第一篇：高觀點下的兩角和與差的正余弦公式教學設計

高觀點下的兩角和與差的正、余弦公式教學設計

438600 湖北省羅田縣第一中學 陳清華

1.設計背景

三角函數和三角恒等變換是高中數學課程的傳統內容,三角函數是刻畫周期現象的一種非常重要的初等函數模型，其中三角恒等變換在發展學生的推理能力和運算能力方面具有重要的教育價值.向量是近代數學中的基本概念之一，它既是代數的對象，又是幾何的對象，它是溝通

[1]代數、幾何與三角函數的一種工具.人教A版必修4教材在編排上，在三角函數和三角恒等變換兩章之間刻意安排了平面向量的內容，充分體現了將近代數學中的的一個重要的模型——向量，作為一種工具在三角恒等變換中加以應用，這很符合《高中數學課程課標》（以下簡稱標準）的數學模型化理念，體現了數學模型觀，著力于滲透數學建模的思想.數學是一種文化，數學的發展過程是一部人類探索數學的光輝歷史。《標準》中提倡：在教學過程中融入豐富的數學史知識，尋求數學進步的歷史軌跡，領會數學的美學價值，提高學生的文化素養.三角學的歷史源遠流長，起源于天文觀測和歷法推算，三角函數源于幾何問題，它是幾何問題代數化的典例。在教學過程中，如果融入三角學的歷史知識，通過查閱文獻資料，引領學生了解三角函數的發生發展歷程，并融入現代化的向量工具，引導學生進行探究性學習，使學生在探究活動中不僅知其“源”，而且知其所原。

2.教學流程 ? 三維目標 知識與技能

? 初步了解三角學的歷史淵源，感知三角函數的發展歷程，體會數學文化的內涵.? 從幾何直觀上初步理解兩角差的余弦公式,并初步體會向量數量積在推導兩角超的余弦公式中的工具性作用.過程與方法

? 查閱數學史資料，認識帕普斯“弦圖”并探索其中蘊含的數學奧秘.? 觀察“弦圖”發現并構建“單位圓”，嘗試在“單位圓”上探究兩角差的余弦之間的關系.? 借助幾何直觀化“單位圓”和向量的工具，嘗試類比推導兩角和與差的三角函數公式.情感、態度與價值觀

1.感受數學文化，初步體會數學史的豐富內涵，體會向量將幾何直觀轉化為代數運算的工具作用.2.通過變式探究活動，經歷類比推理過程，體會從一般到特殊的數學思想在數學中的應用.? 教學重難點

? 重點：探究兩角差的余弦之間的關系，并利用單位圓和向量推導兩角差的余弦公式.? 難點：類比推導兩角和與差的三角函數公式 ? 教學流程 3.教學過程

3.1回溯三角學的歷史，追本溯源認識三角變換

角學起源于航海、歷法推理、和天文測量研究，最初主要是研究球面三角，由于間接測量、測繪工作的需要出現了平面三角學理論。設計1：認識“弦圖”：從平面幾何中發現兩角差的正、余弦關系

公元3世紀末，亞歷山大的數學家帕普斯（Pappus）在其《數學匯編》第5卷第4部分中給出這樣一個命題：如圖1，設.和[2]

是以為

為直徑的半圓上的一點，的垂線，為垂足.則

是半圓在點處的切線，圖1 圖2 證明：由于命題等價于又只需證：是梯形的中位線，所以,即

.顯然有，試用,所以,試用線段（比）分別表示

.中，中，中，與

知，且

知，故

； ，;

;的關系.;表示

.得證....,又因為,所以原問題1：如圖1所示，設解析：由知:問題2：如圖2所示,不妨設以及解析：在在在，問題3：結合問題2的結論，試探究解析：由又在又由中，且

