第一篇：線性規劃練習2

線性規劃綜合練習

一、選擇題 1.設變量 x、y 滿足約束條件?????? ?? ??6 32x yy xx y，則目標函數 z=2x+y 的最小值為（）

（A）2

（B）3

（C）４

（Ｄ）2.設ｚ＝ｘ－ｙ，式中變量ｘ和ｙ滿足條件???? ?? ? ?, 0 2, 0 3y xy x則ｚ的最小值為（）

(A)

（Ｂ）－１

（Ｃ）３

（Ｄ）－3 3.在平面直角坐標系中，不等式組??????? ? ?? ? ?20 20 2xy xy x，表示的平面區域的面積是（）

（A）4 2

（B）

（C）2 2

（D）2 4．已知ｘ和ｙ是正整數．．．，且滿足約束條件??????? ?? ?7 2210xy xy x，則 z=2x+３y 的最小值為（）

（Ａ）24（Ｂ）14

(C)13

(D)11.5

5.如果實數 x,y 滿足條件?????? ? ?? ?? ? ?0 10 10 1y xyy x,那么 2x-y 的最大值為（）(A)

(B)1

(C)-2

(D)-3

6.某公司招收男職員 x名,女職員y名,x和y 須滿足約束條件??????? ?? ? ?, 11 2, 9 3 2, 22 11 5xy xy x則 z=10x+10y 的最大值是（）(A)

(B)85

(C)

(D)

7.在坐標平面上，不等式組???? ? ?? ?1 31x yx y，所表示的平面區域的面積為（）

（Ａ）

（Ｂ）23（Ｃ）22 3（Ｄ）２ 8.已知點Ｐ（ｘ，ｙ）在不等式組?????? ? ?? ?? ?0 2 20 10 2y xyx，表示的平面區域運動，則ｚ＝ｘ－ｙ的取值范圍是（）

（Ａ）

? ? 1 , 2 ? ?

（Ｂ）

? ? 1 , 2 ?

（Ｃ）

? ? 2 , 1 ?

（Ｄ）

? ? 2 , 1

9.變量 x,y 滿足下列條件:???????? ?? ?? ?? ?.0 , 0, 24 3 2, 36 9 2, 12 2y xy xy xy x則使得 z=3x+2y 的值最小的(x,y)是（）(A)（4.5,3）

(B)

(3,6)

(C)

(9,2)

(D)(6,4)10.已知平面區域 D 由以 A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)為頂點的三角形內部和邊界組成,若在區域 D 上有無窮多個點(x,y)可使目標函數 z=x+my 取得最小值,則 m=（）（Ａ）-２

（Ｂ）-１

（Ｃ）１

（Ｄ）４ 11.在約束條件?????????? ?? ?004 2yxs y xy x下,當 3≤s≤5 時,目標函數 z=3x+2 的最大值的變化范圍是（）(A)[6,15]

(B)[7,15]

(C)[6,8]

(D)[7,8]

12．某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過 50 計，投入資金不超過 54 萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表

年產量/畝 年種植成本/畝 每噸售價 黃瓜 4 噸 1.2 萬元 0.55 萬元 韭菜 6 噸 0.9 萬元 0.3 萬元 為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入 總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）

A．50，0

B．30，20

C．20，30

D．0，50 13.已知點(3，1)和(－4，6)在直線 3x－2y+a=0 的兩側，則 a 的取值范圍是（）A.a＜－1 或 a＞24

B.a=7 或 a=24

C.－7＜a＜24

D.－24＜a＜7 14.不等式組3,0,2 0xx yx y? ??? ???? ? ??表示的平面區域的面積等于（）A.28

B.16

C.439

D.121 二、填空題 1．設 z=2y-x，式中變量 x、y 滿足下列條件??????? ?? ? ?123 2 31 2yy xy x，則 z 的最大值為____________.2.設變量 x,y 滿足約束條件?????? ?? ? ?? ?112 2y xy xy x,則 z=2x+3y 的最大值為__________.3.設變量 x,y 滿足約束條件?????? ?? ??10 20 21y xy xx,則 z=2x-y 的最小值為__________.4.若ｘ，ｙ滿足條件????? ?x yy x23，則ｚ＝3x+4y 的最大值是____________.5.設ｘ，ｙ滿足約束條件???????? ?? ?? ?? ?4 03 012 2 35yxy xy x，則使得目標函數ｚ＝6x+5y 的值最大的點（ｘ，ｙ）是

． 6.非負實數ｘ，ｙ滿足???? ? ?? ? ?0 30 4 2y xy x，則 x+3y 的最大值為

.7.設 x，y 滿足約束條件?????? ???1 20y xy xx，則 z=3x+2y 的最大值是________.8.設 x，y 滿足約束條件???????? ?01yx yy x,則 z=2x+y 的最大值是_________.9.當 x,y 滿足不等式組?????? ??? ?834 2y xyx時,目標函數 k=3x-2y 的最大值為___________.10．已知實數 x,y 滿足???? ??| 1 |1x yy,則 z=x+2y 的最大值是___________.11．已知點P（x，y）的坐標滿足條件 ,14???????? ?xx yy x點O為坐標原點，那么|PO|的最小值等于___________，最大值等于___________.12.已知?????? ? ?? ? ??0 2 20 11y xy xx，則ｘ２ ＋ｙ ２ 的最小值是＿＿＿＿＿＿． 13.設實數ｘ，ｙ滿足?????? ?? ? ?? ? ?0 3 20 4 20 2yy xy x，則xy的最大值是_________.14.某實驗室需購某種化工原料 106 千克，現在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋 35 千克，價格為140元；另一種是每袋24千克, 價格為120元.在滿足需要的條件下，最少要花費

元.15.已知變量 x、y 滿足約束條件?????? ?? ? ?? ? ?0 10 3 30 3 2yy xy x.若目標函數 z=ax+y（其中 a>0）,僅在點（3,0）處取得最大值,則 a 的取值范圍是____________.三、解答題

1、設 z=2y-2x+4,式中 x,y 滿足條件0 10 22 1xyy x? ? ??? ???? ??

