第一篇：一個探究性問題的教學設計—橢圓的定義

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一個探究性問題的教學設計----橢圓的定義

浙江省義烏市上溪中學 李耀華

現行教材增加了一些探究性的問題，促使學生親自動手去發現、提出、解決一些數學問題，有利于增強學生的綜合素質。個人認為，開展探究性問題的教學目的并不在于獲得一個具體的數學結論或答案，而在于整個學習過程給學生所帶來的積極影響，也就是研究數學的一種思路、方法。沒有固定的模式，沒有可以借鑒的經驗，要開展這樣的探究性問題的教學，一切都是“摸著石頭過河”。本文就是利用《幾何畫板》軟件對橢圓的定義進行發散思維的一個教學設計，也是對開展數學探究性問題作一些思考和探索。

【教學目的】

使學生明確探求點的軌跡的思維出發點，理清這類軌跡問題的思路，高屋建瓴的把握軌跡問題的來龍去脈。【教學輔助工具】

網絡教室，一人一機，《幾何畫板》軟件 【教學方法】

問題教學法。一題多變，發散思維，引導學生參與，激發學生創新，發揮現代信息技術在高中數學教學中的作用?！窘虒W過程】

1、引入

求曲線的方程、通過方程來研究曲線是解析幾何的兩大任務。今天與同學們共同討論一個問題：如何探求點的軌跡。

問題是數學的心臟，思維先從問題開始。來看一個具體問題：

問題：C是圓A內的一個定點，D是圓上的動點，求線段CD的中垂線與半徑AD的交點F的軌跡方程。

用幾何畫板作出圖1，拖動主動點D在圓A上轉動或者制作點D在圓A上運動的動畫按鈕，跟蹤點F，我們會發現，軌跡是一個橢圓，分析已知條件，不難知道原因：|FA|?|FC|?|FA|?|FD|?R（為定值），且有|AC|?R。

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（圖1）

建立點F的軌跡方程。取線段AC的中點為原點O，直線AC為x軸，建立直角

x2y2坐標系。設|AC|?2c,|AD|?2a?R，則由橢圓定義得到橢圓的方程2?2?1。（其

ab中b2?a2?c2,a?b?0）

2、一題多變，發散思維

變式1：探求點E的軌跡。（讓學生先猜測，用幾何畫板演示，從而發現結論，再說明理由）學生追蹤點E的軌跡后，發現其軌跡是一個圓（圖2）。

11分析：連接AC，取其中點G，連GE，可知，|GE|?|AD|?R（為定值），221所以點E的軌跡是以G為圓心，R為半徑的一個圓。

2（圖2）

變式2：放寬對E點的限制，設E為CD上任意一點，探究點E的軌跡。（受變《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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式1的啟發，學生猜測出點其軌跡還是一個圓，但是圓心和半徑發生了變化）。過E作AD的平行線，交AC與K，追蹤點K（圖3），發現軌跡是以K為圓心，|CE|?R|CD|長為半徑的圓。

分析： |KE||CE|，易見 |KE|為定值，因此軌跡為圓。

?|AD||CD|

（圖3）

教師引導學生歸納小結：通過剛才兩個變式的訓練，我們發現要找到點的軌跡，需從兩方面下手：一是找出約束動點變化的幾何條件；二是找出影響動點變動的因素。

變式3：探求CF的中點G的軌跡。（這時學生的思維馬上會發生遷移，運用類比的思想方法，猜測出點G的軌跡是一橢圓）。學生追蹤線段CF的中點G的軌跡，發現是一橢圓（圖5）。

11分析：取AC中點H，連HG，則|HG|?|GC|?(|AF|?|FC|)?R(為定值).2

2（圖4）

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變式4：放寬對G點的限制，設G為CF上任意一點（不是C）,探求其軌跡（受變式2的啟發，學生會想到用三角形相似）。追蹤其軌跡,仍為一橢圓（圖5）.分析：作GH//AF,交AC于H,則

|HG|?|GC|?|HC||HC|(|AF|?|FC|)?R(為定值)|AC||AC|

（圖5）

變式5：在直線CD上取一點E，過E作CD的垂線EQ，與直線DA(或其延長線)交于Q，探求Q的軌跡。（學生紛紛猜測不是圓就是橢圓，教師引而待發）發現分別為“鴨蛋形”（圖6）、“導彈形”（圖7）.其軌跡方程可利用極坐標求得，為非常規方程，這里不做進一步闡述。