且所以問題4：結合問題3類似地，試探究解析：如圖2可知，又因為又在中，且

且

與

知，故

的關系

所以

古埃及天文學家克羅狄斯·托勒密利用兩角和差的三角關系繪制了現存最早的三角函數弦表，在天文學和測量計算中有很重要的應用.制作弦表的原理如以下“弦圖”所示：

設計意圖：根據蘇和姆林斯基的“最近發展區”理論，尋找符合學生認知的切入點，以一個古老的平面幾何命題為依托，引導學生從簡潔的幾何圖形中發現其所蘊含的三角知識，給學生一個意外的“驚喜”，激發學生繼續深入探究的興趣。其實命題的本身并不難用三角形相似得以證明，學生很容易用初中所學的三角形相似得出結論，然而這個命題中所蘊含的三角函數線的內涵卻需要我們細細品味.評注：從學生所熟悉的平面幾何證明過程中重溫舊知，從已認知的圖式中發現新的圖式，打破了學生原有的認知平衡，如一石激起千層浪般激發學生的思維，通過層層設問進行合理建構，引導學生領略新的知識的發生和發展過程，體驗從平面幾何圖形中發現三角變換的奧秘，平中見奇.設計2：發現并構建“單位圓”：由三角形的內角通往任意角的橋梁

問題5：我們發現上述的弦圖只能表示范圍內的兩角差的三角函數關系，結合任意角以及任意角的三角函數的定義，教材上是用旋轉的方式產生任意角的終邊，并利用單位圓定義任意角的三角函數的，如何將三角形內角向任意角推廣，我們自然就會想到能否合理構建單位圓，運用單位圓周上點的任意旋轉得到任意角，在上述探究過程中其實我們已經構建出了單位圓，你能發現它嗎？ 解析：引導學生發現“弦圖”蘊含的“單位圓”，為了方便運算，同時引導學生運用“坐標化”的思想，建立適當的坐標系如圖3所示,為任意角的兩角和與差的三角公式的推導架設橋梁，鋪平道路.圖3 圖4 設計意圖：根據現代心理學理論，認知沖突中學習過程中起著很重要的作用，教師在教學過程中應該結合學生的實際巧妙地設置認知沖突，激發學生的思維，讓學生萌生探明究竟的沖動和渴望，形成學習的內驅力，促進創造性思維的發展.評注：在人教A版必修4第3.1.1節的教材中提到：“由于這里涉及的三角函數的問題，是的余弦問題，所以可以考慮聯系單位圓上的三角函數線或向量的知識.” 并且給出了如圖4所示的圖形對銳角的兩角差的余弦公式進行了簡單推導.推導的過程和設計1的推導過程類似，然而圖4的直接給出卻顯得有些突兀，有些學生對于為什么構建這樣的圖形感覺無法理解，教材沒有給學生的認知搭建幫助理解的“腳手架”，那么作為課堂的主導者的教師就應該為學生的認知搭建符合學生認知最近反展區的“腳手架”.在教學過程中，如果教師能夠結合數學史的知識，追尋三角知識的發展歷程，站在三角知識的產生的源頭的高度上對教材進行適當的處理，構建符合學生認知圖式和適應學生心理的數學情境，適度地重現知識的發生和發展的過程，讓學生在探究活動中發現數學，體驗殊途同歸的奧妙，讓數學的學習真正做到返璞歸真,更加自然，往往會起到觸動心弦的效果。

3.2 融入近代數學元素——向量，助推任意兩角差的余弦公式

設計3：引進向量工具：讓三角變換在代數運算中精彩演繹 問題6：任意角的三角函數是在單位圓上定義，對于任意的兩個角上表示？

分為兩種情況:

和

來考慮，如圖5和6.，如何在單位圓解析：對于任意的兩個角

圖5

圖6 問題7：如圖5所示，在單位圓中？

解析：由，以及根據向量的數量積

知：，如何運用向量方法表示，即

設計意圖：向量是近代數學中重要的數學概念之一，是溝通代數和幾何的一種工具，體現數形結合的思想.問題6是為了滲透了分類討論和數形結合的數學思想方法，引導學生合理構建任意兩角的差，問題7結合向量的數量積運算和坐標化的思想，實現三角變換在代數運算中的精彩演繹,體現向量的工具性和模型化.例1 利用差角余弦公式求的值

解析：由變式1 試求的值.或易得：

例2 已知是第三象限角，求的值

設計意圖：根據桑代克的練習律理論，對新知進行強化和遷移應用，可以增進學生對新知的認知和理解，鞏固新形成的圖式,體驗只要知道的值就可以求的值的過程.設計4：對稱與變換：類比推導問題8：對于任意的兩個角？