求 Z 的最大值和最小值。

2、某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生產乙產品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克。每桶甲產品的利潤是 300 元，每桶乙產品的利潤是 400 元。公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗 A、B 原料都不超過 12 千克。則如何安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

3、某機械廠的車工分Ⅰ、Ⅱ兩個等級，各級車工每人每天加工能力，成品合格率及日工資數如下表所示：

工廠要求每天至少加工配件 2400 個，車工每出一個廢品，工廠要損失 2 元，現有Ⅰ級車工 8 人，Ⅱ級車工 12 人，且工廠要求至少安排 6 名Ⅱ級車工，試問如何安排工作，使工廠每天支出的費用最少.級別 加工能力(個/人天)成品合格率(%)工資(元/天)Ⅰ 240 97 5.6 Ⅱ 160 95.5 3.6

第二篇：簡單線性規劃教案

簡單線性規劃教案

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教學設計

3．5.2 簡單線性規劃

整體設計

教學分析

本節內容在教材中有著重要的地位與作用．線性規劃是利用數學為工具，來研究一定的人、財、物等資源在一定條件下，如何精打細算巧安排，用最少的資源，取得最大的經濟效益．它是數學規劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，并能解決科學研究、工程設計、經濟管理等許多方面的實際問題．中學所學的線性規劃只是規劃論中的極小一部分，但這部分內容體現了數學的工具性、應用性，同時也滲透了化歸、數形結合的數學思想，為學生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法——數學建模法．通過這部分內容的學習，可使學生進一步了解數學在解決實際問題中的應用，培養學生學習數學的興趣、應用數學的意識和解決實際問題的能力．

把實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是本節的重點也是難點．對許多學生來說，解數學應用題的最常見的困難是不會將實際問題轉化成數學問題，即不會建模，所以把實際問題轉化為線性規劃問題作為本節的難點．對學生而言，解決應用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關系；②不能分清問題的主次關系，因而抓不住問題的本質，無法建立數學模型；③孤立地考慮單個的問題情境，不能多方面聯想，形成正遷移．針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本節設計為計算機輔助教學，充分利用現代化教學工具，從而將實際問題鮮活直觀地展現在學生面前，以利于理解．

實際教學中注意以下幾個問題：①用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵．可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組尋求約束條件，并就題目所述找到目標函數．②可行域就是二元一次不等式組所表示的平面區域，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的無限大的平面區域．③如果可行域是一個凸多邊形，那么一般在其頂點處使目標函數取得最大值或最小值，最優解一般就是多邊形的某個頂點．到底哪個頂點為最優解，可有兩種確定方法：一是將目標函數的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是；另一種方法可利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．④若實際問題要求的最優解是整數解，而我們利用圖解法得到的解為非整數解，應作適當的調整．其方法應以與線性目標函數的直線的距離為依據，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找．如果可行域中的整點數目很少，采用逐個試驗法也是很有效的辦法．⑤在線性規劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務，問怎樣統籌安排，能使完成的這項任務耗費的人力、物力資源最小．

如果條件允許，可將本節的思考與討論融入課堂．

三維目標

．使學生了解線性規劃的意義以及約束條件、目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概念；了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題．

2．通過本節內容的學習，培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力．

3．通過本節學習，理解線性規劃求最優解的原理，明確線性規劃在現實生活中的意義．

重點難點

教學重點：求線性目標函數的最值問題，培養學生“用數學”的意識，理解線性規劃最優解的原理．

教學難點：把實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答．

課時安排

2課時

教學過程

第1課時

導入新課

思路1.由身邊的線性規劃問題導入課題，同時闡明其重要意義．如6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價格之和大于24元．而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元．如果想買2枝玫瑰與3枝康乃馨，那么價格比較結果是怎樣的呢？可由學生列出不等關系，并畫出平面區域．由此導入新課．

思路2.在生產與營銷活動中，我們常常需要考慮：怎樣利用現在的資源取得最大的收益，或者怎樣以最少的資源投入去完成一項給定的任務．我們把這一類問題稱為“最優化”問題．線性規劃知識恰是解決這類問題的得力工具．由此展開新課．

推進新課

新知探究

提出問題

?1?回憶二元一次不等式Ax＋By＋c＞0在平面直角坐標系中的平面區域的確定方法.?2?怎樣從實際問題中抽象出不等式組，并畫出所確定的平面區域？

?3?閱讀教材，明確什么是目標函數，線性目標函數，約束條件，線性約束條件，線性規劃問題，最優解，可行域.,?4?你能給出解決線性規劃問題的一般步驟嗎？

活動：教師引導學生回顧二元一次不等式表示平面區域常用的方法是：直線定界、原點定域，即先畫出對應直線，再將原點坐標代入直線方程中，看其值比零大還是比零小；不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，是它們平面區域的公共部分．

