第一篇：信息學院數分期中考試2011

May 5, 2011

1.(22分)計算下列定積分：

(1)

(2)10x(1?x)dx ?01信息學院數分期中考試資料 ??2

0cos2xdx 2.(15分)求雙曲線xy?4與拋物線y?(x?3)2所圍平面圖形的面積，和該圖形繞x軸旋轉所成旋轉體的體積。3.(37分)(1)判斷反常積分????0ln(1?x)dx的斂散性； xm(?1)n1(2)判斷級數?[?]的斂散性； nnn?1(3)判斷級數1n的斂散性。(?1)sin?nn?1?

4.(16分)證明極限

xn

dx?0(1)lim?n??01?x1

?

(2)lim2

n??0?sinnxdx?0

5.(10分)證明：若f(x)為[0,1]上的遞減函數，則對任給的a?(0,1),恒有

a?f(x)dx??f(x)dx。001a

參考答案（信息學院97分考卷，僅供參考）：

1?2

1.(1);(2)1322

2.S?4ln4?3;V?27? 5

3.(1)m?(0,1)時收斂，其余均發散

(2)發散

(3)條件收斂

4, 5 略

第二篇：數分

1.2.2 I?[0,?];sin(x?y)dxdy,??I2 I?[0,2];(x?y)dxdy,??I3．計算積分I?xdy?ydx22，其中C為橢圓2x?3y?1，沿逆時針方向。22?C3x?4y4．已知 z?f(xz,z?y), 其中f(u,v)存在著關于兩個變元的二階連續偏導數，求z關于x,y的二階偏導數。

x2y2z25．求橢球體2?2?2?1的體積。

abc6．若l為右半單位圓周，求|y|ds。

l?7．計算含參變量積分I(a)???0 ln(1?2acosx?a2)dx(a?1)的值。

8.若積分在參數的已知值的某鄰域內一致收斂，則稱此積分對參數的已知值一致收斂。試討論積分

I??1??0adx

1?a2x2 在每一個固定的a處的一致收斂性。

9.討論函數F(y)??0 yf(x)dx的連續性，其中f(x)在[0,1]上是正的連續函數。

x2?y222210．求球面x?y?z?50與錐面x?y?z所截出的曲線的點(3, 4, 5)處的切線與法平面方程。

2211．求平面z?0，圓柱面x?y?2x，錐面z?222x2?y2所圍成的曲頂柱體的體積。

12．計算三重積分

I????(x?y?z)dxdydz。其中 V:0?x?1, 0?y?1,0?z?1。

V13.利用含參變量積分的方法計算下列積分

?14.計算333M???? e?x2dx。

??xdydz?ydzdx?zdxdy, 其中M為上半橢球面

x2y2z2?2?2?1,z?0(a,b,c?0), 2abc定向取上側.15．求I?(x?y)ds，此處l為聯結三點O(0,0), A(1,0), B(1,1)的直線段。

l?

16．計算二重積分

I???(x2?y2)dxdy。

?其中 ?是以y?x,y?x?a,y?a和y?3a(a?0)為邊的平行四邊形。

17．計算三重積分

I????Vx2y2z2(2?2?2)dxdydz。abcx2y2z2其中V是橢球體2?2?2?1。

abc18．計算含參變量積分???0e?ax?e?bx dx(b?a?0)的值。

xx?2u?2u19.已 知u?arccos，試確定二階偏導數與的關系。

y?x?y?y?x20.討論積分????xcosxdx的斂散性。pqx?xx?y2.求limlimf(x,y)和limlimf(x,y).極限limf(x,y)是否 21． f(x,y)?x?0y?0y?0x?0x?0x?yy?0存在 ? 為什么 ？

xy?22 , x?y?0 ,?2222.f(x,y)??x?y 驗證函數f(x,y)在點(0 , 0)處連續 ,偏?22 0 , x?y?0.?導數存在 , 但不可微

?2z?2z23.設函數f(u,v)可微 , z?f(x , xy).求 2 和 2

?y?x , 1 , 2)的方向..24.f(x,y,z)?x?xy?yz, l為從點P0(2 , ?1 , 2)到點P1(?1求fl(P0).25.設?為單位球面x222?y2?z2?1，證明：

1??f(ax?by?cz)d??2??f(a2?b2?c2t)dt.?126． 求 ??xydxdy, 其中 D: y?D1x , y?2x , xy?1 , xy?3.2x8?x2 dx.27.求積分I?? lnx028.求 ?ye??dxdy，其中D是以點(0 , 0)、(1 , 1)和(0 , 1)為頂點的三角形域.D2129.計算積分(2x?sinL??y2)dx??x2cos?y2dy.其中L為沿曲線y?ex?1從

點(0 , 0)到點(ln2 , 1)的路徑.30.V :x?y?2x , x?y?z?2(x?y).?為V的表面外側.計算積分 3223(x?y?z)dydz?(x?y?cosz)dzdx?(x?y????22222232z)dxdy.231.已知 f(x,y)?y.證明極限limf(x,y)不存在.2x?0x?yy?032． 設函數u(x,y)和v(x,y)可微.證明 grad(uv)?u gradv?v gradu.33.設函數f在有界閉區域D上連續.試證明: 若在D內任一子區域D??D上都有

??f(x,y)dxdy?0, 則在D上f(x,y)?0.D?34.求極限

(x,y)?(0,0)limsin(x2?y2)1?x?y?122.1?222(x?2y)sin , x?y?0 ,?22x?y35.f(x,y)??