解析：如圖7所示，作地可以得出：的終邊關于軸對稱可得的終邊，類似

公式，如何在單位圓上表示

？試用向量方法表示

圖7，設計意圖：通過對稱變換在單位圓上構造，并引導學生運用向量方法推導出進一步地鞏固向量推導兩角差的余弦公式的過程.問題9：結合三角函數的誘導公式，能否用推導出？

解析：由

知：

用替換易得：

評注：運用以前所學的三角函數的誘導公式，引導學生進行正弦和余弦之間的互換，體驗換元的思想方法在三角變換中的重要作用.4.小結反思

角差的余弦公式是所有三角變換的基礎，有的教材上是用向量來處理的，這與傳統教材的處理法大不一樣，究竟哪種編排法更好，更符合學生的認知？向量法的實質是說這兩個公式事實上是描述圓上的任意角的旋轉變換。這樣更加形式化了。新數學運動有過失敗的經驗，現代的、形式化的東西在數學科學的確很先進，但并不一定是適合學生的。作為教育，一方面要讓學生領會數學思想的原初發生發展過程，另一方面又要引導學生能從各個方面欣賞已經得到的數學結果，提高認識能力。兩角差的正弦、余弦公式既反映了三角的重要發展，又反映了三角變換的深刻本質，但是否要用本質的、深刻的東西取代最初本原的思想，對教師的教學觀念，評鑒課程的能力提出了高的要求。

考文獻

[1] 全日制普通高中數學新課程標準(實驗).(2004).[2] 張小明,汪小勤.兩角和差的三角公式推導——數學史融入數學教學的實例研究.數學教學，2007.02

第二篇：兩角和差正余弦公式的證明

兩角和差正余弦公式的證明

北京四中數學組 皇甫力超

論文摘要：

本文對兩角和差的正余弦公式的推導進行了探討。在單位圓的框架下 , 我們得到了和角余弦公式(方法 1)與差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我們得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)與差角正弦公式(方法 12,13)。

關鍵詞：

兩角和差的正余弦公式 正文：

兩角和差的正余弦公式是三角學中很重要的一組公式。下面我們就它們的推導證明方法進行探討。

由角 , 的三角函數值表示 的正弦或余弦值 , 這正是兩角和差的正余弦公式的功能。換言之 , 要推導兩角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一個等式或方程 , 將 或

與 , 的三角函數聯系起來。的三角函數。因此 , 由和角公式容根據誘導公式 , 由角 的三角函數可以得到

易得到對應的差角公式 , 也可以由差角公式得到對應的和角公式。又因為 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 據此 , 可以實現正弦公式和余弦公式的相互推導。因此 , 只要解決這組公式中的一個 , 其余的公式將很容易得到。

(一)在單位圓的框架下推導和差角余弦公式 注意到單位圓比較容易表示 ，和 , 而且角的終邊與單位圓的交點坐標可

與 , 的三以用三角函數值表示 , 因此 , 我們可以用單位圓來構造聯系 角函數值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如圖所示, 在直角坐標系 角 的始邊為 于點 C；角 , 交 始邊為 ,由兩點間距離公式得

；

于點 A, 終邊交 , 終邊交

中作單位圓 , 并作角 , 和 , 使

于點 B；角 始邊為 , 終邊交 ，于點。從而點 A, B, C和 D的坐標分別為,。

注意到 , 因此。

注記：這是教材上給出的經典證法。它借助單位圓的框架 , 利用平面內兩點間距離公式表達兩條相等線段, 從而得到我們所要的等式。注意, 公式中的 和 為任意角。

2.差角余弦公式

仍然在單位圓的框架下 , 用平面內兩點間距離公式和余弦定理表達同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是

(方法2)如圖所示, 在坐標系 的始邊均為 , 交

于點 C, 角 ,中作單位圓 終邊交

。, 并作角 和 , 使角 和

于點 A,角 終邊交 于點。從而點 A, B的坐標為由兩點間距離公式得。

由余弦定理得。

從而有。

注記：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依賴于 要補充討論角 和 的終邊共線, 以及 情形中依然成立。