教師引導學生探究教材本節開頭的問題．根據上節所學，學生很容易設出計劃生產甲種產品x工時，生產乙種產品y工時，且很容易地列出獲得利潤總額為f＝30x＋40y，①

及x，y滿足的條件

3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.②

教師引導學生畫出上述不等式組表示的區域，如下圖．

結合圖形，教師與學生一起探究，原問題就是在x，y滿足②的情況下，求f的最大值．也就是在圖中陰影部分內找一點，把它的坐標代入式子30x＋40y時，使該式值最大．若令30x＋40y＝0，則此方程表示通過原點的一條直線，記為l0，則在區域oABc內有30x＋40y≥0.設這個區域內任意一點P到l0的距離為d，則d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y302＋402，即30x＋40y＝302＋402?d.由此可發現，點P到直線l0的距離d越大，式子30x＋40y的值就越大．這樣問題又轉化為：在區域oABc內，找與直線l0距離最大的點．觀察圖象易發現，平移直線l0，最后經過的點為B，易知區域oABc內的點B即為所求．

解方程組3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得B，代入式子①，得fmax＝30×200＋40×300＝18000.即問題中，用200工時生產甲種產品，用300工時生產乙種產品，能獲得最大利潤18000元．

進一步探究上述問題，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z＝2x＋y是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標函數．由于z＝2x＋y又是關于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數．線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．[

一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題．例如：我們剛才研究的就是求線性目標函數z＝2x＋y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規劃問題．滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．其中，使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優解，接著讓學生說出上述問題中的目標函數，約束條件，可行域，最優解分別是什么．

根據以上探究，我們可以得出用圖解法解決線性規劃問題的一般步驟：

分析并將已知數據列出表格；

確定線性約束條件；

確定線性目標函數；

畫出可行域；

利用線性目標函數求出最優解．在可行域內平行移動目標函數，從圖中能判定問題有唯一最優解，或者是無窮最優解，或是無最優解；

實際問題需要整數解時，應適當調整確定最優解．

討論結果：

～略．

應用示例

例1已知x、y滿足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．

活動：可先找出可行域，平行移動直線l0：3x＋y＝0找出可行解，進而求出目標函數的最小值．

解：不等式x＋2y≥2表示直線x＋2y＝2上及其右上方的點的集合；

不等式2x＋y≥1表示直線2x＋y＝1上及其右上方的點的集合．

可行域如圖所示．

作直線l0：3x＋y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋y＝t．

∵x、y是上面不等式組表示的區域內的點的橫縱坐標，由圖可知，當直線l：3x＋y＝z通過點P時，z取到最小值1，即zmin＝1.點評：簡單線性規劃問題就是求線性目標函數在線性約束條件下的最優解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的．

尋找線性約束條件，線性目標函數；

由二元一次不等式表示的平面區域作出可行域；

在可行域內求目標函數的最優解.變式訓練

若變量x，y滿足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0，則z＝3x＋2y的最大值是________．

答案：70

解析：由不等式組2x＋y≤40y≥0畫出可行域如下圖．

結合圖形，由2x＋y＝40，x＋2y＝50x＝10，y＝20，于是zmax＝3×10＋2×20＝70.例2

活動：教材此例的數據以表格的形式給出．這樣可使量

x＋2y≤50

x≥0，與量之間的關系一目了然，非常有助于我們順利地找出約束條件和目標函數，特別是對于那些量比較多的問題．本例難度不大，可由學生自己完成，教師給予適當點撥．

點評：完成此例后，可讓學生對應用線性規劃解決實際問題作一簡單歸納．對較好的學生，教師可結合思考與討論進行歸納.變式訓練

某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準備加工成書桌和書櫥出售．已知生產每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生產每個書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產可使所得利潤最大？

解：設只生產書桌x張，可獲得利潤z元，則0.1x≤90，2x≤600x≤900，x≤300x≤300.z＝80x，∴當x＝300時，zmax＝80×300＝24000，即如果只安排生產書桌，最多可生產300張書桌，獲得利潤24000元．

設只生產書櫥y張，可獲利潤z元，則0.2y≤90，y≤600y≤450，y≤600y≤450.z＝120y，∴當y＝450時，zmax＝120×450＝54000，即如果只安排生產書櫥，最多可生產450個，獲得利潤54000元．

設生產書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元．

則0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0，z＝80x＋120y，可行域如圖．

由圖可知：當直線y＝－23x＋z120經過可行域上的點m時，截距z120最大，即z最大，解方程組x＋2y＝9002x＋y＝600，得m的坐標為．

∴zmax＝80x＋120y＝80×100＋120×400＝56000．

因此，生產書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大，最大利潤為56000元.例3某工廠生產甲、乙兩種產品．已知生產甲種產品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產乙種產品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t．每1t甲種產品的利潤是600元，每1t乙種產品的利潤是1000元．工廠在生產這兩種產品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過360t，甲、乙兩種產品應各生產多少，能使利潤總額達到最大？

活動：將已知數據列成下表，然后按線性規劃解決實際問題的步驟完成，本例可由學生自己完成．

解：設生產甲、乙兩種產品分別為xt、yt，利潤總額為z元，那么10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0；

目標函數為z＝600x＋1000y.作出以上不等式組所表示的平面區域，即可行域如圖．

作直線l：600x＋1000y＝0，即直線l：3x＋5y＝0.把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經過可行域上的點m，且與原點距離最大，此時z＝600x＋1000y取最大值．

解方程組5x＋4y＝200，4x＋9y＝360，得x＝36029≈12.4，y＝100029≈34.4.∴m的坐標為．

答：應生產甲產品約12.4t，乙產品34.4t，能使利潤總額達到最大．

知能訓練

．設變量x，y滿足約束條件：y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，則z＝x－3y的最小值為

