第一篇：2014年考研數學：線代復習三策略

2014年考研數學：線代復習三策略

復習線性代數要注重知識點的銜接與轉換。由于線性代數各個部分之間的聯系非常緊密，而且歷年來的考題大多都涉及到幾個部分的內容，所以復習線性代數一定要有一個整體意識。行列式和矩陣是基礎知識，還有向量、方程組、特征值等一直是考點。復習要注意以下幾點。

一、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。

線性代數的概念很多，重要的有：代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，解的結構與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規范形，正定，合同變換與合同矩陣。

線性代數中運算法則多，應整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關，重要的有：行列式(數字型、字母型)的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定或求參數，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項式基礎解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標準形)。

二、注重邏輯性與敘述表述

線性代數對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數學主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復習整理時，應當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應注意語言的敘述表達應準確、簡明。應該說考研數學最簡單的部分就是線性代數，這部分的難點就在于概念非常多而且相互聯系，但線代貫穿的主線就是求方程組的解，只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹，再回過頭看前面的內容就非常簡單。同時從考試內容來看，考的內容基本類似，可以說是最死的部分，這幾年出的考試題實際上就是以前考題的翻版，仔細專研一下以前考題對大家是最有好處的。

三、注重知識點的銜接與轉換，知識要成網，努力提高綜合分析能力。

線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復習時應當常問自己做得對不對?再問做得好不好?只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。例如：設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB=0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax=0的解，再根據基礎解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關系，可以有r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n，進而可求矩陣A或B中的一些參數。

凡此種種，正是因為線性代數各知識點之間有著千絲萬縷的聯系，代數題的綜合性與靈活性就較大，大家整理時要注重串聯、銜接與轉換。

第二篇：考研數學線代

考研數學常見的十種題型列出如下：

一、運用洛必達法則和等價無窮小量求極限問題，直接求極限或給出一個分段函數討論基連續性及間斷點問題。

二、運用導數求最值、極值或證明不等式。

三、微積分中值定理的運用，證明一個關于“存在一個點，使得……成立”的命題或者證明不等式。

四、重積分的計算，包括二重積分和三重積分的計算及其應用。

五、曲線積分和曲面積分的計算。

六、冪級數問題，計算冪級數的和函數，將一個已知函數用間接法展開為冪級數。

七、常微分方程問題。可分離變量方程、一階線性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及冪級數解法。

八、解線性方程組，求線性方程組的待定常數等。

九、矩陣的相似對角化，求矩陣的特征值，特征向量，相似矩陣等。

十、概率論與數理統計。求概率分布或隨機變量的分布密度及一些數字特征，參數的點估計和區間估計。

此外還需提醒考生，到考前一周，考研數學，這個時候就只能在考場上看看題型，總結失利原因了。若因晚上熬夜影響考試是最得不償失的事情，而在考前一周能預防的就是此事的發生了。即使開了夜車而在考場也沒有睡著，但頭腦不清楚，對數學的考試依然是非常不利的，因為數學計算與證明思路最需要清醒和快速的反應。

對于考數學的考生來說，數學的150分是很重要的，下面是一些考研數學的常識，希望對大家有幫助。

2015考研數學常識：卷種及考試內容

考研數學從卷種上來看分為數學

一、數學

二、數學三;從考試內容上來看，涵蓋了高等數學、線性代數、概率論與數理統計;試卷結構上來看，設有三種題型：選擇題(8道共32分)、填空題(6道共24分)、解答題(9道共94分)，其中數一與數三在題目類型的分布上是一致的，1-

4、9-

12、15-19屬于高等數學的題目，5-6、13、20-21屬于線性代數的題目，7-8、14、22-23屬于概率論與數理統計的題目;而數學二不同，1-

6、9-

13、15-21均是高等數學的題目，7-8、14、22-23為線性代數的題目。

一、科目考試區別： 1.線性代數

數學一、二、三均考察線性代數這門學科，而且所占比例均為22%，從歷年的考試大綱來看，數一、二、三對線性代數部分的考察區別不是很大，唯一不同的是數一的大綱中多了向量空間部分的知識，不過通過研究近五年的考試真題，我們發現對數一獨有知識點的考察只在09、10年的試卷中出現過，其余年份考查的均是大綱中共同要求的知識點，而且從近兩年的真題來看，數

