第一篇：2013中考備考數學證明專題-圓相關的證明(試題與標準答案)

2013中考備考 數學證明專題《圓相關的證明》

與圓有關的證明問題

（時間：100分鐘總分：100分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）

1．已知AB、CD是⊙O的兩條直徑，則四邊形ADBC一定是（）A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形

2．如圖1，DE是⊙O的直徑，弦AB⊥ED于C，連結AE、BE、AO、BO，則圖中全等三角形有（）

A．3對B．2對C．1對D．0對

3．垂徑定理及推論中的四條性質：①經過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的弧．由上述四條性質組成的命題中，假命題是（）A．①②?③④B．①③?②④C．①④?②③D．②③?①④

4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，給出下列三個結論：①以點C為圓心，?2.3cm長為半徑的圓與AB相離；②以點C為圓心，2.4cm長為半徑的圓與AB相切；?③以點C為圓心，2.5cm長為半徑的圓與AB相交，則上述結論正確的有（）

A．0個B．1個C．2個D．3個

AC上的任意一點（與A、C不重合），則5．在⊙O中，C是?AB的中點，D是?

A．1個B．2個C．3個D．4個

7．如圖3，在△ABC中，AD是高，AE是直徑，AE交BC于G，有下列四個結論：?①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正確結論的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個 8．如圖4，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．下面的結論：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正確的有（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

9．如圖5，圓內接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點，DP⊥AC，?垂?；③AP=BH；足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列結論：①CH=CP；②?AD?BD

④DH為圓的切線，其中一定成立的是（）

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

（1）

(2)(3)(4)

（）

A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB

C．AC+CB>AD+DBD．AC+CB與AD+DB的大小關系不確定

6．如圖2，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于點C，則圖中與∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．

(5)(6)(7)(8)

《圓相關的證明》

10．如圖6，在⊙O中，AB=2CD，那么（）

三、解答題（本大題共46分，19～23題每題6分，24題、25題每題8分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．如圖，AB是⊙O的弦（非直徑），C、D是AB上兩點，并且OC=OD，求證：AC=BD．

20．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，與AC?交于點E，求證：△DEC為等腰三角形．

21．如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與⊙O切于C，交AB?的延長線于D，求證：AC=CD．

?D;B．??DAB?2CAB?

2CA．?

?D;D．AD與2CD的大小關系可能不確定 AB?2CC．?

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB為直徑，MN?為弦，?試寫出一個你認為正確的結論：_________．

12．已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為10cm，6cm，OO的長為3cm，則⊙O1與⊙O

2的位置關系是_________．

13．如圖7，C是⊙O的直徑AB延長線上一點，過點C作⊙O的切線CD，D為切點，連結AD、OD、BD，請你根據圖中所給的條件（不再標字母或添輔助線），寫出一個你認為正確的結論____________．

14．已知⊙O的直徑為10，P為直線L上一點，OP=5，那么直線L與⊙O?的位置關系是_______．

15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點O是△ABC的外心，現以O為圓心，?分別以2，2．5，3為半徑作⊙O，則點C與⊙O的位置關系分別是________． 16．以等腰△ABC的一腰AB為直徑作圓，交底邊BC于D，則∠BAD與∠CAD?的大小關系是∠BAD________∠CAD．

17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C為圓心，以

2線AB?的位置關系是____________． 18．如圖8所示，A、B、C是⊙O上的三點，當BC平分∠ABO時得結論_________．

《圓相關的證明》

22．如圖20-12，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，?AB??AF，BF和AD交于E，求證：AE=BE．

24．如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C，∠A=28°．

（1）求∠ACM的度數．（2）在MN上是否存在一點D，使AB·CD=AC·BC，說明理由．

23．如圖，AB是⊙O的直徑，以OA為直徑的⊙O1與⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足為E．

（1）求證：AD=DC．（2）求證：DE是⊙O1的切線．

25．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半徑為3．（1）若圓心O與C重合時，⊙O與AB有怎樣的位置關系？（2）若點O沿CA移動，當OC等于多少時，⊙O與AB相切？