?0 , x2?y2?0.?求fx(0 , 0)和fy(0 , 0).36.設函數f(u,v)有連續的二階偏導數 , z?f(xy , x?y).求

22?z?z、?x?y?2z和.?x?y37.f(x,y,z)?x?y?z , 點P0(1 , 1 , 1), 方向l:(2 , ?2 , 1).求

23gradf(P0)和f沿l的方向導數fl(P0).39.曲線L由方程組

222?? 2x?3y?z?9 , ?2 22?? z?3x?y 確定.求曲線L上點P0(1 , ?1 , 2)處的切線和法平面方程 40.求函數f(x,y)?xy在約束條件滿足極值充分條件)

11??1之下的條件極值.(無須驗證駐點 xyx2y41.f(x,y)?4.試證明在點(0 , 0)處f(x,y)的兩個累次極限均存在 , 但

x?y2二重極限卻不存在.xy? , x2?y2?0 ,?22 42． f(x,y)??x?y 證明函數f(x,y)在點(0 , 0)處連續,偏導?22? 0 , x?y?0.數存在 , 但卻不可微 43． 設 z?lnx2?y2, 驗證該函數滿足Laplace方程

?2z?2z?0.2?2?x?y44.設函數f(x,y)在點(0 , 0)的某鄰域有定義 , 且滿足條件|f(x,y)| ? x?y.試證明 f(x,y)在點(0 , 0)可微。

22?2fx?f?f45.設f(x,y)?xy?，求，；

?x?yy?x?y46.設z?sin(xcosy)，求全微分dz；

x?2y?z?2xyz?0所確定的隱函數的偏導數47.求由方程

?z，?x?z。?y48.求函數 z?xe2y在點P(1,1)處從P(1,1)到Q(2,?1)方向的方向導數。49.求2y??dxdy, D由旋輪線 D?x?a(t?sint), 0?t?2? 與y?0圍成； ??y?a(1?cost)，50.求???0e?xdx

limx2?y2x2?y2?1?1251.求二重極限 x?0y?0.?2zz52.z?z(x,y)由z?e?xy確定，求?x?y.?z?z1?y??y3.53．設z?ln(x?y)，證明：?x1313xyf(x?y,)?x2?y2x54.設，則

f(x,y)?_____________.15?()???()55.已2知，則2＝___________.2256.設函數f(x,y)?2x?ax?xy?2y在點(1,?1)取得極值，則常數 a?________

57.已知f(x,y)?x?y(x?4?arctany)2?,則fx(1,0)?________.?2z?2zt22??0z?2cos(x?)?x?t2,證明:?t58．設

33f(x,y)?x?12xy?8y59．求函數的極值

?z?z,z60.求由e?xyz?xy所確定的隱函數z?z(x,y)的偏導數?x?y.

第三篇：數分題庫11

（三十四）數學分析試題（二年級第一學期）

一 敘述題（每小題10分，共30分）敘述第二類曲線積分的定義。2 敘述Parseval等式的內容。敘述以2?為周期且在[??,?]上可積函數f(x)的Fourier系數﹑Fourier級數及其收斂定理。

二 計算題（每小題10分，共50分）

1．求I?(x?y)ds，此處l為聯結三點O(0,0), A(1,0), B(1,1)的直線段。

l?2．計算二重積分

I???(x2?y2)dxdy。

?其中 ?是以y?x,y?x?a,y?a和y?3a(a?0)為邊的平行四邊形。

3．一頁長方形白紙，要求印刷面積占A cm2，并使所留葉邊空白為：上部與下部寬度之和為h cm，左部與右部之和為r cm，試確定該頁紙的長(y)和寬(x)，使得它的總面積為最小。

4．計算三重積分

I????Vx2y2z2(2?2?2)dxdydz。abcx2y2z2其中V是橢球體2?2?2?1。

abce?ax?e?bx dx(b?a?0)的值。5．計算含參變量積分0x三 討論題（每小題10分，共20分）

????2u?2ux1 已 知u?arccos，試確定二階偏導數與的關系。

?x?y?y?xy2 討論積分

數學分析試題（二年級第一學期）答案

一 敘述題（每小題10分，共30分）設L為定向的可求長連續曲線，起點為A，終點為B。在曲線上每一點取單位切向量??(cos?,cos?,cos?)，使它與L的定向相一致。設 ????xcosxdx的斂散性。

xp?xqf(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

是定義在L上的向量值函數，則稱

?f??ds??P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos?ds

LL為f定義在L上的第二類曲線積分（如果右面的第一類曲線積分存在）。

2．函數f(x)在[??,?]可積且平方可積，則成立等式

2?a01?222 ??an?bn??f(x)dx。

2n?1?????3 若f(x)是以2?為周期且在[??,?]上可積的函數，則 an? bn?1?1??f(x)cosnxdx(n?0,1,2,???)

?????f(x)sinnxdx(n?1,2,???)

