第一篇：數(shù)學史問題

第一講：數(shù)學的起源與早期發(fā)展

問題1：為什么“4”表示為“鴕鳥的腳趾”？

問題2：狗的腳趾有幾個？貓的腳趾有幾個？雞鴨鵝的腳趾各有幾個？ 該問引出觀察能力的培養(yǎng)。問題3：怎樣看待菱形的演變？

問題4：數(shù)與形概念是如何產生的？數(shù)的概念的發(fā)展給我們的啟示？（怎么教學1234??）

問題5：關于符號的歷史 問題6：如何認識負數(shù)

問題7：如何認識九九乘法口訣表？如何用手指計算九九乘法口訣表表中乘九的部分？

問題8：如何用手指表示月？請收集用身體部位計數(shù)的方法？ 問題9：談談你對中國八卦的認識？ 問題10：古埃及與巴比倫的數(shù)學成就？ 第二講 古代希臘數(shù)學

問題1：古希臘有幾位哲學家和數(shù)學家？簡述他們的科學工作。問題2：泰勒斯的哲學信仰是什么？如何評價泰勒斯的論證數(shù)學？ 問題3：如何看待泰勒斯準確預言日食和測量金字塔的高度？

問題4：畢達哥拉斯學派的哲學信仰是什么？如何評價畢達哥拉斯的演繹數(shù)學？

問題5：畢達哥拉斯學派已有哪些數(shù)學成果是我們現(xiàn)在學的？（畢達哥拉斯定理、黃金分割）

問題6：什么是相親數(shù)？什么是完全數(shù)？什么是梅森素數(shù)？尋找完全數(shù)和梅森素數(shù)有什么意義？

問題7：畢達哥拉斯學派還依據(jù)幾何和哲學的神秘性對“數(shù)”進行分類，按照幾何圖形分類，可分成“三角形數(shù)”；“正方形數(shù)”；“長方形數(shù)”；“五角形數(shù)”等等．這些數(shù)和級數(shù)有關系嗎？

問題8：希臘字母是誰的發(fā)明？ 問題9：音樂和數(shù)學有關系嗎？

問題9：談談勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明（數(shù)學史上）問題10：第一次數(shù)學危機是什么？無理數(shù)的歷史？

問題11：歷史上三大幾何難題是什么？如何看待？如果取消尺規(guī)作圖限制能否做到？(汪曉勤論文：《一卷永不過期的數(shù)學狂怪檔案》、《》)問題12：結合數(shù)學史，如何在數(shù)軸上表示任意一個實數(shù)（用尺規(guī)作圖在數(shù)軸上作出和實數(shù)對應的點）。

問題13：芝諾四個悖論是什么？

問題14：怎么看數(shù)學悖論與數(shù)學危機？

問題15：結合數(shù)學史設計無理數(shù)和勾股定理的教學？（見汪曉勤：《巴比倫泥版文獻中的勾股定理》、《巴比倫泥版文獻中的勾股定理》、）

問題16：數(shù)列的數(shù)學史有哪些？基于數(shù)學史談談數(shù)列如何教學？

（見（1）汪曉勤：《_九章算術_均輸章等差數(shù)列問題研究》、《HPM視角下的等比數(shù)列教學》、《阿拉伯數(shù)學文獻中的數(shù)列求和公式》、《阿拉伯數(shù)學文獻中的數(shù)列求和公式》、《斐波納契_計算之書_中的數(shù)列問題》、《斐波納契的_遺產分配問題_》、《泥版上的數(shù)列問題》、《文藝復興以后西方數(shù)學文獻中的數(shù)列知識》、《印度古代數(shù)學中的數(shù)列問題》、《猶太數(shù)學文獻中的數(shù)列問題》、《用數(shù)學歸納法證明的第一個數(shù)學定理》、《紙草書上的數(shù)列問題》、《中國古代數(shù)學文獻中的數(shù)列問題》、《》）

（2）

問題17：如何進行圓錐曲線教學？（見汪曉勤：《HPM視角下的數(shù)學教學設計_以橢圓為例_汪曉勤》、《HPM視角下橢圓概念教學的意義》、）

問題18：如何看待柏拉圖《共和國》“我們必須竭力奉勸我國未來的主人學習算術??”

問題19：如何看待歐幾里得的“求知無坦途”和“幾何無王者之道”？ 問題20：歐幾里得的幾何原本對科學家的影響？

問題21：初唐詩人陳子昂有句云：“前不見古人，后不見來者，念天地之 悠悠，獨愴然而涕下。”你如何理解？

問題22：如何看待阿基米德的愛國？

問題23：如何看待海倫公式？三角形面積公式的推導歷史？ 見汪曉勤：《三角形內角和定理_從歷史到課堂》《運用數(shù)學史的_相似三角形應用_教學》、《》

問題24：三角函數(shù)表相仿的“弦表”歷史？ 見汪曉勤：《幾何視角下的和角公式》《兩角和差的三角公式推導一數(shù)學史融入數(shù)學教學的實例研究》、《n倍角正_余弦公式史略》、《正切定理的幾何證明》、《中學數(shù)學教學中融入數(shù)學史的行動研究》、《》

問題25：有關丟番圖的墓志銘上的“丟番圖的一生，童年生活占1/6，青少 年的時代占1/12，然后獨身生活占1/7．結婚后過了5年生了一個兒子，兒子比父親早4年而亡，只活了父親年齡的一半”．見汪曉勤：《三次方程求根公式的誕生》《為什么稱未知數(shù)為_元_》、《學生對字母的理解_歷史相似性研究》、《一元二次方程_從歷史到課堂》、《用字母表示數(shù)的歷史》、《》

問題26：如何看待古希臘最后一位數(shù)學家----女數(shù)學家的悲慘命運？請查找三位偉大的女數(shù)學家？

第三講：中世紀的東西方數(shù)學I---中國傳統(tǒng)數(shù)學的興盛

問題1：如何認識《九章算術》對于代入消元法解二元一次方程組的方法和今天有何不同？如何看待劉徽的《九章算數(shù)注》？

問題2：結合數(shù)學史如何看待負數(shù)?“＋―×÷”符號的歷史？

問題3：何為出入相補原理？劉徽是如何利用出入相補原理計算三角形面積公式的？

問題4:何為陽馬定理？

問題5：如何計算圓內接正n邊形？

問題6：何為劉徽原理？何為祖暅原理？二者的關系如何？劉徽和祖沖之父

子是如何計算球體積公式的？

(見汪曉勤《關于阿基米德合蓋體積公式的注記》、《關孝和的球體積計算》、問題7：關于圓周率的歷史（見汪曉勤：《17_19世紀法國數(shù)學家的圓周率初等研究與劉徽的割圓術》、《阿基米德與圓周率》、《圓周率的魅力》、《圓周率議案始末》、《祖沖之圓周率在西方的歷史境遇_紀念祖沖之逝世1500周年》、《》 見傅海倫《圓面積公式與圓周率究竟是怎樣推求的》）問題8：如何看待《算經(jīng)十書》？

物不知數(shù)、白雞問題-----不定方程問題 出門望九堤-----等比數(shù)列問題 雞兔同籠-----教學問題 見傅海倫論文：《論數(shù)學史在數(shù)學教育中的應用—從 “雞兔同籠” 問題談起》 問題9：如何看待中國古代數(shù)學？分析中國古代數(shù)學繁榮和衰敗的原因？