《圓相關的證明》

答案：

一、選擇題

1．D2．A3．B4．D5．C6．D7．B8．B9．D10．A

二、填空題

11．BM=BN等12．內含13．∠ADO=∠BDC等14．相交或相切15．在圓外、?在圓上、在圓內16．=17．相交18．OC∥AB等

三、解答題

19．證明：過點O作OE∥AB于E，則AE=BE．在△OCD中，OE⊥CD，OC=OD，∴CE=?DE．?∴AC=BD．

20．證明：∵四邊形ABDE是圓內接四邊形，∴∠DEC=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD．∴△DEC為等腰三角形．

21．證明：連結BC，由AB是直徑可知，?ACB?90???A?30???∠ABC=60°．

?

CD是切線?∠BCD=∠A=30°?∠D=30°=∠A?AC=CD． 22．證明：連結AB，AC，BC是直徑??BAC?90???ABC??ACB?90??

AD?BC??ADB?90???ABC??BAD?90??

?

??ACB??BAD

??

???∠BAD=∠ABF?AE=BE． AB??AF??ACB??ABF??

23．證明：（1）連結OD，AO是直徑??ADO?90??

AO?CO??AD=DC．

?

（2）連結O1D，O1D?O1A??A??ADO1?

OA?OC??A??C?

???C??ADO1

?

DE?CE??C??CDE?90??

?

??ADO1??CDE?90???O1DE?90??

D在?O??DE是切線．

1上?

24．解：（1）連結BC，AB是直徑??ACB?90??

?A?28???∠B=62°．

?

MN是切線?∠ACM=∠B=62°．

（2）過點B作BD⊥MN，則

?BDC1?90???ACB

?

MN是切線??BCN??A??△ACB∽△CNB

?

?

ACABCD?·CD1=AC·BC．

BC

?AB過點A作AD2⊥MN，則 ?AD1C?90???ACB

?

MN是切線??MCA??CBA??△ABC∽△ACD2

?

?ACD2AB

?CCB

?CD2·AB=AC·CB

25．解：（1）過點C作CH⊥AB于H，由三角形的面積公式得AB·CH=AC·BC，-4-

《圓相關的證明》

∴CH=AC?BCAB

=

606013，即圓心到直線的距離d=

．

∵d=

6013

>3，∴⊙O與AB相離．

（2）過點O作OE⊥AB于E，則OE=3．

∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∵OA=

OE?ABBC

=

3?1312?

134

∴OC=AC-OA=5-1374

=4

．

∴當OC=

時，⊙O與AB相切．

第二篇：中考數學與圓有關的證明問題

與圓有關的證明問題

一、選擇題

1．已知AB、CD是⊙O的兩條直徑，則四邊形ADBC一定是（）

A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形

2．如圖1，DE是⊙O的直徑，弦AB⊥ED于C，連結AE、BE、AO、BO，則圖中全等三角形有（）

A．3對B．2對C．1對D．0對

（1）(2)(3)(4)

3．垂徑定理及推論中的四條性質：①經過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的弧．由上述四條性質組成的命題中，假命題是（）

A．①②?③④B．①③?②④

C．①④?②③D．②③?①④

4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，給出下列三個結論：①以點C為圓心，?2.3cm長為半徑的圓與AB相離；②以點C為圓心，2.4cm長為半徑的圓與AB相切；?③以點C為圓心，2.5cm長為半徑的圓與AB相交，則上述結論正確的有（）

A．0個B．1個C．2個D．3個

5．在⊙O中，C是?AB的中點，D是?AC上的任意一點（與A、C不重合），則（）

A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB

C．AC+CB>AD+DBD．AC+CB與AD+DB的大小關系不確定

6．如圖2，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于點C，則圖中與∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．

A．1個B．2個C．3個D．4個

7．如圖3，在△ABC中，AD是高，AE是直徑，AE交BC于G，有下列四個結論：?①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正確結論的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

8．如圖4，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．?下面的結論：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正確的有（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

9．如圖5，圓內接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點，DP⊥AC，?垂足是P，DH⊥

?；③AP=BH；④DH為圓的切線，其中AD?BDBH，垂足是H，下列結論：①CH=CP；②?

