第一篇：北京市高考數學試卷（理科）「附答案解析」

2018年北京市高考數學試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，則A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）A． B． C． D． 4．（5分）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻，十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（）A．f B．f C．f D．f 5．（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）設，均為單位向量，則“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 7．（5分）在平面直角坐標系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2=0的距離．當θ、m變化時，d的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）設集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，則（）A．對任意實數a，（2，1）∈A B．對任意實數a，（2，1）?A C．當且僅當a＜0時，（2，1）?A D．當且僅當a≤時，（2，1）?A 　 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

9．（5分）設{an}是等差數列，且a1=3，a2+a5=36，則{an}的通項公式為　 　． 10．（5分）在極坐標系中，直線ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）與圓ρ=2cosθ相切，則a=　 　． 11．（5分）設函數f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）對任意的實數x都成立，則ω的最小值為　 　． 12．（5分）若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y﹣x的最小值是　 　． 13．（5分）能說明“若f（x）＞f（0）對任意的x∈（0，2]都成立，則f（x）在[0，2]上是增函數”為假命題的一個函數是　 　． 14．（5分）已知橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為　 　；

雙曲線N的離心率為　 　． 　 三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC邊上的高． 16．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB=BC=，AC=AA1=2．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；

（Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交． 17．（12分）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：

電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值． 假設所有電影是否獲得好評相互獨立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；

（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡．“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系． 18．（13分）設函數f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，求a；

（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍． 19．（14分）已知拋物線C：y2=2px經過點P（1，2），過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設O為原點，=λ，=μ，求證：+為定值． 20．（14分）設n為正整數，集合A={α|α=（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，對于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），記 M（α，β）=[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]（Ⅰ）當n=3時，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；

（Ⅱ）當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α，β，當α，β相同時，M（α，β）是奇數；

當α，β不同時，M（α，β）是偶數．求集合B中元素個數的最大值；

（Ⅲ）給定不小于2的n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α，β，M（α，β）=0，寫出一個集合B，使其元素個數最多，并說明理由． 　 2018年北京市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析 　 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，則A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，則A∩B={0，1}，故選：A． 　 2．（5分）在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：復數==，共軛復數對應點的坐標（，﹣）在第四象限． 故選：D． 　 3．（5分）執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）A． B． C． D． 【解答】解：在執行第一次循環時，k=1，S=1． 在執行第一次循環時，S=1﹣=． 由于k=2≤3，所以執行下一次循環．S=，k=3，直接輸出S=，故選：B． 　 4．（5分）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻，十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（）A．f B．f C．f D．f 【解答】解：從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于． 若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為：=． 故選：D． 　 5．（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：四棱錐的三視圖對應的直觀圖為：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形． 所以側面中有3個直角三角形，分別為：△PAB，△PBC，△PAD． 故選：C． 　 6．（5分）設，均為單位向量，則“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解答】解：∵“|﹣3|=|3+|” ∴平方得||2+9||2﹣6?=||2+9||2+6? 則?=0，即⊥，則“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要條件，故選：C． 　 7．（5分）在平面直角坐標系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2=0的距離．當θ、m變化時，d的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由題意d==，tanα=﹣，∴當sin（θ+α）=﹣1時，dmax=1+≤3． ∴d的最大值為3． 故選：C． 　 8．（5分）設集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，則（）A．對任意實數a，（2，1）∈A B．對任意實數a，（2，1）?A C．當且僅當a＜0時，（2，1）?A D．當且僅當a≤時，（2，1）?A 【解答】解：當a=﹣1時，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，顯然（2，1）不滿足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正確；

當a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，顯然（2，1）在可行域內，滿足不等式，所以B不正確；

故選：D． 　 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

9．（5分）設{an}是等差數列，且a1=3，a2+a5=36，則{an}的通項公式為　an=6n﹣3　． 【解答】解：∵{an}是等差數列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3． ∴{an}的通項公式為an=6n﹣3． 故答案為：an=6n﹣3． 　 10．（5分）在極坐標系中，直線ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）與圓ρ=2cosθ相切，則a=　1+　． 【解答】解：圓ρ=2cosθ，轉化成：ρ2=2ρcosθ，進一步轉化成直角坐標方程為：（x﹣1）2+y2=1，把直線ρ（cosθ+sinθ）=a的方程轉化成直角坐標方程為：x+y﹣a=0． 由于直線和圓相切，所以：利用圓心到直線的距離等于半徑． 則：=1，解得：a=1±．a＞0 則負值舍去． 故：a=1+． 故答案為：1+． 　 11．（5分）設函數f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）對任意的實數x都成立，則ω的最小值為． 【解答】解：函數f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）對任意的實數x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0 則ω的最小值為：． 故答案為：． 　 12．（5分）若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y﹣x的最小值是　3　． 【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：