第四講中世紀的東西方數(shù)學II（印度數(shù)學、阿拉伯數(shù)學、中世紀的歐洲數(shù)學）

問題1：帶著微笑眼睛的美麗少女，請你告訴我，按照你理解的正確反演法，什么數(shù)乘以3，加上這個乘積的3/4，然后除以7，減去此商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？ 這是出于哪個國家的數(shù)學家的哪部著作？

千余年內印度最有成就的數(shù)學家是婆什迦羅 Ⅱ(Bhāskara，1114—1188)． 《天文系統(tǒng)極致》包括四部分： 第一部分名為《莉拉沃蒂》(Lilāvati)，主要內容講算術． “莉拉沃蒂”意為美女，對此有兩種解釋，一種認為婆什迦羅Ⅱ以此書獻給其女兒，另一種則認為作者把數(shù)學本身比喻為美女． 《莉拉沃蒂》

第1章給出幾個計算表；

第2章講述整數(shù)和分數(shù)運算，包括計算平方根和立方根； 第3章介紹解算術問題的各種方法(如單設法等)； 第4章討論來自希臘和中國的應用問題； 第5章給出一些算術級數(shù)的求和法；

第6—11章的內容是幾何學，主要是面積和體積的計算和一些可以化為線性方程的實際問題；

第12章講述不定分析； 第13章是組合學的內容．

問題2：如何看待阿拉伯數(shù)字？簡述印度-阿拉伯數(shù)碼的發(fā)展進程？ 見傅海倫論文：《“ 0 ”、“零”、“○ ” 的起源與傳播》 問題3：如何看待有理數(shù)的四則運算法則？特別是負數(shù)的發(fā)展史？ 問題4：結合數(shù)學史，談談你對小學數(shù)的運算中多位數(shù)加法法則如何教學？（婆什迦羅Ⅱ加法從從最高數(shù)位開始進行計算）

問題5：三角函數(shù)符號的發(fā)展史？（結合印度—阿拉伯數(shù)學史）

問題6：結合數(shù)學史，談談佛教、基督教、伊斯蘭教和數(shù)學的關系？

（釋迦牟尼與孔子同時代，學了幾年的數(shù)學；基督教禁止一切科學，歐洲數(shù)學限于黑暗時期；古希臘最后一位女數(shù)學家收工回來被狂熱的基督教徒五馬分尸；一主教當上主教后才有限度地宣傳數(shù)學；司徒雷登創(chuàng)辦了燕京大學；伊斯蘭教為主的阿拉伯數(shù)學宣揚數(shù)學在世界文明史上，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國的文化，最終為近代歐洲的文藝復興準備學術前提方面作出了巨大貢獻。阿拉伯數(shù)學的貢獻，消化希臘數(shù)學，吸收印度數(shù)學，對文藝復興后歐洲數(shù)學的進步有深刻的影響。最突出的事實：值得贊美的是他們充當了世界上的大量精神財富的保存者，在黑暗時代過去之后，這些精神財富得以傳給歐洲人。）

見傅海倫《世紀回眸1900-1999中國教育人物志 1900-1999中國教育大事志》 《中學生對函數(shù)概念的理解_歷史相似性初探》、問題9：談談阿拉伯數(shù)學家花拉子米的數(shù)學貢獻？

問題10：談談阿拉伯代數(shù)學的局限性？（放棄使用負數(shù)，沒有使用字母和符號。阿拉伯數(shù)學的貢獻？其中一位數(shù)學家理所當然的使用無理數(shù)，在解方程過程中，放棄負根和零根）

問題10:阿拉伯數(shù)學家中誰預見了實數(shù)系的建立？ 關于實數(shù)系建立的歷史？關于數(shù)軸的歷史？關于代數(shù)中每個知識點的歷史？

《荒島尋寶_HPM視角下的復數(shù)教學》

《歐拉與自然數(shù)平方倒數(shù)和》、《19世紀上半葉的無窮級數(shù)斂散性判別法》、《誰是冪和公式的開山祖》、《自然數(shù)冪和的矩陣算法》、《自然數(shù)冪和公式之歷史發(fā)展》、見傅海倫論文：《?kp(p?1,2,3,?)是如何求出的?》

k?1n

《西方學者對中國數(shù)學的懷疑和偏見》、《偉烈亞力對中國數(shù)學的評介》、《偉烈亞力所介紹的外國數(shù)學史知識》、《偉烈亞力與中國數(shù)學史》、《文學與數(shù)學》、《偉烈亞力的學術生涯》、《為數(shù)學和教育傾其一生_紀念柯爾莫哥洛夫百年誕辰》、《泰爾凱_19世紀前瞻的數(shù)學史家》、《鄒騰_19世紀數(shù)學史家_丹麥數(shù)學的先驅者》、《》

第二篇：余弦定理數(shù)學史

三角學的歷史早期三角學不是一門獨立的學科，而是依附于天文學，是天文觀測結果推算的一種方法，因而最先發(fā)展起來的是球面三角學．希臘、印度、阿拉伯數(shù)學中都有三角學的內容，可大都是天文觀測的副產品．例如，古希臘門納勞斯（Ｍｅｎｅｌａｕｓ ｏｆ Ａｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元 100 年左右）著《球面學》，提出了三角學的基礎問題和基本概念，特別是提出了球面三角學的門納勞斯定理； 50 年后，另一個古希臘學者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文學大成》，初步發(fā)展了三角學．而在公元 499 年，印度數(shù)學家阿耶波多（ｒｙａｂｈａｔａ Ｉ）也表述出古代印度的三角學思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，約 505 ～ 587）最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元 10 世紀的一些阿拉伯學者進一步探討了三角學．當然，所有這些工作都是天文學研究的組成部分．直到納西爾丁（Ｎａｓｉｒ ｅｄ-Ｄｉｎ ａｌ Ｔｕｓｉ，1201 ～ 1274）的《橫截線原理書》才開始使三角學脫離天文學，成為純粹數(shù)學的一個獨立分支．而在歐洲，最早將三角學從天文學獨立出來的數(shù)學家是德國人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436 ～ 1476）．

雷格蒙塔努斯的主要著作是 1464 年完成的《論各種三角形》．這是歐洲第一部獨立于天文學的三角學著作．全書共 5 卷，前 2 卷論述平面三角學，后 3 卷討論球面三角學，是歐洲傳播三角學的源泉．雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表．

雷格蒙塔努斯的工作為三角學在平面和球面幾何中的應用建立了牢固的基礎．他去世以后，其著作手稿在學者中廣為傳閱，并最終出版，對 16 世紀的數(shù)學家產生了相當大的影響，也對哥白尼等一批天文學家產生了直接或間接的影響．