在上邊的證明中 , 用余弦定理計算

是三角形的內角。因此, 還需

大于 的情形。容易驗證 , 公式在以上的過程也可以用勾股定理來進行。

(二)在三角形的框架下推導和差角正弦公式

除了在單位圓的框架下推導和差角的余弦公式 , 還可以在三角形中構造和角或差角來證明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如圖所示, , ，為 的

邊上的高 ，為

邊上的高。設 , 則。從而有 , , 。

因此 。

注意到 從而有 , , 整理可得。

注記：在方法 3 中 , 用 邊上高

和與底角 , 相關的三角函數, 從兩個角度來表示 , 從而得到所希望的等式關系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的 , 對基于直角或銳角三角形的情形 , 證明過程類似。

利用方法 3 中的圖形 , 我們用類似于恒等變形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4)如圖所示, , , 則

為 的。

邊上的高 ，為

邊上的高。設

注意到 , 則有,即。從而有。

利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個非常簡潔的證法。注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。

(方法 5)如圖所示 , 則有

為 的

邊上的高。設 , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d為 的外接圓直徑。

由 得 , 從而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角 , 放在三角形的兩個底角上。如果將這兩個角的和作為三角形的一個內角 , 將會有下面的幾種證法(方法 6~11)。

(方法 6)如圖所示 , 作 , , 則

于D, 交 , ,外接圓于 E, 連。

和

。設設 的外接,圓直徑,為 d, 則有。

所以有。

注意到 , 從而。

(方法 7)如圖所示 , , , 則

為 的

邊上的高 , , 則

為

邊上的高。設

。設 , , ,。, 又

從而。整理可得。

(方法 8)如圖所示 , 作 設 。

于D, 過 D作 , 則 ,于 F, ,設

于G。, 從而 ,所以。

注意到 , 則有。

注記：我們用兩種不同的方法計算 法來計算 , 得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方, 則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得 , , 從而有而可得。

。注意到 , 從方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函數從兩個角度表示圖形中的同一線段 , 從而構造出我們所希望的等式關系。

(方法 9)如圖所示 , 設 ,，為 的

邊上的高。設 , , 從而有

方法 9 利用面積關系構造三角恒等式。下面這兩個證法的思路則有所不同。

(方法 10)如圖所示 , 設 , 則

為 , 從而 的外接圓直徑d, 長度為d。設 ，注記：這一證明用到了托勒密定理：若 和。

是圓內接四邊形的對角線 , 則有

(方法 11)如圖所示 , 則。設

為 , 則 的

邊上的高。設 , ，方法 10 和 11 將某一線段作為基本量 , 利用與角 ，相關的三角函數表示其它線段 , 再通過聯系這些線段的幾何定理(托勒密定理或正弦定理), 構造出我們希望的等式關系。

3.差角正弦公式

仍然還是在三角形中 , 我們可以在三角形的內角里構造出差角來。方法 12 和 13 便是用這種想法來證明的。

(方法 12)如圖所示 ,于 E, 則 。設 , , 從而有 , 記 , 作

(方法 13)如圖所示 , , 則 ，為 的外接圓直徑 , 長度為 d。設。從而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計算同一線段 , 借此來構造等式關系。

很顯然 , 在這十二種證法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。換言之 , 這兩種方法中出現的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 則有一定的限制 , 它們都是三角形的內角(甚至都是銳角)。因此 , 對于方法 3~13, 我們需要將我們的結果推廣到角 和

是任意角的情形。具體而言 , 我們要證明：如果公式對任意 任意角也成立。

容易驗證 , 角 和

成立 , 則對

中至少有一個是軸上角(即終邊在坐標軸上的角), 我們的公式是成立的。下面證明 , 角 和 都是象限角(即終邊在坐標系的某一象限中的角)時 , 我們的公式也成立。不妨設 為第二象限角 , 為第三象限角 , 從而有

從而

同理可證, 公式對于象限角 3~13 推導的公式推廣到角

和 的其它組合方式都成立。因此 , 我們可以將方法 , 是任意角的情形。

兩角和差的正余弦公式是三角學中很基本的一組公式。其推導證明對指導學生進行探究性學習很有幫助。從上文中可以看到 , 這一探究過程可分為四個步驟：

(1)明確推導證明的目標：構造聯系 和 等式或方程 ；

(2)簡化課題：四個公式只要解決一個 , 其余的都可由它推出 ；(3)解決問題：利用單位圓或三角形作為聯系

和

三角函數與

或

三角函數與

或 的的工具 , 尋找我們希望的等式關系 ；

(4)完善解決問題的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考慮將其化歸為已解決的情形 , 必要時還要進行分類討論。