A．－2

B．－4

c．－6

D．－8

2．醫院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配營養餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質和10單位鐵質，售價3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質和4單位鐵質，售價2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質和40單位鐵質．試問：應如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養，又使費用最省？

答案：

．D 解析：在坐標平面內畫出不等式組y≥x，x＋2y≤2，x≥－2所表示的平面區域，作出直線x－3y＝0，平移該直線，并結合圖形知點為最優解．所以目標函數的最小值為zmin＝－2－3×2＝－8，故選D.2．活動：將已知數據列成下表：

原料/10g

蛋白質/單位

鐵質/單位

甲

0

乙

費用

設甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，則需要的費用為z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35單位蛋白質，可表示為5x＋7y≥35；同理，對鐵質的要求可以表示為10x＋4y≥40，這樣，問題成為在約束條件5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0下，求目標函數z＝3x＋2y的最小值．

解：設甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費用為z，那么5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0；

目標函數為z＝3x＋2y，作出可行域如圖．

把z＝3x＋2y變形為y＝－32x＋z2，得到斜率為－32，在y軸上的截距為z2，隨z變化的一組平行直線．

由圖可知，當直線y＝－32x＋z2經過可行域上的點A時，截距z2最小，即z最小．

由10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A，∴zmin＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲種原料使用145×10＝28，乙種原料使用3×10＝30時，費用最省．

課堂小結

．讓學生自己歸納整合本節所學的知識方法及用線性規劃解決實際問題的方法步驟，自己在本節中的最大收獲有哪些？

2．教師強調，通過本節學習，需掌握如何用線性規劃解決實際問題的解題思路：首先，應準確建立數學模型，即根據題意找出約束條件，確定線性目標函數．然后，用圖解法求得數學模型的解，即畫出可行域，在可行域內求得使目標函數取得最值的解．最后，還要根據實際意義將數學模型的解轉化為實際問題的解，即結合實際情況求得最優解．

作業

習題3—5A組3、4、5；習題3—5B組3.設計感想

．本節內容與實際問題聯系緊密，有利于培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識以及解決實際問題的能力．本節內容滲透了多種數學思想，是向學生進行數學思想方法教學的典型教材，也是培養學生觀察、作圖能力的典型教材．

2．通過實例給出解題步驟，讓其更深入了解并掌握新知．這里強調的還有作圖的規范問題，這是學生容易忽視的，但這又是本節課很重要的一部分．

3．關于難度把握問題，依據《課程標準》及教材分析，二元一次不等式表示平面區域以及線性規劃的有關概念比較抽象，按高二學生現有的知識和認知水平難以透徹理解，再加上學生對代數問題等價轉化為幾何問題，以及數學建模方法解決實際問題有一個學習消化的過程，故本節知識內容定為了解層次．但這個了解不同于其他的了解，應注意讓學生切實學會從實際問題抽象出約束條件及目標函數，并注意規范書寫解答步驟．

第2課時

導入新課

思路1.上一節課我們探究了用線性規劃解決實際問題的一種類型，這節課我們進一步探究有關線性規劃的一些問題，看看用線性規劃還能解決哪些實際問題．教師出示多媒體，提出問題，由此引入新課．

思路2.關于線性規劃的整點問題是個難點，我們是用平移直線的辦法來解決的，需要畫圖精確，令學生很頭痛．下面我們探究調整最優值法來確定最優整數解的方法．教師用多媒體出示以下問題：

某人有樓房一座，室內面積共有180平方米，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元，小房間每間面積15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？

學生很容易設隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，則x，y滿足

8x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.作出可行域，作直線l：200x＋150y＝0，即l：4x＋3y＝0，把直線l向右上方平移，直線經過可行域上的點B時，與原點距離最大，此時z＝200x＋150y取得最大值，解方程組6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得點B的坐標為，由于B的坐標不是整數，而最優解中，x、y必須都是整數，所以可行域內的點B不是最優解．

以下教師與學生共同探究調整最優值法來確定最優整點的方法：

將B點坐標代入4x＋3y＝z，得z＝3717，所以令4x＋3y＝37.所以y＝37－4x3，x＝37－3y4，代入約束條件得y＝9，x無解；

再令4x＋3y＝36，所以y＝36－4x3，x＝36－3y4，代入約束條件得7≤y≤12,0≤x≤4.又因為4x＋3y＝36，所以得最優解為和，此時z的最大值是36，最大利潤是1800元．

用圖解法解決時，容易丟一組解，而選擇調整最優值法，即可避免丟解問題，只是需要一定的不等式及不定方程的知識．鼓勵學生課外進一步探究其他方法．

推進新課

新知探究

提出問題

??1?回憶上節課我們利用線性規劃解決實際問題的方法、步驟、格式，解題時應注意哪些問題？

?2?前面我們解決了可行域中整點問題，明確了求可行域中最優解問題，請思考最優解的個數有可能為無數個嗎？

活動：教師與學生一起回憶上節課利用線性規劃解決實際問題時應注意：①在尋求約束條件時，要注意挖掘隱含條件；②在確定最優解時，首先要賦予因變量的幾何意義，然后利用圖形的直觀來確定最優解；③在確定最優解時，用直線的斜率來定位．

關于可行域中的整點求法，是以與線性目標函數的直線的距離為依據，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點．如果可行域中的整點數目很少，采用逐個試驗法也是很有效的辦法．下面我們進一步探究最優解問題以及用線性規劃解決的另一類實際問題．

