第一篇：“余弦定理”復習課：通過數學史體現綜合性

【編者按】 從2014年第5期開始，我們連續刊發了華東師范大學汪曉勤教授及其研究團隊開發的HPM案例，為數學教學如何融入數學史提供了“例子”，倍受讀者朋友們的歡迎。本期呈現的是顧彥瓊、汪曉勤兩位老師的研究成果。

顧彥瓊1，汪曉勤2（1.上海市南匯中學，201399；2.華東師范大學數學系，200241）

摘要：新授課中，教學起點和歐氏幾何方法的缺失使得余弦定理成了無源之水、無本之木，從而導致學生對余弦定理只知其然，而不知其所以然。通過對歷史材料的分析和對課前學情的調查，在復習課中以余弦定理的證明為線索，利用數學史引導、啟發學生；從勾股定理開始，自然深入、逐步推廣，引出推導余弦定理的三種歐氏幾何方法、一種平面三角方法、一種向量幾何方法和一種解析幾何方法，促使學生在學習過程中自覺養成追根溯源、形成知識網絡的習慣，充分體現知識的綜合性。關鍵詞：HPM 余弦定理 復習課 教學設計

數學復習課是數學教學中不可或缺的重要環節，它具有重復性、概括性、系統性和綜合性等特點；數學復習課要在重復和概括的基礎上進行梳理，使數學知識和數學思想方法系統化、綜合化。在數學復習課中，兼顧知識的鞏固提高和教學的新鮮活力，乃是一線教師孜孜以求的目標；但是，在課業負擔繁重且有考試壓力的中學數學教學中，要在協調教學進度的同時讓復習課有文化內涵，使學生在其中探奇尋樂，似乎已然成為遙不可及的追求。在滬教版高中數學教材的設計中，“余弦定理”的新授課被安排在高一第二學期，主要教學目標是，掌握余弦定理的內容及其證明，以及運用余弦定理解決“邊角邊”和“邊邊邊”問題。但是，新授課中，教學起點和歐氏幾何方法的缺失使得余弦定理成了無源之水、無本之木，從而導致學生對余弦定理只知其然，而不知其所以然。受陳敏晧老師的“余弦定理”教學設計的啟發，我們嘗試將數學史運用于“余弦定理”復習課中，以體現知識的系統性、綜合性。

一、歷史材料分析

余弦定理作為勾股定理的推廣，最早出現于歐幾里得的《幾何原本》第2卷中： 命題12在鈍角三角形中，鈍角對邊上的正方形面積大于兩銳角對邊上的正方形面積之和，其差為一矩形面積的兩倍，該矩形由一銳角的對邊和從該銳角（頂點）向對邊延長線作垂線，垂足到鈍角（頂點）之間的一段所構成。命題13在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形面積小于該銳角兩邊上的正方形面積之和，其差為一矩形面積的兩倍，該矩形由另一銳角的對邊和從該銳角（頂點）向對邊作垂線，垂足到原銳角（頂點）之間的一段所構成。

命題12相當于說，如圖1所示，在鈍角△ABC中，a2=b2+c2+2cm；命題13相當于說，如圖2所示，在銳角△ABC中，a2=b2+c2－2cm。歐幾里得利用勾股定理對上述命題進行了證明。

公元2世紀，托勒密（C.Ptolemy，約100～170）在其《天文大成》中利用上述命題解決了“已知三角形三邊，求角”的問題，但并未明確提出余弦定理。不過，利用托勒密定理，我們的確能輕易證明余弦定理。

16世紀，德國數學家畢蒂克斯（B.Pitiscus，1561～1613）在其《三角學》中利用幾何方法求出了圖2（其中∠C為△ABC的最大角，可以是鈍角）中的m：m=(b2+c2－a2)/2c。畢蒂克斯于1595年首次將“三角學”（trigonometry）作為書名，他的方法成為了今天所謂“無字證明”的藍本。之后，法國數學家韋達（F.Viète，1540～1603）明確給出了余弦定理的比例形式：2ab∶（a2+b2－c2）=1∶sin（90°－C）。