一、數

二、數三中線性代數部分的試題是一樣的，沒再出現變化的題目，那么也就是說從以往的經驗來看，2015年的考研數學中數

一、數

二、數三線性代數部分的題目也不會有太大的差別!2.概率論與數理統計

數學二不考察，數學一與數學三均占22%，從歷年的考試大綱來看，數一比數三多了區間估計與假設檢驗部分的知識，但是對于數一與數三的大綱中均出現的知識在考試要求上也還是有區別的，比如數一要求了解泊松定理的結論和應用條件，但是數三就要求掌握泊松定理的結論和應用條件，廣大的考研學子們都知道大綱中的“了解”與“掌握”是兩個不同的概念，因此，建議廣大考生在復習概率這門學科的時候一定要對照歷年的考試大綱，不要做無用功!3.高等數學

數學一、二、三均考察，而且所占比重最大，數一、三的試卷中所占比例為56%，數二所占比例78%。由于考察的內容比較多，故我們只從大的方向上對數一、二、三做簡單的區別。以同濟六版教材為例，數一考察的范圍是最廣的，基本涵蓋整個教材(除課本上標有*號的內容);數二不考察向量代數與空間解析幾何、三重積分、曲線積分、曲面積分以及無窮級數;數三不考察向量空間與解析幾何、三重積分、曲線積分、曲面積分以及所有與物理相關的應用。

二、試卷考試內容區別 1.數學一

高等數學：同濟六版高等數學中除了第七章微分方程考帶*號的歐拉方程，伯努利方程外，其余帶*號的都不考；所有“近似”的問題都不考；第四章不定積分不考積分表的使用；第九章第五節不考方程組的情形；第十二章第五節不考歐拉公式； 線性代數：數學一用的教材是同濟五版線性代數1-5章：行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換及其方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型。其中向量組的線性相關性中數一考向量空間，線性方程組跟空間解析幾何結合數一也要考；

概率與數理統計：

1、概率論的基本概念

2、隨機變量及其分布

3、多維隨機變量及其分布

4、隨機變量的數字特征

5、大數定律及中心極限定理

6、樣本及抽樣分布

7、參數估計

8、假設檢驗 2.數學二

高等數學：同濟六版高等數學中除了第七章微分方程考帶*號的伯努利方程外，其余帶*號的都不考；所有“近似”的問題都不考；第四章不定積分不考積分表的使用；不考第八章空間解析幾何與向量代數；第九章第五節不考方程組的情形；到第十章二重積分、重積分的應用為止，后面不考了。

線性代數：數學二用的教材是同濟五版線性代數，1-5章：行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換及其方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型。概率與數理統計：不考。3.數學三

高等數學：同濟六版高等數學中所有帶*號的都不考；所有“近似”的問題都不考；第三章微分中值定理與導數的應用不考曲率；第四章不定積分不考積分表的使用；不考第六章定積分在物理學上的應用以及曲線的弧長。第七章微分方程不考可降階的高階微分方程，另外補充差分方程。不考第八章空間解析幾何與向量代數。第九章第五節不考方程組的情形，第十章二重積分為止，第十二章的級數中不考傅里葉級數；

線性代數：數學一用的參考教材是同濟五版線性代數，1-5章：行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換及其方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型。數三不考向量組的線性相關性中的向量空間，線性方程組跟空間解析幾何結合的問題；

概率與數理統計的內容包括：

1、概率論的基本概念

2、隨機變量及其分布

3、多維隨機變量及其分布

4、隨機變量的數字特征

5、大數定律及中心極限定理

6、樣本及抽樣分布

7、參數估計，其中數三的同學不考參數估計中的區間估計。

廣大的考研學子們，考研數學要想取得高分并不難，但是想要考得滿分也不容易，在這里老師提醒大家，在考研數學復習的初期一定要有一個考研數學考試大綱，14、13、12年的都可以，因為考研數學的大綱這么多年來壓根就沒變過，唯一變化的是將克萊姆法則改成了克萊默法則。建議大家認真研讀考試大綱要求，弄明白自己考試什么不考什么，做到有的放矢!最后，預祝2015的考生復習順利!最后，滬江考研祝全體考生取得好成績。

2015考研數學線代沖刺注意歷年考點

考研數學沖刺階段，把真題吃透，通過對歷年真題題型、機構、安排，可以熟悉各位出題老師的出題意向、重點，融匯貫通對于后期大幅提高復習效果明顯。下面為同學們總結了歷年真題中線性代數各章節易考點，可以幫助大家在復習中查漏補缺。

