第一篇：案例《兩角和與差的余弦》

淺談數學概念教學中的“核心問題”

——從《兩角和與差的余弦》教學說起

運用問題組織課堂教學是教師經常使用的方式，優秀的教師都很善于運用問題去激發和聚合學生的學習活動。當然，問題的設計成為教學成敗的關鍵，在許多課堂中，有大量無效問題而使學生思維活動受助，嚴重地影響著教學質量的提高。這就需要我們著力研究解決。

在數學概念教學中，反映概念本質屬性、貫徹主題、明確任務的問題，我們一般稱為“核心問題”。它屬于課堂教學的問題，但賦予了新的含義。具體來講，所謂概念教學“核心問題”是指在概念的認知過程中，既反映知識的發生發展過程、知識本質，又整合學習的重點內容，激發學生自主活動，還能貫穿整節課的主要問題或任務。課堂教學前，教師應該根據課程要求、結合學生實際，認真分析教材內容，積極設計有效的“核心問題”，一般應該形成“核心問題串”；課堂教學中，注意以“核心問題”組織課堂活動：（1）概念的引入。學習一個新概念，首先應讓學生明確學習它的意義，作用。因此，教師應設置合理的教學情景，使學生體會學習新概念的必要性。概念的引入，通常有兩類：一類是從數學概念體系的發展過程引入，一類是從解決實際問題出發的引入。（2）概念的形成。教師可以通過大量典型、豐富的實例，讓學生進行分析、比較、綜合等活動，揭示概念的本質。（3）概念的概括。概括是概念教學的核心。概括就是在思想上把從某類個別事物中抽取出來的屬性，推廣到該類的一切事物中去，從而形成關于這類事物的普遍性認識。概念教學中把握好概念括概念這一環節，有利于學生概括能力的培養。概括概念就是讓學生通過前面的分析，比較，把這類事物的共同特征描述出來，并推廣到一般，即給概念下了個定義。（4）概念的驗證。結論的正確性需要科學的論證。（5）明確概念。明確概念即明確概念的內涵和外延。明確概念，就是要明確包含在定義中的關鍵詞語。（6）應用概念。在掌握概念的過程中，為了理解概念，需要有一個應用概念的過程，即通過運用概念去認識同類事物，推進對概念本質的理解。這是一個應用于理解同步的過程。（7）形成良好的數學認知結構。學習了一個新概念后，一定要把它與相關的概念建立聯系，明確概念之間的關系，從而把新概念納入概念體系中，即在概念體系中進行概念教學。下面以《兩角和與差的余弦》一課為例來談談。

《兩角和與差的余弦》這節概念課的核心問題是已知兩個角的正、余弦值，如何求他們和與差的余弦值的問題。

如何設計這節課的核心問題？我是從這幾點進行設計的。

1、概念引入中，核心問題的情境創設要具有真實性與仿真性（設計指向）

情境的真實性，首先是外部問題情境的真實性：核心問題的背景盡可能與學生身邊真實的或仿真的生活情境、社會情境等相聯系。其次是內部問題情境的真實性：問題是學生個體的真問題，而且是學生沒見過、沒想過、沒參與過、沒體驗過的，或者能促進學生內心真實地形成一種懸而未決、又力圖解決的認知沖突狀態。

所以在引入部分我是這樣提出問題的：(物理問題)2牛頓的力將一物體沿著光滑水平面位移了0.5米，力和位移所成角為15，試求該力所做的功。

學生會疑惑的看著老師，并報出答案：cos15。00

老師再問：準確值是多少呢？為什么等于6?20呢？如何求cos15？ 42、概念形成中，核心問題的解決活動要構成舊知與新知的橋梁（設計指向）

核心問題的解決活動應該構成一個舊知與新知的橋梁，當我們所設計的核心問題進而解決要求將已有的知識應用于新的實際問題解決中時，學生的內部問題情境就能順利地產生。這樣的情境可以幫助學生意識到自己原有知識不足以解決新的問題，從而激發學生對新知識的興趣，激發學生對新知識的探索欲望。

上面的問題一拋出大部分學生提出用計算器，教師追問計算器是根據什么原理把一些非特殊角的三角比值算出的呢？

教室里立刻安靜下來。

當學生束手無策時，教師適時提醒到，當我們遇到一個新問題無法解決時，可以想一想能否將問題轉化問已解決的問題。15的三角比值我們不知道，但我們知道30,45,60等特殊角的三角比值。于是學生很自然的想到cos15?cos(45?30)?cos(60?45)，這