討論結果：略．

求最優解，若沒有特殊要求，一般為邊界交點．但取得最值的最優解可能有無窮多個．若通過圖形觀察不易分辨時，可把邊界交點代入驗證．

應用示例

例1某公司計劃XX年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？

活動：這是高考中繼江蘇卷線性規劃大題后第二個線性規劃大題，教師引導學生按前面的方法列出表格，則各量之間的關系即一目了然．本題難度不大，可由學生自己解決．列表如下：

甲

乙

合計

時間

x分鐘

y分鐘

300

收費

500元/分鐘

200元/分鐘

9萬元

解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元．

由題意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目標函數為z＝3000x＋XXy.二元一次不等式組等價于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖．

作直線l：3000x＋XXy＝0，即3x＋2y＝0.平移直線l，從圖中可知，當直線l過m點時，目標函數取得最大值．

聯立x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.∴點m的坐標為．

∴zmax＝3000x＋XXy＝700000．

答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

例2

活動：本例是整數線性規劃問題．整數線性規劃問題的可行域是由滿足不等式的整點組成的集合，所求的最優解必須是整數解．我們知道，最優解一般都為邊界的交點，若這個交點不是整數，則需要平移直線找到附近的最優解．本例可由教師與學生共同完成．

點評：找整數最優解是個難點，要求畫圖精確，要使學生明白如何找整數最優解的原理.變式訓練

某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y必須滿足約束條件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，則z＝10x＋10y的最大值是

A．80

B．85

c．90

D．95

答案：c

解析：畫出約束條件表示的平面區域，如圖所示．

由x＝112，5x－11y＝－22，解得A．

而由題意知x和y必須是正整數，直線y＝－x＋z10平移經過的整點為時，z＝10x＋10y取得最大值90.例3某人承攬一項業務，需做文字標牌2個，繪畫標牌3個，現有兩種規格的原料，甲種規格每張3m2，可做文字標牌1個，繪畫標牌2個，乙種規格每張2m2，可做文字標牌2個，繪畫標牌1個，求兩種規格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最小？

解：設用甲種規格原料x張，乙種規格原料y張，則可做文字標牌x＋2y個，繪畫標牌2x＋y個，由題意可得x＋2y≥2，2x＋y≥3，x≥0，y≥0.所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域，如圖陰影所示．作直線l0：3x＋2y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋2y＝t，當直線l通過2x＋y＝3與直線x＋2y＝2的交點A時，t取得最小值為133.因為43，13都不是整數，而最優解中，x、y必須都是整數，所以可行域內點不是最優解．經過可行域內整點，點B滿足3x＋2y＝5，使t最小．

所以最優解為B，即用甲種規格原料1張，乙種規格原料1張，可使所用原料總面積最小為5m2.知能訓練

．設變量x，y滿足約束條件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，則目標函數z＝5x＋y的最大值為

A．2

B．3

c．4

D．5

2．設x、y滿足約束條件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，分別求下列各式的最大值、最小值：

z＝6x＋10y；

z＝2x－y；

z＝2x－y．

答案：

．D 解析：如圖，由可行域知目標函數z＝5x＋y過點A時z取得最大值，zmax＝5.2．解：先作出可行域，如下圖所示的△ABc的區域，且求得A、B、c．

作出直線l0：6x＋10y＝0，再將直線l0平移，當l0的平行線l1過B點時，可使z＝6x＋10y達到最小值；

當l0的平行線l2過A點時，可使z＝6x＋10y達到最大值．

∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當l0的平行線l1過c點時，可使z＝2x－y達到最小值；

當l0的平行線l2過A點時，可使z＝2x－y達到最大值．∴zmax＝8，zmin＝－125.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當l0的平行線l2過A點時，可使z＝2x－y達到最大值，∴zmax＝8.當l0的平行線l1過c點時，可使z＝2x－y達到最小值，但由于225不是整數，而最優解中，x、y必須都是整數，∴可行域內的點c不是最優解．

當l0的平行線經過可行域內的整點時，可使z＝2x－y達到最小值．

∴zmin＝2×1－4＝－2.課堂小結

．我們用線性規劃解決了哪些實際問題？

2．教師點撥學生：你能用精練的幾個字來說明利用線性規劃解決實際問題的方法與步驟嗎？

找：找出實際問題中的約束條件及目標函數；畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；移：在線性目標函數所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；求：通過解方程組求出最優解；答：作出答案．即可用5個字來概括：找、畫、移、求、答．

作業

一、習題3—5A組6；習題3—5B組4、5.二、閱讀本章小結

設計感想

．本課時設計注重學生的操作練習．通過學生積極參與，動手操作，培養創造性思維、增強創新意識，使認知在練習中加深，興趣在練習中勃發，情感在練習中陶冶，質量在練習中提高，目標在練習中實現．

2．本課時注重了學生的能力訓練．通過本節的學習，向學生滲透數形結合的思想，深化對知識的理解和掌握，體驗發現的快樂，增強創新意識，培養學生應用數學的意識．

3．本課時設計強化使用現代化教學手段．充分發揮多媒體教學的優勢，利用計算機作為輔助工具，更清楚地展示區域問題，有利于發現區域問題的異同點，將信息技術和數學有機地結合起來，有利于突出重點，突破難點，有利于教學目標的實現．

備課資料

一、備選例題

【例1】某糖果廠生產A、B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤40元，B種糖果每箱獲利潤50元，其生產過程分為混合、烹調、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產過程中所需平均時間：