一定成立的是（）

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(5)(6)(7)(8)10．如圖6，在⊙O中，AB=2CD，那么（）

?;B．??;A．?AB?2CDAB?2CD

?;D．AD與2CD的大小關系可能不確定C．?AB?2CD

二、填空題

11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB為直徑，MN?為弦，?試寫出一個你認為正確的結論：_________．

12．已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為10cm，6cm，OO的長為3cm，則⊙O1與⊙O2的位置關系是_________．

13．如圖7，C是⊙O的直徑AB延長線上一點，過點C作⊙O的切線CD，D為切點，連結AD、OD、BD，請你根據圖中所給的條件（不再標字母或添輔助線），寫出一個你認為正確的結論____________． 14．已知⊙O的直徑為10，P為直線L上一點，OP=5，那么直線L與⊙O?的位置關系是_______． 15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點O是△ABC的外心，現以O為圓心，?分別以2，2．5，3為半徑作⊙O，則點C與⊙O的位置關系分別是________．

16．以等腰△ABC的一腰AB為直徑作圓，交底邊BC于D，則∠BAD與∠CAD?的大小關系是∠BAD________∠CAD． 17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C為圓心，以

AB?的位置關系是____________．

18．如圖8所示，A、B、C是⊙O上的三點，當BC平分∠ABO時得結論_________．

三、解答題19．如圖，AB是⊙O的弦（非直徑），C、D是AB上兩點，并且OC=OD，求證：AC=BD．

20．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，與AC?交于點E，求證：△DEC為等腰三角形．

21．如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與⊙O切于C，交AB?的延長線于D，求證：AC=CD．

22．如圖20-12，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，?AB??AF，BF和AD交于E，求證：AE=BE．

23．如圖，AB是⊙O的直徑，以OA為直徑的⊙O1與⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足為E．

（1）求證：AD=DC．（2）求證：DE是⊙O1的切線．

24．如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C，∠A=28°．

（1）求∠ACM的度數．（2）在MN上是否存在一點D，使AB·CD=AC·BC，說明理由．

25．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半徑為3．（1）若圓心O與C重合時，⊙O與AB有怎樣的位置關系？（2）若點O沿CA移動，當OC等于多少時，⊙O與AB相切？

答案：

一、選擇題

1．D2．A3．B4．D5．C6．D7．B8．B9．D10．A

二、填空題

11．BM=BN等12．內含13．∠ADO=∠BDC等14．相交或相切15．在圓外、?在圓上、在圓內16．=17．相交18．OC∥AB等

三、解答題

19．證明：過點O作OE∥AB于E，則AE=BE．在△OCD中，OE⊥CD，OC=OD，∴CE=?DE．?∴AC=BD．

20．證明：∵四邊形ABDE是圓內接四邊形，∴∠DEC=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD．∴△DEC為等腰三角形．

21．證明：連結BC，由AB是直徑可知，?ACB?90????∠ABC=60°．

?A?30??

CD是切線?∠BCD=∠A=30°?∠D=30°=∠A?AC=CD． 22．證明：連結AB，AC，BC是直徑??BAC?90???ABC??ACB?90??

?

AD?BC??ADB?90???ABC??BAD?90??

??ACB??BAD??

??∠BAD=∠ABF?AE=BE． ??AB?AF??ACB??ABF??

23．證明：（1）連結OD，AO是直徑（2）連結O1D，??ADO?90??

??AD=DC．

AO?CO?

O1D?O1A??A??ADO1?

?

OA?OC??A??C???C??ADO1

?

?

DE?CE??C??CDE?90??

??ADO1??CDE?90???O1DE?90??

??DE是切線．

D在?O1上?