設z=2y﹣x，則y=x+z，平移y=x+z，由圖象知當直線y=x+z經過點A時，直線的截距最小，此時z最小，由得，即A（1，2），此時z=2×2﹣1=3，故答案為：3 　 13．（5分）能說明“若f（x）＞f（0）對任意的x∈（0，2]都成立，則f（x）在[0，2]上是增函數”為假命題的一個函數是　f（x）=sinx　． 【解答】解：例如f（x）=sinx，盡管f（x）＞f（0）對任意的x∈（0，2]都成立，當x∈[0，）上為增函數，在（，2]為減函數，故答案為：f（x）=sinx． 　 14．（5分）已知橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為；

雙曲線N的離心率為　2　． 【解答】解：橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，可得橢圓的焦點坐標（c，0），正六邊形的一個頂點（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=． 同時，雙曲線的漸近線的斜率為，即，可得：，即，可得雙曲線的離心率為e==2． 故答案為：；

2． 　 三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC邊上的高． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是銳角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，則A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），則AC邊上的高h=csinA=3×=． 　 16．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB=BC=，AC=AA1=2．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；

（Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交． 【解答】（I）證明：∵E，F分別是AC，A1C1的中點，∴EF∥CC1，∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴EF⊥AC，∵AB=BC，E是AC的中點，∴BE⊥AC，又BE∩EF=E，BE?平面BEF，EF?平面BEF，∴AC⊥平面BEF．（II）解：以E為原點，以EB，EC，EF為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：

則B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），∴=（﹣2，1，0），=（0，﹣2，1），設平面BCD的法向量為=（x，y，z），則，即，令y=2可得=（1，2，4），又EB⊥平面ACC1A1，∴=（2，0，0）為平面CD﹣C1的一個法向量，∴cos＜，＞===． 由圖形可知二面角B﹣CD﹣C1為鈍二面角，∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值為﹣．（III）證明：F（0，0，2），（2，0，1），∴=（2，0，﹣1），∴?=2+0﹣4=﹣2≠0，∴與不垂直，∴FG與平面BCD不平行，又FG?平面BCD，∴FG與平面BCD相交． 　 17．（12分）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：

電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值． 假設所有電影是否獲得好評相互獨立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；

（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡．“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系． 【解答】解：（Ⅰ）設事件A表示“從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影”，總的電影部數為140+50+300+200+800+510=2000部，第四類電影中獲得好評的電影有：200×0.25=50部，∴從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的頻率為：

P（A）==0.025．（Ⅱ）設事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，恰有1部獲得好評”，第四類獲得好評的有：200×0.25=50部，第五類獲得好評的有：800×0.2=160部，則從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率：

P（B）==0.35．（Ⅲ）由題意知，定義隨機變量如下：

ξk=，則ξk服從兩點分布，則六類電影的分布列及方差計算如下：

第一類電影：

ξ1 1 0 P 0.4 0.6 E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24． 第二類電影：

ξ2 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第三類電影：

ξ3 1 0 P 0.15 0.85 E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15，D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275． 第四類電影：

ξ4 1 0 P 0.25 0.75 E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15，D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875． 第五類電影：

ξ5 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第六類電影：

ξ6 1 0 P 0.1 0.9 E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1，D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09． ∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系為：

Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1． 　 18．（13分）設函數f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，求a；

（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍． 【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的導數為 f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex． 由題意可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1；

（Ⅱ）f（x）的導數為f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex，若a=0則x＜2時，f′（x）＞0，f（x）遞增；

x＞2，f′（x）＜0，f（x）遞減． x=2處f（x）取得極大值，不符題意；

若a＞0，且a=，則f′（x）=（x﹣2）2ex≥0，f（x）遞增，無極值；

若a＞，則＜2，f（x）在（，2）遞減；

在（2，+∞），（﹣∞，）遞增，可得f（x）在x=2處取得極小值；

若0＜a＜，則＞2，f（x）在（2，）遞減；

在（，+∞），（﹣∞，2）遞增，可得f（x）在x=2處取得極大值，不符題意；

若a＜0，則＜2，f（x）在（，2）遞增；

在（2，+∞），（﹣∞，）遞減，可得f（x）在x=2處取得極大值，不符題意． 綜上可得，a的范圍是（，+∞）． 　 19．（14分）已知拋物線C：y2=2px經過點P（1，2），過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設O為原點，=λ，=μ，求證：+為定值． 【解答】解：（Ⅰ）∵拋物線C：y2=2px經過點 P（1，2），∴4=2p，解得p=2，設過點（0，1）的直線方程為y=kx+1，設A（x1，y1），B（x2，y2）聯立方程組可得，消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，且k≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，故直線l的斜率的取值范圍（﹣∞，0）∪（0，1）；

