第一篇：高中數學《3.1.1兩角差的余弦公式》教案

3.1.1 兩角差的余弦公式

一、教學目標

掌握用單位圓法和向量方法建立兩角差的余弦公式。通過簡單運用，使學生初步理解公式的結構及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎。

二、教學重、難點

1.教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式；

2.教學難點：探索過程的組織和適當引導，這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等。

三、教學設想：

（一）導入：問題1： 我們在初中時就知道 cos45??23????，cos30?，由此我們能否得到cos15?cos?45?30???22??大家可以猜想，是不是等于cos45?cos30呢？

我們可以用計算器來算算: cos15°≈0.966, cos45°≈0.7, cos30°≈0.866,顯然，我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式cos???????

（二）探討過程：

請同學們回憶下，在第一章三角函數的學習當中，我們構建過什么圖形來幫助我們求解角的三角函數值的？對，我們是在坐標系中畫單位圓，通過在單位圓里構建直角三角形來計算角的三角函數值的。那今天我們也用同樣的方法來求解兩角差的余弦值。

思考1：怎樣在單位圓中構造角?和角???，進而求得cos???????（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯系起來。）

思考2：我們構造的角都是銳角，但它們為鈍角的時候，這個公司是否也成立呢？

思考3：我們在第二章學習用向量的知識解決相關的幾何問題，兩角差余弦公式特點極似兩向量的內積公式，我們能否用向量的知識來證明？

（1）怎樣利用向量的數量積的概念的計算公式得到探索結果？

（2）兩向量之間的角是夾角〔0，?〕，而???為任意角，當角????(?,2?)時，公式是否正確呢？

兩角差的余弦公式：cos(???)?cos??cos??sin??sin?

（三）例題講解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos15、sin75°的值.?解：分析：把15構造成兩個特殊角的差。?

cos1?5?c?os??45??3?0c?os45??cos30?232sin??45s?in30?2221?2?6?4 2點評：把一個具體角構造成兩個角差的形式，有很多種構造方法，例如：cos15??cos60??45?，要學會靈活運用。

sin75°= sin(90°－15°)=cos15° 例

2、已知sin????45???，???,??,cos???,?是第三象限角，求cos?????的值。513?2?234?4????2解：因為???,??，sin??由此得cos???1?sin???1?????

55?5??2?125?5?2又因為cos???,?是第三象限角，所以sin???1?cos???1??????

131313??所以cos(???)?cos?cos??sin?sin????????233?3??5?4?12? ????????65?5??13?5?13?點評：注意角?、?的象限，也就是符號問題。

思考：本題中沒有?????,?)，呢？ ?

2（四）練習：1.不查表計算下列各式的值：

（1）cos80?cos20??sin80?sin20?

13（2）cos15??sin15?

22cos80?cos20??sin80?sin20? ?cos(80??20?)?cos60??解:（1）1 2

（五）小結：兩角差的余弦公式，首先要認識公式結構的特征，了解公式的推導過程，熟記兩角差的余弦公式。在解題過程中注意角?、?的象限，也就是符號問題，學會靈活運用。

（1）牢記公式C(???)?C?C?S?S．

（2）在“給值求值”題型中，要能靈活處理已、未知關系．

（六）作業：翻到教科書本節的課后練習題……

第二篇：3.1.1兩角差的余弦公式教案

3.1.1兩角差的余弦公式

一、教材分析

《兩角差的余弦公式》是人教A版高中數學必修4第三章《三角恒等變換》第一節《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》第一節課的內容。本節主要給出了兩角差的余弦公式的推導，要引導學生主動參與，獨立思索，自己得出相應的結論。

二、教學目標

1.引導學生建立兩角差的余弦公式。通過公式的簡單應用，使學生初步理解公式的結構 及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎。

2.通過課題背景的設計，增強學生的應用意識，激發學生的學習積極性。

3.在探究公式的過程中，逐步培養學生學會分析問題、解決問題的能力，培養學生學會合作交流的能力。

三、教學重點難點

重點

兩角差余弦公式的探索和簡單應用。難點

探索過程的組織和引導。

四、學情分析

之前學習了三角函數的性質，以及平面向量的運算和應用，在此基礎上，要考慮如何利用任意角?，?的正弦余弦值來表示cos(???)，牢固的掌握這個公式，并會靈活運用公式進行下一節內容的學習。