第一章行列式，這一塊唯一的重點是行列式的計算，主要有數值型和抽象型兩類行列式的計算，06、08、10、12年的真題中均有抽象行列式的計算問題，而且均是以填空題的形式出現的，個別的還出現在了大題的第一問中。

第二章矩陣，重點在矩陣的秩、逆、伴隨、初等變換以及初等矩陣、分塊矩陣。這一章概念和運算較多，考點也較多，而且考點以填空和選擇為主，當然也會結合其他章節的知識考大題。06、09、11、12年均考了一個小題是有關初等變換與矩陣乘法之間的關系，10年考了一個小題關于矩陣的秩，08年考了一道抽象矩陣求逆的問題。

第三章向量，可以分為三個重點，第一個是向量組的線性表示，第二個是向量組的線性相關性，第三個是向量組的秩及極大線性無關組。這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是向量組的線性表示就是向量組的線性相關性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題。

第四章線性方程組，有三個重點。第一個是線性方程組解的判定問題，第二個是解的性質問題，第三個是解的結構問題。06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題。

第五章矩陣的特征值與特征向量，也是分三個重點。第一個是特征值與特征向量的定義、性質以及求法。第二個為矩陣的相似對角化問題，第三是實對稱矩陣的性質以及正交相似對角化的問題。實對稱矩陣的性質與正交相似對角化問題可以說每年必考，12年、11年、10年09年都考了。

第六章二次型有兩個重點。第一個是化二次型為標準形，同學們必須掌握兩種方法，第一個是配方法，第二個是正交變換法。第二個重點是正定二次型的判定。11年考的一個小題，用通過正交變換法將二次型化為標準形，12年、11年、10年均以大題的形式出現，但主要用的是正交變換化二次型為標準形。

第三篇：線代復習要點

線性代數期末復習要點

1.行列式及矩陣運算(乘法、轉置、伴隨)的基本性質；

2.可逆矩陣(含初等矩陣)的性質及其逆矩陣的求法；

3.矩陣的秩及其分塊的性質與計算；

4.向量組的線性關系和向量組的秩；

5.一般線性方程組的求解(含判定定理及結構定理)；

6.向量空間的內積的性質及其標準正交基的求法(施密特正交化方法)；

7.正交矩陣的性質；

8.方陣的特征值與特征向量的性質及其求法；

9.矩陣的相似與對角化問題；

10.矩陣的合同與對角形問題；

11.實對稱矩陣(實二次型)的標準形的求法(配方法、合同變換法、正交變換法)；

12.正定矩陣(正定二次型)的性質及判定.-----戴躍進

第四篇：考研線代的特點與復習要點

考研線代的特點與復習要點

考研數學復習，對于線性代數這門課，同學們普遍感覺書容易看懂，但題目不會做，或者題目會做，但一算就錯，這主要是大家對線性代數的特點不太了解，其實線性代數復習要注意以下幾點。

一、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算

線性代數的概念很多，重要的有：

代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，解的結構與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規范形，正定，合同變換與合同矩陣。

線性代數中運算法則多，應整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關，重要的有：

行列式（數字型、字母型）的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定或求參數，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項式基礎解系法），判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標準形）。

二、注重知識點的銜接與轉換，知識要成網，努力提高綜合分析能力

線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復習時應當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

正是因為線性代數各知識點之間有著千絲萬縷的聯系，代數題的綜合性與靈活性就較大，同學們整理時要注重串聯、銜接與轉換。

三、注重邏輯性與敘述表述

線性代數對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數學主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復習整理時，應當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應注意語言的敘述表達應準確、簡明。

總之，數學題目千變萬化，有各種延伸或變式，同學們要在考試中取得好成績，一定要認真仔細地復習，華而不實靠押題碰運氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結經驗與教訓，做到融會貫通。

第五篇：考研線代公式總結

1、行列式

1.n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式； 2.代數余子式的性質：

①、Aij和aij的大小無關；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數余子式為0； ③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數余子式為A； 3.代數余子式和余子式的關系：Mij?(?1)i?jAijAij?(?1)i?jMij

4.設n行列式D：

n(n?1)將D上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為D1，則D1?(?1)

D； n(n?1)將D順時針或逆時針旋轉90?，所得行列式為D2，則D2?(?1)2

D；

將D主對角線翻轉后（轉置），所得行列式為D3，則D3?D；

將D主副角線翻轉后，所得行列式為D4，則D4?D； 5.行列式的重要公式：

①、主對角行列式：主對角元素的乘積；

n(n?1)②、副對角行列式：副對角元素的乘積??(?1)

2；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主對角元素的乘積； n(n?1)④、?◤?和?◢?：副對角元素的乘積??(?1)2；

⑤、拉普拉斯展開式：

AO?AC?AB、CA?OA

?(?1)m?nCBOBBOBC

AB ⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積； ⑦、特征值；

n

6.對于n階行列式A，恒有：?E?A??n??(?1)kSn?kk?，其中Sk為k階主子式；k?