三角學一詞的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，來自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用該詞的是文藝復興時期的德國數(shù)學家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561 ～ 1613），他在 1595 年出版的《三角學：解三角形的簡明處理》中創(chuàng)造這個詞．其構成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和測量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）兩字湊合而成．要測量計算離不開三角函數(shù)表和三角學公式，它們是作為三角學的主要內容而發(fā)展的．16 世紀三角函數(shù)表的制作首推奧地利數(shù)學家雷蒂庫斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕ ｓ，1514 ～ 1574）．他 1536 年畢業(yè)于滕貝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大學，留校講授算術和幾何． 1539 年赴波蘭跟隨著名天文學家哥白尼學習天文學，1542 年受聘為萊比錫大學數(shù)學教授．雷蒂庫斯首次編制出全部 6 種三角函數(shù)的數(shù)表，包括第一張詳盡的正切表和第一張印刷的正割表．世紀初對數(shù)發(fā)明后大大簡化了三角函數(shù)的計算，制作三角函數(shù)表已不再是很難的事，人們的注意力轉向了三角學的理論研究．不過三角函數(shù)表的應用卻一直占據(jù)重要地位，在科學研究與生產生活中發(fā)揮著不可替代的作用．三角公式是三角形的邊與角、邊與邊或角與角之間的關系式．三角函數(shù)的定義已體現(xiàn)了一定的關系，一些簡單的關系式在古希臘人以及后來的阿拉伯人中已有研究．

文藝復興后期，法國數(shù)學家韋達（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成為三角公式的集大成者．他的《應用于三角形的數(shù)學定律》（1579）是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學的專著之一．其中第一部分列出 6 種三角函數(shù)表，有些以分和度為間隔．給出精確到 5 位和 10 位小數(shù)的三角函數(shù)值，還附有與三角值有關的乘法表、商表等．第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關系的運算公式．除匯總前人的成果外，還補充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式．如正切定律、和差化積公式等等．他將這些公式列在一個總表中，使得任意給出某些已知量后，可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎．對斜三角形，韋達仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對球面直角三角形，給出計算的完整公式及其記憶法則，如余弦定理，1591 年韋達又得到多倍角關系式，1593 年又用三角方法推導出余弦定理．

1722 年英國數(shù)學家棣莫弗（Ａ．Ｄｅ Ｍｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角學定理

（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，并證明了ｎ是正有理數(shù)時公式成立； 1748 年歐拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）證明了ｎ是任意實數(shù)時公式也成立，他還給出另一個著名公式 ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，對三角學的發(fā)展起到了重要的推動作用．

近代三角學是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，并以函數(shù)線與半徑的比值定義三角函數(shù)，他還創(chuàng)用小寫拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三條邊，大寫拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三個角，從而簡化了三角公式．使三角學從研究三角形 解法進一步轉化為研究三角函數(shù)及其應用，成為一個比較完整的數(shù)學分支學科．而由于上述諸人及 19 世紀許多數(shù)學家的努力，形成了現(xiàn)代的三角函數(shù)符號和三角學的完整的理論

第三篇：數(shù)學史

數(shù)學史讀后感

寒假讀了數(shù)學史，有很多感觸。原來最簡單的數(shù)字在誕生之前，也經(jīng)歷了那么多曲折，現(xiàn)在看起來很自然的數(shù)字0、無理數(shù)、負數(shù)等，在當時看來是那么奇怪。歷史上經(jīng)歷了蠻長的過程才被接受，他們是許多學者前仆后繼、辛勤耕耘的結果。

數(shù)學史上的三次危機，正是由于數(shù)學家們不怕困難，堅持真理，數(shù)學才得以繼續(xù)發(fā)展。正如數(shù)學的發(fā)展過程一樣，數(shù)學的學習過程也會遇到各種困難和挫折，但是我們要向祖沖之，陳景潤、歐拉他們那樣，孜孜不倦的學習，以頑強拼搏的精神和勇氣，經(jīng)過思考和探索獲得只是。同時，我們也要學習數(shù)學家們敢于質疑和創(chuàng)新精神，善于思考。創(chuàng)新是發(fā)展的靈魂。在以后的學習中，不因困難而放棄，刻苦鉆研。我的數(shù)學不太好，但是我不會放棄。雖然不會成為數(shù)學家，但是我一定會把數(shù)學學好，多寫、多練。祖沖之的故事給了我很多感悟。

祖沖之（公元429——500年）是我國南北朝時代一位成績卓著的科學家。他不僅在天文、數(shù)學等方面有過聞名世界的貢獻，而且在機械制造等方面也有許多發(fā)明創(chuàng)造。他的發(fā)明為促進社會生產的發(fā)展，建立了不可磨滅 的功績，受到了中國人民和世界人民的尊敬。劉徽發(fā)明了用分割的方法，求得圓周率的近似值3.14。他說用無限分割方法可以求得更加精確的數(shù)值，但是后來是由祖沖之求得了更加精確的數(shù)值。他的毅力和堅持是多么讓人敬佩啊。相比之下，我們的那點困難又算的了什么呢。我們現(xiàn)在有如此優(yōu)越的條件，更應該努力學習，不能因為一點小小的挫折，就倒下了，要堅持。要明確自己的目標，人正是因為有了清晰的目標和堅定的信仰，有了腳踏實地的行動，才能成功。以后要積極思考，發(fā)現(xiàn)問題，學習數(shù)學家創(chuàng)新的精神，如果沒有歐幾里得第五公設的懷疑就不會有非歐幾何的產生，如果沒有創(chuàng)新的勇氣哪兒會有康托爾集合論的創(chuàng)立。

數(shù)學的發(fā)展只一個漫長而又曲折的過程，我們學習的只是很少的一部分，沒有理由不好好學。這個過程正如人生一樣，布滿荊棘，但不能阻擋我們的前進。

第四篇：數(shù)學史

1學習數(shù)學史有何意義？研究數(shù)學史主要有那些形式?

與其他知識部門相比，數(shù)學是門歷史性或者說累積性很強的科學。重大的數(shù)學理論總是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎上建立起來的，它們不僅不會推翻原有的理論，而且總是包容原先的理論。人們也常常把現(xiàn)代數(shù)學比喻成一株茂密的大樹，它包含著并且正在繼續(xù)生長出越來越多的分支。

數(shù)學史不僅是單純的數(shù)學成就的編年記錄。數(shù)學的發(fā)展決不是一帆風順的，在更多的情況下是充滿憂郁、徘徊，要經(jīng)歷艱難曲折，甚至會面臨危機。數(shù)學史也是數(shù)學家們克服困難和戰(zhàn)勝危機的斗爭記錄。對這種記錄的了解可使我們從前人的探索與奮斗中汲取教益，獲得鼓舞和增強信心。因此，可以說不了解數(shù)學史就不可能全面了解數(shù)學科學。

大類分為內史和外史。具體有編年史（隨時間前后）、國別史（按不同國家區(qū)域）、學科史（按數(shù)學分科）、斷代史（截開一個歷史橫斷面，研究同一個時期內各個國家各個區(qū)域的數(shù)學情況）

2作為世界四大文明古國之一，中國在先秦時期有哪些主要的數(shù)學成就？

商高定理：又叫“勾股定理”。在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。在中國，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理。勾股定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。

《墨經(jīng)》：諸子百家中闡述自然科學理論與學說最豐富的著作，包括光學、力學、邏輯學及幾何學等各方面的知識，還包含了無限分割的思想。

《周髀算經(jīng)》：《周髀（bì）算經(jīng)》乃是算經(jīng)的十書之一。原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規(guī)定它為國子監(jiān)明算科的教材之一，故改名《周髀算經(jīng)》。《周髀算經(jīng)》在數(shù)學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用以及怎樣引用到天文計算。