五、教學方法

1.自主性學習法：通過自學掌握兩角差的余弦公式.2.探究式學習法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程.3.反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其存在的差距

六、課前準備

1.學生準備：預習《兩角差的余弦公式》，理解兩種方法的推理過程。2.教師準備：課前預習學案，課內探究學案，課后延伸拓展學案。

七、課時安排：1課時

八、教學過程

（一）創設情景，揭示課題

以學校教學樓為背景素材（見課件）引入問題。并針對問題中的cos15用計算器或不用計算器計算求值，以激趣激疑，導入課題。

教師問：想一想: 學校因某次活動的需要,需從樓頂的C點處往該點正對的地面上的A點處拉一條鋼繩,為了在購買鋼繩時不至于浪費,你能算一算到底需要多長鋼繩嗎?(要求在地面上測量,測量工具:皮尺,測角器)

0

問題：（1）能不能不用計算器求值 ：cos45，cos30，cos15（2）cos(45?30)?cos45?cos30是否成立？

設計意圖：由給出的背景素材，使學生感受數學源于生活，又應用于生活，喚起學生解決問題的興趣，和拋出新知識引起學生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發學生的求知欲，引導學習方向。

（二）、研探新知 00000001.三角函數線法：

問：①怎樣作出角?、?、???的終邊。②怎樣作出角???的余弦線OM

③怎樣利用幾何直觀尋找OM的表示式。設計意圖：盡量用動畫課件把探索過程展示出來，使學生能從幾何直觀角度加強對公式結構形式的認識。

Yp1A?CβαOBα-βMXP

（1）設角?終邊與單位圓地交點為P1，?POP1??,則?POx????。（2）過點P作PM⊥X軸于點M，那么OM就是 ???的余弦線。

（3）過點P作PA⊥OP1于A，過點A作AB⊥x軸于B，過點P作PC⊥AB于C

那么

OA表示

cos?，AP 表示sin?，并且?PAC??POx??.1于是

OM=OB+BM

=OB+CP

=OAcos?+APsin?

=cos?cos??sin?sin?

最后要提醒學生注意，公式推導的前提條件：

?、?、???都是銳角，且???

2.向量法：

問：①結合圖形，明確應選哪幾個向量，它們怎么表示？ ② 怎樣利用向量數量積的概念和計算公式得到結果。③ 對探索的過程進一步嚴謹性的思考和處理，從而得到合理的科學結論。設計意圖：讓學生經歷利用向量知識解決一個數學問題的過程，體會向量方法解決數學問題的簡潔性。

如圖,建立單位圓O ????????則OA??cos?,sin??,OB??cos?,sin??由向量數量積的概念,有A

由向量數量積的坐標表示,有

因為 ?、?、都是任 意 角,所以???也是任意角,但由誘導公式以總可找到一個??[0,2?)，使得 cos??cos(???)。

例1.利用差角余弦公式求cos15的值

（求解過程讓學生獨立完成，注意引導學生多方向、多維度思考問題）解法1：

cos150?cos(450?300)?cos450cos300?sin450sin300?…=解法2：

?????B O x

于是對于任意角?、?都有

簡記C

（???）0y 6?24 cos150?cos(600?450)?cos600cos450?sin600sin450?…=變式訓練：利用兩角差的余弦公式證明下列誘導公式：（1）cos(2?64

?2??)?sin?；（2）cos(2???)?cos?

4π5例2.已知sinα=，α?（，π），cosβ=-，β第三象限角，求cos（???）的值5213（讓學生聯系公式C?????和本題的條件，考慮清楚要計算cos?????，應作那些準備。）

34?4????2解：由sin??,???,??，得cos???1?sin???1?????

55?5??2?125?5?2又由cos???，?是第三象限角，得sin???1?cos???1?????

1313?13?3?5?4?12?33所以cos??????cos?cos??sin?sin??(?)???????????