混合 烹調

包裝

A

B

每種糖果的生產過程中，混合的設備至多能用12小時，烹調的設備至多能用30小時，包裝的設備至多能用15小時，試求每種糖果各生產多少箱可獲得最大利潤？

活動：找約束條件，建立目標函數．

解：設生產A種糖果x箱，B種糖果y箱，可獲得利潤z元，則此問題的約束條件x＋2y≤720，5x＋4y≤1800，3x＋y≤900，x≥0，y≥0下，求目標函數z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如圖，其邊界oA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，Bc：5x＋4y－1800＝0，cD：x＋2y－720＝0，Do：x＝0.由z＝40x＋50y，得y＝－45x＋z50，它表示斜率為－45，截距為z50的平行直線系，z50越大，z越大，從而可知過c點時截距最大，z取得了最大值．

解方程組x＋2y＝7205x＋4y＝1800c．

∴zmax＝40×120＋50×300＝19800，即生產A種糖果120箱，生產B種糖果300箱，可得最大利潤19800元．

點評：由于生產A種糖果120箱，生產B種糖果300箱，就使得兩種糖果共計使用的混合時間為120＋2×300＝720，烹調時間5×120＋4×300＝1800，包裝時間3×120＋300＝660，這說明該計劃已完全利用了混合設備與烹調設備的可用時間，但對包裝設備卻有240分鐘的包裝時間未加利用，這種“過剩”問題構成了該問題的“松弛”部分，有待于改進研究．

【例2】要將甲、乙兩種大小不同的鋼板截成A、B兩種規格，每張鋼板可同時截得A、B兩種規格的小鋼板的塊數如下表所示：

已知庫房中現有甲、乙兩種鋼板的數量分別為5張和10張，市場急需A、B兩種規格的成品數分別為15塊和27塊．

問各截這兩種鋼板多少張可得到所需的成品數，且使所用的鋼板張數最少？

若某人對線性規劃知識了解不多，而在可行域的整點中隨意取出一解，求其恰好取到最優解的概率．

解：設需截甲、乙兩種鋼板的張數分別為x、y，則2x＋y≥15，x＋3y≥27，0≤x≤5，0≤y≤10，作出可行域如圖．

因為目標函數為z＝x＋y，所以在一組平行直線x＋y＝t中，經過可行域內的整點且與原點距離最近的直線是x＋y＝12，其經過的整點是和，它們都是最優解．

因為可行域內的整點個數為8，而最優解有兩個，所以所求的概率為p＝28＝0.25.答：兩種鋼板的張數分別為3、9或4、8，概率為0.25.二、利潤的線性預測

問題：某企業1999年的利潤為5萬元，XX年的利潤為7萬元，XX年的利潤為8萬元．請你根據以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預測XX年企業的利潤，請問你幫該企業預測的利潤是多少萬元？

解：建立平面直角坐標系，1999年的利潤為5萬元，對應的點為A，XX年的利潤為7萬元，XX年的利潤為8萬元分別對應點B和c，那么

過A、B兩點的直線作為預測直線l1，其方程為y＝2x＋5，這樣預測XX年的利潤為13萬元．

過A、c兩點的直線作為預測直線l2，其方程為y＝32x＋5，這樣預測XX年的利潤為11萬元．

過B、c兩點的直線作為預測直線l3，其方程為y＝x＋6，這樣預測XX年的利潤為10萬元．

過A及線段Bc的中點E的直線作為預測直線l4，其方程為y＝53x＋5，這樣預測XX年的利潤約為11.667萬元．

過A及△ABc的重心F的直線作為預測直線l5，其方程為y＝53x＋5，這樣預測XX年的利潤為11.667萬元．

過c及△ABc的重心F的直線作為預測直線l6，其方程為y＝43x＋163，這樣預測XX年的利潤為10.667萬元．

過A及以線段Bc的斜率kBc＝1作為預測直線斜率，則預測直線l7的方程為y＝x＋5，這樣預測XX年的利潤為9萬元．

過B及以線段Ac的斜率kAc＝32作為預測直線斜率，則預測直線l8的方程為y＝32x＋112，這樣預測XX年的利潤為11.5萬元．

過c及以線段AB的斜率kAB＝2作為預測直線斜率，則預測直線l9的方程為y＝2x＋4，這樣預測XX年的利潤為12萬元．

過A及以線段AB的斜率kAB與線段Ac的斜率kAc的平均數作為預測直線斜率，則預測直線l10的方程為y＝74x＋5，這樣預測XX年的利潤為12萬元．

還有其他方案，在此不一一列舉．

點評：讀完以上的各種預測方案后，請你先思考兩個問題：

①第種方案與第種方案的結果完全一致，這是為什么？

②第種方案中，kBc的現實意義是什么？

本題可從以下兩個方面進一步拓展，其一是根據以上的基本解題思路，提出新的方案，如方案過△ABc的重心F，找出以m為斜率的直線中與A、c兩點距離的平方和最小的直線作為預測直線；其二是根據以上結論及你自己的答案估計利潤的范圍，你預測的利潤頻率出現最多的是哪一個值？你認為將你預測的結論作怎樣的處理，使之得到的利潤預測更有效？如果不要求用線性預測，你能得出什么結果？

第三篇：線性規劃教學設計方案

線性規劃教學設計方案

教學目標

使學生了解并會作二元一次不等式和不等式組表示的區域． 重點難點

了解二元一次不等式表示平面區域． 教學過程 【引入新課】

我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點集，那么在平面坐標系中，二元一次不等式的解集的意義是什么呢？