（Ⅱ）證明：設點M（0，yM），N（0，yN），則=（0，yM﹣1），=（0，﹣1）因為=λ，所以yM﹣1=﹣yM﹣1，故λ=1﹣yM，同理μ=1﹣yN，直線PA的方程為y﹣2=（x﹣1）=（x﹣1）=（x﹣1），令x=0，得yM=，同理可得yN=，因為+=+=+===== =2，∴+=2，∴+為定值． 　 20．（14分）設n為正整數，集合A={α|α=（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，對于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），記 M（α，β）=[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]（Ⅰ）當n=3時，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；

（Ⅱ）當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α，β，當α，β相同時，M（α，β）是奇數；

當α，β不同時，M（α，β）是偶數．求集合B中元素個數的最大值；

（Ⅲ）給定不小于2的n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α，β，M（α，β）=0，寫出一個集合B，使其元素個數最多，并說明理由． 【解答】解：（I）M（a，a）=2，M（a，β）=1．（II）考慮數對（xk，yk）只有四種情況：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相應的分別為0、0、0、1，所以B中的每個元素應有奇數個1，所以B中的元素只可能為（上下對應的兩個元素稱之為互補元素）：

（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），對于任意兩個只有1個1的元素α，β都滿足M（α，β）是偶數，所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}滿足 題意，假設B中元素個數大于等于4，就至少有一對互補元素，除了這對互補元素之外還有至少1個含有3個1的元素α，則互補元素中含有1個1的元素β與之滿足M（α，β）=1不合題意，故B中元素個數的最大值為4．（Il）B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，（0，0，0，…，1）}，此時B中有n+1個元素，下證其為最大． 對于任意兩個不同的元素α，β，滿足M（α，β）=0，則α，β中相同位置上的數字不能同時為1，假設存在B有多于n+1個元素，由于α=（0，0，0，…，0）與任意元素β都有M（α，β）=0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1個元素含有1，根據元素的互異性，至少存在一對α，β滿足xi=yi=l，此時M（α，β）≥1不滿足題意，故B中最多有n+1個元素． 　 — END —

第二篇：2008年四川省高考數學試卷(理科)答案與解析

2008年四川省高考數學試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2008?四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，則集合?U（A∩B）=（）

A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5} 【考點】交、并、補集的混合運算．

【分析】根據交集的含義求A∩B、再根據補集的含義求解． 【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}?A∩B={3}；

所以CU（A∩B）={1，2，4，5}，故選D 【點評】本題考查集合的基本運算，較簡單．

2．（5分）（2008?四川）復數2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i 【考點】復數代數形式的混合運算．

2【分析】先算（1+i），再算乘2i，化簡即可．

22【解答】解：∵2i（1+i）=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i=﹣4 故選A；

2【點評】此題考查復數的運算，乘法公式，以及注意i=﹣1；是基礎題．

23．（5分）（2008?四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx 【考點】同角三角函數基本關系的運用．

【分析】此題重點考查各三角函數的關系，切化弦，約分整理，湊出同一角的正弦和余弦的平方和，再約分化簡． 【解答】解：

2∵

=故選D；

【點評】將不同的角化為同角；將不同名的函數化為同名函數，以減少函數的種類；當式中有正切、余切、正割、余割時，通常把式子化成含有正弦與余弦的式子，即所謂“切割化弦”．

4．（5分）（2008?四川）直線y=3x繞原點逆時針旋轉90°，再向右平移1個單位，所得到的直線為（）A． B．

C．y=3x﹣3 D．

【考點】兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系．

【分析】先利用兩直線垂直寫出第一次方程，再由平移寫出第二次方程． 【解答】解：∵直線y=3x繞原點逆時針旋轉90° ∴兩直線互相垂直 則該直線為那么將，向右平移1個單位得，即

故選A．

【點評】本題主要考查互相垂直的直線關系，同時考查直線平移問題．

5．（5分）（2008?四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）

C．（cosα，則α的取值范圍是（），）D．（，）

【考點】正切函數的單調性；三角函數線． 【專題】計算題．

【分析】通過對sinα＞cosα等價變形，利用輔助角公式化為正弦，利用正弦函數的性質即可得到答案．

【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣∴0＜α﹣∴＜α＜）＞0，＜π，．

故選C．

【點評】本題考查輔助角公式的應用，考查正弦函數的性質，將sinα＞cosα等價變形是難點，也是易錯點，屬于中檔題．

6．（5分）（2008?四川）從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（）A．70種 B．112種 C．140種 D．168種 【考點】組合及組合數公式． 【專題】計算題．