5?13?5?13?65讓學生結合公式cos(???)?cos?cos??sin?sin?，明確需要再求哪些三角函數值，可使問題得到解決。變式訓練：已知sin??2215?，?是第二象限角，求cos（??）的值 173

（三）、質疑答辯，排難解惑，發展思維

1.利用兩角和（差）的余弦公式，求cos750,cos1050

【點評】：把一個具體角構造成兩個角的和、差形式，有很多種構造方法，例如：cos1050?cos(1500?450)，要學會靈活運用.2)2.求值 cos75cos30?sin75sin30(200003．化簡cos(???)cos??sin(???)sin?(cos?)

115（）4.已知?，?為銳角，cos??，sin（???）?3，求cos?

2714提示：利用拆角思想cos??cos[(???)??]的變換技巧

（設計意圖：通過變式訓練，進一步加深學生對公式的理解和應用，體驗公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題，培養了學生的靈活思維品質，提高學生的數學交流能力，促進思維的創新。）

（四）發導學案、布置預習

本節我們學習了兩角和與差的余弦公式，要求同學們掌握公式C(???)的推導，能熟練運用公式C(???)，注意公式C(???)的逆用。在解題過程中注意角?、?的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.課下完成本節的課后練習以及課后延展作業，課本P137習題2.3.4(設計意圖：布置下節課的預習作業，并對本節課鞏固提高。教師課后及時批閱本節的延伸拓展訓練。)

九、板書設計

兩角差的余弦公式

1.三角函數線法 2.向量法

例1 變式訓練 例2 變式訓練 當堂訓練1.2.3.4.十、教學反思

本節主要考察如何用任意角?，?的正弦余弦值來表示cos(???)，回顧公式

C（???）的推導過程，觀察公式的特征，注意符號區別以及公式中角?，?的任意性，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變用(即要活用).還要注意掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題.設計意圖：讓學生通過自己小結，反思學習過程，加深對公式及其推導過程（包括發現、猜想、論證的數學化的過程）的理解。

第三篇：4-3.1.1 兩角差的余弦公式教案（定稿）

第三章 三角恒等變換

一、課標要求：

本章學習的主要內容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換.三角恒等變換位于三角函數與數學變換的結合點上.通過本章學習，要使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發展推理能力和運算能力，使學生體會三角恒等變換的工具性作用，學會它們在數學中的一些應用.1.了解用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用； 2.理解以兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系；

3.運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導學生推導半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的應用.二、編寫意圖與特色

1.本章的內容分為兩節：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡單的三角恒等變換”，在學習本章之前我們學習了向量的相關知識，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎，運用向量的知識來予以證明，降低了難度，使學生容易接受； 2.本章是以兩角差的余弦公式作為基礎來推導其它的公式；

3.本章在內容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學會變換，暗線是發展推理和運算的能力，因此在本章全部內容的安排上，特別注意恰時恰點的提出問題，引導學生用對比、聯系、化歸的觀點去分析、處理問題，強化運用數學思想方法指導設計變換思路的意識； 4.本章在內容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調細枝末葉的內容”的理念，嚴格控制了三角恒等變換及其應用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據，而只把這些公式的推導作為變換的基本練習.三、教學內容及課時安排建議

本章教學時間約8課時，具體分配如下：

3.1兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式

約3課時 3.2簡單的恒等變換

約3課時 復習

約2課時

§3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

一、課標要求：

本節的中心內容是建立相關的十一個公式，通過探索證明和初步應用，體會和認識公式的特征及作用.二、編寫意圖與特色

本節內容可分為四個部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用，和差公式的探索、證明和初步應用，倍角公式的探索、證明及初步應用.三、教學重點與難點

1.重點：引導學生通過獨立探索和討論交流，導出兩角和差的三角函數的十一個公式，并了解它們的內在聯系，為運用這些公式進行簡單的恒等變換打好基礎； 2.難點：兩角差的余弦公式的探索與證明.3.1.1 兩角差的余弦公式

一、教學目標

掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運用，使學生初步理解公式的結構及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎.二、教學重、難點

1.教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式；

2.教學難點：探索過程的組織和適當引導，這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等.三、學法與教學用具 1.學法：啟發式教學 2.教學用具：多媒體

四、教學設想：

（一）導入：我們在初中時就知道 cos45??23?，cos30?，由此我們能否得到22cos15??cos?45??30????大家可以猜想，是不是等于cos45??cos30?呢？

根據我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式cos???????