24．解：（1）連結BC，AB是直徑??ACB?90??

??∠B=62°．

?A?28??

MN是切線?∠ACM=∠B=62°．

（2）過點B作BD⊥MN，則

?BDC1?90???ACB

?

??△ACB∽△CNB

MN是切線??BCN??A?

ACAB

??AB·CD1=AC·BC． CD1BC

?

過點A作AD2⊥MN，則

?AD1C?90???ACB

?

??△ABC∽△ACD2

MN是切線??MCA??CBA?

ACCD2

??CD2·AB=AC·CB ABCB

?

25．解：（1）過點C作CH⊥AB于H，由三角形的面積公式得AB·CH=AC·BC，AC?BC6060

=，即圓心到直線的距離d=． AB131360

∵d=>3，∴⊙O與AB相離．

∴CH=

（2）過點O作OE⊥AB于E，則OE=3．

∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，OE?AB3?1313

? =

BC124

137

∴OC=AC-OA=5-=． 447

∴當OC=時，⊙O與AB相切．

∵OA=

第三篇：中考數學證明問題

中考數學專題1 線段角的計算證明問題

第一部分 真題精講，AD?3，BC?8．求1．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD?CD，?BDC?90°

AB的長．

2.已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?DCB?90?，AC?BD于點O，DC?2,BC?4，求AD的長.A

D

BC

AD∥BC，?B?90?，AD=2，BC?5，3.如圖，在梯形ABCD中，tanC?E為DC中點，4．求

3AE的長度 AD

E

BC

．

【總結】 以上三道真題,都是在梯形中求線段長度的問題.這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決.輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達到利用已知求未知的目的.一般來說,梯形的輔助線主要有以下5類

:

1、過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+

一矩形

2、平移一腰，分梯形為平行四邊形+ 三角形

3、延長梯形兩腰交于一點構造三角形

4、平移對角線，轉化為平行四邊形+三角形

5、連接頂點與中點延長線交于另一底延長線構筑兩個全等三角形或者過中點做底邊垂線

構筑兩個全等的直角三角形

以上五種方法就是梯形內線段問題的一般輔助線做法。對于角度問題，其實思路也是一樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式轉移到未知量附近。之前三道例題主要是和線段有關的計算。我們接下來看看和角度有關的計算與證明問題。

3.如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分?ADC，過點A作AE∥BD，交CD的延長線于點E，且?C?2?E，?BDC?30?，AD?3，求CD的長．

AB

ED

5.已知：PAPB?4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側.如圖，當∠APB=45°時，求AB及PD的長；

第二部分 發散思考

通過以上的一模真題，我們對線段角的相關問題解題思路有了一些認識。接下來我們自己動手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看分析，再沒思路了再看答案。

【思考1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?CD．若AC⊥BD，AD+BC=10，且?ABC?60?，求CD的長．

【思考2】如圖，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分別是AB，BC，CD，DA的中點，已知BC=7，MN=3，求EF

【思考3】已知?ABC，延長BC到D，使CD?BC．取AB的中點F，連結FD交AC于點E．

AE⑴ 求的值； AC

⑵ 若AB?a，FB?EC，求AC的長．

B

【思考4】如圖3，△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC的中點，E，F分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，試求EF的長．

D

【思考5】 如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點，?ADE和?BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結論．

第四篇：圓票證明

圓 票 證 明

地稅局：

茲有 公司在我單位承接消防安裝工程，需圓票金額，現由該公司 前來辦理圓票手續，請貴局給予辦理為謝!