3劉徽是中國歷史上。最重要的數(shù)學家之一，他的?九章算術注?對于中國傳統(tǒng)數(shù)學體系的形成具有特別重要的意義。試闡述他的主要數(shù)學成就。

劉徽的數(shù)學成就大致為兩方面：

一是清理中國古代數(shù)學體系并奠定了它的理論基礎。這方面集中體現(xiàn)在《九章算術注》中。它實已形成為一個比較完整的理論體系：二是在繼承的基礎上提出了自己的創(chuàng)見。

用數(shù)的同類與異類闡述了通分、約分、四則運算，以及繁分數(shù)化簡等的運算法則；他從開方不論述了無理方根的存在。他還用“率”來定義中國古代數(shù)學中的“方程”，即現(xiàn)代數(shù)學中線性方程組的增廣矩陣。逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，建立了相似勾股形理論，發(fā)展了勾股測量術；用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出了劉徽原 1

理，并解決了多種幾何形、幾何體的面積、體積計算問題。他在《九章算術?圓田術》注中，用割圓術證明了圓面積的精確公式，并給出了計算圓周率的科學方法。

4宋元時期我國最杰出的數(shù)學家有哪些？試闡述他們的代表作和主要數(shù)學成就。

宋元時期數(shù)學，可以說是以算籌為主要工具的中國古代數(shù)學的極盛時期，出現(xiàn)了沈括、秦九韶、李治、楊輝、朱世杰等著名的數(shù)學家和他們編寫的數(shù)學著作。如沈括的《夢溪筆談》，秦九韶的《數(shù)學九章》等。這一時期數(shù)學家取得了很多具有世界意義的成就，特別是高次方程數(shù)值解法、天元術和四元術、大衍求一術、垛積術和招差術等。北宋沈括《夢溪筆談》中曾經(jīng)研究二階級數(shù)求和問題，首創(chuàng)“隙積術”。南宋楊輝豐富和發(fā)展了隙積術的成果，提出

S=12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)

S=1+3+6+10+…+n(n+1)/2=1/6n(n+1)(n+2)

之類的垛積公式。

5中國傳統(tǒng)數(shù)學是世界數(shù)學發(fā)展長河的一支不容忽視的源頭, 她有哪些重要特點？

一是追求實用，如《周髀算經(jīng)》是我國最古老的天文學著作；二是注重算法，“問—答—術”的解題程序，“術”就是解答該類問題的程序化算法；三是寓理于算，如中國傳統(tǒng)幾何理論基礎“出入相補”等原理。20世紀數(shù)學的發(fā)展有哪些顯著的特點？

一是更高的抽象性，包括集合論觀點（數(shù)學的研究對象是抽象集合）和公理化方法（數(shù)學的研究對象）；二是更強的統(tǒng)一性，體現(xiàn)在幾何與分析的統(tǒng)一、幾何與代數(shù)的統(tǒng)一、幾何分析和代數(shù)的統(tǒng)一；三是更深刻的基礎性，體現(xiàn)在集合論悖論、三大學派（邏輯主義、直覺主義、形式主義）、數(shù)理邏輯體系；四是更廣泛的應用性。20世紀應用數(shù)學的發(fā)展有哪些特點？

向人類幾乎所有的知識領域滲透，純粹數(shù)學幾乎對所有的分支都獲得應用；現(xiàn)代數(shù)學對生產技術的應用變得越來越直接，向外滲透產生了一些相對獨立的學科，如數(shù)理統(tǒng)計、運籌學、控制論和信息論等。現(xiàn)代計算機的出現(xiàn)，對數(shù)學科學的發(fā)展有何影響？對您影響最大的現(xiàn)代數(shù)學的學科有哪些？為什么？對您影響最大的數(shù)學家有哪些人?為什么?

第五篇：數(shù)學史

前言

一、數(shù)學史研究哪些內容？ P1 答：數(shù)學史研究數(shù)學概念、數(shù)學方法和數(shù)學思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系。

二、歷史上關于數(shù)學概念的定義有哪些？ P5~8 答：

1、公元前4世紀的希臘哲學家亞里士多德將數(shù)學定義為“數(shù)學是量的科學”。2、16世紀英國哲學家培根(1561—1626)將數(shù)學分為“純粹數(shù)學” 與“混合數(shù)學”。

3、在17世紀，笛卡兒(1596—1650)認為：“凡是以研究順序(order)和度量(measure)為目的的科學都與數(shù)學有關”。4、19世紀恩格斯這樣來論述數(shù)學：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關系”。根據(jù)恩格斯的論述，數(shù)學可以定義為：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關系的科學。” 5、19世紀晚期，集合論的創(chuàng)始人康托爾(1845—1918)曾經(jīng)提出： “數(shù)學是絕對自由發(fā)展的學科，它只服從明顯的思維，就是說它的概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過定義而確定地、有秩序地與先前已經(jīng)建立和存在的概念相聯(lián)系”。6、20世紀50年代，前蘇聯(lián)一批有影響的數(shù)學家試圖修正前面提到的恩格斯的定義來概括現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的特征：“現(xiàn)代數(shù)學就是各種量之間的可能的，一般說是各種變化著的量的關系和相互聯(lián)系的數(shù)學”。

7、從20世紀80年代開始，又出現(xiàn)了對數(shù)學的定義作符合時代的修正的新嘗試。主要是一批美國學者，將數(shù)學簡單地定義為關于“模式” 的科學：“【數(shù)學】這個領域已被稱作模式的科學，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性”。

三、數(shù)學史通常采用哪些線索進行分期？P9

答：一般可以按照如下線索：

（1）按時代順序；(2)按數(shù)學對象、方法等本身的質變過程；(3)按數(shù)學發(fā)展的社會背景。

四、本書對數(shù)學史如何分期？P9

答：

1、數(shù)學的起源與早期發(fā)展(公元前6世紀前)

2、初等數(shù)學時期(公元前6世紀一16世紀)

(1)古代希臘數(shù)學(公元前6世紀－6世紀)

(2)中世紀東方數(shù)學(3世紀一15世紀)

(3)歐洲文藝復興時期(15世紀一16世紀)

3、近代數(shù)學時期(變量數(shù)學，17世紀－18世紀)

4、現(xiàn)代數(shù)學時期(1820年一現(xiàn)在)(1)現(xiàn)代數(shù)學醞釀時期(1820?一1870)(2)現(xiàn)代數(shù)學形成時期(1870—1940’)

(3)現(xiàn)代數(shù)學繁榮時期(當代數(shù)學時期,1950－現(xiàn)在)

第一章

一、世界上早期常見有幾種古老文明記數(shù)系統(tǒng)，它們分別是什么數(shù)字，采用多少進制數(shù)系？ P13 答：1．古埃及的象形數(shù)字（公元前3400年

左右）：十進制數(shù)系

2．巴比倫楔形數(shù)字（公元前2400年左右）：六十進制數(shù)系 3．中國甲骨文數(shù)字（公元前1600年左右）：十進制數(shù)系 4．希臘阿提卡數(shù)字（公元前500年左右）：十進制數(shù)系 5．中國籌算數(shù)碼數(shù)字（公元前500年左右）：十進制數(shù)系 6．印度婆羅門數(shù)字（公元前300年左右）：十進制數(shù)系