參考文獻：

1.谷丹：全面數學教育觀與知識形成過程的教學——三個教學個案及分析 , 《開放的視野 , 務實的努力》, 中央民族大學出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 頁。

2.人民教育出版社中學數學室：全日制普通高級中學教科書 << 數學(第一冊下)>>(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 頁。

第三篇：兩角差的余弦公式教學反思

兩角差的余弦公式教學反思

兩角差的余弦公式是任意角三角函數知識的延伸，是后繼內容兩角和與差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知識基礎。

之前我在新舊教材中都講過這個內容，經過這次培訓，我又對這一內容進行了設計，重新備課。就之前與之后的教學，我進行了反思。

一、反思教學理念：新課程理念的靈魂是三個教學目標的整合，關注學生的發展。知識可以通過傳授獲得，技能可以通過訓練掌握。態度和情感價值觀需要學生參與獲得。這樣，課堂教學中，要重視學生的參與、體驗過程。但老師的指導作用也不可忽視，沒有老師的引導，學生的行動、思維就很難達到一個較高的程度。教師通過創設激發學生學習欲望的數學情境，營造積極的活躍的學習氛圍，才能使學生參與我們的教學中來。

二、反思教學過程：

（一）創設問題情境：之前舊教材的教學，我們只關注公式的應用，而輕視公式的由來，這樣符合公式的發生發展過程。這次的教學設計我從如何解決一個實際問題出發，調動學生的思維與學習積極性，抓住學生的興趣。

（二）兩角差的余弦公式的探究過程：之前舊教材的教學是用兩點間的距離公式來推導兩角和的余弦，再賦值得到兩角差的余弦公式，這一過程中對學生的思維訓練不是很多。而新教材采用了一種學生易于接受的推導方法，即先用數形結合的思想，借助于單位圓中的三角函數線，推出α，β，α－β均為銳角時公式成立。對于α，β為任意角時的情況，教材運用向量的知識進行了探究，使得公式的得出成為一個純粹的代數運算過程，學生易于理解和掌握，同時也有利于提高學生運用向量解決相關問題的意識和能力。我采用了新教材的思路。

(三)兩角差的余弦公式的簡單應用。除了課本上的例題、習題，我補充了課堂練習、及課后作業，針對性較強。

第四篇：1.1.1 兩角和與差的余弦公式教案(高教版拓展模塊)范文

1.1.1 兩角和與差的余弦公式

一、教學目標

1．熟悉用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用． 2．了解差角公式產生的背景．

3．熟記兩角和與差的余弦公式，并能靈活運用．

二、教學重、難點

1.教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式；

2.教學難點：探索過程的組織和適當引導，這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題等.三、教學設想：

（一）導入：問題：

我們在初中時就知道cos30??31,cos60??，由此我們能否得到22cos30??cos?60??30???cos60??cos30?,大家猜想，是不是等于cos60??cos30?呢？

根據我們在前面所學的知識可知：我們的猜想是錯誤的！

那么，知道角?與?的三角函數值，如何計算cos?????的值呢？ 下面我們應用向量，來研究這個問題。

（二）探討過程：

????????

1、在單位圓中，設向量OA、OB與x軸正半軸的夾角分別為?,?，則點A?cos?,si?n?，點B?co?s????,?s?i,n因此向量OA=?cos?,sin??，向量????????????OB=?cos?,sin??，且OA?1,OB?1，于是

思考：

（1）結合圖形，明確應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？（2）怎樣利用向量的數量積的概念的計算公式得到探索結果？

????????????????OA?OB?OAOBcos??????cos?????

????????OA?OB?cos?cos??sin?sin?

cos??????cos?cos??sin?sin?

2、利用誘導公式求cos?????

cos??????cos???????????cos?cos?????sin?sin????

?cos?cos??sin?sin?

兩角差的余弦公式：cos??????cos?cos??sin?sin? 兩角和的余弦公式：cos??????cos?cos??sin?sin?