（圖6）

（圖7）

這一系列的變式訓練可極大調動學習數學的主觀能動性，這樣的數學實驗也符合中學生的好動、喜新、求變的心理特征，學生在極富挑戰性的實驗過程中建構起自己《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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3、自導自演，激發創新

我們不光要善于解決問題，總結經驗與方法，并運用這些經驗與方法曲解決新的問題，更重要的是敢于提出問題，發現更多的問題。（為了進一步激發學生的探索欲望，此時可以對條件作進一步的改變或者放寬，讓學生自己尋求答案，教師巡視，隨時給予指導）可能會出現下面的一些情況：

①將點C移到圓外，研究圖1中點F的軌跡（此時點F為CD中垂線與直線AC的交點）（雙曲線，圖8）

（圖8）

②在直線EF上任意取一點S,發現其軌跡為一個圓（如圖9）

（圖9）

③通過改變點C在圓內和圓外的位置可以發現：圖2中E的軌跡圓與圖1中的《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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橢圓和圖8中的雙曲線都是相切的（如圖

10、圖11）

（圖10）

（圖11）

4、教師小結，布置作業

通過一系列的發散思維訓練，學生已基本掌握探求一個點的軌跡思維的出發點有兩個：（！）找出約束動點變動的幾何條件；（2）找出影響動點變動的因素。抓住這兩點，就抓住了問題的本質?！窘虒W反思】

①本文開始提出的問題是一道常見的軌跡題，過去沒有更深入的研究，這里借助《幾何畫板》的“在動態中保持設定的幾何關系不變”的軟件特征深入研究了這道題目，另一方面，通過一題多變，發散思維，擴大到發現、歸納這類問題的解題規律，引導學生舉一反三，遷移知識與方法，努力提高科學素養。

②利用計算機軟件的交互性，讓學生親身實踐，參與知識的發現過程，可以極大地鼓舞學生學好數學的勇氣和信心。

③更重要的是讓學生知道：“授之以魚，不如授之以漁”。培養會學習的孩子是我們教育的目標。

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第二篇：橢圓的定義數學教案(精)

橢圓的定義數學教案

教學目標：

1、橢圓是圓錐曲線的一種，是高中數學教學中的重點和難點，所以這部分內容中的知識點學生必須達到理解、應用的水平；

2、利用投影、計算機模擬動點的運動，增強直觀性，激勵學生的學習動機，培養學生的數學想象和抽象思維能力。教學重點：對橢圓定義的理解，其中a>c容易出錯。教學難點：方程的推導過程。教學過程：（1）復習

提問：動點軌跡的一般求法？

（通過回憶性質的提問，明示這節課所要學的內

容與原來所學知識之間的內在聯系。并為后面橢圓的標準方程的推導作好準備。）（2）引入

舉例：橢圓是常見的圖形，如：汽車油罐的橫截面，立體幾何中圓的直觀圖，天體中，行星繞太陽運行的軌道等等；

計算機：動態演示行星運行的軌道。

（進一步使學生明確學習橢圓的重要性和必要性，借計算機形成生動的直觀，使學生印象加深，以便更好地掌握橢圓的形狀。）（3）教學實施

投影：橢圓的定義：

平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距（一般用2c表示）

常數一般用2 表示。（講解定義時要注意條件：）

計算機：動態模擬動點軌跡的形成過程。

提問：如何求軌跡的方程？

（引導學生推導橢圓的標準方程）

板書：橢圓的標準方程的推導過程。（略）

（推導中注意：1）結合已畫出的圖形建立坐標系，容易為學生所接受；2）在推導過程中，要抓住“怎樣消去方程中的根式”這一關鍵問題，演算雖較繁，也能迎刃而解；3）其中焦點為F1（，0）、F2（c,0）, ；4）如果焦點在 軸上，焦點為F1（0，）、F2（0,c），只要將方程中，互換就可得到它的方程）

投影：橢圓的標準方程：

（）

（）

投影：例1平面內兩個定點的距離是8，寫出到這兩個定點的距離的和是10的點的軌跡方程

（由橢圓的定義可知：所求軌跡為橢圓；則只要求出、、即可）

形成性練習：課本P74：2，3（4）小結

本節課學習了橢圓的定義及標準方程,應注意以下幾點:

①橢圓的定義中，②橢圓的標準方程中,焦點的位置看 , 的分母大小來確定

③、、的幾何意義（5）作業

P80：2，4（1）（3）

第三篇：人教版數學高二年級《橢圓第二定義的教學》教學設計

橢圓第二定義的教學

江蘇省如皋中學

郝 茹

郝勁赴

現行高中《平面解析幾何》課本對橢圓第二定義采用了從具體事例入手，引出一個新概念的定義的方法，這是數學教學中常用的從具體到抽象、從特殊到一般地講授新概念的方法，符合人們從感性到理性的認識事物的規律．但是，在這里我們要注意，從認識事物的原型到認識事物的本質，這是對事物認識的質的飛躍，妥善處理好這個過程，是教學成功的關鍵．為此，我們在教學橢圓第二定義時，作了如下安排：

１．自讀推敲，引導剖析 首先讓學生自讀課本Ｐ．７６例３及由此引出的橢圓第二定義，自己推敲這一定義的內涵及外延，并提出以下問題供學生思考：

（１）定義中有哪些已知條件？

（２）定點、定直線、定比在橢圓定義中的名稱各是什么？

（３）定比是哪兩個量的比？這兩個量本身是變量還是常量？定比是什么范圍的值？（４）定點、定直線、定比一定是例３給出的數量關系（Ｆ（c,0),x?定直線方程是否可為其他的形式？

對第（１）、（２）、（３）三個問題學生容易從課本中找出答案，但第（４）個問題則一石激起千層浪，學生們議論紛紛．這時，教師啟而不答．

２．通過變式，提示內涵 讓學生研究課本Ｐ．７９第１０題“點Ｐ與一定點Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是１：２，求點Ｐ的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．”

學生很快根據例３求出c＝２，又由e?ca?12a2c,e?ca?1)嗎？定點坐標、，得a＝４，而由x?a2c?422可知滿足題意．從?8，而得點Ｐ的軌跡方程為x216?y212?1，所以點Ｐ的軌跡是橢圓．

接著，我將上題稍加改動，讓學生研究：“點Ｐ與一定點Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是13，求點Ｐ的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．”學生沿用上題的解法，得c?2，由

x2ca?13，得a?6,b?6?2?32，得軌跡方程為22236?y232?1，有的學生由

a2c?362?18?8而提出該題題設

?c?2?c?2,11??e??，而認為此題無解． 矛盾，所以無解，也有的學生列出方程組?a2，解得?23?8?a?4,??c這時，教師不評價學生的解法，而是提示他們比較該題題意與課本給出的橢圓第二定義是否一致，由他們自己發現滿足題意的動點軌跡是橢圓，進而重新尋求解題的途徑．不少學生建立方程(x?2)?yx?822?13(x?5，化簡得

481)2?y292?1，由此可見，這是中心在點（54,0)，對稱軸為直線x?5416及y?0的橢圓．

—1— 從該例讓學生看到橢圓第二定義中的定點、定直線、定比的數量關系不一定是課本Ｐ．７６例３給出的定點Ｆ（c，０）、定直線x?a2c、定比e?ca，當不滿足這個數量關系時，建立橢圓方程不能套用例３的結果去解．當給出定點Ｆ（n，０）、定直線x＝m（m≠n）、定比為e（０＜e＜１)時，可建立方程

me2(x?n)?yx?m22(x??e，解得

?n21?e22e(m?n)(1?e)22)2?y222e(m?n)1?e2?1．

顯然，只要m≠n，即點Ｆ（n，０）不在直線x＝m上時，都是橢圓方程．

這樣，就讓學生自己在解決問題的過程中，求得思考題（４）的第一個問題的答案．進而指導學生深入推敲橢圓第二定義，讓他們深切地理解定義中的定點一般為(x0,y0)，定直線一般為ax+by+c＝０，并告訴學生在學過坐標變換之后，可通過坐標變換，將所求的軌跡方程化為橢圓的標準方程．

通過以上研究，讓學生明確：課本Ｐ．７６例３題設中給出的數量關系是橢圓的標準方程的條件，而不是所有橢圓方程所要求的條件，即不是橢圓方程的本質特征，這樣，學生對橢圓第二定義的內涵和外延的理解就深刻多了．