【分析】根據題意，分析可得，甲、乙中至少有1人參加的情況數目等于從10個同學中挑選4名參加公益活動挑選方法數減去從甲、乙之外的8個同學中挑選4名參加公益活動的挑選方法數，分別求出其情況數目，計算可得答案．

4【解答】解：∵從10個同學中挑選4名參加某項公益活動有C10種不同挑選方法；

4從甲、乙之外的8個同學中挑選4名參加某項公益活動有C8種不同挑選方法；

44∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有C10﹣C8=210﹣70=140種不同挑選方法，故選C．

【點評】此題重點考查組合的意義和組合數公式，本題中，要注意找準切入點，從反面下手，方法較簡單．

7．（5分）（2008?四川）已知等比數列{an}中，a2=1，則其前3項的和S3的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考點】等比數列的前n項和．

【分析】首先由等比數列的通項入手表示出S3（即q的代數式），然后根據q的正負性進行分類，最后利用均值不等式求出S3的范圍． 【解答】解：∵等比數列{an}中，a2=1 ∴∴當公比q＞0時，當公比q＜0時，；

．

∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． 故選D．

【點評】本題考查等比數列前n項和的意義、等比數列的通項公式及均值不等式的應用．

8．（5分）（2008?四川）設M，N是球心O的半徑OP上的兩點，且NP=MN=OM，分別過N，M，O作垂線于OP的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9 【考點】球面距離及相關計算． 【專題】計算題．

【分析】先求截面圓的半徑，然后求出三個圓的面積的比．

【解答】解：設分別過N，M，O作垂線于OP的面截球得三個圓的半徑為r1，r2，r3，球半徑為R，則：

∴r1：r2：r3=5：8：9∴這三個圓的面積之比為：5，8，9 故選D 【點評】此題重點考查球中截面圓半徑，球半徑之間的關系；考查空間想象能力，利用勾股定理的計算能力．

9．（5分）（2008?四川）設直線l?平面α，過平面α外一點A與l，α都成30°角的直線有且只有（）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．

【分析】利用圓錐的母線與底面所成的交角不變畫圖，即可得到結果．

0【解答】解：如圖，和α成30角的直線一定是以A為頂點的圓錐的母線所在直線，當∠ABC=∠ACB=30°，直線AC，AB都滿足條件 故選B． 222 3

【點評】此題重點考查線線角，線面角的關系，以及空間想象能力，圖形的對稱性； 數形結合，重視空間想象能力和圖形的對稱性；

10．（5分）（2008?四川）設f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，則f（x）是偶函數的充要條件是（）

A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0 【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 【專題】計算題．

【分析】當f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數時，f（0）一定是函數的最值，從而得到x=0必是f（x）的極值點，即f′（0）=0，因而得到答案． 【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數

∴由函數f（x）=sin（ωx+φ）圖象特征可知x=0必是f（x）的極值點，∴f′（0）=0 故選D 【點評】此題重點考查正弦型函數的圖象特征，函數的奇偶性，函數的極值點與函數導數的關系．

11．（5分）（2008?四川）設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）?f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）=（）

A．13 B．2 C．

D．

【考點】函數的值． 【專題】壓軸題．

【分析】根據f（1）=2，f（x）?f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）觀察規律可求出f（x）的解析式，最終得到答案．

【解答】解：∵f（x）?f（x+2）=13且f（1）=2 ∴，，∴，∴

故選C． 【點評】此題重點考查遞推關系下的函數求值；此類題的解決方法一般是求出函數解析式后代值，或者得到函數的周期性求解．

12．（5分）（2008?四川）已知拋物線C：y=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且，則△AFK的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．32 【考點】拋物線的簡單性質． 【專題】計算題；壓軸題．

2【分析】根據拋物線的方程可知焦點坐標和準線方程，進而可求得K的坐標，設A（x0，y0），過A點向準線作垂線AB，則B（﹣2，y0），根據及AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2，進而可求得A點坐標，進而求得△AFK的面積．

2【解答】解：∵拋物線C：y=8x的焦點為F（2，0），準線為x=﹣2 ∴K（﹣2，0）

設A（x0，y0），過A點向準線作垂線AB，則B（﹣2，y0）∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2 222222∴由BK=AK﹣AB得y0=（x0+2），即8x0=（x0+2），解得A（2，±4）∴△AFK的面積為故選B．