??稱為函數f(x)的Fourier系數，以f(x)的Fourier系數為系數的三角級數

a0? ??(ancosnx?bnsinnx)

2n?1稱為函數f(x)的Fourier級數，記為

a0? f(x)~??(ancosnx?bnsinnx)。

2n?1收斂定理：設函數f(x)在[??,?]上可積且絕對可積，且滿足下列兩個條件之一，則f(x)的Fourier級數在x收斂于

f(x?)?f(x?)。

2（1）f(x)在某個區間[x??,x??](??0)上是分段單調函數或若干個分段單調函數之和。

（2）f(x)在x處滿足指數為??(0,1]的Holder條件。二 計算題（每小題10分，共50分）

1。解 I?(x?y)ds?l???OA??AB??BO?(x?y)ds。

在直線段OA上y?0, ds?dx得

?OA(x?y)ds??xdx?011 2在直線段AB上x?1, ds?dy得

?AB(x?y)ds??(1?y)dy?013 2在直線段BO上y?x, ds?2dx得

10?BO(x?y)ds??2x2dx?2

所以 I?2?2。

2．解 22(x?y)dxdy??dy????a3ayy?a(x2?y2)dx?14a4.3．解 由題意，目標函數與約束條件分別為S?xy與x?r, y?h,(x?r)(y?h)?A.作Lagrange函數L?xy??[(x?r)(y?h)?A],則有

?Lx?y??(y?h)?0, ??Ly?x??(x?r)?0, ?L?(x?r)(y?h)?A?0.??由此解得

??r?hAh???.x?, y?, ????1?1??1??r???于是有

x?并且易知它是極小值點.4．解 由于 I?其中

Ar?r, y?hAh?h.r???Vx2dxdydz?2a???Vy2dxdydz?2b???Vz2dxdydz，2c???Vx2dxdydz?2a?x2dxdydz，?aa2Da??這里D表示橢球面

y2z2x2?2?1?22bcay2?z2x22c(1?2)a

或

x22b(1?2)a?1。

它的面積為

x2x2x2 ?(b1?2)(c1?2)??bc(1?2)。

aaa于是 ???Vx2dxdydz?a2?a?bc?ax24x(1?)dx??abc。

15a2a22同理可得

???Vy24dxdydz??abc，215bz24dxdydz??abc。

15c2

???V所以 I?3(44?abc)??abc。155??e?ax?e?bxdx(b?a?0)的值。5．計算含參變量積分? 0xb??e?ax?e?bx??be?ax?e?bx?xy??edy，dx ??dx?e?xydy。解 因為所以? 注意到e?xya00axx在域：x?0, a?y?b上連續。又積分

???0e?xydx對a?y?b是一致收斂的。事實上，當x?0, a?y?b時，0?e?xy?e?ax，但積分

???0e?axdx收斂。故積分

???0e?xydx是一致收斂的。于是，利用對參數的積分公式，即得 從而得

???0dxe?xydy?dy?ba??ab??0e?xydx。

???0e?ax?e?bx dx ?x??abdy??0e?xydx??badyb?ln。ya三 討論題（每小題10分，共20分）當0?x?y時，u?arccosx?arccosy??xy。

?u???x11?xy?12xy12x(y?x)，?u???y??x??3x?1??2y2y1??x?，?2?2y(y?x)? 4 ?2u??x?y14x(y?x)32，?2u1???y?x4xy2(y?x)?2u?2u?于是，當0?x?y時。?x?y?y?x當0?x?y時，u?arccos2．首先注意到

x4y(y?x)32?14x(y?x)32，x?arccosyxy。

?x?(1?p)xp?(1?q)xq? ?p。?q?pq2x?x??x?x???xx???0若max(p,q)?1，則當x充分大時?p，從而當充分大時函數是遞x?qpqx?xx?x??減的，且這時

x???limx?0。

xp?xq??又因??Acosxdx?sinA?1（對任何A??），故??xcosxdx收斂。pqx?x?xx???0若max(p,q)?1，則恒有?p，故函數在x??上是遞增的。于是，?qpqx?xx?x???正整數n，有

?4?2n??2n?xcosxdx

xp?xq?42 ?2 ??2n??2n?xdx pqx?x??2?p? q42???2??常數?0，?pq8??? ?

故不滿足Cauchy收斂準則，因此

????xcosxdx發散。

xp?xq（三十五）數學系二年級《數學分析》期末考試題

一（滿分 1 2 分，每小題 6 分）解答題：敘述以下概念的定義: 1 二元函數f(x,y)在區域D上一致連續.2 二重積分.二．（滿分 1 6 分，每小題 8 分）驗證或討論題：

x?y21 f(x,y)?.求limlimf(x,y)和limlimf(x,y).極限limf(x,y)是否

x?0x?0y?0y?0x?0x?yy?0存在 ? 為什么 ? xy?22 , x?y?0 ,?222 f(x,y)??x?y 驗證函數f(x,y)在點(0 , 0)處連續 ,?22 0 , x?y?0.?偏導數存在 , 但不可微.三．（滿分 4 8 分，每小題 6 分）計算題：

?2z?2z1 設函數f(u,v)可微 , z?f(x , xy).求 2 和 2.?x?y2 f(x,y,z)?x?xy?yz, l為從點P0(2 , ?1 , 2)到點P , 1 , 2)的方向.1(?1求fl(P0).3 設計一個容積為4m的長方體形無蓋水箱 , 使用料最省.4

322??xydxdy, D: y?D11x , y?2x , xy?1 , xy?3.2x8?x25 求積分I?? dx.lnx06 ??eD?y2dxdy，其中D是以點(0 , 0)、(1 , 1)和(0 , 1)為頂點的三角形域.7 計算積分(2x?sinL??y2)dx??x2cos?y2dy.其中L為沿曲線y?ex?1從

點(0 , 0)到點(ln2 , 1)的路徑.8 V :x?y?2x , x?y?z?2(x?y).?為V的表面外側.計算積分 3223(x?y?z)dydz?(x?y?cosz)dzdx?(x?y????22222232z)dxdy.2四．（滿分 2 4 分，每小題 8 分）證明題：

1 f(x,y)?y.證明極限limf(x,y)不存在.2x?0x?yy?02 設函數u(x,y)和v(x,y)可微.證明 grad(uv)?u gradv?v gradu.3 設函數f在有界閉區域D上連續.試證明: 若在D內任一子區域D??D上 都有

（三十六）二年級 《數學分析》考試題

一 計算題 : 1 求極限 ??f(x,y)dxdy?0, 則在D上f(x,y)?0.D?(x,y)?(0,0)limsin(x2?y2)1?x?y?122.1?222(x?2y)sin , x?y?0 ,?22x?y2 f(x,y)??