已知兩個確定角的三角比值，如何求它們和與差的三角時老師提出我們這節課的教學目標：

比值呢？這節課來探究余弦值。

3、概念概括中，核心問題設計要具有層次性、可操作性和恰當的開放性（設計指向）力和知識水平參差不齊，在解決核心問題過程中，不同層次水平的學生解決問題的能力也不同。因此核心問題的設計要照顧到各種層次的學生。同時，核心問題也要具有可操作性，既不能太簡單也不能太難。核心問題的提出既能使學生產生認知沖突，又能讓學生覺得自己通過努力能解決，這樣就會產生主動解決問題的愿望和調動積極地思維活動。核心問題的結構應具有開放性特征，不但一個問題之中多處呈現開放狀態，而且解決路徑和解決評價標準也往往是開放性的，給學生以足夠的活動空間。

問題的設計太難學生會受阻失去信心，所以在探究公式過程中設計方案是：由特殊到一般。介于學生已知道cos15的值，所以教師提出兩個問題

問題1：cos(45?30)?cos45?cos30成立嗎？ 00000000000000

30的三角比值，觀察比照，試想它們是否有關系，如問題2：根據cos15的值及

45、果有，又是怎樣的關系呢？

把核心問題特殊化啟發學生思考，降低思維難度，調動學生的思維積極性。

學生猜想的結果有：

1、cos15?cos45?300000?00?

?cos450?cos45cos30? 2002、cos15?cos45?300?00sin450

?cos45cos30? 2003、cos15?cos45?300?00?

?cos450 ?sin45cos30?2004、cos15?cos45?300?00sin450

?sin45cos30?200

00005、cos15?cos(45?30)?sin45cos30?cos45sin30 0006、cos15?cos(45?30)?cos45cos30?sin45sin30 00000007、cos15?cos(60?45)??

再從特殊到一般把學生的思維層次提高。你猜想的結論對任意角都成立嗎？ 000

30??，請寫出它們對應的一般式，并判斷這些等式對于任意角都成即設45??，立嗎？

合作交流，最終發現cos(???)?cos?cos??sin?sin?，沒有找到反例。

所以猜想：cos(???)?cos?cos??sin?sin?。00

???)?cos?cos??sin?sin?中學生初步的體會?、?的任意性。（在舉例論證cos（）

4、概念的驗證，核心問題的解決應具有科學性，準確性。

猜想并不是論證，舉不出反例并不能說明它沒有反例。要想說明結論的正確性必須給出科學的證明。

在上海版采取的是“坐標法”證明，這對于學生而言是陌生的，為了讓學生能聯系到建立直角坐標系，教師引導到：在初中我們學習了銳角三角比，到高中角的范圍得到推廣，推廣到任意角，即任意角的三角比。銳角三角比的求解離不開直角三角形，那任意角的三角比的求解呢？離不開直角坐標系。同時復習任意角的三角比的定義??。根據定義由角的終邊上除原點外一點坐標可得這個角的三角比值，反之由角的三角比值及點到原

y?sin????x?rcos??r22??點的距離r得點的坐標，即?（其中r?x?y?0）。即點A?y?rsin??cos??x

?r?的坐標為?rcos?,rsin??。即角?終邊上到原點距離為r的點的坐標為?rcos?,rsin??。特別注意角?的始邊位于x軸的正半軸。由此就想能否把代數證明轉化為幾何證明（數形結合）呢？大家先試試能否證到cos(45?30)?cos45cos30?sin45sin30。觀察等000000

式的特點，這是一個三角等式，一看角二看名。角有哪些？名有哪些？在直角坐標系中它們分別代表著什么？有著怎樣的關系呢？

這時可進行小組合作交流方式探究學習。由于問題設計比較具體化學生便于探究，所以學生的積極性被調動起來了，每個學生都在積極的參與，效果很好。由于特殊情況的公式論證已攻破，有特殊到一般學生的學習方便了很多。

5、明確概念中，核心問題應能揭示問題的本質。

兩角差的余弦公式的本質為：1）從內涵上說，它揭示了兩角差的余弦等于這兩個角的余弦之積與這兩個角的正弦之積的和。2)從外延上說，由于角的任意性，我們可推斷得兩角和的余弦公式。當然還有后面即將學的兩角和與差的正弦公式。

6、應用概念中，核心問題應具有實踐性

理論來自于實踐，最后還需回到實踐中去，所以問題的解決不是結束，而是新的開始。在實踐中我舉出了這樣一個典型例題：“若0????

2，0????

2，且

cos?(??)??41”這個題目一般有兩種解法。一種是 2，sin??，求cos?的值。93

4?cos(???)?cos?cos??sin?sin???2?9?解方程組?2，但計算量大且可能會產生增 2sin??cos??1?