３．列舉反例，防患未然 要使學生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，運用變式比較，揭示概念本質以外，我們還經常列舉一些反例讓學生判別，防止常見錯誤的發生．為此，給出以下兩例，讓學生判別命題是否正確．

例１ 點Ｐ到點Ｆ（２，０）的距離比它到定直線x=7的距離小１，點Ｐ的軌跡是什么圖形？ 給出如下解法讓學生判別：

解：設Ｐ點的坐標為（x,y），則(x?2)?y22?1?x?7?(x?2)?yx?722?1?1.而(x?2)?yx?722?(x?2)?yx?722?1＝１，所以點Ｐ到定點Ｆ（２，０）的距離與它到定直線x=7的距離的比小于１，故點Ｐ的軌跡是橢 圓．

例２ 點Ｐ到定直線x=8的距離與它到點Ｆ（２，０）的距離的比為

12，則點Ｐ的軌跡是橢圓．

22對上述兩個問題，引導學生逐一分析，讓學生明確：例１中，比值

(x?2)?yx?7?1，但不是一個常數，故不可斷定點Ｐ的軌跡是橢圓．例２中要注意橢圓第二定義中的定比是動點到定點的距離比動點到定點直線的距離，其比的前后項順序不可倒置，故不可斷定此題中的點Ｐ的軌跡是橢圓．經過對上述兩例中典型錯誤的剖析，學生對橢圓第二定義的本質屬性有了更深刻的認識．

４．設置新題，檢測運用

經過前面的教學過程，應該說基礎知識已經講清了．但是，要讓學生深刻理解教學的內容，并且能夠正確運用，這需要讓學生有一個獨立運用所學知識解決問題的過程．于是，我們讓學生獨立解以下題目：一動點Ｐ到直線2x+y－８=0的距離與它到點（１，２）的距離的比值為5，求動點Ｐ的軌跡方程，并判 —2— 斷點Ｐ的軌跡是何種曲線．

2x?y?8解：設Ｐ點的坐標為（x,y），則

25(x?1)?(y?2)2?5

?5(x?1)?(y?2)2222?2x?y?8

22?25(x?2x?1?y?4y?4)?4x?y?64?4xy?32x?16y ?21x?4xy?24y?18x?84y?61?0． 22從方程看，現在我們還不能判定此方程的曲線是何種曲線，但仔細分析題意，可將已知條件改述為動點Ｐ到點（１，２）的距離與它到直線２x＋y－８＝０的距離之比為１：5，這顯然符合橢圓第二定義，可知Ｐ點的軌跡為橢圓．

通過這一例的教學讓學生更深切地理解了橢圓的第二定義，也讓學生看到橢圓的非標準方程所具有的形式．

５．拓展課本，活化知識

xa22課本對于橢圓的準線方程作了如下敘述：“對于橢圓?yb22?1，相應于焦點Ｆ（c，０）的準線方程為x?a2c，根據橢圓的對稱性，相應于焦點Ｆ′（－c，０）的準線方程為x??a2c；所以，橢圓有兩條準線．”由此啟發學生看到命題（稱做Ａ）：點Ｍ（x,y）與定點Ｆ′（－c，０）的距離與它到直線l′：x??a2c的距離之比是常數ca（a＞c＞０），則點Ｍ（x，y）的軌跡方程也是橢圓的標準方程．于是我們引導學生明確結論：課本Ｐ．７６例３給出的數量關系：定點Ｆ（c，０）、定直線l：x?a2c、常數

ca（a＞c＞０），以及命題Ａ給出的數量關系：定點Ｆ′（－c，０）、定直線l′：x??a2c、常數

ca（a＞c＞０）均分別是動點Ｍ的軌跡方程為橢圓標準方程的充要條件，并且，二者是等價的．接著，我們又引導學生再次分析本文第２部分所講到的命題（稱為Ｂ）：定點為Ｆ（n，０），定直線為x＝m（m≠n），定比為e