7．瑪雅數(shù)字（？）：二十進制數(shù)系

二、“河谷文明”指的是什么？ P16 答：歷史學家往往把興起于埃及。美索不大米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”。

三、關于古埃及數(shù)學的知識主要依據(jù)哪兩部紙草書？P17 紙草書中問題絕大部分都是實用性質，但有個別例外，請舉例。P23

答：古埃及數(shù)學的知識主要依據(jù)萊茵德紙草書和莫斯科紙草書兩部紙草書。例如：萊茵德紙草書第79題：“7座房，49只貓，343只老鼠，2401棵麥穗，16807赫卡特。

四、美索不達米亞人的記數(shù)制遠勝埃及象形數(shù)字之處主要表現(xiàn)在哪些方面？P23—2

5答：

1、六十進制為主德楔形文記數(shù)系統(tǒng)。

2、巧妙地將位值原理應用到整數(shù)以外的分數(shù)。

3、計算程序化。

4、數(shù)表計算。

第二章

一、希臘數(shù)學一般是指什么時期，活動于什么地方的數(shù)學家創(chuàng)造的數(shù)學？ P32 答：希臘數(shù)學一般指從公元前600年至公元600年間，活動于希臘半島、愛琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細亞以及非州北部的數(shù)學家們創(chuàng)造的數(shù)學。

二、什么使泰勒斯獲得了第一位數(shù)學家和論證幾何學鼻祖的美名？ P33 答：關于泰勒斯并沒有確鑿的傳記資料留傳下來。但是以下命題記載卻流傳至今，使泰勒斯獲得了第一位數(shù)學家和論證幾何學鼻祖的美名。泰勒斯曾證明了下列四條定理：

1、圓的直徑將圓分為兩個相等的部分；

2、等腰三角形兩底角相等；

3、兩相交直線形成的對頂角相等；

4、如果一三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對應角、邊相等，那么這兩個三角形全等。傳說泰勒斯還證明了現(xiàn)稱“泰勒斯定理”的命題：半圓上的圓周角是直角。

三、畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物皆依賴于整數(shù)的信條由于什么發(fā)現(xiàn)而受到動搖？這個“第一次數(shù)學危機”是由于什么人提出的新比例理論而暫時消除，P38這個新比例理論當今的語言可怎么敘述？P48 答：畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物皆依賴于整數(shù)的信條由于不可公度量的發(fā)現(xiàn)而受到動搖, 這個“第一次數(shù)學危機”是大約一個世紀以后，由于畢達哥拉撕學派成員阿契塔斯的學生歐多克斯提出的新比例理論而暫時消除。

這個新比例理論當今的語言可敘述為（P48）:設A,B,C,D是任意四個量，其中A和B同類，C和D同類，如果對于任意兩個正整數(shù)m和n，關系mA?(?)nB是否成立，相應地取決于關系mC?(?)nD是否成立，則稱A與B之比等于C與D之比，即四量成比例。

四、希臘數(shù)學學派主要有哪些學派? P39

答：希臘數(shù)學也隨之走向繁榮，學派林立，主要有：

1、伊利亞學派；

2、詭辯學派；

3、雅典學院(柏拉圖學派)；

4、亞里士多德學派。

五、古希臘三大著名幾何問題是什么？P40 答：（1）化圓為方，即作一個給定的圓面積相等的正方形。

（2）倍方立體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍。（3）三等分角，即分任意角為三等分。

六、亞里士多德《物理學》中記載芝諾提出的四個著名的悖論是什么？P43 答：芝諾四個著名悖論：

1、兩分法

2、阿基里斯

3、飛箭

4、運動場

七、希臘數(shù)學的“黃金時代”指的是什么時間?這時期希臘數(shù)學的中心從雅典移到何處，此處出現(xiàn)了哪三大數(shù)學家？ P45

答：從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前30年羅馬消滅最后一個希臘化國家托勒密王國的三百余年，史稱希臘數(shù)學的“黃金時代”。

這時期希臘數(shù)學的中心從雅典移到亞歷山大城；此處出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學家，標志著古代希臘數(shù)學的顛峰。

八、幾何《原本》共分多少卷，包括有多少條公理，多少條公設，多少個定義和多少條命題？ P46 答：幾何《原本》共分13卷，包括有5條公理，5條公設，119定義和465條命題。

九、阿基米德數(shù)學研究的最大功績是什么？ P52~53 答：阿基米德數(shù)學研究的最大功績是集中探討與面積與體積計算相關的問題。主要著述：（1）《圓的度量》（2）《拋物線求積》（3）《論螺線》（4）《論球和圓柱》（5）《論劈錐曲面和旋轉橢球》（6）《引理集》（7）《處

理力學問題的方法》（8）《論平面圖形的平衡或其重心》（9）《論浮體》（10）《沙粒計數(shù)》（11）《牛群問題》。

十、阿波羅尼奧斯最重要的數(shù)學成就是什么？P58 答：阿波羅尼奧斯最重要的數(shù)學成就是創(chuàng)立了相當完美的圓錐曲線理論。

第三章

一、中國數(shù)學史上何時何人何種方法最先完成勾股定理證明？P70

答：公元3世紀三國時期的趙爽在注《周髀算經(jīng)》，作“勾股圓方圖“，其中的”弦圖“，相當于運用面積的出入相補證明了勾股定理。

二、《九章算術》中各章名稱是什么?這些章節(jié)中談論算術、代數(shù)、幾何方面的內容為哪些章節(jié)？P71----78 答 ：《九章算術》采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章，依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股，其中所包含的數(shù)學成就是豐富和多方面的。

算術方面：方田、粟米、衰分、均輸、盈不足；

代數(shù)方面：方程；

幾何方面：方田、商功、勾股。

三、劉徽的數(shù)學成就中最突出是什么？ P78

答：劉徽的數(shù)學成就中最突出是 “割圓術”和“體積理論”

四、賈憲增乘開方法能否適用于開任意高次方? P93

答：賈憲增乘開方法，是一個非常有效的和高度機械化的算法，可適用于開任意高次方。

五、為什么說一次同余組求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”？ P96 答：秦九韶（約公元1202――1261）的“大衍求一術”是完全正確且十分嚴密的，但本人沒有給出證明，到18、19世紀，歐拉（1743）和高斯（1801）分別對一次同余組進行了詳細研究，重新獨立地獲得與秦九韶“大衍求一術”相同的定理，并對模數(shù)兩兩互素的情形作出了嚴格證明。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯算法是一致的，因此關于一次同余組求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”。

第四章

一、印度數(shù)學的發(fā)展可劃分為3個重要時期，這3個重要時期是指什么時期？

答;印度數(shù)學的發(fā)展可以劃分為三個重要時期，首先是雅利安人入侵以前的達羅毗（pi）荼人時期（約公元前3000——前1400），史稱河谷文化；隨后是吠（fei）陀（tuo）（約公元前10世紀——前3世紀）；其次是悉檀（tan）多時期（5世紀——12世紀）。

二、用圓圈符號“O”表示零，可以說是印度數(shù)學的一大發(fā)明，印度人起初用什么表示零，直到最后發(fā)展為圈號。答：點號，直到最后發(fā)展為圈號。

1.“0”表示空位；

2.“0”表示“無”；

3.數(shù)域的一個基本元素，可以運算。

三、“巴克沙利手稿”中涉及到哪些的數(shù)學內容? P107 答：“巴克沙利手稿”中涉及到分數(shù)，平方根、數(shù)列、收支與利潤計算、比例算法、級數(shù)求和、代數(shù)方程等，其代數(shù)方程包括一次方程、聯(lián)立方程組、二次方程。特別值得注意的是手稿中使用了一些數(shù)學符號如：減號、零號“0”。

四、“阿拉伯數(shù)學“是否單指阿拉伯國家的數(shù)學？ P113 答：“阿拉伯數(shù)學“并非單指阿拉伯國家的數(shù)學，而是指8――15世紀阿拉伯帝國統(tǒng)治下整個中亞和西亞地區(qū)的數(shù)學，包括希臘人、波斯人、猶太人和基督徒等所寫的阿拉伯文及波斯文等數(shù)學著作。

五、第一次給出一元二次方程的一般代數(shù)解法是來自何人著的著作?