（二）探討過程：

在第一章三角函數的學習當中我們知道，在設角?的終邊與單位圓的交點為P1，cos?等于角?與單位圓交點的橫坐標，也可以用角?的余弦線來表示，大家思考：怎樣構造角?和角???？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯系起來.）

展示多媒體動畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關系探索cos?????與cos?、cos?、sin?、sin?之間的關系，由此得到cos(???)?cos?cos??sin?sin?，認識兩角差余弦公式的結構.思考：我們在第二章學習用向量的知識解決相關的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？

提示：

1、結合圖形，明確應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？

2、怎樣利用向量的數量積的概念的計算公式得到探索結果？ 展示多媒體課件

比較用幾何知識和向量知識解決問題的不同之處，體會向量方法的作用與便利之處.思考：cos???????，cos??????cos??????????，再利用兩角差的余弦公式得出

cos??????cos???????????cos?cos?????sin?sin?????cos?cos??sin?sin?

（三）例題講解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15構造成兩個特殊角的和、差.????cos75??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??c?os??4523216?2????222241?2?6?

cos1?5??3?0?c?os45??cos30?232sin??45s?in30?22224點評：把一個具體角構造成兩個角的和、差形式，有很多種構造方法，例如：cos15??cos?60??45??，要學會靈活運用.例

2、已知sin??45???，???,??,cos???,?是第三象限角，求cos?????的值.513?2?34?4????2解：因為???,??，sin??由此得cos???1?sin???1?????

55?5??2?125?5?2又因為cos???,?是第三象限角，所以sin???1?cos???1??????

1313?13?所以cos(???)?cos?cos??sin?sin????????2233?3??5?4?12? ????????51351365??????點評：注意角?、?的象限，也就是符號問題.（四）小結：本節我們學習了兩角差的余弦公式，首先要認識公式結構的特征，了解公式的推導過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角?、?的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.（五）作業：P150.T1?T2

第四篇：河北省容城縣2013學年高中數學 3.1.1 兩角差的余弦公式教案 新人教A版必修4

3.1.1 兩角差的余弦公式

一、教學目標

掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運用，使學生初步理解公式的結構及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎.二、教學重、難點

1.教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式；

2.教學難點：探索過程的組織和適當引導，這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等.三、教學設想：

（一）導入：問題1：

cos45??我們在初中時就知道

23cos30??2，2，由此我們能否得到

??cos15??cos?45??30????大家可以猜想，是不是等于cos45?cos30呢？

根據我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式cos???????

（二）探討過程：

在第一章三角函數的學習當中我們知道，在設角?的終邊與單位圓的交點為角?與單位圓交點的橫坐標，也可以用角?的余弦線來表示。

思考1：怎樣構造角?和角???？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯系起來.）思考2：我們在第二章學習用向量的知識解決相關的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？

（1）結合圖形，明確應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？（2）怎樣利用向量的數量積的概念的計算公式得到探索結果？

P1cos?，等于

???)?cos??cos??sin??sin? 兩角差的余弦公式：cos（（三）例題講解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15構造成兩個特殊角的和、差.????cos75??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??cos15??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??23216?2????22224 23216?2????22224

點評：把一個具體角構造成兩個角的和、差形式，有很多種構造方法，例如：

cos15??cos?60??45??，要學會靈活運用.sin??例

2、已知4????,??,cos???5,???13是第三象限角，求cos?????的值.?2?5，23?4??cos???1?sin2???1????????,??sin??45?5??2?，5由此得解：因為 ??12?5?5sin???1?cos???1??????cos???,?13?13?13又因為是第三象限角，所以

2233?3??5?4?12?cos(???)?cos?cos??sin?sin????????????????65 ?5??13?5?13?所以點評：注意角?、?的象限，也就是符號問題.?????,?)思考：本題中沒有

?2，呢？

（四）練習：1.不查表計算下列各式的值：

（1）cos80?cos20??sin80?sin20? 13（2）cos15??sin15?22

（1）cos80?cos20??sin80?sin20? 解:

?cos(80??20?)?cos60??12

2．教材P127面1、2、3、4題

（五）小結：兩角差的余弦公式，首先要認識公式結構的特征，了解公式的推導過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角?、?的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.（1）牢記公式C(???)?C?C?S?S．