20世紀中葉以前，西方大多數三角學教材沿用了歐幾里得的方法來證明余弦定理，也有一些教材采用了畢蒂克斯的方法，或以一組射影公式a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA為出發點。英國數學家德摩根（A.de Morgan，1806～1871）則在其《三角形基礎》中別出心裁地利用和角公式和正弦定理來推導余弦定理。到了20世紀50年代，一些教材開始采用解析幾何的方法；而向量方法的出現，則是相當晚近的事了。數學史告訴我們，余弦定理是作為勾股定理的推廣而誕生的，在18～19世紀的許多三角學著作中，它只是以幾何定理的身份出現；在從歐幾里得時代直到20世紀上半葉的兩千余年間，人們普遍采用幾何方法對余弦定理進行推導，正是包括今天所謂“無字證明”在內的那些幾何方法，才使其展現出了迷人的魅力。因此，以勾股定理為起點，用不同的幾何方法來推導余弦定理，以彌補新授課中解析幾何方法的不足，是歷史帶給我們的“余弦定理”復習課的教學啟示。而且，不同于新授課，復習課中因為學生已經學過余弦定理及其他相關內容，所以對于數學史的運用可以更加廣泛、自由。

二、課前學情調查

課前，我們通過問卷，對所教的兩個班級共84名學生進行調查。所設計的問題是：（1）請寫出余弦定理；

（2）請說明余弦定理可以用來解決哪些解斜三角形問題；（3）請證明余弦定理。

對于前兩個問題，84名學生中的82名都能作出正確回答。對于第三個問題，則少有學生能正確給出完整的證明：其中41名學生直接回答“不知道”“不會”或“不清楚”；11名學生記得用平面向量的方法證明，但是只有4名學生能證明出來；13名學生記得用兩點之間的距離公式證明，但是有5名學生聯想到單位圓（通過訪談了解到，這是由于受到和角余弦公式證明的影響），只有3名學生能正確證明；其余學生的證明都不著邊際。

調查表明：學生對余弦定理的解析幾何證明方法和向量證明方法印象不深；學生有輕過程、重結論的傾向，即只求“魚”而不得“漁”。

以下是我們對一名數學成績一直比較優秀的男生的訪談片段： 師 你還記得余弦定理嗎？

生 讓我想一下，是用來解斜三角形的那個東西嗎？ 師 是的。你還記得是什么嗎？（學生用紙筆寫下來。）師 你能證明一下嗎？

生 哦，我不記得了，一點兒也不記得了。師 真的嗎？請你再想一想。

生 好像是要建立平面直角坐標系的。

師 那么，你可以把證明過程寫下來給我看一下嗎？

生 哦，那太難了！老師，你為什么要問我這樣的問題？ 師 因為我早上做了問卷調查，本來以為他們會用比較淳樸的方法做，但沒想到他們都沒做出來。

生 哦，老師，你要理解他們。在這種應試教育下，能背出公式來，已經很不容易了。師 可是我覺得，最近才剛學過一個新工具（平面向量），印象應該會深刻一點?。浚▽W生嘗試著寫出證明過程，但數十分鐘后，仍然未能證明。）

訪談表明，數學成績優秀的學生對已學過的余弦定理的證明同樣無從入手。

三、教學設計與實施

（一）提出問題，激發興趣 課始，教師開門見山地說道：“我們在高一第二學期學習了余弦定理，但課前的問卷調查卻表明，同學們普遍知道余弦定理是什么，可以用來解決什么樣的問題，卻不知道怎樣去證明余弦定理。高二第一學期即將結束，與高一相比，我們已經儲備了更豐富的數學知識，證明余弦定理的方法也變得更多樣了。本節課中，就讓我們一起來回答以下兩個問題?！比缓?，教師出示本課的主旨問題： 問題1我們可以用怎樣的方法來證明余弦定理？ 問題2比較各種方法，我們更喜歡哪一種？

（二）以史開道，回歸起點

為了回答上述問題，教師首先要求學生回憶勾股定理的證明。少數學生說“模糊地記得”，多數學生則表示，初中時老師也只是一筆帶過，直接給出結論而并不作具體的證明。于是，教師說道：“歐幾里得很早就給出過勾股定理的證明。這一證法，被阿拉伯人形象地稱為‘新娘的座椅’。”然后，展示勾股定理的歐幾里得證明：

如圖3所示，分別在直角△ABC的三邊上作正方形ACDE、ABFG和BCHI，作CL⊥GF于L。連接BE和CG，則由AE和BC的平行關系，可得正方形ACDE的面積等于△AEB的兩倍；由AG和CM的平行關系，可得長方形AMLG的面積等于△ACG的兩倍。而△AEB≌△ACG，故知正方形ACDE和長方形AMLG的面積相等。同理，可得正方形BCHI與長方形BMLF的面積相等。

