生共同活動 數(shù)學運用（12分鐘）例1．已知sin??的值.（目的：比較深入的公式運用，鍛煉學生的數(shù)學思維。在講題的過程中，強調(diào)“象限角”）變式練習：

已知?,?都是銳角，cos??45,cos(???)??,求cos?的值。513(目的：例題1的變式，讓學生體會此類題目的靈活性)五．自我學習反思（4分鐘）

（首先教師回顧總結(jié)課堂內(nèi)容，然后讓學生自己來講講這節(jié)可學到什么。

主要目的是為了加深學生的記憶，同時，比較發(fā)散的討論，能讓學生真正參與到學習中來）

六．作業(yè)布置：

1.教材第142頁，課后練習45???，???,??,cos???,?是第三象限角，求cos?????513?2?2．課后自主探究：知道了cos(?-?)，你覺得sin(???)也有類似的規(guī)律嗎？（目的：給學有余力的同學做，一是預習，再是通過找規(guī)律，加深本節(jié)課的理解）

第五篇：兩角和差正余弦公式的證明

兩角和差正余弦公式的證明

北京四中數(shù)學組 皇甫力超

論文摘要：

本文對兩角和差的正余弦公式的推導進行了探討。在單位圓的框架下 , 我們得到了和角余弦公式(方法 1)與差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我們得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)與差角正弦公式(方法 12,13)。

關鍵詞：

兩角和差的正余弦公式 正文：

兩角和差的正余弦公式是三角學中很重要的一組公式。下面我們就它們的推導證明方法進行探討。

由角 , 的三角函數(shù)值表示 的正弦或余弦值 , 這正是兩角和差的正余弦公式的功能。換言之 , 要推導兩角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一個等式或方程 , 將 或

與 , 的三角函數(shù)聯(lián)系起來。的三角函數(shù)。因此 , 由和角公式容根據(jù)誘導公式 , 由角 的三角函數(shù)可以得到

易得到對應的差角公式 , 也可以由差角公式得到對應的和角公式。又因為 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 據(jù)此 , 可以實現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導。因此 , 只要解決這組公式中的一個 , 其余的公式將很容易得到。

(一)在單位圓的框架下推導和差角余弦公式 注意到單位圓比較容易表示 ，和 , 而且角的終邊與單位圓的交點坐標可

與 , 的三以用三角函數(shù)值表示 , 因此 , 我們可以用單位圓來構(gòu)造聯(lián)系 角函數(shù)值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如圖所示, 在直角坐標系 角 的始邊為 于點 C；角 , 交 始邊為 ,由兩點間距離公式得

；

于點 A, 終邊交 , 終邊交

中作單位圓 , 并作角 , 和 , 使

于點 B；角 始邊為 , 終邊交 ，于點。從而點 A, B, C和 D的坐標分別為,。

注意到 , 因此。

注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架 , 利用平面內(nèi)兩點間距離公式表達兩條相等線段, 從而得到我們所要的等式。注意, 公式中的 和 為任意角。

2.差角余弦公式

仍然在單位圓的框架下 , 用平面內(nèi)兩點間距離公式和余弦定理表達同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是

(方法2)如圖所示, 在坐標系 的始邊均為 , 交

于點 C, 角 ,中作單位圓 終邊交

。, 并作角 和 , 使角 和

于點 A,角 終邊交 于點。從而點 A, B的坐標為由兩點間距離公式得。

由余弦定理得。

從而有。

注記：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依賴于 要補充討論角 和 的終邊共線, 以及 情形中依然成立。

在上邊的證明中 , 用余弦定理計算

是三角形的內(nèi)角。因此, 還需

大于 的情形。容易驗證 , 公式在以上的過程也可以用勾股定理來進行。

(二)在三角形的框架下推導和差角正弦公式

除了在單位圓的框架下推導和差角的余弦公式 , 還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來證明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如圖所示, , ，為 的

邊上的高 ，為

邊上的高。設 , 則。從而有 , , 。

因此 。

注意到 從而有 , , 整理可得。

注記：在方法 3 中 , 用 邊上高

和與底角 , 相關的三角函數(shù), 從兩個角度來表示 , 從而得到所希望的等式關系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的 , 對基于直角或銳角三角形的情形 , 證明過程類似。