根。還有一種就是“拼湊角”，即

cos??cos[(???)??]?cos(???)cos??sin(???)sin?。由于整節課的核心問題是如果我們已知兩個角的各一個的三角比值及它們的終邊位置，那我們能否求出它的和與差的余弦值。所以分析這道題目的特點，學生很快的想到的了第二種解法。

7、形成良好的數學認知結構。核心問題應使學生的知識網絡更完善。

在課堂小結時除了知識和方法的小結，還引導學生分析公式的特點，要求cos(???)只要求?、?的正弦或余弦值，而根據同角三角比的關系，只要知道?、?的一個三角比值即可。再有同角三角比的關系研究的是同一個角的不同三角比之間的關系，而兩角和與差的三角比研究的是由兩個已知角派生出一個新的角，這個角的三角比與原來這兩個角的三角比之間的關系。從研究的對象來看，角的研究范圍更寬了等等。

通過這節課的教學實踐，我進一步認識到數學是以問題為靈魂，數學的“核心問題”教學是以數學核心問題來調動學生的學習活動，以核心問題激發學生認知沖突，求知欲望，從而調動學生的獨立思考和主動探究，進行“核心問題”的解決。師生圍繞著共同的“核心問題”，齊心協力共同探究解決問題。其中運用“建構主義的思想”和“緘默知識的理論”。而核心問題是根據教學的主要內容精心設計和挑選的一個中心問題或中心任務，核心問題既要兼顧到各種層次的學生的學習活動，又要能調動學生各種層次上的思維活動，其解決活動幾乎貫穿整節課。這節課中的其他問題都是與之存在邏輯聯系的派生問題，派生問題也是經過精心挑選并按一定序列整合起來的，其解決是圍繞著核心問題的解決而進行的。這樣就使得教學活動有了明確的主線，學生的思維活動也有了連貫性和層次性。

第二篇：兩角和與差的余弦教學設計

昌邑一中數學教學參考書配套教學軟件_教學設計

3.1.1 兩角和與差的余弦教學設計

昌邑市第一中學

徐保國

教學目標：

1.經歷向量的數量積的推導兩角差的余弦公式過程，體驗和感受數學發現和創造的過程，體會向量和三角函數之間的聯系；

2．掌握兩角和與差的余弦公式；

3．能用兩角和與差的余弦公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值.教學重點：

兩角和與差的余弦公式.教學難點：

兩角差的余弦公式的推導.教學過程：

一、情景創設、學生活動

問題1：1.單位圓中(如圖)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐標是什么？

→→2.你能用哪幾種方法計算OA·OB的數量積？

3.根據上面的計算可以得出什么結論？

學生討論.（學生可以從幾何層面進行證明）。

二、建構數學 問題3：

總結公式： 比較和差余弦公式；

四、簡單運用

sin15°，例1：利用兩角和（差）的余弦公式，求cos75°，cos15°，tan15°.例2：利用兩角和（差）的余弦公式證明下列誘導公式.（1）；

（2）.例3：給角求值

例4：給值求值（關鍵是尋求已知角與待求角之間的關系）。

五、回顧小結

昌邑一中數學教學參考書配套教學軟件_教學設計

兩角差的余弦公式:(C(???))cos(???)?cos?cos??sin?sin?兩角和的余弦公式:(C(???))cos(???)?cos?cos??sin?sin?

思考：如何用?、?的三角函數表示sin(???),sin(???)?

六、作業

第三篇：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式教案

兩角和與差的余弦、正弦、正切

教學目標

知識目標：兩角和的正切公式；兩角差的正切公式 能力目標：掌握T（α＋β），T（α－β)的推導及特征；能用它們進行有關求值、化簡

情感態度：提高學生簡單的推理能力；培養學生的應用意識；提高學生的數學素質 教學重點

兩角和與差的正切公式的推導及特征 教學難點

靈活應用公式進行化簡、求值.教學過程

Ⅰ.復習回顧

首先，我們來回顧一下前面所推導兩角和與差的余弦、正弦公式.(學生作答，老師板書)sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））

要準確把握上述各公式的結構特征.Ⅱ.講授新課

一、推導公式

［師］上述公式結合同角三角函數的基本關系式，我們不難得出： 當cos（α＋β）≠0時

tan（α＋β）＝sin(???)sin?cos??cos?sin? ?cos(???)cos?cos??sin?asin?如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我們可以 將分子、分母都除以cosαcosβ，從而得到： tan（α＋β）＝tan??tan?

1?tan?tan?不難發現，這一式子描述了兩角α與β的和的正切與這兩角的正切的關系.同理可得：tan（α－β）＝tan??tan?