P114

答：第一次給出一元二次方程的一般代數(shù)解法是來自中世紀對歐洲數(shù)學影響最大的阿拉伯數(shù)學家花拉子米（約783－850）的《代數(shù)學》。

第五章

一、卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是從何人那里傳授來的？在《大法》中卡爾丹對三次方程又進一步作了哪些工作？P126

答：卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是從塔塔利亞（1499――1557）那里傳授來的。

在《大法》中卡爾丹給出了一般三次方程的解法，而且補充了幾何證明；書中還把其學生費拉里（1522――1565）的一般四次方程的解法寫進《大法》中。

二、學符號系統(tǒng)化首先應歸功于哪位數(shù)學家，對這位數(shù)學使用的代數(shù)符號的改進工作是由何人完成的？ P129 答：數(shù)學符號系統(tǒng)化首先應歸功于法國數(shù)學家韋達（1540――1603），對這位數(shù)學使用的代數(shù)符號的改進工作是由法國笛卡兒（1596――1650）完成的，他首先用拉丁字母（a,b,c,d,?）表示已知量，后幾個（x,y,z,w,?）表示未知量等。

三、球面三角與平面三角何者先出現(xiàn)？P131

答：球面三角先于平面三角出現(xiàn)。

四、對數(shù)是何人首先發(fā)明？它的產生主要是由于什么的需要？P136 答 ：蘇格蘭貴族數(shù)學家納皮爾正是在球面天文學的三角研究中首先發(fā)明對數(shù)方法的。對數(shù)的產生主要是由于天文和航海計算的強烈需要。

五、笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個傳說，請試述其中的任意一個。P142 答：笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有兩個傳說。第一個傳說“晨思”時，看見一只天花板的蒼蠅，想確定其路線；另一個傳說是1619年冬天的三個連慣的三個夢。

第六章

一、微積分與積分學的起源何者在先，何者在后？P145 答：積分學的起源在先，微積分的起源比積分學的起源要晚的多。

二、微積分醞釀階段最有代表性的工作有哪幾項？P146—154 答:

（一）開普勒與旋轉體體積；

（二）卡瓦列里不可分量原理；

（三）笛卡爾“圓法”；

（四）費馬求極大值與極小值的方法；

（五）巴羅“微分三角形”；

（六）沃利斯“無窮算術”。

三、牛頓走上創(chuàng)立微積分之路受哪兩部著作的影響最深？P155 答：就數(shù)學思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》對他的影響最深，正是這兩部著作引導牛頓走上創(chuàng)立微積分之路。

四、牛頓1666年寫了《流數(shù)簡論》之后，始終不渝努力改進，完善自己的微積分學說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是什么？P158為什么其中第三篇是牛頓最成熟的微積分著述？P160 答：牛頓1666年寫了《流數(shù)簡論》之后，始終不渝努力改進，完善自己的微積分學說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是：

1、《運用無窮多項方程的分析》，簡稱《分析學》（1669）

2、《流數(shù)法與無窮級數(shù)》，簡稱《流數(shù)法》(1671)

3、《曲線求積分》簡稱《求積術》（1691）

五、為什么說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽？P174 答：牛頓和萊布尼茨都是他們時代的巨人，就微積分的創(chuàng)立而言，盡管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但兩者的功績是相當?shù)模麄兌际刮⒎e分成為能普遍適用的算法，同時又都將面積、體積及相當?shù)膯栴}歸結為反切線（微分）運算。應該說，微積分能成為獨立的科學并給整個自然科學帶來革命性的影響，主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作，在科學上，重大的真理往往在條件成熟的一定時期的探索者相互獨立地發(fā)現(xiàn)，微積分地出來，情形也是如此。所以說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽。

第七章

一、18世紀微積分發(fā)展包括哪幾個主要方面？P176—187 答:

（一）積分技術與橢圓積分，（二）微積分向多元函數(shù)的推廣，（三）無窮級數(shù)理論，（四）函數(shù)概念的深化，（五）微積分嚴格化的嘗試。

二、簡述18世紀常微分方程的發(fā)展過程。P188 答：

1、常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的，從17世紀末開始，擺的運動、彈性理論以及天體力學等實際問題的研究引出了一系列常微分方程。

2、數(shù)學家們起初是采取特殊的技巧來對付特殊的方程，但逐漸開始尋找?guī)毡樾缘姆椒ǎ纾喝R布尼茲1691年分離變量法，1696年雅各布伯努利的“伯努利方程”；歐拉和克萊洛的“積分因子法”。

3、歐拉1743年關于n階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法。

4、18世紀常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774~1775年間用參數(shù)變易法解出了一般n階變系數(shù)非齊次常微分方程。

三、簡述18世紀微分幾何的形成過程。P196 答：

1、1731年十八歲的法國青年數(shù)學家克萊洛發(fā)表《關于雙重曲率曲線的研究》，開創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的的重要一步；

2、歐拉是微分幾何的重要奠基人。他早在1736年就引進了平面曲線的內在坐標概念； 3、18世紀微分幾何的發(fā)展由于蒙日的工作而臻于高峰，1795年發(fā)表的《關于分析的幾何應用的活頁論文》是第一步系統(tǒng)的微分幾何著述。

四、述哥德巴赫猜想與華林問題。P204 答：哥德巴赫猜想從：每個偶數(shù)是兩個素數(shù)之和；每個奇數(shù)是三個素數(shù)之和。

kkk華林問題：任一自然數(shù)n可表示成至多r次冪之和，即n?x1?x2?x3???xrk，其中x1,x2,x3,?,xr為自然數(shù)，r依賴于k。

第八章

一、數(shù)學家阿貝爾通過證明什么樣的結論解決了五次和高于五次的一般方程的求解問題？P208 答：1824年，年僅22歲的挪威數(shù)學家阿貝爾（1802——1829）出版的《論代數(shù)方程，證明一般五次方程的不可解性》，在其中嚴格證明了：如果方程的次數(shù)n?5，并且系數(shù)a1,a2,?,an看成字母，那么任何一個由這些字母組成的根式都不可能是方程的根，這樣，五次和高于五次的一般方程的求解問題就由阿貝爾解決了。