【點評】本題拋物線的性質，由題意準確畫出圖象，利用離心率轉化位置，在△ABK中集中條件求出x0是關鍵；

二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）

34213．（4分）（2008?四川）（1+2x）（1﹣x）展開式中x的系數為 ﹣6 ． 【考點】二項式定理． 【專題】計算題．

【分析】利用乘法原理找展開式中的含x項的系數，注意兩個展開式的結合分析，即分別

2為第一個展開式的常數項和第二個展開式的x的乘積、第一個展開式的含x項和第二個展

2開式的x項的乘積、第一個展開式的x的項和第二個展開式的常數項的乘積之和從而求出答案．

342【解答】解：∵（1+2x）（1﹣x）展開式中x項為 ***040C31（2x）?C41（﹣x）+C31（2x）?C41（﹣x）+C31（2x）?C41（﹣x）

02112204∴所求系數為C3?C4+C3?2?C4（﹣1）+C3?2?C41=6﹣24+12=﹣6． 故答案為：﹣6． 【點評】此題重點考查二項展開式中指定項的系數，以及組合思想，重在找尋這些項的來源．

14．（4分）（2008?四川）已知直線l：x﹣y+4=0與圓C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，則C上各點到l的距離的最小值為 ．

【考點】直線與圓的位置關系；點到直線的距離公式． 【專題】數形結合．

222 5 【分析】如圖過點C作出CD與直線l垂直，垂足為D，與圓C交于點A，則AD為所求；求AD的方法是：由圓的方程找出圓心坐標與圓的半徑，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，利用d減去圓的半徑r即為圓上的點到直線l的距離的最小值． 【解答】解：如圖可知：過圓心作直線l：x﹣y+4=0的垂線，則AD長即為所求；

22∵圓C：（x﹣1）+（y﹣1）=2的圓心為C（1，1），半徑為，點C到直線l：x﹣y+4=0的距離為∴AD=CD﹣AC=2﹣=，故C上各點到l的距離的最小值為故答案為：，．

【點評】此題重點考查圓的標準方程和點到直線的距離．本題的突破點是數形結合，使用點C到直線l的距離距離公式．

15．（4分）（2008?四川）已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 2 ．

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積． 【專題】計算題；作圖題；壓軸題．

【分析】由題意畫出圖形，求出高，底面邊長，然后求出該正四棱柱的體積． 【解答】解：：如圖可知：∵

∴∴正四棱柱的體積等于

=2 故答案為：2 【點評】此題重點考查線面角，解直角三角形，以及求正四面題的體積；考查數形結合，重視在立體幾何中解直角三角形，熟記有關公式．

16．（4分）（2008?四川）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為 4 ．

【考點】等差數列的前n項和；等差數列． 【專題】壓軸題．

【分析】利用等差數列的前n項和公式變形為不等式，再利用消元思想確定d或a1的范圍，a4用d或a1表示，再用不等式的性質求得其范圍．

【解答】解：∵等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即

∴

∴，5+3d≤6+2d，d≤1 ∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值為4，故答案為：4．

【點評】此題重點考查等差數列的通項公式，前n項和公式，以及不等式的變形求范圍；

三、解答題（共6小題，滿分74分）

2417．（12分）（2008?四川）求函數y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值與最小值． 【考點】三角函數的最值． 【專題】計算題． 【分析】利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡y的解析式后，再利用配方法把y變為完全平方式即y=（1﹣sin2x）+6，可設z═（u﹣1）+6，u=sin2x，因為sin2x的范圍為[﹣1，1]，根據u屬于[﹣1，1]時，二次函數為遞減函數，利用二次函數求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．

2422【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx=7﹣2sin2x+4cosx（1﹣cosx）=7﹣22222sin2x+4cosxsinx=7﹣2sin2x+sin2x=（1﹣sin2x）+6 22由于函數z=（u﹣1）+6在[﹣1，1]中的最大值為zmax=（﹣1﹣1）+6=10 2最小值為zmin=（1﹣1）+6=6 故當sin2x=﹣1時y取得最大值10，當sin2x=1時y取得最小值6 【點評】此題重點考查三角函數基本公式的變形，配方法，符合函數的值域及最值；本題的突破點是利用倍角公式降冪，利用配方變為復合函數，重視復合函數中間變量的范圍是關鍵．

18．（12分）（2008?四川）設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．

（Ⅰ）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅱ）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（Ⅲ）記ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求ξ的分布列及期望． 7 【考點】相互獨立事件的概率乘法公式；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差．

【專題】計算題． 【分析】（1）進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，包括兩種情況：即進入商場的1位顧客購買甲種商品不購買乙種商品，進入商場的1位顧客購買乙種商品不購買甲種商品，分析后代入相互獨立事件的概率乘法公式即可得到結論．

（2）進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的對立事件為，該顧客即不習甲商品也不購買乙商品，我們可以利用對立事件概率減法公式求解．（3）由（1）、（2）的結論，我們列出ξ的分布列，計算后代入期望公式即可得到數學期望． 【解答】解：記A表示事件：進入商場的1位顧客購買甲種商品，記B表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品，記C表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記D表示事件：進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，（Ⅰ）