?0 , x2?y2?0.?求fx(0 , 0)和fy(0 , 0).3.設函數f(u,v)有連續的二階偏導數 , z?f(xy , x2?y2).求

?z?z、?x?y?2z和.?x?y4 f(x,y,z)?x?y?z , 點P0(1 , 1 , 1), 方向l:(2 , ?2 , 1).求gradf(P0)和f沿l的方向導數fl(P0).5 曲線L由方程組

222?? 2x?3y?z?9 , ?2 22?? z?3x?y 23確定.求曲線L上點P0(1 , ?1 , 2)處的切線和法平面方程.6 求函數f(x,y)?xy在約束條件滿足極值充分條件)二.證明題 :

11??1之下的條件極值.(無須驗證駐點 xyx2y1 f(x,y)?4.試證明在點(0 , 0)處f(x,y)的兩個累次極限均存在 , 但 2x?y 二重極限卻不存在.xy?22 , x?y?0 ,?222 f(x,y)??x?y 證明函數f(x,y)在點(0 , 0)處連續, ? x2?y2?0.? 0 , 偏導數存在 , 但卻不可微.223 設 z?lnx?y, 驗證該函數滿足Laplace方程

?2z?2z 2?2?0.?x?y4 設函數f(x,y)在點(0 , 0)的某鄰域有定義 , 且滿足條件|f(x,y)| ? x2?y2.試證明 f(x,y)在點(0 , 0)可微.（三十七）數學系二年級《數學分析》考試題

一（滿分 1 2 分，每小題 6 分）解答題：敘述以下概念的定義: 1 二元函數f(x,y)在區域D上一致連續.2 二重積分.二．（滿分 1 6 分，每小題 8 分）驗證或討論題：

x?y21 f(x,y)?.求limlimf(x,y)和limlimf(x,y).極限limf(x,y)是否

x?0x?0y?0y?0x?0x?yy?0存在 ? 為什么 ?

xy? , x2?y2?0 ,?222 f(x,y)??x?y 驗證函數f(x,y)在點(0 , 0)處連續 ,? x2?y2?0.? 0 , 偏導數存在 , 但不可微.三．（滿分 4 8 分，每小題 6 分）計算題：

?2z?2z1 設函數f(u,v)可微 , z?f(x , xy).求 2 和 2.?x?y , 1 , 2)的方向.2 f(x,y,z)?x?xy?yz, l為從點P0(2 , ?1 , 2)到點P1(?1求fl(P0).3 設計一個容積為4m的長方體形無蓋水箱 , 使用料最省.4

322??xydxdy, D: y?D1x , y?2x , xy?1 , xy?3.28 x8?x25 求積分I?? dx.lnx06 ?y??edxdy，其中D是以點(0 , 0)、(1 , 1)和(0 , 1)為頂點的三角形域.D217 計算積分(2x?sinL??y2)dx??x2cos?y2dy.其中L為沿曲線y?ex?1從

點(0 , 0)到點(ln2 , 1)的路徑.8 V :x2?y2?2x , x2?y2?z?2(x2?y2).?為V的表面外側.計算積分

3223(x?y?z)dydz?(x?y?cosz)dzdx?(x?y????32z)dxdy.2四．（滿分 2 4 分，每小題 8 分）證明題： 1 f(x,y)?y.證明極限limf(x,y)不存在.2x?0x?yy?02 設函數u(x,y)和v(x,y)可微.證明

grad(uv)?u gradv?v gradu.3 設函數f在有界閉區域D上連續.試證明: 若在D內任一子區域D??D上 都有

（三十八）二年級《數學分析Ⅱ》考試題

一 計算下列偏導數或全微分（共18分，每題6分）： ??f(x,y)dxdy?0, 則在D上f(x,y)?0.D?x?f?f?2f1 設f(x,y)?xy?，求，；

?x?yy?x?y2 設z?sin(xcosy)，求全微分dz；

?z3 求由方程x?2y?z?2xyz?0所確定的隱函數的偏導數，?x?z。?y二 求函數分）z?xe2y在點P(1,1)處從P(1,1)到Q(2,?1)方向的方向導數。（12 9 三（14分）設

1?,?xysin2f(x,y)??x?y2??0,1 求

x2?y2?0;x2?y2?0.fx(0,0)，fy(0,0)；

f(x,y)在點（0，0）處可微。2 證明：四 求曲面3x2?2y2?2z?1?0在點P(1,1,2)處的切平面和法線方程。（16分）

五 證明：半徑為R的圓的內接三角形面積最大者為正三角形。（14分）

六（14分）計算下列重積分 ： 1、22xydxdyx??1,x?1,x?2y?x其中D為直線及曲線圍成的區??D域。

2、???xdxdydz其中?為由曲面z?x?2?y2，三個坐標平面及平面x?y?1圍成的區域。

七（12分）求函數

f(x,y,z)?xy?z2 在約束條件

x?y?z?0及x2?y2?z2?1下的最大值和最小值。

（三十九）二年級《數學分析Ⅱ》考試題

一（15分）設x,y為歐氏空間中的任意兩個向量，證明“平行四邊形定理”：

||x?y||2?||x?y||2?2(||x||2?||y||2)