二、布爾的邏輯代數(shù)思想集中在他的哪兩本書中。P219

答：布爾(英國數(shù)學家，1815－－1864)的邏輯代數(shù)思想集中在他的1847年發(fā)表的《邏輯的數(shù)學分支》和1854年出版的《思維規(guī)律研究》。

三、《算術研究》的作者是誰，發(fā)表的年份是何時？它的發(fā)表有何意義。P221

答:《算術研究》是德國數(shù)學家高斯在1801年發(fā)表的。在19世紀以前，數(shù)論只是一系列孤立的結果，《算術研究》發(fā)表后數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。《算術研究》中有三個主要思想：同余理論，復整數(shù)理論和型的理論。

第九章

一、非歐幾何三位發(fā)明人（高斯、波約、羅巴切夫斯基）中哪位是最早、最系統(tǒng)地發(fā)表自己關于非歐幾何的研究成果？P230

答：羅巴切夫斯基。

二、最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學家是誰？在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數(shù)學家有哪幾位？P235~236 答：最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學家是黎曼

在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數(shù)學家有：意大利數(shù)學家貝爾特拉米、德國數(shù)學家克萊因和法國數(shù)學家龐加萊。

三、在射影幾何的發(fā)展過程中，龐斯列有哪些創(chuàng)舉？P239~240 答：龐斯列（法國數(shù)學家，1788－1867）1822年出版的《論圖形的射影性質》，帶來了這門學科歷史上的黃金時期。龐斯列有探討一般問題：圖形在射影和截影下保持不變的性質；選擇并發(fā)展了對偶與調和點列理論；采用中心投影而不是平行投影及兩個基本原理——連續(xù)性原理和對偶原理的創(chuàng)舉。

第十章

一、柯西在分析基礎工作方面做了哪些工作？P247

答：柯西（法國數(shù)學家，1789——1851）在分析基礎工作方面，他寫出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》（1821）和《無窮小計算教程概論》（1823），它們以嚴格化為目標，對微積分的基本概念，如變量、函數(shù)、極限、連續(xù)性、導數(shù)、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基礎上重建和拓展了微積分的重要事實與定理。

二、魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個什么例子來說明存在處處連續(xù)但卻處處不可微的函數(shù)？P250 答：魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個例子

f(x)??bncos(an?x),其中a是奇數(shù)，n?0?b?(0,1)為常數(shù)，使得ab?1?3?.2

三、魏爾斯特拉斯關于分析嚴格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套什么語言？P253 答：魏爾斯特拉斯關于分析嚴格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套ε-δ語言。

四、集合論的建立是由哪些問題研究而導致的？P255 答：在分析的嚴格化過程中，一些基本概念如極限、實數(shù)、級數(shù)等的研究都涉及到由無窮多個元素組成的集合，特別是在對那些不連續(xù)函數(shù)進行分析時，需要對使函數(shù)不連續(xù)或使收斂問題變得很困難的點集進行研究，這樣就導致了集合論的建立。

五、19世紀分析的擴展表現(xiàn)在哪些方面？P258~263 答：

1、復分析的建立；

2、解析數(shù)論的形成；

3、數(shù)學物理方程與微分方程。

第十一章

一、與19世紀相比，20世紀純粹數(shù)學的發(fā)展表現(xiàn)出哪些主要的特征與趨勢？P271 答：

1、更高的抽象性

2、更強的統(tǒng)一性

3、更深入的基礎探討

二、1900年德國數(shù)學家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學家大會上作演說中提出23個數(shù)學問題，至今這23個問題解決狀況如何？P272~274 答：（略，詳見教材P272~274。）

三、集合論觀點的滲透和公理化方法的運用導致20世紀上半葉哪四大數(shù)學抽象分支的崛興？P276 答：集合論觀點的滲透和公理化方法的運用導致20世紀上半葉實變函數(shù)論、泛函分析、拓撲學和抽象代數(shù)四大數(shù)學抽象分支的崛興

四、簡述實變函數(shù)論的建立。P276——278 答：

1、法國數(shù)學家勒貝格1902年發(fā)表的《積分，長度與面積》中利用以集合論為基礎的“測度”概念而建立勒所謂“勒貝格積分”。

2、在勒貝格積分的基礎上進一步推廣導數(shù)等其他微積分基本概念，并重建微積分基本定理（微分運算與積分運算的互逆性）等微積分的基本事實，從而形成了一門新的數(shù)學分支——實變函數(shù)論。

五、“泛函”這個名稱是由誰最先采用的？(P279)為什么說泛函分析的建立體現(xiàn)了20世紀在集合論影響下空間和函數(shù)這兩個基本概念的進一步變革？P279-280

答：“泛函”這個名稱是由法國數(shù)學家阿達馬最先采用的.因為“空間”現(xiàn)在被理解為某類元素的集合，這些元素按習慣被稱作“點”，它們之間受到某種關系的約束，這些關系被稱之為空間的結構，簡言之，“空間”僅僅是具有某種結構的集合，而“函數(shù)”的概念則推廣為兩空間之間的元素（映射）關系。所以說泛函分析的建立體現(xiàn)了20世紀在集合論影響下空間和函數(shù)這兩個基本概念的進一步變革。

六、《環(huán)中的理想論》的作者是誰?P282 答：《環(huán)中的理想論》的作者是諾特（1882－1935）。

七、拓撲學研究什么內容?“拓撲學”這一術語是由何人首先引用的? P285 答：拓撲學研究幾何圖形的連續(xù)性質，即在連續(xù)變形下保持不變的性質（允許拉伸、扭曲，但不能割斷和粘合）。“拓撲學”這一術語是由高斯的學生李斯廷1847年首先引用的。

八、簡述概率論起源以及公理化后概率論取得哪些突破？P287、P291 答：概率論起源于博弈問題。P287 公理化后概率論取得如下突破：P291

1、使隨機過程的研究獲得了新的起點，2、隨機過程是“鞅”，鞅論使隨機過程的研究進一步抽象化，1942年開始，日本數(shù)學家伊藤清引進隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了隨機過程研究的新道路，而且為一門意義深遠的數(shù)學新分支——隨機分析的創(chuàng)立與發(fā)展奠定了基礎。

九、舉例說明20世紀下半葉不同分支領域的數(shù)學思想與數(shù)學方法互相融合導致重大發(fā)現(xiàn)的事實。P292-297 答：1.微分拓撲與代數(shù)拓撲2．整體微分幾何3．代數(shù)幾何 4．多復變函數(shù)論 5．動力系統(tǒng)6．偏微分方程與泛函分析7．隨機分析

十、試述羅素關于集合的悖論。P298 答：以M表示是其自身成員的集合的幾何，N表示不是其自身成員的集合的集合。然后問：集合N是否為它自身的成員？如果N是它自身的成員，則N屬于M而不屬于N，也就是說N不是它自身的成員；另一方面，如果N不是它自身的成員，則N屬于N而不屬于M，也就是說N是它自身的成員。無論出現(xiàn)哪一種情況，都將導出矛盾的結論。