12、矩陣

1.A是n階可逆矩陣：

?A?0（是非奇異矩陣）； ?r(A)?n（是滿秩矩陣）

?A的行（列）向量組線性無關； ?齊次方程組Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b總有唯一解； ?A與E等價；

?A可表示成若干個初等矩陣的乘積； ?A的特征值全不為0； ?ATA是正定矩陣；

?A的行（列）向量組是Rn的一組基； ?A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；

2.對于n階矩陣A：AA*?A*A?AE 無條件恒成立； 3.(A?1)*?(A*)?1(A?1)T?(AT)?1(A*)T?(AT)*(AB)T?BTAT

(AB)*?B*A*

(AB)?1?B?1A?1

4.矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和；

5.關于分塊矩陣的重要結論，其中均A、B可逆：

?A1?若A??

???

A2

??

?，則： ??

?As?

Ⅰ、A?A1A2?As； ?A1?1?

Ⅱ、A?1??

????

?1

?1A2

???； ??

?As?1??

O?

?；（主對角分塊）B?1?

?A?1?AO?

②、????

OB???O

?O?OA?③、????1?

?BO??A

?A?1?AC?④、????

OB???O

?1?1

?1

B?1?

?；（副對角分塊）O?

?A?1CB?1?

?；（拉普拉斯）B?1?

O?

?；（拉普拉斯）B?1?

?A?1?AO?

⑤、?????1?1

CB????BCA3、矩陣的初等變換與線性方程組

1.一個m?n矩陣A，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：F??r

?O

對于同型矩陣A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2.行最簡形矩陣：

①、只能通過初等行變換獲得；

②、每行首個非0元素必須為1；

③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；

3.初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換）

①、若(A?,?E)???(E?,?X)，則A可逆，且X?A?1；

②、對矩陣(A,B)做初等行變化，當A變為E時，B就變成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；

③、求解線形方程組：對于n個未知數n個方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，則A可逆，且x?A?1b； 4.初等矩陣和對角矩陣的概念：

①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；

??1?

②、???

???

r

r

?E

O?

?； O?m?n

等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；

c

?2

?

?

?，左乘矩陣A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；

ii

??

??n?

?1

?1??1??????1

?1③、對調兩行或兩列，符號E(i,j)，且E(i,j)?E(i,j)，例如：?1???；

??1?1?????

?1?1

?1??

1???1

④、倍乘某行或某列，符號E(i(k))，且E(i(k))?E(i())，例如：?k???

?k??1???

?

?1

1k

??

?(k?0)； ?1??

k??k??1?1

???

⑤、倍加某行或某列，符號E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：??1???1?(k?0)；

??1????1??

5.矩陣秩的基本性質：

①、0?r(Am?n)?min(m,n)；

②、r(AT)?r(A)；

③、若A?B，則r(A)?r(B)；

④、若P、Q可逆，則r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※）⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※）⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是m?n矩陣，B是n?s矩陣，且AB?0，則：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齊次方程組AX?0解（轉置運算后的結論）；

Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均為n階方陣，則r(AB)?r(A)?r(B)?n；

6.三種特殊矩陣的方冪：

①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）?行矩陣（向量）的形式，再采用結合律；?②、型如?1ac??01b?

?的矩陣：利用二項展開式；

??001??

二項展開式：(a?b)n

?C0an

?C1an?1b1

???Cman?m

m

nn

n

n

b???C

n?11n?1n

ab

?Cbn

n

mmn?m

n

??Cnab；m?0

注：Ⅰ、(a?b)n展開后有n?1項；

Ⅱ、Cmn(n?1)??(n?m?1)n!

n?1?2?3???m?

m!(n?m)!

C0nn?Cn?1

Ⅲ、組合的性質：Cm

?Cn?mn

n

C

m

m?1n

rn?1

?C?C

mnn

?C

n

?2n

rCr?nCr?1

nn?1

； r?0

③、利用特征值和相似對角化： 7.伴隨矩陣：

?r(A)?n?????①、伴隨矩陣的秩：r(A*)??

n

?1

r(A)?n?1； ??