1?tan?tan?或將上式中的β用－β代替，也可得到此式.這一式子又描述了兩角α與β的差的正切與這兩角的正切的關系.所以，我們將這兩式分別稱為兩角和的正切公式、兩角差的正切公式，簡記為T（α＋β），T（α－β）.但要注意：運用公式T（α±β）時必須限定α、β、α±β都不等于因為tan（?＋kπ）不存在.2?＋kπ（k∈Z）.2二、例題講解

［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.解：tan75°＝tan（45°＋30°）＝tan45??tan30?

1?tan45?tan30? 3?13＝=2+3 31?3tan15°＝tan（45°－30°）

3tan45??tan30?3?2?3 ＝＝1?tan45?tan30?31?31?［例2］求下列各式的值（1）tan71??tan26?

1?tan71?tan26?1?tan275?（2）

tan75?(1)分析：觀察題目結構，聯想學過的公式，不難看出可用兩角差的正切公式.解：tan71??tan26?

1?tan71?tan26?＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1(2)分析：雖不可直接使用兩角和的正切公式，但經過變形可使用之求解.解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝1?tan275?1?tan275?得：＝22

tan75?2tan75?2tan75?

1?tan275?＝221＝2cot150° tan150?＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－23 ［例3］利用和角公式計算1?tan15?的值.1?tan15?tan45??tan15?

1?tan45?tan15?分析：因為tan45°＝1，所以原式可看成這樣,我們可以運用正切的和角公式，把原式化為tan（45°＋15°）,從而求得原式的值.解：∵tan45°＝1 ∴1?tan15?tan45??tan15??

1?tan15?1?tan45?tan15?＝tan（45°＋15°)＝tan60° ＝3

課后作業

課本P41習題4.6 4，6

第四篇：《兩角和與差的正弦余弦和正切公式》教學設計（范文）

三角函數式的化簡

化簡要求：

1）能求出值應求值?

2）使三角函數種類最少

3）項數盡量少

4）盡量使分母中不含三角函數

5）盡量不帶有根號

常用化簡方法：

線切互化，異名化同名，異角化同角，角的變換，通分，逆用三角公式，正用三角公式。

例

1、三角函數式給值求值：

給值求值是三角函數式求值的重點題型，解決給值求值問題關鍵：找已知式與所求式之間的角、運算以及函數的差異，角的變換是常用技巧，給值求值問題往往帶有隱含條件，即角的范圍，解答時要特別注意對隱含條件的討論。

例

2、三角函數給值求角

此類問題是三角函數式求值中的難點，一是確定角的范圍，二是選擇適當的三角函數。

解決此類題的一般步驟是：

1）求角的某一三角函數值

2）確定角的范圍

3）求角的值

例3.總結：

解決三角函數式求值化簡問題，要遵循“三看”原則：

①看角，通過角之間的差別與聯系，把角進行合理拆分，盡量向特殊? 角和可計算角轉化，從而正確使用公式。

②看函數名，找出函數名稱之間的差異，把不同名稱的等式盡量化成 同名或相近名稱的等式，常用方法有切化弦、弦化切。

③看式子結構特征，分析式子的結構特征，看是否滿足三角函數公式，若有分式，應通分，可部分項通分，也可全部項通分。

“一看角，二看名，三是根據結構特征去變形”

第五篇：兩角和與差的余弦函數、正弦函數教學設計

數 學 學 案

兩角和與差的 余弦函數、正弦函數

【問題情境】

1.求cos150=＿＿＿,cos750=＿＿＿。（提示：150=450-300，750=450+300）

思考：已知角?，?的正余弦函數值，如何求?-?，?+?的正余弦函數值？ 【新知探究】

1.已知0

①平面向量的數量積公式

OP1·OP2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ ?2②平面向量的數量積的坐標表示公式

OP1·OP2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？

求cos(?-?)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ 應用：求cos150=＿＿＿。

2.當角?，?為任意角時，求cos(?-?)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ 【合作探究】 試根據cos(?-?)，求

① cos(?+?)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？(提示：cos(?+?)=cos[?-(-?)])② sin(?-?)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？（提示：sin(?-?)=cos[-(?+?)]）③ sin(?+?)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？

說明：cos(?-?)常記作C???，cos(?+?)常記作C??? sin(?+?)常記作S???，sin(?-?)常記作S??? 【知識應用】

1.求cos750，sin750，cos150的值。

變式練習： 求值：（1）cos 530 cos230+ sin 530 sin 230；

（2）cos(+?)cos?+ sin(+?)sin?。

?2?4?42.已知sin?=，??(,?), cos?=-的值。

45?25，求cos(?-?)，cos(?+?)133.已知sin?=-，?是第四象限的角，求sin(-?)，cos(+?)的值。35?4?4