二 計算下列極限：（10分）(x,y)?(1,0)limlog(x?ey)x?y22 ；(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)x2y4；

二（10分）設隱函數

y(x)由方程

y(x?0)y?2xarctanx定義，求 y' 及 y''。三 計算下列偏導數：（10分）

xyzu?e（1）；

（2）z?arcsin(x1?x2?????xn)；

222

四 計算下列積分（20分）：（1）（2）I?[0,?];sin(x?y)dxdy,??I2 I?[0,2];(x?y)dxdy,??I?x?a(t?sint),（3）??ydxdy, D由旋輪線? 0?t?2? 與y?0圍成；

y?a(1?cost),?D2（4）???0e?xdx。2

五 計算下列曲線積分（10分）：

（1）(x2?y2)nds, ?:x?acost,y?asint,0?t?2?,其中n?N;??（2）(x?y)ds, ?:頂點為（0，0），（1，0），（0，1）的三角形邊界;

??六（10分）設?為單位球面x2?y2?z2?1，證明：

1??f(ax?by?cz)d??2??f(a2?b2?c2t)dt.?1七（15分）利用Gaus公式計算曲面積分：

?xdydz?ydzdx?zdxdy，?2222?為球面x?y?z?a的外側。

（四十）二年級《數學分析Ⅱ》考試題

一（16分）： 設z?xexy?3z,求； 2?x?y2?????222 設向量場??xi?yj?zk，求 div?及rot?。?二（15分）： ???0exdx； x2(e?1)11 2 ???21dx。3x(lnx)三 求下列二元函數的極限（16分）： limx?0y?0sin[(y?1)x2?y2]x?y22；

xy22 lim2。2x?0x?yy?0四 判斷下列級數的斂散性（15分）： ?n?1?n； n22 ?(?1)nn?1?n；

n?13 cos2n。?nn?1?五 試求冪級數?n?1?(?1)n?1xn?1的收斂

n(n?1)半徑、收斂域以及和函數（14分）。六 證明：函數項級數?(1?x)n?0?2xn在[0，1] 上一致收斂（14分）。七 設?an?1?n收斂，數列{nan}收斂，證明：

??n(an?2n?an?1)收斂（10分）。

（四十一）二年級《數學分析Ⅱ》考試題

一（10分）設x,y為歐氏空間中的任意兩個向量，證明“平行四邊形定理”：

||x?y||2?||x?y||2?2(||x||2?||y||2)

二 證明：歐氏空間的收斂點列必是有界的。（10分）三 證明：Rn 中任意有界的點列中必有收斂的子點列。（10分）四 計算下列極限：（9分）

sin(xy)lim1(x,y)?(0,0)x2(x,y)?(0,0)；

x2y4lim(x?y)22；(x,y)?(1,0)limlog(x?ex)x2?y2；

五 計算下列偏導數：（10分）

（1）u（2）?ex(x2?y2?z2)；

z?log(x1?x2?????xn)；

六（10分）計算下列函數 f 的Jacobian Jf：（1）（2）f(x,y,z)?x2ysin(yz)；

2221/2f(x1,x2,???,xn)?(x1?x2?????xn)；

七（10分）設隱函數 八（11分）在橢球 y(x)由方程 y?2xarctg(y/x),x?0 定義，求 y' 及 y''。

x2y2z2?2?2?12abc內嵌入有最大體積的長方體，問長方體的尺寸如何？

九、（10分）求橢球面

x2y2z2?2?2?12abc過其上的點p?(x0,y0,z0)處的切平面的方程。

十、（10分）設函數f(x,y),g(x,y)是定義在平面開區域G內的兩個函數，在G內均有連續的一階偏導數，且在G內任意點處，均有

?f?g?f?g????x?y?y?x又設有界閉D?0?G，試證：在 D 中滿足方程組 ??f(x,y)?0

g(x,y)?0?的點至多有有限個。

（四十二）二年級《數學分析Ⅱ》考試題

一（10分）設x,y為歐氏空間中的任意兩個向量，θ是這兩個向量之間是夾角，證明“余弦定理”：

||x?y||2?||x||2?||y||2?2||x||?||y||cos?).二 計算下列偏導數：（10分）

xyzu?e（1）；

（2）z?arcsin(x1?x2?????xn)；

Ax?By?Cz?0

222三（10分）求用平面

x2y2與圓柱相交所成橢圓的面積。2?2?1

ab四 計算下列積分（16分）：

（1）（2）（3）??sin(x?y)dxdy, I?[0,?];

I2 I?[0,2];(x?y)dxdy,??2I2y??dxdy, D由旋輪線 D?x?a(t?sint), 0?t?2? 與y?0圍成； ??y?a(1?cost),（4）????0e?xdx。2五 計算下列曲線積分（14分）：

（1）(x2?y2)nds, ?:x?acost,y?asint,0?t?2?,其中n?N;??（2）(x?y)ds, ?:頂點為（0，0），（1，0），（0，1）的三角形邊界;六（10分）設常數a,b,c滿足ac?b?0, 計算積分：