接著，教師引導道：“如果△ABC是斜三角形，那么其三邊又有怎樣的大小關系呢？”學生嘗試、討論之后，教師說道：“歐幾里得在《幾何原本》第2卷中將勾股定理進行了推廣，分別給出了鈍角三角形和銳角三角形三邊之間的關系?！比缓?，展示余弦定理的歐幾里得證明： 如圖1和圖2，由勾股定理，分別得a2=h2+（c+m）2=h2+m2+c2+2cm =b2+c2+2cm，a2=h2+（c－m）2=h2+m2+c2－2cm=b2+c2－2cm。

（三）對話先哲，推陳出新 在歐幾里得證明的基礎上，教師問道：“歐幾里得對余弦定理的證明有什么不足？怎么將其改進成我們現在的統一的形式呢？”由此，引導學生利用三角函數對歐幾里得的證明稍加改進： 在圖1中，有m=－bcosA，h=bsinA；在圖2中，有m=bcosA，h=bsinA。所以，在圖1和圖2中，由勾股定理，均可得（bsinA）2+（c－bcosA）2=a2，整理得a2=b2+c2－2bccosA。接著，教師引導道：“歐幾里得只是利用勾股定理來證明余弦定理。而我們能否利用他證明勾股定理的面積方法來推導余弦定理呢？”學生躍躍欲試，師生共同完成以下證明： 如圖4所示，△ABC為銳角三角形，仿照歐幾里得的做法，在其三邊外側分別作正方形ACDE、ABFG和BCHI；分別從三個頂點向對邊作垂線，垂足分別為K、M和N，與正方形另一邊的交點分別為L、P和Q。于是，SAMPE=SAKLG，SBNQI=SBKLF，因此，c2=SAMPE+SBNQI=a2+b2－（SMCDP+SNCHQ）。而又有SMCDP=b（acosC）=abcosC，SNCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2 －2abcosc。

此后，教師讓學生課后完成鈍角三角形情形的證明。

（四）汲取養料，拓寬思維

教師要求學生再次回顧“正弦定理擴充定理”新授課中的證明方法，學生立刻想到可以引入輔助圓來證明余弦定理，教師便要求學生進行小組討論。學生在證明過程中遇到了一些困惑，教師便順勢解惑，并引出了16世紀德國數學家畢蒂克斯給出的類似證明方法： 在△ABC中，AC>BC。

如圖5所示，以C為圓心、BC為半徑作圓，交AC及其延長線于點F、E，交AB于另一點G。由平面幾何知識，可知AF·AE=AG·AB，此即（b－a）（b+a）=c（c－2acosB），整理得b2=a2+c2 －2accosB。

如圖6所示，若以AC為半徑作圓，則由BE·BF=BA·BG，同樣可得b2=a2+c2 －2accosB。

然后，教師請學生課后完成其他等式的證明。

（五）溫故知新，查缺補漏

對于學生自己想到的解析幾何法（利用兩點之間的距離公式）與向量法（數量積），為了增強學生的參與度，教師請學生板演，結果發現錯誤層出不窮：對于第一種方法，一些學生不恰當地選擇了原點，增加了計算的難度，這印證了學生對“適當建立坐標系”依然存在認知缺陷；對于第二種方法，一名學生將向量與實數混為一談，得到|c|2=c·c=（a－b）·（a－b）=a2－2ab+b2，這是學生在學習向量知識時出現的典型錯誤。通過展示與交流，學生糾正了錯誤，加深了理解。

最后，教師讓學生回顧△ABC中的和角正弦公式sin（A+B）=sinC=sinAcosB +cosAsinB，并簡單介紹了19世紀英國數學家德摩根給出的相關證明方法： 由sinC=sinAcosB+cosAsinB兩邊平方，得sin2C=sin2Acos2B +cos2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B－2·sin2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B+2sinAsinBcos（A+B）=sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC。由正弦定理，即得c2=a2+b2－2abcosC。