十一、數(shù)學基礎的三大學派是什么?P300 答：

1、以羅素為代表的邏輯主義

2、以布勞威爾為代表的直覺主義

3、以希爾伯特為代表的形式主義

十二、現(xiàn)代數(shù)理邏輯的四大分支是什么？P303 答：1。公理化集合論 2．證明論 3．模型論4．遞歸論

第十二章

一、應用數(shù)學新時代具有哪幾個方面特點？P307——309 答：

1、數(shù)學的應用突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識領域滲透；

2、純粹數(shù)學幾乎所有的分支都獲得了應用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透；

3、現(xiàn)代數(shù)學對生產技術的應用變得越來越直接；

4、現(xiàn)代數(shù)學在向外滲透的過程中，產生了一些相對獨立的應用學科如：數(shù)理統(tǒng)計、運籌學、控制論等等。

二、數(shù)學向其他科學滲透表現(xiàn)在哪些方面？P309 答：

1、數(shù)學物理

2、生物數(shù)學

3、數(shù)理經(jīng)濟學

三、簡述數(shù)理統(tǒng)計、運籌學、控制論發(fā)展過程。P317-324 答：略

四、簡述電子計算機的誕生。P325答：略

五、計算機對數(shù)學的影響表現(xiàn)在哪些方面？P330 答：

1、計算數(shù)學的興旺

2、純粹數(shù)學研究與計算機

3、計算機科學中的數(shù)學

第十三章

一 簡述20世紀十例現(xiàn)代數(shù)學成果的內容。

答：1．哥德爾不完全性定理。P339 2．高斯－博內公式的推廣。P341 3．米爾諾怪球。P343 4．阿蒂亞－辛格指標定理。P344 5．孤立子與非線性偏微分方程。P345 6.四色問題。P347 7．分形與混沌。P349 8．有限單群分類。P353 9．費馬大定理的證明。P355 10．若干著名未決猜想的進展。359

二、龐加萊猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想的內容是什么?P359 答：龐加萊猜想是拓撲學中一個著名的和基本的問題，即任意一個三維的單連通閉流形必與三維球面同胚。

哥德巴赫猜想：偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和，奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和。

黎曼猜想：在帶狀區(qū)域0???1中，黎曼?(s)?11??的零點都位于直線上。?s2nn?1?

第十四章

一、為什么說數(shù)學的發(fā)展與社會的進化之間聯(lián)系是雙向的？P363 答：一方面，數(shù)學的發(fā)展依賴于社會環(huán)境，受著社會經(jīng)濟、政治和文化等諸多因素的影響； 另一方面，數(shù)學的發(fā)展又反過來對人類社會的進步起推動作用，包括對人類物質文明和精神文明兩大方面的影響。

二、數(shù)學如何促進社會進步？P363—364 答：數(shù)學的發(fā)展對人類社會的進步起推動作用，包括對人類物質文明和精神文明兩大方面的影響。數(shù)學對人類物質文明的影響，最突出的是反映在與能從根本上改變人類物質生活方式的產業(yè)革命的關系上。人類歷史上先后共有三次重大的產業(yè)革命，其主體技術都與數(shù)學的新理論、新方法的應用有直接或間接的關聯(lián)；數(shù)學對于人類精神文明的影響同樣也很深刻，數(shù)學本就是一種精神，一種探索精神，這種精神的兩個要素，即對理性（真理）與完美的追求，千百年來對人們的思維方式、教育方式以及世界觀、藝術觀等的影響是不容否認的，數(shù)學往往成為解放思想的決定性武器。

三、1850——1899年間創(chuàng)辦，至今仍在發(fā)行的主要數(shù)學期刊有哪些？P372 答：《純粹與應用數(shù)學年報》（1850，意大利），《數(shù)學匯刊》（1865，俄國），《數(shù)學年刊》（1868，德國），《美國數(shù)學雜志》（1878，美國），《數(shù)學年報》（1882，瑞典），《數(shù)學年刊》（1884，美國），《美國數(shù)學月刊》（1894，美國）。

四、中國數(shù)學會是建立何年建立的？P376 答：1935年中國數(shù)學會建立的。

五、試述各屆國際數(shù)學家大會召開年份與地點。P375 答：略

六、兩項影響最大的國際數(shù)學獎勵是什么獎？何年、在何領域取得其中的哪個獎？P376，P378——379 答：兩項影響最大的國際數(shù)學獎勵是菲爾茲獎和沃爾夫獎。

中國數(shù)學家丘成桐，1983年，微分幾何，偏微分方程，相對論，菲爾茲獎。中國數(shù)學家陳省身，1984年，整體微分幾何，沃爾夫獎。

第十五章

一、試述17世紀初至19世紀末在中國出現(xiàn)兩次西方數(shù)學傳播的高潮的時間與內容。P381 答：第一次是從17世紀初到18世紀初，標志性的事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯，17世紀中頁以后，文藝復興時代以來發(fā)展起來的西方初等數(shù)學知識如三角學、透視學、代數(shù)學等也部分傳入中國；第二次高潮是從19世紀中葉開始，除了初等數(shù)學，這一時期傳入的數(shù)學知識還包括了解析幾何、微積分、無窮級數(shù)論、概率論等近代數(shù)學。

二、中國第一個大學數(shù)學系是在哪所大學設立？P383答：1912，中國第一個大學數(shù)學系是在北京大學數(shù)學系成立。

三、1912年至1930年中國有哪些大學創(chuàng)辦了數(shù)學系？P384 答：北京大學、清華大學、南開大學、浙江大學、南京大學、北京師范大學、武漢大學、廈門大學、四川大學、中山大學、東北大學、交通大學、安徽大學、山東大學、河南大學

第十六章

一、簡述華羅庚生平P387答：略

二、寫一篇學習數(shù)學史教程的心得體會。答：略

填空題

1、歷史學家往往把興起于、、、和 等地域的古代文明稱為“河谷文明”。

埃及、美索不達亞、中國、印度

2．歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者，他的著作中，最重要的莫過于。《原本》 3．在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學著作中，是最早的一部。《周髀算經(jīng)》 4．《九章算術》“ ”、“ ”、“ ”諸章集中討論比例問題。

粟米、衰分、均輸 5．劉徽數(shù)學成就中最突出的是“ ”和。割圓術、體積理論

6． 的推導和 的計算是祖沖之本人引以為榮的兩大數(shù)學成就。球體積 圓周率

7．宋元數(shù)學發(fā)展中一個最深刻的動向是代數(shù)符號化的嘗試，這就是“ 天元術 ”和“ 四圓術 ”。8．數(shù)學符號系統(tǒng)化首先歸功于法國數(shù)學家。韋達

9．解析幾何的真正發(fā)明歸功于法國另外兩位數(shù)學家 和。

笛卡兒 費馬 10．牛頓的《 》標志著微積分的誕生。流數(shù)簡論 11．18世紀微積分最重大的進步是由 作出的。歐拉 12．“巴黎三L”指、、。拉普拉斯 拉格朗日 勒讓德 13.___________是歷史上并不多見的以“神童”著稱的一位數(shù)學家。高斯 14.___________可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學家。黎曼

15．19世紀偏微分方程發(fā)展的序幕，是由法國數(shù)學家 拉開的。傅立葉 16．現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學作為一門獨立學科的奠基人是英國數(shù)學家。費希爾 17．影響最大的國際數(shù)學獎勵： 和。菲爾茲獎 沃爾夫獎 18.________年，中國第一個大學數(shù)學系—北京大學數(shù)學系成立（當時叫“數(shù)學門”，后改為“數(shù)學系”）。1912