公式反映了???和???的余弦函數值與?,?的三角函數值之間的關系。

（三）例題講解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75和cos15的值.解：分析：把75,15構造成兩個特殊角的和、差.????cos75??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??cos15??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??23216?2????22224 23216?2????22224

點評：把一個具體角構造成兩個角的和、差形式，有很多種構造方法，例如：cos15??cos?60??45??，要學會靈活運用.34 ,cos??，并且?和?都是銳角，求cos(???),cos(???)的值。5534解：因為cos??,cos??，并且?和?都是銳角，所以

5543sin??1?cos2??，sin??1?cos2??

553443所以 cos??????cos?cos??sin?sin??????0

5555344324 cos??????cos?cos??sin?sin??????

555525例

2、已知cos??點評：注意角?和?的象限，也就是三角函數值的符號問題.（四）練習：

1.不查表計算下列各式的值：

（1）cos80?cos20??sin80?sin20? 13（2）cos15??sin15?22

2．教材P3面練習1.1.1 1、2、3題

（五）小結：

兩角和與差的余弦公式，首先要認識公式結構的特征，了解公式的推導過程，熟知由此

衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角?和的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.（1）牢記公式

（2）在“給值求值”題型中，要能靈活處理已、未知關系．

（六）作業：

1、化簡：

（1）cos24?cos69??sin240?sin69?

???)cos??sin(???)sin?（2）cos（2、已知sin??的值.45???求cos(???),cos(???),???,??，?是第三象限角，cos???，5213??

第五篇：高一《兩角和與差的三角函數》教學設計

高一《兩角和與差的三角函數》教學設計

高一《兩角和與差的三角函數》教學設計

【教材分析】

本節是北師大版高中必修四第三章2.1和2.2兩角和與差的正弦、余弦函數（書第116頁-118頁內容），本節是在學生已經學習了任意角的三角函數和平面向量知識的基礎上進一步研究兩角和與差的三角函數與單角的三角函數關系，它既是三角函數和平面向量知識的延伸，又是后繼內容兩角和與差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知識基礎，起著承上啟下的作用，對于三角函數式的化簡、求值和三角恒等式的證明等有著重要的支撐。本課時主要講授運用平面向量的數量積推導兩角差的余弦公式以及兩角和與差的正、余弦公式的運用。

【學情分析】

學生在本節之前已經學習了三角函數和平面向量這兩章知識內容，這為本節課的學習作了很多的知識鋪墊，學生也有了一定的數學推理能力和運算能力。本節教學內容需要學生已經具有單位圓中的任意角的三角概念和平面向量的數量積的表示等方面的知識儲備，這將有利于進一步促進學生思維能力的發展和數學思想的形成。

【課程資源】

高中數學北師大版必修四教材；多媒體投影儀

【教學目標】

1、掌握用向量方法推導兩角差的余弦公式，通過簡單運用，使學生初步理解公式的結構及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎；

2、讓學生經歷兩角差的余弦公式的探索、發現過程,培養學生 的動手實踐、探索、研究能力.3、激發學生學習數學的興趣和積極性，實事求是的科學學習態度和勇于創新的精神.【教學重點和難點】 教學重點：兩角和與差的余弦公式的推導及運用

教學難點：向量法推導兩角差的余弦公式及公式的靈活運用

（設計依據：平面內兩向量的數量積的兩種形式的應用是本節課 “兩角和與差的余弦公式推導”的主要依據，在后繼知識中也有廣泛的應用，所以是本節的一個重點。又由于“兩角和與差的余弦公式的推導和應用”對后幾節內容能否掌握具有決定意義，在三角變換、三角恒等式的證明、三角函數式的化簡求值等方面有著廣泛的應用，因此也是本節的一個重點。由于其推導方法的特殊性和推導過程的復雜性，所以也是一個難點。）

【教學方法】

情景教學法；問題教學法；直觀教學法；啟發發現法。

【學法指導】、1、注意任意角的終邊與單位圓交點坐標、平面向量的坐標的表示以及平面向量的數量積的兩種表示形式的復習為兩角差的余弦的推導做必要的準備，并讓學生體會感悟向量在解決數學問題中的工具作用(體現學習過程中循序漸進，溫故知新的認知規律。)；