利用方法 3 中的圖形 , 我們用類似于恒等變形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4)如圖所示, , , 則

為 的。

邊上的高 ，為

邊上的高。設

注意到 , 則有,即。從而有。

利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個非常簡潔的證法。注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。

(方法 5)如圖所示 , 則有

為 的

邊上的高。設 , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d為 的外接圓直徑。

由 得 , 從而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角 , 放在三角形的兩個底角上。如果將這兩個角的和作為三角形的一個內(nèi)角 , 將會有下面的幾種證法(方法 6~11)。

(方法 6)如圖所示 , 作 , , 則

于D, 交 , ,外接圓于 E, 連。

和

。設設 的外接,圓直徑,為 d, 則有。

所以有。

注意到 , 從而。

(方法 7)如圖所示 , , , 則

為 的

邊上的高 , , 則

為

邊上的高。設

。設 , , ,。, 又

從而。整理可得。

(方法 8)如圖所示 , 作 設 。

于D, 過 D作 , 則 ,于 F, ,設

于G。, 從而 ,所以。

注意到 , 則有。

注記：我們用兩種不同的方法計算 法來計算 , 得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方, 則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得 , , 從而有而可得。

。注意到 , 從方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函數(shù)從兩個角度表示圖形中的同一線段 , 從而構(gòu)造出我們所希望的等式關系。

(方法 9)如圖所示 , 設 ,，為 的

邊上的高。設 , , 從而有

方法 9 利用面積關系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個證法的思路則有所不同。

(方法 10)如圖所示 , 設 , 則

為 , 從而 的外接圓直徑d, 長度為d。設 ，注記：這一證明用到了托勒密定理：若 和。

是圓內(nèi)接四邊形的對角線 , 則有

(方法 11)如圖所示 , 則。設

為 , 則 的

邊上的高。設 , ，方法 10 和 11 將某一線段作為基本量 , 利用與角 ，相關的三角函數(shù)表示其它線段 , 再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理(托勒密定理或正弦定理), 構(gòu)造出我們希望的等式關系。

3.差角正弦公式

仍然還是在三角形中 , 我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來。方法 12 和 13 便是用這種想法來證明的。

(方法 12)如圖所示 ,于 E, 則 。設 , , 從而有 , 記 , 作

(方法 13)如圖所示 , , 則 ，為 的外接圓直徑 , 長度為 d。設。從而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計算同一線段 , 借此來構(gòu)造等式關系。

很顯然 , 在這十二種證法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。換言之 , 這兩種方法中出現(xiàn)的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 則有一定的限制 , 它們都是三角形的內(nèi)角(甚至都是銳角)。因此 , 對于方法 3~13, 我們需要將我們的結(jié)果推廣到角 和

是任意角的情形。具體而言 , 我們要證明：如果公式對任意 任意角也成立。

容易驗證 , 角 和

成立 , 則對

中至少有一個是軸上角(即終邊在坐標軸上的角), 我們的公式是成立的。下面證明 , 角 和 都是象限角(即終邊在坐標系的某一象限中的角)時 , 我們的公式也成立。不妨設 為第二象限角 , 為第三象限角 , 從而有

從而

同理可證, 公式對于象限角 3~13 推導的公式推廣到角

和 的其它組合方式都成立。因此 , 我們可以將方法 , 是任意角的情形。

兩角和差的正余弦公式是三角學中很基本的一組公式。其推導證明對指導學生進行探究性學習很有幫助。從上文中可以看到 , 這一探究過程可分為四個步驟：

(1)明確推導證明的目標：構(gòu)造聯(lián)系 和 等式或方程 ；

(2)簡化課題：四個公式只要解決一個 , 其余的都可由它推出 ；(3)解決問題：利用單位圓或三角形作為聯(lián)系

和

三角函數(shù)與

或

三角函數(shù)與

或 的的工具 , 尋找我們希望的等式關系 ；

(4)完善解決問題的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考慮將其化歸為已解決的情形 , 必要時還要進行分類討論。

參考文獻：

1.谷丹：全面數(shù)學教育觀與知識形成過程的教學——三個教學個案及分析 , 《開放的視野 , 務實的努力》, 中央民族大學出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 頁。

2.人民教育出版社中學數(shù)學室：全日制普通高級中學教科書 << 數(shù)學(第一冊下)>>(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 頁。