業主單位名稱 年 月 日

第五篇：2021年中考數學復習練習圓切線證明方法

中考數學23題圓的切線證明及不規則陰影面積問題的解法探究

有關切線證明問題，通常給出直線與圓的交點時，要連半徑通過證明半徑與直線垂直，解決問題，證垂直的方法：（1）證明三角形全等，得出對應角相等，進而證得垂直；（2）通過證平行得出角相等，推出90度角得垂直；（3）通過角之間的關系，推出兩角互余，證垂直。若直線與圓沒有交點，可過圓心作直線的垂線，證明垂線段長等于半徑即可，這個類型的證明多用全等三角形來解決。

不規則圖形面積的求法，通常是轉化為三角形的面積與扇形面積和差來解決。在具體證明解題時，要根據題中的條件確定解題思路。在解題時注意三角形中位線定理，等腰三角形的性質的運用；圓與平行四邊形、菱形、正方形的綜合題要學會從整體上著眼，從局部入手，充分運用特殊四邊形的性質解題。

在解決這類問題時，經常要運用解直角三角形的知識來建立方程，求相關的量，總而言之，這類題綜合性較強，解題時要認真分析，書寫要嚴謹。

典型題解析

1.(2019葫蘆島)如圖，點M是矩形ABCD的邊AD延長線上一點，以AM為直徑的⊙O交矩形對角線AC于點F，在線段CD上取一點E，連接EF，使EC=EF.(1)

求證：EF是⊙O的切線；

(2)

若cos∠CAD=，AF=6，MD=2，求FC的長.解析

：（1）連接OF，∵四邊形ABCD是矩形可得∠CDA=900，∴∠DCA+∠DAC=900

∵EC=EF,OF=OA

∴∠EFC=∠DCA,∠OFA=∠DAC

∴∠EFC+∠OFA=900

∴∠EFO=1800-(∠EFC+∠OFA)=900

∴OF⊥EF

∴EF是⊙O的切線

(3)

過點O作OH⊥AF，垂足為H。

∵AF=6

∴AH=3

∵cos∠CAD=，cos∠CAD=

∴AO=5

∵AM=2AO=10,MD=2

∴AD=8

∵cos∠CAD=,cos∠CAD=

∴AC=

∴CF=AC-AF=-6=

2.（2019.鐵嶺）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，以點A為圓心、AB長為半徑的⊙A恰好經過BC的中點E，連接DE,AE,BD,AE與BD交于點F.（1）

求證：DE與⊙A相切

（2）

若AB=6，求BF的長。

解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴BC=AD=2AB.∵點E是BC的中點

∴BE=AD

∵AE=AB

∴AE=AB=BE

∴∠CBA=∠AEB=600

∵DC∥AB

∴∠C+∠CBE=1800

∴∠C=1200

∵CD=AB,AB=BE=CE

∴CD=CE

∴∠CDE=∠CED=300

∴∠DEA=1800-(∠CED+∠AEB)=900

∴AE⊥DE

∴DE與⊙A相切

（3）

過點B作BH⊥AE，垂足為H.則AH=HE,∵AB=6，∴AD=2AB=12,BE=6,AH=EH=3

∴BH=

∵BE∥AD

∴△FBE∽△FDA

∴

∴EF=AE=2

∴FH=EH-EF=1

∴BF=

3.(2018.撫順)如圖，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的弦，過⊙O外的點D作DE⊥OA于點E，交AC于點F，連接DC并延長交AB的延長線于點P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于點H.（1）

判斷直線DC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）

若HB=2，cos∠D=，請求出AC的長.解析：連接OC.∵OC=OA

∴∠OAC=∠OCA

∴∠COP=∠OAC+∠OCA=2∠OAC

∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COP

∵DE⊥OA

∴∠DEP=900

∴∠D+∠P=900

∴∠COP+∠P=900

∴OC⊥DC

∴DC與⊙O相切

（3）

∵cos∠D=，cos∠D=

又OB=OC,BH=2

∴

解得：OC=5

∴OH=3,OC=0A=5

∴CH=,AH=8

∴AC=

4.（2020.丹東）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，連接BD，∠CBD的平分線交⊙O于點E，交AC于點F，且AF=AB.（1）

判斷BC所在直線與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）

若tan∠FBC=，DF=2，求⊙O的半徑.解析：（1）∵AB為直徑

∴∠ADB=900

∴∠DFB+∠DBF=∠ADB=900

∵BF是∠CBD的平分線,AF=AB.∴∠DBF=∠CBF,∠ABF=∠AFB

∴∠CBF+∠ABF=900

∴BC⊥AB

∴BC所在直線與⊙O相切

(2)