2?xdy?ydx, 22?ax?2bxy?cy? 其中?為反時針方向的單位圓周。七（10分）設?為單位球面x2?y2?z2?1，證明：

1?f(ax?by?cz)d??2????1f(a2?b2?c2t)dt.八（10分）利用Gaus公式計算曲面積分：

?xdydz?ydzdx?zdxdy，? ?為球面x2?y2?z2?a2的外側。

??九（10分）設曲面?有法向量n,a是一個常向量，求證：

???????a?p?dp?2a????nd?.? 15

第四篇：08年數分考試大綱

《數學分析》研究生考試大綱

適用專業：基礎數學、計算數學、應用數學、運籌學與控制論、系統理論

一、復習要求：

要求考生掌握數學分析課程的基本概念、基本定理和基本方法，能夠運用數學分析的理論求解和證明相關命題。

二、主要復習內容

本課程考核內容包括實數理論和連續函數、一元微積分學、級數、多元微積分學：

1、實數理論和連續函數

（1）了解實數域及性質.（2）掌握幾種不等式及應用。

（3）熟練掌握鄰域，上確界，下確界的概念和確界原理。

（4）熟練掌握函數復合、基本初等函數、初等函數及常用特性（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）。

（5）熟練掌握數列極限的“ε-N”定義。

（6）掌握收斂數列的常用性質。

（7）熟練掌握數列收斂的判別條件（單調有界原理、迫斂性定理、柯西準則等）。

（8）熟練掌握“ε-δ”等語言，且能用它敘述各類型的函數極限。

（9）掌握函數極限的常用性質。

（10）熟練掌握函數極限存在的條件，（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界等）。

（11）熟練應用兩個重要極限。

（12）掌握無窮小量、無窮大量的定義和性質，熟悉等價無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質。