（六）集思廣益，取其精華 在整節復習課臨近尾聲時，學生對證明方法的探索仍然意猶未盡。于是，教師布置家庭作業：（2）請列表比較證明余弦定理的幾種方法的特點。

四、結語

從歐幾里得開始，余弦定理經歷了兩千多年的歷史，不同時空下的眾多數學家貢獻了自己的聰明才智。將數學史融入余弦定理復習課的教學，使學生經歷數學的驚奇，感受數學的魅力，既為數學復習課染上了人文的色彩，也凸顯了數學背后探索和發現的精神，展現了精彩紛呈的思想方法。

本節復習課中，我們以余弦定理的證明為線索，利用數學史引導、啟發學生；使余弦定理的證明從勾股定理開始自然深入、逐步推廣，促使學生在學習過程中自覺養成追根溯源、形成知識網絡的習慣——如果學生在初中學習過勾股定理的嚴格證明，則也能起到銜接初、高中教學的作用。本節復習課中，我們主要采用了六種方法來推導余弦定理，其中三種為歐氏幾何方法，另外三種分屬平面三角、向量幾何和解析幾何方法，充分體現了知識的綜合性（如圖7所示）。課后的問卷調查表明：超過80%的學生對歐幾里得的面積方法以及畢蒂克斯的輔助圓方法印象深刻，他們認為，“這些方法太新奇了”“沒想到還會有這樣的證明方法”。

對于如何將數學史融入數學教學，更好地開發HPM課例，本節課也有頗多啟示：

首先，數學史是數學教學設計的豐富資源，而對數學史的獲取僅憑一己之力確實會力不從心且舉步維艱——正如從開采玉石到雕琢玉器，再到出售玉飾這一浩大工程又怎么會是一個人可以包攬下來的。而跨越這層障礙的最佳方式無疑是推行一種模式：先由大學教師完成相關主題的歷史研究，以獲得歷史材料，再由大學教師與中學教師合作，對材料進行加工，使之適合于教學。

其次，在數學教學中，使用數學史大可不必拘泥于單一的課型，新授課、復習課、試卷講評課中都可以體現其教育價值。而通過本節課的教學，顯然可見復習課也會因數學史元素的融入而更為新鮮有趣。

第三，在課后與學生的交談中，我們獲知，學生除了對數學史懷有濃厚的興趣外，還希望能在課堂上體現數學與現實的關系。這無疑也為HPM教學設計指明了更符合學生學習動機的模式：從數學概念、定理在歷史上的來源與發展，到現實中的應用及前景，如此“一站式教學”，能更好地讓學生感受到數學有趣、有用的真實所在。

第二篇：余弦定理數學史

三角學的歷史早期三角學不是一門獨立的學科，而是依附于天文學，是天文觀測結果推算的一種方法，因而最先發展起來的是球面三角學．希臘、印度、阿拉伯數學中都有三角學的內容，可大都是天文觀測的副產品．例如，古希臘門納勞斯（Ｍｅｎｅｌａｕｓ ｏｆ Ａｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元 100 年左右）著《球面學》，提出了三角學的基礎問題和基本概念，特別是提出了球面三角學的門納勞斯定理； 50 年后，另一個古希臘學者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文學大成》，初步發展了三角學．而在公元 499 年，印度數學家阿耶波多（ｒｙａｂｈａｔａ Ｉ）也表述出古代印度的三角學思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，約 505 ～ 587）最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元 10 世紀的一些阿拉伯學者進一步探討了三角學．當然，所有這些工作都是天文學研究的組成部分．直到納西爾?。ǎ危幔螅椋?ｅｄ-Ｄｉｎ ａｌ Ｔｕｓｉ，1201 ～ 1274）的《橫截線原理書》才開始使三角學脫離天文學，成為純粹數學的一個獨立分支．而在歐洲，最早將三角學從天文學獨立出來的數學家是德國人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436 ～ 1476）．

雷格蒙塔努斯的主要著作是 1464 年完成的《論各種三角形》．這是歐洲第一部獨立于天文學的三角學著作．全書共 5 卷，前 2 卷論述平面三角學，后 3 卷討論球面三角學，是歐洲傳播三角學的源泉．雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數表．

雷格蒙塔努斯的工作為三角學在平面和球面幾何中的應用建立了牢固的基礎．他去世以后，其著作手稿在學者中廣為傳閱，并最終出版，對 16 世紀的數學家產生了相當大的影響，也對哥白尼等一批天文學家產生了直接或間接的影響．