【二元一次不等式表示的平面區域】

1．先分析一個具體的例子

在平面直角坐標系中，所有的點被直線x?y?1?0分成三類：（1）在直線x?y?1?0上；?(x,y)/x?y?1?o?（2）在直線x?y?1?0的左下方的平面區域內；?(x,y)/?（3）在直線x?y?1?0的右上方的平面區域內.?(x,y)/? 點（1，1）、（1，2）、（2，2）等

x+y-1>0 點（0，0）、（－1，－1）等

x+y-1<0 猜想。

在直線x?y?1?0的右上方的平面區域內.?(x,y)x?y?1?0? 在直線x?y?1?0的左下方的平面區域內；?(x,y)x?y?1?0? 證明：

在此直線右側任意一點P（x,y）過點P作平行于x軸的直線交直線x?y?1=0點P0（x0,y0)都有

x＞x0，y=y0,所以，x+y＞x0+y0，x?y?1＞x0+y0-1=0, 即x?y?1＞0.同理，對于直線x?y?1=0左下方的任意點（x,y），x?y?1＜0都成立.所以，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式x?y?1?0的解為坐標的點的集點． ?(x,y)x?y?1?0?

是直線x?y?1?0右上方的平面區域（如圖）類似地，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式x?y?1?0的解為坐標的點的集合?(x,y)x?y?1?0?是直線x?y?1?0左下方的平面區域．

2．二元一次不等式ax?by?c?0和ax?by?c?0表示平面域．

（1）結論：二元一次不等式ax?by?c?0在平面直角坐標系中表示直線ax?by?c?0某一側所有點組成的平面區域．

把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線，若畫不等式ax?by?c?0就表示的面區域時，此區域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線．

（2）判斷方法：由于對在直線ax?by?c?0同一側的所有點(x,y)，把它的坐標所得的實數的符號都相同，故只需在這條直線的某一側取一個特殊(x,y)代入ax?by?c，點(x0,y0)，以a0x?b0y?c的正負情況便可判斷ax?by?c?0表示這一直線哪一側的平面區域，特殊地，當c?0時，常把原點作為此特殊點． 【應用舉例】

例1 畫出不等式2x?y?6?0表示的平面區域 解；先畫直線2x?y?6?0（畫線虛線）取原點（0，0），代入2x?y?6，∴

2x?y?6?0

∴

原點在不等式2x?y?6?0表示的平面區域內，不等式2x?y?6?0表示的平面區域如圖陰影部分．

例2 畫出不等式組 ?x?y?5?0? ?x?y?0?x?3?表示的平面區域

分析：在不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分．

解：不等式x?y?5?0表示直線x?y?5?0上及右上方的平面區域，x?y?0表示直線x?y?0上及右上方的平面區域，x?3上及左上方的平面區域，所以原不等式表示的平面區域如圖中的陰影部分． 課堂練習

作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區域．

（1）x?y?1?0

（2）2x?3y?6?0

（3）2x?5y?10?0

（4）4x?3y?12?0

?x?y?1?0（5）?

x?y?0?

1． 如圖所示的平面區域所對應的不等式是（）．

A.3x?2y?6?0

.B.3x?2y?6?0

C.3x?2y?6?0

.D.3x?2y?6?0

2．不等式組??x?3y?6?0?x?y?2?0表示的平面區域是（）．

?x?0?3．不等式組?y?0表示的平面區域內的整點坐標是

．

?4x?3y?8?0?思考：畫出(x?2y?1)(x?y?3)?0表示的區域．

總結提煉

1．二元一次不等式表示的平面區域．

2．二元一次不等式表示哪個平面區域的判斷方法． 3．二元一次不等式組表示的平面區域． 布置作業

第四篇：線性規劃學習心得

《線性規劃》學習心得

姓名：許英 學號：201502991104

經過學習《線性規劃》，我獲益良多，現在我主要從線性規劃在實際生活中的應用來說說學習感觸。

《線性規劃》是運籌學的一個基本分支，它廣泛應用現有的科學技術和數學方法，解決實際中的問題，幫助決策人員選擇最優方針和決策。把線性規劃的知識運用到企業中，企業就有必要利用線性規劃的知識對戰略計劃，生產，銷售的各個環節進行優化，從而降低生產成本，提高企業的生產效率，通過建立模型并利用相關軟件，對經濟管理中有限資源進行合理分配，從而獲得最佳經濟效益。在實際生活中，經常會遇到一定的人力、物力、財力等資源條件下，如何精打細算巧安排，用最少的資源取得最大的效益的問題，而這正是線性規劃研究的基本內容，它在實際生活中有著非常廣泛的應用．任何一個組織的管理者都必須對如何向不同的活動分配資源的問題做出決策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任務，或在預定的任務目標下如何耗用最少的人力、物力去實現目標。在許多情況下，大量不同的資源必須同時進行分配，需要這些資源的活動可以是不同的生產活動，營銷活動，金融活動或者其他一些活動。隨著計算技術的不斷發展，使成千上萬個約束條件和決策變量的線性規劃問專升本 2015級 數學與應用數學 題能迅速地求解，更為線性規劃在經濟等各領域的廣泛應用創造了極其有利的條件。線性規劃已經成為現代化管理的一種重要的手段。建模是解決線性規劃問題極為重要的環節，一個正確的數學模型的建立要求建模者熟悉線性規劃的具體實際內容，要明確目標函數和約束條件，通過表格的形式把問題中的已知條件和各種數據進行整理分析，從而找出約束條件和目標函數。