∵tan∠FBC=，∠DBF=∠CBF,DF=2

∴tan∠DBF=,∴BD=5

∵AF=AB

∴AD=AF-BD=AB-2

∵BD2+AD2=AB2

∴25+(AB-2)2=AB2

解得

：AB=

5.（2017.鐵嶺）如圖，AB是半圓O的直徑，點C是半圓上一點，連接OC，BC，以點C為頂點，CB為邊作∠BCF=∠BOC,延長AB交CF于點D.(1)

求證：直線CF是半圓O的切線；

(2)

若BD=5，CD=,求弧BC的長.解析

：（1）∵OC=OB

∴∠OCB=∠OBC

∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=1800

∴∠OCB+∠BOC=900

∵∠BCF=∠BOC

∴∠OCB+∠BCF

=900

∴OC⊥CF

∴直線CF是半圓O的切線；

(2)設半徑為r

則有：r2+CD2=(r+BD)2

即

r2+75=(r+5)2

解得，r=5

∵OB=BD,∠OCD=900

∴BC=OB=OC=5

∴∠BOC=600

∴弧BC=

6.（2020.錦州）平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，以AB為直徑的⊙O經過點E，與AD交于點F，G是AD延長線上一點，連接BG，交AC于點H，且∠DBG=∠BAD.（1）

求證：BG是⊙O的切線；

（2）

若CH=3,tan∠DBG=，求⊙O的直徑.解析:(1)∵AB是直徑

∴∠BEA=900

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴平行四邊形ABCD是菱形

∴AB=AD

∴∠BAE=∠BAD.∵∠DBG=∠BAD.∴∠DBG=∠BAE

∵∠BAE+∠ABE=900,∴∠DBG

+∠ABE=900,∴BG⊥AB

(2)設HE=x

∵tan∠DBG=

tan∠BAE=，∴BE=2HE=2x,AE=4x

∵CE=AE,CH=3

∴3+x=4x,解得：x=1，即

AE=4,BE=2

∴AB=

7.（2019.本溪）如圖，點P為正方形ABCD的對角線AC上的一點，連接BP并延長交CD于點E，交AD的延長線于點F，⊙O是△DEF的外接圓，連接DP.（1）

求證：DP是⊙O的切線；

（2）

若tan∠PDC=，正方形ABCD的邊長為4，求⊙O的半徑和線段OP的長.7.解析：（1）連接OD.∵四邊形ABCD是正方形

∴CD=CB,∠DCP=∠BCP=450

∵CP=CP

∴△DCP≌△BCP

∴∠CDP=∠CBP

∵∠DCB=900

∴∠CEB+∠CBE=900

∵OD=OE,∠OED=∠CEB

∴∠ODE=∠OED=CEB

∴∠ODE+∠CDP=900

∴OD⊥DP

∴DP是⊙O的切線

(2)∵tan∠PDC=tan∠CBE=,BC=4

∴DE=CE=2

∵BC∥AF

∴∠EFA=∠CBE

∴tan∠DFE=

∴DF=4

∴FE=

∴OD=

過點P作PH⊥DC垂足為H.∵tan∠PDC==

∴DH=2PH

∵∠PCH=∠CPH=4500

∴PH=CH

∵DH+CH=4

∴DH=,PH=CH=

∴DP=

∴OP=

8.（2018.撫順）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=900，以AB為直徑作⊙O，點D為⊙O上一點，且CD=CB，連接DO并延長交CB的延長線于點E.（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由：