（13）熟練掌握函數在某點連續的定義和等價定義。

（14）掌握間斷點及類型。

（15）熟練掌握區間上連續函數和一致連續函數的性質。

（16）知道初等函數的連續性。

2、一元微積分學

（1）熟練掌握導數的定義、幾何意義，知道導數的物理意義。

（2）熟練掌握求導法則和求導公式。

（3）掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算。

（4）熟練掌握理解連續、可導、可微之間的關系。

（5）熟練掌握微分中值定理及其應用。

（6）熟練運用洛必達法則求極限。

（7）熟練掌握單調區間、極值、最值的求法。并能證明相關命題。

（8）熟練掌握曲線的凹凸性及拐點的求法，并掌握凸函數及性質。

（9）會求曲線各種類型的漸近性。

（10）掌握區間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點、予列的含義。

（11）掌握實數完備性的七個定理的等階性，并且知道每個定理的條件與結論。

（12）會用七個定理證明其它問題，如連續函數性質定理等。

（13）掌握原函數與不定積分的概念。

（14）記住基本積分公式，熟練掌握換元法、分部積分法。

（15）知道有理函數的積分步驟，會求可化為有理函數的積分。

（16）掌握定積分定義和性質，知道可積條件和可積類。

（17）深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。

（18）熟練計算定積分，掌握廣義積分收斂定義及判別法，會計算廣義積分。

（19）熟練掌握平面圖形面積的計算，會求旋轉體或已知截面面積的體積。

（20）會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積。

（21）會用微元法求解某些物理問題（壓力、變力功、靜力矩、重心等）。

3、級數

（1）熟練掌握級數收斂和發散的定義、性質和判別法。

（2）熟練掌握條件收斂、絕對收斂及萊布尼茲定理。

（3）熟練掌握函數列、函數項級數一致收斂的判別法，知道函數列的極限函數和函數項級數的和函數的性質。

（4）熟練掌握冪級數收斂域、收斂半徑以及和函數的求法，知道冪級數的若干性質。

（5）熟練掌握函數的冪級數展開的方法，會用間接法求函數的冪級數展開式。

（6）熟記付里葉系數公式，會求付里葉展式。掌握余弦級數，正弦級數的求法。

（3）理解收斂性定理，掌握貝塞爾不等式、勒貝格引理等幾個重要定理。

4、多元微積分學

（1）了解平面點集的若干概念，掌握二元函數、二重極限的定義、性質。

（2）熟練掌握二次極限、二重極限與二次極限的關系。

（3）熟練掌握二元連續函數的定義、性質

（4）掌握全微分和偏導數的幾何意義

（5）熟練掌握二元函數連續、偏導數連續、可微、可導之間的關系。

（6）會計算偏導數和全微分，會求空間曲面的切平面、法線。

（7）會求函數的方向導數與梯度，會求二元函數的泰勒展式、無條件極值、條件極值。

（8）熟練掌握一個方程確定的隱函數的條件，隱函數性質，隱函數的導數和微分公式。

（9）掌握由m個方程n個變元組成方程組，確定n-m個隱函數組的條件，并會求這n-m個隱函數對各個變元的偏導數。

（10）會求空間曲線的切線與法平面，會求空間曲面的切平面與法線。

（11）知道二重積分、三重積分定義與性質。

（12）熟練掌握二重積分的換序和變量代換。

（13）了解三重積分的換序，熟練運用球、柱、廣義球坐標變換計算三重積分。

（14）掌握含參量正常積分的定義及性質。

（15）知道重積分應用，會求曲面面積，轉動慣量，重心坐標等。

（16）掌握含參量非正常積分一致收斂定義、性質和判別法。

（17）掌握用積分號下求導數、積分號下求積分方法計算一些定積分（廣義積分）。

（18）了解歐拉積分，遞推公式及性質。

（19）熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計算。

（20）知道曲線積分，兩種曲面積分的關系。

（21）熟練掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，掌握積分與路徑無關的條件。

（22）了解場論初步知識，知道梯度，散度和旋度的慨念。

三、重點內容：

1、求極限的方法與類型。

2、掌握實數完備性定理，如數列的單調有界定理、柯西收斂準則、確界原理、有限覆蓋定理、魏爾斯特拉斯聚點原則。

3、海涅歸結原則、函數的一致連續性。

4、微分中值定理，微積分基本定理、導數及其應用。

5、積分法則、廣義積分斂散性判別法、定積分的可積性及可積類的討論、含參量廣義積分的一致收斂判別法。

6、級數、函數列的各種收斂性判別法、冪級數的收斂域、和函數、冪級數展式。

7、多元函數極限和連續性、偏導數、全微分、一個方程確定的隱函數的導數、偏導數。

8、多元函數的極值。

9、二重積分換序、重積分及其幾何意義。

10、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、積分與路徑無關性。

四、參考書目：

1、《數學分析》（上、下冊），華東師大編，（任意版本），高等教育出版社。

第五篇：數分考研大綱

2012西安電子科技大學數學分析考研大綱

一、考試總體要求與考試要點 1．考試對象

考試對象為具有全國碩士研究生入學考試資格并報考西安電子科技大學理學院數學科學系碩士研究生的考生。

2．考試總體要求

測試考生對數學分析的基本內容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數學分析的基本理論、掌握數學分析的基本方法，具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。3．考試內容和要點(一)實數集與函數

1、實數：實數的概念；實數的性質；絕對值不等式。

2、函數：函數的概念；函數的定義域和值域；復合函數；反函數。

3、函數的幾何特性：單調性；奇偶性；周期性。

要求：理解和掌握絕對值不等式的性質，會求解絕對值不等式；掌握函數的概念和表示方法，會求函數的定義域和值域，會證明具體函數的幾何特性。(二)數列極限

1、數列極限的概念（??N定義）。

2、數列極限的性質：唯一性；有界性；保號性。

3、數列極限存在的條件：單調有界準則；兩邊夾法則。

要求：理解和掌握數列極限的概念，會使用??N語言證明數列的極限；掌握數列極限的基本性質、運算法則以及數列極限的存在條件(單調有界原理和兩邊夾法則)，并能運用它們求數列極限；了解無窮小量和無窮大量的概念性質和運算法則，會比較無窮小量與無窮大量的階。

(三)函數極限

1、函數極限的概念（???定義、??X定義）；單側極限的概念。

2、函數極限的性質：唯一性；局部有界性；局部保號性。

3、函數極限與數列極限的聯系。

4、兩個重要極限。

要求：理解和掌握函數極限的概念，會使用???語言以及??X語言證明函數的極限；掌握函數極限的基本性質、運算法則，會使用海涅歸結原理證明函數極限不存在；掌握兩個重要極限并能利用它們來求極限；了解單側極限的概念以及求法。(四)函數連續

1、函數連續的概念：一點連續的定義；區間連續的定義；單側連續的定義；間斷點的分類。

2、連續函數的性質：局部性質及運算；閉區間上連續函數的性質（最值性、有界性、介值性、一致連續性）；復合函數的連續性；反函數的連續性。

3、初等函數的連續性。

要求：理解與掌握函數連續性、一致連續性的定義以及它們的區別和聯系，會證明具體函數的連續以及一致連續性；理解與掌握函數間斷點的分類；能正確敘述并簡單應用閉區間上連續函數的性質；了解反函數、復合函數以及初等函數的連續性。

（五）實數系六大基本定理及應用

1、實數系六大基本定理：確界存在定理；單調有界定理；閉區間套定理；致密性定理；柯西收斂準則；有限覆蓋定理。

2、閉區間上連續函數性質的證明：有界性定理的證明；最值性定理的證明；介值性定理的證明；一致連續性定理的證明。

要求：理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數集的上、下確界；理解和掌握閉區間上連續函數性質及其證明；能正確敘述實數系六大基本定理的內容及其證明思想，會使用開覆蓋以及二分法構造區間套進行簡單證明。

（六）導數與微分

1、導數概念：導數的定義；單側導數；導數的幾何意義。

2、求導法則：初等函數的求導；反函數的求導；復合函數的求導；隱函數的求導；參數方程的求導；導數的運算(四則運算)。

3、微分：微分的定義；微分的運算法則；微分的應用。

4、高階導數與高階微分。

要求：能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求具體函數的（高階）導數和微分；理解和掌握可導與可微、可導與連續的概念及其相互關系；掌握左、右導數的概念以及分段函數求導方法，了解導函數的介值定理。

（七）微分學基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。

2、泰勒公式。

要求：理解和掌握中值定理的內容、證明及其應用；了解泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠把某些函數按泰勒公式展開

（八）導數的應用

1、函數的單調性與極值。

2、函數凹凸性與拐點。

3、幾種特殊類型的未定式極限與洛必達法則。

要求：理解和掌握函數的單調性和凹凸性，會使用這些性質求函數的極值點以及拐點；能根據函數的單調性、凹凸性、拐點、漸近線等進行作圖；能熟練地運用洛必達法則求未定式的極限。

（九）不定積分

1、不定積分概念。

2、換元積分法與分部積分法。

3、有理函數的積分。

要求：理解和掌握原函數和不定積分概念以及它們的關系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數、有理函數、三角函數的不定積分。

（十）定積分

1、定積分的概念；定積分的幾何意義。

2、定積分存在的條件：可積的必要條件和充要條件；達布上和與達布下和；可積函數類(連續函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)。

3、定積分的性質：四則運算；絕對值性質；區間可加性；不等式性質；積分中值定理。

4、定積分的計算：變上限積分函數；牛頓-萊布尼茲公式；換元公式；分部積分公式。

要求：理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數類；熟練掌握和運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。