從實際問題中建立數學模型一般有以下三個步驟；

1.根據影響所要達到目的的因素找到決策變量；

2.由決策變量和所在達到目的之間的函數關系確定目標函數；

3.由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。

所建立的數學模型具有以下特點：

1、每個模型都有若干個決策變量（x1，x2，x3……，xn），其中n為決策變量個數。決策變量的一組值表示一種方案，同時決策變量一般是非負的。

2、目標函數是決策變量的線性函數根據具體問題可以是最大化（max）或最小化（min），二者統稱為最優化（opt）。

3、約束條件也是決策變量的線性函數。

當我們得到的數學模型的目標函數為線性函數，約束條件為線性等式或不等式時稱此數學模型為線性規劃模型。線性規劃模型的基本結構:（1）變量

變量又叫未知數，它是實際系統的未知因素，也是決策系統中的可控因素，一般稱為決策變量，常引用英文字母加下標來表示，如Xl，X2，X3，Xmn等。

（2）目標函數

將實際系統的目標，用數學形式表現出來，就稱為目標函數，線性規劃的目標函數是求系統目標的數值，即極大值，如產值極大值、利潤極大值或者極小值，如成本極小值、費用極小值、損耗極小值等等。

（3）約束條件

約束條件是指實現系統目標的限制因素。它涉及到企業內部條件和外部環境的各個方面，如原材料供應、設備能力、計劃指標、產品質量要求和市場銷售狀態等等，這些因素都對模型的變量起約束作用，故稱其為約束條件。

約束條件的數學表示形式為三種，即≥、＝、≤。線性規劃的變量應為正值，因為變量在實際問題中所代表的均為實物，所以不能為負。在經濟管理中，線性規劃使用較多的是下述幾個方面的問題：

(1)投資問題—確定有限投資額的最優分配，使得收益最大或者見效快。

(2)計劃安排問題—確定生產的品種和數量，使得產值或利潤最大，如資源配制問題。

(3)任務分配問題—分配不同的工作給各個對象(勞動力或機床)，使產量最多、效率最高，如生產安排問題。

(4)下料問題—如何下料，使得邊角料損失最小。

(5)運輸問題—在物資調運過程中，確定最經濟的調運方案。

(6)庫存問題—如何確定最佳庫存量，做到即保證生產又節約資金等等。

把線性規劃的知識運用到企業中去，可以使企業適應市場激烈的競爭，及時、準確、科學的制定生產計劃、投資計劃、對資源進行合理配置。過去企業在制定計劃，調整分配方面很困難，既要考慮生產成本，又要考慮獲利水平，人工測算需要很長時間，不易做到機動靈活，運用線性規劃并配合計算機進行測算非常簡便易行，幾分鐘就可以拿出最優方案，提高了企業決策的科學性和可靠性。其決策理論是建立在嚴格的理論基礎之上，運用大量基礎數據，經嚴格的數學運算得到的，從而在使企業能夠在生產的各個環節中優化配置，提高了企業的效率，對企業是大有益處的。

過去很多企業在生產、運輸、市場營銷等方面沒有利用線性規劃進行合理的配置，從而增加了企業的生產，使企業的利潤不能達到最大化。在競爭日益激烈的今天，如果還按照過去的方式，是難以生存的。所以我們應該看到運用線性規劃的必要性和重要性，讓它在實踐生活中真正幫助到我們去解決遇到的各種問題，求得最大的利潤和問題的最優解。隨著作為運籌學重要分支的線性規劃的發展，我們相信在不久的將來它會更好的為我們服務。

第五篇：線性規劃的對偶規劃

1對偶問題的形式 設原線性規劃問題為：

maxZ??cixi

i?1n?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2? s..t???ax?ax???ax?bmnnm?m11m22??xj?0,j?1,2,?,n則稱下面線性規劃問題：

minW??biyi

i?1m?a11y1?a21y2???am1ym?c1??a12y1?a22y2???am2ym?c2? s..t???ay?ay???ay?cmnmn?1n12n2??yj?0,j?1,2,?,m為其對偶問題，其中yj(j?1,2,?,m)稱為對偶變量。上述對偶問題稱為對稱型對偶問題。原問題簡記為（P），對偶問題簡記為（D）。原問題（P）矩陣形式：

maxZ?cTx

?Ax?bs..t? ?xi?0,i?1,2,?,n對偶問題（D）矩陣形式：

maxW?bTy

T??Ay?cs..t? ??yj?0,j?1,2,?,m2對偶關系對應表

形式 目標函數類型 目標函數系與右邊項系數

右邊項系數 變量數n 變量數與約束數

約束數m ≥0

原問題變量類型與對偶問題約束類型

≤0 無限制 ≥0

原問題約束類型與對偶問題變量類型

≤0 = 2對偶問題的基本性質

定理1：對偶問題的對偶就是原問題；

定理2（弱對偶定理）：若x?，y?分別為（P），（D）的可行解，則有cTx??y?Tb；

原問題 max

對偶問題 min

目標函數系數 右邊項系數

目標函系數 約束數n 變量數m ≥0 ≤0 = ≥0 ≤0 無限制

推論1：若（P），（D）都有可行解，則（P），（D）必定都有最優解。推論2：若（P）有可行解，但無有限最優解，則（D）無可行解。定理3：若x?，y?分別為（P），（D）的可行解，且有cTx?=y?Tb，則x?，（D）的最優解； y?分別為（P）定理4（主對偶定理）：若（P），（D）都有可行解，則（P），（D）必定都有最優解，且目標函數的最優值必定相等；

推論：若（P），（D）中任意一個有最優解，則（P），（D）必定都有最優解，且目標函數的最優值必定相等。

定理5：若x?，y?分別為（P），（D）的可行解，則x?，y?分別為（P），?T???y(b?Ax)?0（D）的最優解的充要條件是?T?T?同時成立。

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