===0.5×0.4+0.5×0.6=0.5（Ⅱ）==0.5×0.4 =0.2

∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），3故ξ的分布列P（ξ=0）=0.2=0.008 12P（ξ=1）=C3×0.8×0.2=0.096 22P（ξ=2）=C3×0.8×0.2=0.384 3P（ξ=3）=0.8=0.512 所以Eξ=3×0.8=2.4 【點評】此題重點考查相互獨立事件的概率計算，以及求隨機變量的概率分布列和數學期望；突破口：分清相互獨立事件的概率求法，對于“至少”常從反面入手常可起到簡化的作用； 19．（12分）（2008?四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

（Ⅰ）證明：C，D，F，E四點共面；

（Ⅱ）設AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．

【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；棱錐的結構特征． 【專題】計算題；證明題． 【分析】（Ⅰ）延長DC交AB的延長線于點G，延長FE交AB的延長線于G′，根據比例關系可證得G與G′重合，準確推理，得到直線CD、EF相交于點G，即C，D，F，E四點共面．

（Ⅱ）取AE中點M，作MN⊥DE，垂足為N，連接BN，由三垂線定理知BN⊥ED，根據二面角平面角的定義可知∠BMN為二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．

【解答】解：（Ⅰ）延長DC交AB的延長線于點G，由BC延長FE交AB的延長線于G′ 同理可得

得

故，即G與G′重合

因此直線CD、EF相交于點G，即C，D，F，E四點共面．（Ⅱ）設AB=1，則BC=BE=1，AD=2 取AE中點M，則BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF 故AD⊥BM，BM與平面ADE內兩相交直線AD、AE都垂直． 所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足為N，連接BN 由三垂線定理知BN⊥ED，∠BMN為二面角A﹣ED﹣B的平面角．故

所以二面角A﹣ED﹣B的大小 9

【點評】此題重點考查立體幾何中四點共面問題和求二面角的問題，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力；突破：熟悉幾何公理化體系，準確推理，注意書寫格式是順利進行求解的關鍵．

20．（12分）（2008?四川）設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn

n﹣1（Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2}是等比數列；（Ⅱ）求{an}的通項公式． 【考點】數列的應用． 【專題】計算題；證明題．

n【分析】（Ⅰ）當b=2時，由題設條件知an+1=2an+2an+1﹣（n+1）?2=2an+2﹣（n+1）nn﹣1n﹣1?2=2（an﹣n?2），所以{an﹣n?2}是首項為1，公比為2的等比數列．

n﹣1（Ⅱ）當b=2時，由題設條件知an=（n+1）2；當b≠2時，由題意得

=的通項公式．

【解答】解：（Ⅰ）當b=2時，由題意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，n且ban﹣2=（b﹣1）Sn

n+1ban+1﹣2=（b﹣1）Sn+1

n兩式相減得b（an+1﹣an）﹣2=（b﹣1）an+1

n即an+1=ban+2①

n當b=2時，由①知an+1=2an+2

nnnn﹣1于是an+1﹣（n+1）?2=2an+2﹣（n+1）?2=2（an﹣n?2）

0n﹣1又a1﹣1?2=1≠0，所以{an﹣n?2}是首項為1，公比為2的等比數列．

n﹣1n﹣1（Ⅱ）當b=2時，由（Ⅰ）知an﹣n?2=2，n﹣1即an=（n+1）2 當b≠2時，由①得=因此即所以

． =

=，由此能夠導出{an}

n．由此可知nn 10 【點評】此題重點考查數列的遞推公式，利用遞推公式求數列的通項公式，同時考查分類討論思想；推移腳標兩式相減是解決含有Sn的遞推公式的重要手段，使其轉化為不含Sn的遞推公式，從而針對性的解決；在由遞推公式求通項公式是重視首項是否可以吸收是易錯點，同時重視分類討論，做到條理清晰是關鍵．

21．（12分）（2008?四川）設橢圓，（{a＞b＞0}）的左右焦點分別為F1，F2，離心率（Ⅰ）若，右準線為l，M，N是l上的兩個動點，求a，b的值；

與

共線．

（Ⅱ）證明：當|MN|取最小值時，【考點】橢圓的應用． 【專題】計算題；壓軸題．

【分析】（Ⅰ）設，根據題意由得，由，得，由此可以求出a，b的值．

（Ⅱ）|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a．當且僅當或共線．

【解答】解：由a﹣b=c與l的方程為設則

222

222

時，|MN|取最小值，由能夠推導出與，得a=2b，22，11 由（Ⅰ）由得，得

①

②由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a=4 故2

③

2（Ⅱ）證明：|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a 當且僅當此時，故與共線．

或

時，|MN|取最小值

【點評】此題重點考查橢圓中的基本量的關系，進而求橢圓待定常數，考查向量的綜合應用；熟悉橢圓各基本量間的關系，數形結合，熟練地進行向量的坐標運算，設而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應用．