三角學一詞的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，來自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用該詞的是文藝復興時期的德國數學家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561 ～ 1613），他在 1595 年出版的《三角學：解三角形的簡明處理》中創造這個詞．其構成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和測量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）兩字湊合而成．要測量計算離不開三角函數表和三角學公式，它們是作為三角學的主要內容而發展的．16 世紀三角函數表的制作首推奧地利數學家雷蒂庫斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕ ｓ，1514 ～ 1574）．他 1536 年畢業于滕貝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大學，留校講授算術和幾何． 1539 年赴波蘭跟隨著名天文學家哥白尼學習天文學，1542 年受聘為萊比錫大學數學教授．雷蒂庫斯首次編制出全部 6 種三角函數的數表，包括第一張詳盡的正切表和第一張印刷的正割表．世紀初對數發明后大大簡化了三角函數的計算，制作三角函數表已不再是很難的事，人們的注意力轉向了三角學的理論研究．不過三角函數表的應用卻一直占據重要地位，在科學研究與生產生活中發揮著不可替代的作用．三角公式是三角形的邊與角、邊與邊或角與角之間的關系式．三角函數的定義已體現了一定的關系，一些簡單的關系式在古希臘人以及后來的阿拉伯人中已有研究．

文藝復興后期，法國數學家韋達（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成為三角公式的集大成者．他的《應用于三角形的數學定律》（1579）是較早系統論述平面和球面三角學的專著之一．其中第一部分列出 6 種三角函數表，有些以分和度為間隔．給出精確到 5 位和 10 位小數的三角函數值，還附有與三角值有關的乘法表、商表等．第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關系的運算公式．除匯總前人的成果外，還補充了自己發現的新公式．如正切定律、和差化積公式等等．他將這些公式列在一個總表中，使得任意給出某些已知量后，可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎．對斜三角形，韋達仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對球面直角三角形，給出計算的完整公式及其記憶法則，如余弦定理，1591 年韋達又得到多倍角關系式，1593 年又用三角方法推導出余弦定理．

1722 年英國數學家棣莫弗（Ａ．Ｄｅ Ｍｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角學定理

（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，并證明了ｎ是正有理數時公式成立； 1748 年歐拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）證明了ｎ是任意實數時公式也成立，他還給出另一個著名公式 ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，對三角學的發展起到了重要的推動作用．

近代三角學是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，并以函數線與半徑的比值定義三角函數，他還創用小寫拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三條邊，大寫拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三個角，從而簡化了三角公式．使三角學從研究三角形 解法進一步轉化為研究三角函數及其應用，成為一個比較完整的數學分支學科．而由于上述諸人及 19 世紀許多數學家的努力，形成了現代的三角函數符號和三角學的完整的理論

第三篇：余弦定理說課

余弦定理

大家好！今天我說課的內容是《余弦定理》。下面，我將從教材分析、教法學法分析、教學流程等方面闡述我對本節課的理解。

一 教材分析

1、本節的地位和作用

《余弦定理》是人教版數學必修五第一章《解三角形》第一節的內容。本節知識與初中學習的三角形的邊角基本關系以及三角形全等的判定有密切聯系，就高中的整個知識體系而言，余弦定理是解三角形的基礎，而且解三角形經常和三角函數聯系在一起考查學生的運算求解能力、推理論證能力和應用意識。所以，余弦定理的知識非常重要。

因此，我將本節課的教學目標定為：

（1）知識與技能：掌握余弦定理的兩種表現形式，應用余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題；

（2）過程與方法：通過探究余弦定理的過程學會分析問題從特殊到一般的過程與方法提高運用已有知識分析、解決問題的能力；

（3）情感態度價值觀：讓學生在探索的過程中形成嚴謹的數學思維方式，在解決問題中感受成功的喜悅，培養他們學習數學的興趣。

另外，我將本節課的重點定為：余弦定理的證明及基本應用。

難點定為：余弦定理的探索及證明，靈活運用余弦定理解決相關的實際問題。

二、教學與學法

教法：為了充分調動學生學習的主動性和積極性，有效地滲透數學思想方法，發展學生個性思維品質，本節課主要采用“提問法、發現法、分析法、啟發式相結合的方法”，引導學生發現問題，探索問題，并解決問題。

學法：古人云：“供人以魚，只解一餐；授人以漁，終身受用?！苯虒W過程要不斷給學生進行學法上的指導。本節課主要是通過余弦定理的證明，讓學生學會用聯系的觀點看問題，體會知識間的聯系，形成良好的知識結構。