2、突出誘導公式在三角函數名稱變換中的作用以及變角思想讓學生進一步體會數學的化歸思想。

3、讓學生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序；角的順序關系，培養學生的觀察能力，并通過觀察掌握公式的特點。

【教學過程】

教學流程為：創設情境----提出問題----探索嘗試----啟發引導----解決問題。

（一）創設情境，揭示課題

問題1： 同學們都知道，試問是否與相等？大家可以猜想是不是等于呢？下面我們就一起探討兩角差的余弦公式

【設計意圖】通過問題情境，自然流暢地提出問題，揭示課題，引發學生思考。使學生目標明確、迅速進入新知學習。

（二）問題探究，新知構建

問題2：你能用與的三角函數值表示出這兩個角的終邊與單位圓的交點A和B的坐標嗎？怎樣表示？ 【師生活動】畫單位圓在直角坐標系中畫出單位圓并作出與角的終邊與單位圓的交點，引導學生利用三角函數值表示出交點坐標。

【設計意圖】通過復習使學生熟悉基礎知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點的坐標，為新課的推進做準備。

問題3：如何計算向量的數量積？

【師生活動】引導學生觀察是的夾角，引發學生對向量的思考，并及時啟發學生復習向量的數量積的的兩種表示。

【設計意圖】平復習面內兩向量的數量積的幾何法與代數法兩種表示，從而使“兩角差的余弦公式”的推證水到渠成。

問題4：計算cos15°和cos75°的值。

分析：本題關鍵是將分成45°與30°的和或者分解成45°與15°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解。(學生板演)

【師生活動】引導學生初步應用公式

【設計意圖】讓學生熟練兩角和與差的余弦公式，體會學生公式的實際應用價值，即：將非特殊角轉化為特殊角的和與差。并引發學生對兩角和的余弦公式的推證興趣。

問題7：同學們都知道誘導公式cos（-β）=cosβ，sin（-β）=-sinβ，那么你會推導出

cos（α+β）=？

【師生活動】學生在老師的引導下自主推證兩角和的余弦公式。

【設計意圖】讓學生在學習中體會感受化歸思想和類比思想在新知識發現中的作用。

問題8：同學們已學過sinα=cos(-α)，那么你會運用這個

公式推證出sin（α-β）和sin（α+β）嗎？

【師生活動】教師引導學生推導公式。

【設計意圖】新知構建并體會轉化思想的應用。

問題9：勾畫書中兩角和與差的三角函數公式并觀察它們有什么特點？

兩角和與差的余弦：

同名之積相加減，運算符號左右反

cos（α+β）= cosα cosβ-sinα sinβ

cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ

兩角和與差的正弦：

異名之積相加減，運算符號兩相同

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

【師生活動】學生總結公式特點，學習小組交流，教師總結公式結構特征。

【設計意圖】讓學生熟悉并掌握公式特征，如：教的順序、函數的順序、符號的規律。

（三）知識應用，熟悉公式

例

2、（1）求sin（-25π＼１２）的值；

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．

【設計意圖】進一步熟悉誘導公式、兩角和與差的三角函數公式的特點及正逆應用。

例

3、已知求sin（α+β），cos（α-β）的值。

思維點撥：觀察公式本題已知條件應先計算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數的平方關系，并注意α，β的取值范圍來求解．

【設計意圖】訓練學生思維的有序性，例如在面對問題時，要注意先認真分析條件，明確使用公式時要有什么準備，準備工作怎么進行等。還要重視思維過程的表述，不能只看最后結果而不顧過程表述的準確性、簡潔性等。在教學過程中，對例3適當延伸，目的要求學生正確使用分類討論的思想方法，在表述上也對學生有了更高的要求。