(x?me2?n2（０＜e＜１)，得出的橢圓方程

1?e22e(m?n)(1?e)22)2?y222e(m?n)1?e2?me2?n?0,?讓他們看到當且僅當?1?e2?1．

?1?e2?0?2即e?2nm?1時，動點Ｍ的軌跡方程為橢圓的標準方程．即條件“e?nm?1”是動點Ｍ的軌跡方程為橢圓標準方程的充要條件．

—3— 在此基礎上，要求學生自行命題，設計出動點的條件，使其軌跡方程分別符合下列要求： ①軌跡方程為橢圓的標準方程；

②軌跡方程為中心在x軸上且短軸平行于y軸的橢圓方程．

從而，讓學生不但能正確地解命題Ｂ型的問題，而且能自行設計命題Ｂ型的問題，使學生對橢圓第二定義的理解、掌握和運用達到新的境界．

—4—

第四篇：橢圓的定義及其標準方程教案

§14.2橢圓的定義與標準方程

一、教材分析

本節課是圓錐曲線的第一課時，它是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步認識的基礎上，進一步學習用坐標法研究曲線。橢圓的學習可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎。因此這節課有承前啟后的作用，是本章的重點內容之一。

二、教學目標

（一）知識目標

1、理解并掌握橢圓的定義，明確焦點、焦距的概念；

2、掌握橢圓的標準方程；

（二）能力目標

培養學生發現規律、尋求規律、認識規律并利用規律解決實際問題的能力。

（三）德育目標

1、使學生認識并理解世間一切事物的運動都是有規律的；

2、使學生通過運動規律，認清事物運動的本質。

三、教學重、難點及關鍵

1、重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程。

2、難點：橢圓標準方程的推導。

3、關鍵：突破難點要抓住“建立坐標系”和“化簡方程”兩個環節。

四、教學方法

主要采用探究實踐、啟發與講練相結合

五、教具

主要采用多媒體課件

六、教學過程

1、創設情景、引入概念

（多媒體演示）展示相應的圖片，讓學生在感受美的同時也了解到本節課所要研究的圖形——橢圓。

提問：這些圖片中的實物的形狀是什么的圖形？ 學生回答：橢圓

請同學再列舉一些橢圓形的例子，教師指出橢圓在生活中很常見，今天我們就一起學習----橢圓（給出課題）。

教師指出：通過前面的學習知道，圓是平面內與定點的距離等于定長的點的軌跡，那么橢圓又是滿足什么條件的點的軌跡呢？我們一起來探究。

2、新知探究、形成概念

利用多媒體演示橢圓的畫法。

依據多媒體演示的畫法，請學生思考：圖中哪些量是不變的，哪些量是可變化的，試著用自己的語言說一說怎樣形成橢圓？

讓學生拿出課前準備的紙板、細繩、圖釘，根據自己得出的橢圓畫法，試著用手中的工具畫出橢圓。讓學生動手，使其嘗試到成功的喜悅，同時提醒學生注意繩長要大于兩圖釘之間的距離。

教師啟發、提問，并由學生歸納出橢圓的定義。定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數2a（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。其中兩個定點叫做焦點，兩焦點的距離叫做焦距，記為2c。

提問：若令M為橢圓上任意一點，可否把定義用數學表達式寫出？

學生思考回答：|MF1|+|MF2|=2a 教師指出：此式稱為定義式，其應用非常廣泛。

3、標準方程的猜測與推導

依據多媒體的動態數據來猜測橢圓的方程

問：請你猜測一下橢圓的方程？

x2y2學生:（2?2?1，a>b>0）

ab

根據一般的求軌跡方程步驟推導橢圓的方程。

(1)建系：以F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的中垂線為y軸建立直角坐標系。

(2)設點: 設M（x，y）是橢圓上任意一點，因|F1F2|=2c，則F1(-c,0)，F2(c,0)（學生回答）

(3)列式: 讓學生自己列出：|MF1|+|MF2|=2a，并將其坐標化后得：?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a

(4)化簡：(過程可以簡略，不作要求)

x2y2教師指出：方程2?2?1?a?b?0?叫做橢圓的標準方程，其焦點

ab在x軸上，焦點坐標為F1(-c,0)，F2(c,0)且a2?b2?c2 啟發：若把坐標系中的x軸、y軸的位置互換，橢圓的焦點位置如何？方程形式又如何？

y2x2讓學生合理猜想，得出：2?2?1

ab教師指出此方程同樣可用上述方法進行推導。思考：如何依據標準方程判斷焦點的位置？

學生觀察后可得出：含x2，y2的分式的分母誰大，焦點就在那個軸上。

五秒快速練習：判斷下列橢圓的焦點位置？

x2y2y2x21、??

12、??1

152053y2x2x2y23、??