（十一）定積分的應用

1、定積分的幾何應用：微元法；求平面圖形的面積；求平面曲線的弧長；求已知截面面積的立體或者旋轉體的體積；求旋轉曲面的面積。

2、定積分的物理應用：求質心；求功；求液體壓力。

要求：理解和掌握“微元法”；掌握定積分的幾何應用；了解定積分的物理應用。

（十二）數項級數

1、預備知識：上、下極限；無窮級數收斂、發散的概念；收斂級數的基本性質；柯西收斂原理。

2、正項級數：比較判別法；達朗貝爾判別法；柯西判別法；積分判別法。

3、任意項級數：絕對收斂與條件收斂的概念及其性質；交錯級數與萊布尼茲判別法；阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握正項級數的收斂判別法以及交錯級數的萊布尼茲判別法；掌握一般項級數的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解上、下極限的概念和性質以及絕對收斂和條件收斂的概念和性質。

（十三）反常積分

1、無窮限的反常積分：無窮限的反常積分的概念；無窮限的反常積分的斂散性判別法。

2、無界函數的反常積分：無界函數的反常積分的概念；無界函數的反常積分的斂散性判別法。

要求：理解和掌握反常積分的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準則，會判斷某些反常積分的斂散性。

（十四）函數項級數

1、一致收斂的概念。

2、一致收斂的性質：連續性定理；可積性定理；可導性定理。

3、一致收斂的判別法；M-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握一致收斂的概念、性質及其證明；能夠熟練地運用M-判別法判斷一些函數項級數的一致收斂性。

（十五）冪級數

1、冪級數的概念以及冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域。

2、冪級數的性質。

3、函數展開成冪級數。

要求：理解和掌握冪級數的概念，會求冪級數的和函數以及它的收斂半徑、收斂區間、收斂域；掌握冪級數的性質以及兩種將函數展開成冪級數的方法，會把一些函數直接或者間接展開成冪級數。

（十六）傅里葉級數

1、傅里葉級數：三角函數系的正交性；傅里葉系數。

2、以2?為周期的函數的傅里葉級數。

3、以2L為周期的傅里葉級數。

4、收斂定理的證明。

5、傅里葉變換。

要求：理解和掌握三角函數系的正交性與傅里葉級數的概念；掌握傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數；了解收斂定理的證明以及傅里葉變換的概念和性質。

（十七）多元函數極限與連續

1、平面點集與多元函數的概念。

2、二元函數的二重極限、二次極限。

3、二元函數的連續性。

要求：理解和掌握二元函數的二重極限、二次極限的概念以及它們之間的關系，會計算一些簡單的二元函數的二重極限和二次極限；掌握平面點集、聚點的概念；了解平面點集的幾個基本定理以及閉區域上多元連續函數的性質。

（十八）多元函數的微分學

1、偏導數與全微分：偏導數與全微分的概念；可微與可偏導、可微與連續、可偏導與連續的關系。

2、復合函數求偏導數以及隱函數求偏導數。

3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。

4、方向導數與梯度。

5、多元函數的泰勒公式。

6、極值和條件極值

要求：理解和掌握偏導數、全微分、方向導數、梯度的概念及其計算；掌握多元函數可微、可偏導和連續之間的關系；會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數的極值、最值；了解多元泰勒公式。

（十九）隱函數存在定理、函數相關

1、隱函數：隱函數存在定理；反函數存在定理；雅克比行列式。

2、函數相關。

要求：了解隱函數的概念及隱函數存在定理，會求隱函數的導數；了解函數行列式的性質以及函數相關。

（二十）含參變量積分以及反常積分

1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導交換次序；兩個積分號交換次序。

2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致收斂的判別法；歐拉積分、?函數、?函數。

要求：理解和掌握積分號下求導的方法；掌握?函數、?函數的性質及其相互關系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

（二十一）重積分

1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質。

2、二重積分的計算：用直角坐標計算二重積分；用極坐標計算二重積分；用一般變換計算二重積分。

3、三重積分計算：用直角坐標計算三重積分；用柱面坐標計算三重積分；用球面坐標計算三重積分。

4、重積分應用：求物體的質心、轉動慣量；求立體體積，曲面的面積；求引力。

要求：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點，會選擇最合適的方法進行積分；掌握并合理運用重積分的對稱性簡化計算；了解柱面坐標和球面坐標積分元素的推導。

（二十二）曲線積分與曲面積分

1、第一類曲線積分：第一類曲線積分的概念、性質與計算；第一類曲線積分的對稱性。

2、第二類曲線積分：第二類曲線積分的概念、性質與計算；兩類曲線積分的聯系。

3、第一類曲面積分：第一類曲面積分的概念、性質與計算；第一類曲面積分的對稱性。

4、第二類曲面積分：曲面的側；第二類曲面積分的概念、性質與計算；兩類曲面積分的聯系。

5、格林公式：曲線積分與路徑的無關的四種等價敘述。

6、高斯公式。

7、斯托克斯公式。

8、場論初步：梯度；散度；旋度。

要求：理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質與計算，會使用對稱性簡化第一類曲線以及曲面積分；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區別和聯系；了解斯托克斯公式和場論初步。

二、考試形式與試卷結構 1.考試時間 180分鐘。2．試卷分值 150分。3．考試方式 閉卷考試。4．題型結構

類型包括：選擇題、填空題、計算題、證明題、應用題。

三、推薦教材參考書目

【1】 歐陽光中等主編 《數學分析》（第三版）高等教育出版社 【2】 華東師范大學數學系主編 《數學分析》（第三版）高等教育出版社 【3】 陳紀修等主編《數學分析》（第二版）高等教育出版社