（四）自主探究，深化理解，拓展思維

變式訓練1：如何計算？

【反思】本節學習的兩角和與差的三角函數公式對任意角也成立嗎？

變式訓練2: 例3中如果去掉條件，對結果和求解過程會有什么影響？

變式訓練3：下列等式成立嗎？

cos（α+β）=cosα+cosβ

cos（α-β）=cosα-cosβ

sin（α+β）=sinα+sinβ

sin（α-β）=sinα-sinβ

【設計意圖】通過變式訓練與討論進一步培養學生自主探究、合作學習交流的能力，以熟悉公式的變形運用并掌握兩角和與差的正余弦公式的特征及應用。

（五）小結反思，評價反饋

1、本節學習的內容有哪些？

2、兩角和與差的三角函數公式有什么特點？運用兩角和與差的三角函數公式可以解決哪些問題？

3、你通過本節學習有哪些收獲？

【設計意圖】進一步熟悉公式，加深學生對公式的理解和認識，培養學生的歸納總結能力和交流表達能力，讓學生獲得成功體驗。

（六）作業布置，練習鞏固

書面：課本第121頁A組1中間兩題；2（2）（3）（4）B組2（2）

課后研究：課本第118頁練習5;

【設計意圖】鞏固和理解知識，掌握兩角和與差的三角函數公式。并引發學生對新知學習與探求的欲望和興趣。

【板書設計】

兩角和與差的正、余弦函數

公式

推導 例1

例2 例3

【教后反思】

本節教學設計首先通過問題情景闡述了兩角差的余弦公式的產生背景，然后通過組織學生分析，討論，并借助于單位圓中以原點為起點的兩向量的數量積的兩種表示，對α大于β使，cos(α－β)給出證明，進而用向量知識探究任意角的情形。這些均體現了數學中從特殊到一般的思想方法，符合新課改的基本理念。同時，例題1、2、3由淺入深，讓學生在問題中探究，在探究中建構新知。使學生在已有基礎上，充分利用歸納、類比等方法激發學生進一步探究的欲望，建立Cα±β模型，有利于學生數學思維水平的提高，同時及時鞏固，應用，拓展延伸，加強了學生對新知的掌握和靈活運用。給學生思維以適當的引導并不一定會降低學生思維的層次，反而能夠提高思維的有效性，從而體現教師主導作用和學生主體作用的和諧統一。但課后發現小結倉促，如果能再引導學生自我小結、反思。可能會更好．

【關于教學設計的思考】

1、本節課授課內容為《普通高中課程標準實驗教科書2數學（4）》（北師大版）第三章第一節，本節課的教學重點是：兩角和與差的余弦公式的推導和應用是本節的又一個重點，也是本節的一個難點。所以這節課效果的好壞，體現在對這兩點實現的程度上，因此，例題、練習、作業應用繞這兩方面設計。而平面內兩向量的數量積的兩種形式的應用又是推導兩角差的余弦公式的關鍵；因此在復習近平面內兩向量的數量積的兩種形式是本節課必要的準備。

2、本節課采用“創設情境----提出問題----探索嘗試----啟發引導----解決問題”的過程來實現教學目標。有利于知識產生、發展、解決這一認知過程的完整體現。在教學手段上使用多媒體技術，有效增加課堂容量。在教學過程環節，采用問題教學，再逐步展開的方式，能夠充分調動學生的學習積極性，讓學生的探索具有明確的目的性，減少盲目性。在利用平面內兩向量的數量積的幾何形式、代數形式建立等式，而得到兩角差的余弦公式后，利用代數思想推出兩角和的余弦公式，使學生進一步體會數學思想的深刻性。通過對公式的對比，可以加深學生對公式特征的印象，同時體會公式的線形美與對稱美，給學生以美的陶冶。作業的布置中，突出了學生學習的個體差異現實，使學有余力的學生產生挑戰的心理感受，也為下一節內容的學習做準備。

3、數學的學習，主要是培養人的思維課程，強調思維構造，以問題解決為主的課程，既注重人的智慧獲得，又注重人的情感發展，因而在教學中，應注意“完整的人”的數學教育，不搞“以智力開發為主的教育”，使學生成為真正的人。因此在課堂教學中，教學設計應從學生出發，給學生更多的自由，讓他們真正參與，注重學習的過程，尤其重視以學生為主的數學活動，注重學生的自我完善，自我發展，不把學生當成接受知識的容器，要教會學生學會學習，尤其是有意義的接受學習和發現學習，“授人以魚，不如授之以漁，授人以魚祗救一時之及，授人以漁則可解一生之需”。在數學教育中，注重培養學生的自信，自重，自尊，使他們充滿希望和成功，促進其健康人格的形成。只有這樣，才能讓數學課更有生機和人性，才能學生真正成為學習的主人。