14、??1

111825244、知識應用

例1:已知橢圓的焦點在x軸上,焦距為8,橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為10,求橢圓的標準方程.先給學生提示，再讓學生自己動手做，并抽取兩位同學所做的進行講評,最后課件給出標準答案。例2:求下列橢圓的焦點和焦距

x2y2(1)??1；

（2）2x2?y2?16

54分析：解題關鍵是判斷橢圓的焦點在哪條坐標軸上，方法是觀察標準方程中含x項與含y項的分母，哪項的分母大，焦點就在哪條坐標軸上。學生先做，然后課件給出正解。

分組練習：求橢圓的焦距與焦點坐標？

x2y2①??1 156x2y2?1 ②?25169??3,0?，焦距2c?6焦點坐標為?0,?12?，焦距2c?24焦點坐標為請學生給出結果，體會成功的喜悅。同時給出練習③9x2?25y2?225讓學生獨立完成，并對學生所做的進行講評。

5、歸納小結

（1）知識小結：引導學生歸納，最后教師給出知識結構圖。（2）方法小結：（教師小結）

①用坐標法研究曲線；

②用運動、變化的觀點分析問題；

6、作業：練習冊相應的練習。

第五篇：橢圓標準方程教學設計

橢圓標準方程推導教學設計

類比的思想學：新舊知識的類比。

引入：自然界處處存在著橢圓，我們如何用自己的雙手精確的畫出橢圓呢？

回憶圓的畫法：一個釘子，一根繩子，釘子固定，繩子的一端系于釘子上，抓住繩子的另一端，固定繩子的長度，繞釘子旋轉一圈就得到圓。

下面我們介紹橢圓的畫法：找兩個釘子和一根繩子，把兩個釘子固定，兩個釘子的距離小于繩子的長度，把繩子的兩端分別系在兩個釘子上，繃緊繩子旋轉一周就得到橢圓。（以上是畫法上的對比）

回憶圓的定義：平面上到頂點的距離等于定長的點的集合。

（根據剛才橢圓的畫法及類比圓的定義，歸納得出橢圓的定義。）橢圓的定義：平面上到兩個定點F1,F2的距離之和為定值（大于F1F2）的點的集合。

（以上是定義上的對比）

怎樣推導橢圓的標準方程呢？（類比圓的標準方程的推導步驟）求動點方程的一般步驟：坐標法

（1）建立適當的直角坐標系，用有序實數對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件P(M)；（3）用坐標表示P(M)，列數方程；（4）化方程為最簡形式。

y?探討建立平面直角坐標系的方案yyyF1OOO設P(x, y)是橢圓上任意一點，yF2Ｐ(x , y)xF10F2yMMOF2橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0)，則F1、F2的坐標分別是(?c,0)、(c,0).xF1xxxOP與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?(x?c)2?y2,|PF2|?(x?c)2?y2x方案一方案二原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)(對稱、“簡潔”)(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a（問題：下面怎樣化簡？）移項，再平方(x?c)2?y2?4a2?4a(x?c)2?y2?(x?c)2?y2a2?cx?a兩邊再平方，得剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如何推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程呢？由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?x2?(y?c)2,|PF2|?x2?(y?c)2(x?c)2?y2a4?2a2cx?c2x2?a2x2?2a2cx?a2c2?a2y2整理得(a2?c2)x2?a2y2?a2(a2?c2)由橢圓定義可知2a?2c,即a?c,所以x2?(y?c)2?x2?(y?c)2?2aa2?c2?0,設a2?c2?b2(b?0),（問題：下面怎樣化簡？）b2x2?a2y2?a2b2兩邊除以a2b2得x2y2??1(a?b?0).a2b2橢圓的標準方程x2y2??1(a?b?0).a2b2焦點在x軸(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a?再認識！?橢圓的標準方程的特點：YMMF1(-c,0)OF2(c,0)XOF1(0,-c)XYF2(0 , c)標準方程x2y2+=1 ?a>b>0?a2b2yPx2y2+=1 ?a>b>0?b2a2yF2Pxx2y2??1(a?b?0)a2b2y2x2??1(a?b?0)a2b2不同點圖形F1OF2xOF1焦點坐標F1?-c , 0?，F2?c , 0?F1?0?,?-c?，F2?0?,?c?（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。相同點定義a、b、c 的關系焦點位置的判斷平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡a2=b2+c2分母哪個大，焦點就在哪個軸上