22．（14分）（2008?四川）已知x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一個極值點．（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅲ）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍． 【考點】函數在某點取得極值的條件；利用導數研究函數的單調性． 【專題】計算題；壓軸題；數形結合法．

2【分析】（Ⅰ）先求導﹣10x的一個極值點即

2，再由x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x求解．

2（Ⅱ）由（Ⅰ）確定f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調區間．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內單調增加，在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0，可得f（x）的極大值為f（1），極小值為f（3）一，再由直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點則須有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）． 【解答】解：（Ⅰ）因為所以因此a=16

12（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）當x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0 當x∈（1，3）時，f′（x）＜0 所以f（x）的單調增區間是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的單調減區間是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內單調增加，在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0 所以f（x）的極大值為f（1）=16ln2﹣9，極小值為f（3）=32ln2﹣21

因此f（16）＞16﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三個單調區間（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直線y=b有y=f（x）的圖象各有一個交點，當且僅當f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．

【點評】此題重點考查利用求導研究函數的單調性，最值問題，函數根的問題；，熟悉函數的求導公式，理解求導在函數最值中的研究方法是解題的關鍵，數形結合理解函數的取值范圍． 2﹣2 13

第三篇：2016內蒙古高考理科數學試卷及答案

2016內蒙古高考理科數學試卷及答案

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第四篇：2008年 四川省高考數學試卷(理科)

2008年四川省高考數學試卷（理科）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2008?四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，則集合?U（A∩B）=（）

A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5}

2D．{1，2，4，5} 2．（5分）（2008?四川）復數2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i

3．（5分）（2008?四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx

4．（5分）（2008?四川）直線y=3x繞原點逆時針旋轉90°，再向右平移1個單位，所得到的直線為（）A． B．

C．y=3x﹣3 D．

25．（5分）（2008?四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）

C．（cosα，則α的取值范圍是（），）D．（，）

6．（5分）（2008?四川）從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（）A．70種 B．112種 C．140種 D．168種

7．（5分）（2008?四川）已知等比數列{an}中，a2=1，則其前3項的和S3的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）

8．（5分）（2008?四川）設M，N是球心O的半徑OP上的兩點，且NP=MN=OM，分別過N，M，O作垂線于OP的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9

9．（5分）（2008?四川）設直線l?平面α，過平面α外一點A與l，α都成30°角的直線有且只有（）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

10．（5分）（2008?四川）設f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，則f（x）是偶函數的充要條件是（）

A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0

11．（5分）（2008?四川）設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）?f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）=（）A．13

12．（5分）（2008?四川）已知拋物線C：y=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且，則△AFK的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．32

二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）

13．（4分）（2008?四川）（1+2x）（1﹣x）展開式中x的系數為

．

14．（4分）（2008?四川）已知直線l：x﹣y+4=0與圓C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，則C上各點到l的距離的最小值為

．

15．（4分）（2008?四川）已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為

16．（4分）（2008?四川）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為

．

三、解答題（共6小題，滿分74分）

17．（12分）（2008?四川）求函數y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值與最小值．

18．（12分）（2008?四川）設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．

（Ⅰ）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅱ）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（Ⅲ）記ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求ξ的分布列及期望．

19．（12分）（2008?四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

2B．2 C． D．，則該正四棱柱的體積等于

．

（Ⅰ）證明：C，D，F，E四點共面；

（Ⅱ）設AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．

20．（12分）（2008?四川）設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn

n﹣1（Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2}是等比數列；（Ⅱ）求{an}的通項公式．

21．（12分）（2008?四川）設橢圓，（{a＞b＞0}）的左右焦點分別為F1，F2，離

n心率（Ⅰ）若，右準線為l，M，N是l上的兩個動點，求a，b的值；

與

共線．

（Ⅱ）證明：當|MN|取最小值時，22．（14分）（2008?四川）已知x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一個極值點．（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅲ）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．3

第五篇：2016全國卷Ⅲ高考理科數學試卷與答案(word版)

2016年普通高等學校招生全統一考試

理科數學

第Ⅰ卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

（1）

設集合，則

(A)

[2，3]

(B)（-，2]

[3,+）

(C)

[3,+）

(D)（0，2]