（2）在“給值求值”題型中，要能靈活處理已、未知關系．

（六）作業：《習案》作業二十九

第五篇：兩角差的余弦公式教案（小編推薦）

兩角差的余弦公式

———數學092葉鵬程

【知識與技能目標】：理解兩角差的余弦公式的推導過程，熟記兩角差的余弦公式，運用兩角和與差的余弦公式，解決相關數學問題。

【過程與方法】：培養自己嚴密而準確的數學表達能力；培養自己逆向思維和發【散思維能力】；培養自己的觀察能力，邏輯推理能力和合作學習能力。

【情感態度價值觀目標】：通過觀察、培養良好的數學表達和思考的能力，學會從已有知識出發主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態度

【教學重點】：兩角差的余弦公式的理解與靈活運用。【教學難點】：兩角差的余弦公式的推導。

【教材分析】：這節內容是教材必修4的第三章《三角恒等變換》第一節，教材在學生掌握了任意角的三角函數的概念、向量的坐標表示以及向量數量積的坐標表示的基礎上，進一步研究用單角的三角函數表示的兩角差的三角函數．“兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學的推導方法，即先借助于單位圓中的三角函數線，推出α，β，α－β均為銳角時成立．對于α，β為任意角的情況，教材運用向量的知識進行了探究．同時，補充了用向量的方法推導過程中的不嚴謹之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性。

【學情分析】：本課時面對的學生是高一年級的學生，數學表達能力和邏輯推理能力正處于高度發展的時期，學生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。他們經過半個多學期的高中生活，儲備了一定的數學知識，掌握了一些高中數學的學習方法，這為本節課的學習建立了良好的知識基礎。而且，通過上節課的學習，學生已經掌握了兩角和的余弦公式及推導方法。【教學教法】： 獨立思考，生生交流探究，小組合作

【教學過程】：

一.自主探究，引發思考 層層深入，得出結論（8分鐘）1.獨立思考以下問題

怎樣利用單位圓中的三角函數線探究兩角差的余弦（試畫出圖像加以說明）

（目的：回憶單位圓表示角，同時推導公式）

2.繼續探究

怎樣利用向量數量積概念的計算公式探究兩角差的余弦。（試畫出圖像加以說明）

（目的：用向量的方式，推導公式）兩角差的余弦公式： cos(???)?_____________________

公式特點（記憶方法。）

二．互相交流 小組活動 公式應用闖關（20分鐘）

請用特殊角（可以使30?,45?,60?等）分別代替?、?你有幾種方法1.求cos15?：

(1)cos150?(2)cos150?

（目的：比較簡單的分解問題，為了加深運用和理解）

?2.若β固定，分別用 ?, 代替α，你將會發現什么結論呢？

2(1)cos(???)?

(2)cos(?2??)?

(3)cos(3???)? 2（目的：余弦誘導公式的推導，強化理解運用）

3.倘若讓你對C(α±β)公式中的α、β自由賦值，你又將發現什么結論呢？(1)cos（?-?4）?

（?-?）?(2)cos(3)cos????）（????cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____)

????）??cos(_____)(4)cos（?（???）cos(_____)____sin(_____)sin(_____)

（目的：難度逐漸加深，體會理解公式的變形。）4.例題：如何應用兩角差的余弦公式化簡求值

（1）cos80?cos20??sin80?sin20?(2)cos15??sin15?22(3)cos80?cos35??cos10?cos55?（目的：鞏固練習，靈活運用公式）

三.師生共同活動 數學運用（12分鐘）例1．已知sin??的值.（目的：比較深入的公式運用，鍛煉學生的數學思維。在講題的過程中，強調“象限角”）變式練習：

已知?,?都是銳角，cos??45,cos(???)??,求cos?的值。513(目的：例題1的變式，讓學生體會此類題目的靈活性)五．自我學習反思（4分鐘）

（首先教師回顧總結課堂內容，然后讓學生自己來講講這節可學到什么。

主要目的是為了加深學生的記憶，同時，比較發散的討論，能讓學生真正參與到學習中來）

六．作業布置：

1.教材第142頁，課后練習45???，???,??,cos???,?是第三象限角，求cos?????513?2?2．課后自主探究：知道了cos(?-?)，你覺得sin(???)也有類似的規律嗎？（目的：給學有余力的同學做，一是預習，再是通過找規律，加深本節課的理解）