0r(A)?n?1

②、伴隨矩陣的特征值：A

?1?

??(AX??X,A*?AA???A*X?

A

?

X)；

③、A*?AA?

1、A*?A

n?

18.關于A矩陣秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n階子式不為0，n?1階子式全部為0；（兩句話）

②、r(A)?n，A中有n階子式全部為0； ③、r(A)?n，A中有n階子式不為0；

9.線性方程組：Ax?b，其中A為m?n矩陣，則：

①、m與方程的個數相同，即方程組Ax?b有m個方程；

②、n與方程組得未知數個數相同，方程組Ax?b為n元方程； 10.線性方程組Ax?b的求解：

①、對增廣矩陣B進行初等行變換（只能使用初等行變換）；

②、齊次解為對應齊次方程組的解； ③、特解：自由變量賦初值后求得；

4、向量組的線性相關性

1.m個n維列向量所組成的向量組A：?1,?2,?,?m構成n?m矩陣A?(?1,?2,?,?m)； ??1T??T??TT

構成m?n矩陣B??2?； ,?,?mm個n維行向量所組成的向量組B：?1T,?2

??????T???m?

含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；

2.①、向量組的線性相關、無關 ?Ax?0有、無非零解；（齊次線性方程組）

②、向量的線性表出（線性方程組）?Ax?b是否有解；③、向量組的相互線性表示（矩陣方程）?AX?B是否有解；

3.矩陣Am?n與Bl?n行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax?0和Bx?0同解；(P101例14)4.5.r(ATA)?r(A)；(P101例15)

n維向量線性相關的幾何意義： ①、?線性相關???0；

②、?,?線性相關 ??,?坐標成比例或共線（平行）；

③、?,?,?線性相關 ??,?,?共面；

6.線性相關與無關的兩套定理：

若?1,?2,?,?s線性相關，則?1,?2,?,?s,?s?1必線性相關；

若?1,?2,?,?s線性無關，則?1,?2,?,?s?1必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上n?r個分量，構成n維向量組B：

若A線性無關，則B也線性無關；反之若B線性相關，則A也線性相關；（向量組的維數加加減減）簡言之：無關組延長后仍無關，反之，不確定；

7.向量組A（個數為r）能由向量組B（個數為s）線性表示，且A線性無關，則r?s(二版P74定理7)；

向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)?r(B)；（P86定理3）向量組A能由向量組B線性表示

?AX?B有解；

?r(A)?r(A,B)（P85定理2）

向量組A能由向量組B等價??r(A)?r(B)?r(A,B)（P85定理2推論）①、矩陣行等價：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0與Bx?0同解

②、矩陣列等價：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩陣等價：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 9.對于矩陣Am?n與Bl?n：

①、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；

②、若A與B行等價，則Ax?0與Bx?0同解，且A與B的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性； ③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； ④、矩陣A的行秩等于列秩； 10.若Am?sBs?n?Cm?n，則：

cr

8.方陣A可逆?存在有限個初等矩陣P1,P2,?,Pl，使A?P1P2?Pl；

①、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數矩陣； ②、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數矩陣；（轉置）

11.齊次方程組Bx?0的解一定是ABx?0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；

①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；

②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解；

12.①、對矩陣Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量線性無關；（P87）

②、對矩陣Am?n，存在Pn?m，PA?En

?r(A)?n、P的行向量線性無關；

5、相似矩陣和二次型

1.正交矩陣?ATA?E或A?1?AT（定義），性質：

①、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aTiai?j

j??

?1

?0

i?j

(i,j?1,2,?n)； ②、若A為正交矩陣，則A?1?AT也為正交陣，且A??1； ③、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,?,ar)

b1?a1；

b2?a2?

[b1,a2]

[b?b1 1,b1]

???

b[b1,ar]r?ar?

[b?b[b2,ar]?b[b?1,ar]

1?2???r?br?1;1,b1][b2,b2][br?1,br?1]

3.對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關；

對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交； 4.①、A與B等價 ?A經過初等變換得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；

②、A與B合同 ?CTAC?B，其中可逆；

?xTAx與xTBx有相同的正、負慣性指數； ③、A與B相似 ?P?1AP?B； 5.相似一定合同、合同未必相似；

若C為正交矩陣，則CTAC?B?A?B，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）； 6.A為對稱陣，則A為二次型矩陣；