[3,+）

（2）

若，則

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）

已知向量BA，BC，則

（A）30°

（B）45°

（C）60°

（D）120°

（4）

某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃．下面敘述不正確的是

（A）各月的平均最低氣溫都在0℃以上

（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大

（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

（D）平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

（5）

若，則

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）

已知，，則

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）

執行右面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的（A）3

否

是

n=0，s=0

輸入a,b

輸出n

開始

結束

a=b-a

b=b-a

a=b+a

s=s+a,n=n+1

s>16

（B）4

（C）5

（D）6

（8）

中，邊上的高等于，則

（A）

（B）

（C）

（D）

（9）

如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實現畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為

（A）

（B）

（C）

（D）

（10）

在封閉的直三棱柱內有一個體積為的球．若，，則的最大值是

（A）

（B）

（C）

（D）

（11）

已知為坐標原點，是橢圓：的左焦點，分別為的左,右頂點．為上一點，且軸．過點的直線與線段交于點，與軸交于點．若直線經過的中點，則的離心率為

（A）

（B）

（C）

（D）

（12）

定義“規范01數列”如下：共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數不少于1的個數

.若m=4，則不同的“規范01數列”共有

（A）18個

（B）16個

（C）14個

（D）12個

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)～(21)題為必考題，每個試題都必須作答。第(22)～(24)題為選考題，考生根據要求作答。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分。

（13）

若滿足約束條件則的最大值為

．

（14）

函數的圖像可由函數的圖像至少向右平移

個單位長度得到．

（15）

已知為偶函數，當時,，則曲線在點處的切線方程是

．

（16）

已知直線：與圓交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若，則

．

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

（17）

（本小題滿分12分）

已知數列的前n項和，其中．

（I）證明是等比數列，并求其通項公式；

（II）若，求．

（18）

（本小題滿分12分）

下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．

注：年份代碼1～7分別對應年份2008～2014．

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；

（Ⅱ）建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量．

附注：

參考數據：

參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘數估計公式分別為：．

（19）

（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（Ⅰ）證明：MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

（20）

（本小題滿分12分）

已知拋物線C：焦點為F，平行于x軸的兩條直線分別交C于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點．

（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．

（21）

（本小題滿分12分）

設函數，其中，記的最大值為．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）證明．

請考生在第（22）～（24）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。

（22）

（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，⊙O中AB的中點為P，弦PC,PD分別交AB于E,F兩點.（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（Ⅱ）若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G，證明OG⊥CD．

（23）

（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）寫出的普通方程和的直角坐標方程；

（Ⅱ）設點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標.（24）

（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知函數.（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）設函數.當時，求的取值范圍.2016年全國卷Ⅲ高考數學（理科）答案

一、選擇題：

（1）D

（2）C

（3）A

（4）D

（5）A

（6）A

（7）B

（8）C

（9）B

（10）B

（11）A

（12）C

二、填空題：

（13）

（14）

（15）

（16）4

三、解答題：

（17）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由題意得，故，.由，得，即.由，得，所以.因此是首項為，公比為的等比數列，學科.網于是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，解得．

（18）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由折線圖這數據和附注中參考數據得，，.因為與的相關系數近似為0.99，說明與的線性相關相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，關于的回歸方程為：.將2016年對應的代入回歸方程得：.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.（19）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，.又，故學.科.網平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中點，連結，由得，從而，且.以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，學科.網由題意知，，，，.設為平面的法向量，則，即，可取，于是.（20）解：由題設.設，則，且

.記過兩點的直線為，則的方程為......3分

（Ⅰ）由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，則

.所以.......5分

（Ⅱ）設與軸的交點為，則.由題設可得，所以（舍去），.設滿足條件的的中點為.當與軸不垂直時，由可得.而，所以.當與軸垂直時，與重合.所以，所求軌跡方程為.....12分

（21）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）當時，因此，．

………4分

當時，將變形為．

令，則是在上的最大值，，且當時，取得極小值，極小值為．

令，解得（舍去），．

（ⅰ）當時，在內無極值點，，所以．

（ⅱ）當時，由，知．

又，所以．

綜上，．　　　………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）得.當時，.當時，所以.當時，所以.（22）（本小題滿分10分）

解：（Ⅰ）連結，則.因為，所以，又，所以.又，所以，因此.（Ⅱ）因為，所以，由此知四點共圓，其圓心既在的垂直平分線上，又在的垂直平分線上，故就是過四點的圓的圓心，所以在的垂直平分線上，因此.（23）（本小題滿分10分）

解：（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標方程為.……5分

（Ⅱ）由題意，可設點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值，即為到的距離的最小值，.………………8分

當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.………………10分

（24）（本小題滿分10分）

解：（Ⅰ）當時，.解不等式，得.因此，的解集為.………………5分

（Ⅱ）當時，當時等號成立，所以當時，等價于.①

……7分

當時，①等價于，無解.當時，①等價于，解得.所以的取值范圍是.………………10分