三、教學流程：

（1）復習引入、導入課題；

（2）引導探究、獲得性質；

（3）應用遷移、交流反思；

（4）拓展升華、發散思維；

（5）小結歸納、布置作業

第四篇：正弦定理和余弦定理的復習

第十九教時

教材：正弦定理和余弦定理的復習《教學與測試》76、77課

目的：通過復習、小結要求學生對兩個定理的掌握更加牢固，應用更自如。過程：

一、復習正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x?6?2 22?(6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 當c?時cosA?222

二、例一 證明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圓半徑

證略 見P159 注意：1．這是正弦定理的又一種證法(現在共用三種方法證明)2.正弦定理的三種表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求證：a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0

證：左邊=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB)

=2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右邊

例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：sinA?asinB3sin45?3b?2?2 ∵B=45<90

即b

?當A=60時C=7c?bsinC2sinsinB?756?2sin45??2 當A=120時C=15

c?bsinC2sin15?6sinB?sin45???22 解二：設c=x由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB 將已知條件代入，整理：x2?6x?1?0

22bc2?2?6?22(3?1)22從而A=60

C=75

當c?6?22時同理可求得：A=120 C=15

例四 試用坐標法證明余弦定理 證略見P161

例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2?23x?2?0的兩個根，且

2cos(A+B)=1 求 1角C的度數 2AB的長度 3△ABC的面積

解：

1cosC=cos[

(A+B)]=

cos(A+B)=∴C=120

2由題設：??a?b?23?a?b?2

∴AB

2=AC2

+BC

2AC?BC?osC?a2?b2?2abcos120?

?a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 即AB=10

3S1113△ABC=2absinC?2absin120??2?2?2?32

例六 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD

CD, AD=10, AB=14，BDA=60BCD=135

求BC的長

D

C

解：在△ABD中，設BD=x

則BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA

A

B ，即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0

解之：x1?16 x2??6（舍去）由余弦定理：

BCBD16???sin30?82

∴BC??sin?CDBsin?BCDsin135

例七（備用）△ABC中，若已知三邊為連續正整數，最大角為鈍角，1求最大角 2

求以此最大角為內角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積。解：1設三邊a?k?1,b?k,c?k?1 k?N?且k?1

a2?b2?c2k?4∵C為鈍角 ∴cosC???0解得1?k?4

2ac2(k?1)∵k?N? ∴k?2或3 但k?2時不能構成三角形應舍去

1當k?3時 a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109?

42設夾C角的兩邊為x,y x?y?4

1515??(?x2?4x)44S?xysinC?x(4?x)?當x?2時S最大=15

三、作業：《教學與測試》76、77課中練習

a2?b2b2?c2c2?a2???0 補充：1．在△ABC中，求證：

cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosAD A

2．如圖ABBCD=75

BC CD=33 BDC=45

ACB=30

求AB的長(112)

B

C

第五篇：努力體現語文的綜合性和實踐性

努力體現語文的綜合性和實踐性

語文是綜合性、實踐性很強的一門課程。有人說：語文就像一個筐，什么都能往里裝；語文又像一匹馬，什么東西都能拉。這恰好說明了語文教學的龐雜。正是由于語文有如此強大的包容性，才為我們的教學提供了更多的方法與機會，這就是語文綜合性的表現。要體現語文的綜合性，首先，要緊密聯系生活，從中挖掘出貼近學生又便于操作的語文資源，然后明確課題，精心設計活動內容。再次，通過綜合性學習，可以培養學生善于積累的好習慣。

語文教學的過程，也應該是學生的語文實踐過程。語文教師要努力改進課堂教學，溝通課堂和學生生活的聯系，讓學生不僅從書本中學語文，還要在生活中學語文，努力體現出語文的實踐性特點。

首先，要關注學生的語文學習過程。關注學生對學習活動的參與程度。

其次，要重視學習方法的掌握。語文課程實施的各個環節都要重視“方法”的教育，學生掌握這些方法的途徑主要是通過點撥、示范和在實踐中體驗，不需要講授一套又一套有關方法的知識。

第三，要關注學生的個性差異。教師要重視個性差異，善于引導，因材施教，使全體學生都得到發展。

總之，一句話，要體現語文課程的綜合性和實踐性特點，教師就得想方設法讓學生成為學習的主人