（2）若BE=4,DE=8,求AC的長.解析：理由如下：

連接OC.∵CB=CD,OB=OD,OC=OC

∴△OBC≌△ODC

∴∠ODB=∠OBC=900

∴OD⊥DC

∴直線CD與⊙O相切

（2）設半徑

為r，則OE=DE-OD=8-r,OB=r

∵OB2+BE2=OE2

∴r2+16=(8-r)2

解得：r=3

即OB=3,AB=6,OE=5

∵∠OEB=∠CED,∠EBO=∠EDC=900

∴△OEB∽△CED

∴

∴EC=

∴BC=CE-BE=10-4=6

∴AC=

9.(2020。遼陽)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對角線，∠CAB=900,以點A為圓心，以AB的長為半徑作⊙A，交BC邊于點E，交AC于點F，連接DE.（1）求證：DE與⊙A相切；

（2）若∠ABC=600，AB=4，求陰影部分的面積.解析

：連接AE.∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴BA=DC,∠B=∠ADC

∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,DC=AE

∵BC∥AD

∴∠EAD=∠AEB=∠CDA

∵DA=AD

∴△DAC≌△ADE

∴∠DEA=∠ACD

∵CD∥AB

∴∠DCA=∠BAC=900

∴∠DEA=∠ACD=900

∴AE⊥DE

∴DE與⊙A相切

(2)過點E作EH⊥AC垂足為H.∵∠ABC=600，AE=AB=4

∴∠EAB=600,AC=

∴∠CAE=300

∴FE=1

∴陰影部分的面積=S△AEC-S扇形FAE=

10.（2018.葫蘆島）如圖AB是⊙O的直徑弧AC=弧BC，E是OB的中點，連接CE并延長到點F，使EF=CE,連接AF交⊙O于點D，連接BD，BE.(1)求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若OB=2，求BD的長。

解析：（1）連接OC.∵B是⊙O的直徑弧AC=弧BC

∴∠COA=∠COB=900

∵E是OB的中點

∴CE=FE

∵EF=CE,∠CEO=∠FEB

∴△CEO≌△FEB

∴∠FBA=∠COB=900

∴AB⊥BF

∴直線BF是⊙O的切線

(2)∵△CEO≌△FEB

∴BF=OC=OB=2

又∵AB=2OB=4

∴AF=

由AB?BF=AF?DB得

DB=

11.（2020.葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC，AC于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD，AB的延長線相交于點G.（1）

求證：DF是⊙O的切線；

（2）

若CF=1,DF=,求圖中陰影部分的面積。

解析：（1）證明

：連接OD，AD.∵AB是⊙O直徑

∴∠ADB=900

∵AB=AC，OD=OA

∴∠BAD=∠CAD，∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠AFG=∠ODG

∵DF⊥AC

∴∠ODG=∠AFG=900

∴OD⊥FD

∴DF是⊙O的切線

（2）∵CF=1,DF=，∠DFC=900

∴∠C=600，CD=2

∵AB=AC，∠ADB=900

∴∠OBD=∠C=600,DB=DC=2

∵OD=OB

∴△ODB是等邊三角形

∴∠BOD=600,OD=2

∴∠OCG=300

∴DG=

∴圖中陰影部分的面積=S△ODC-S扇形DOB=

12.（2017.本溪）如圖，△PAB內接于⊙O，平行四邊形ABCD的邊AD是⊙O的直徑，且∠C=∠APB，連接BD.(1)

求證：BC是⊙O的切線。

(2)

若BC=2，∠PBD=600，求AP與弦AP圍成的陰影部分的面積。

解析

：（1）連接OB.∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠C=∠DAB

∵∠C=∠APB

∴∠DAB=∠APB

∴弧BD=弧AB

∵AB是直徑

∴∠AOB=∠BOD=900

∵AD∥BC

∴∠OBC=∠AOB==900

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線。

（2）連接OP.∵∠PBD=600

∴∠PAD=∠PBD=600

∵OP=OA

∴△OAP是等邊三角形

∴∠AOP=600,OH=

∵AD=BC=2

∴OA=1

∴AP與弦AP圍成的陰影部分的面積=S扇形OAP-S△OAP=

13.（2017.鐵嶺）如圖，四邊形ABCD中，連接AC，AC=AD，以AC為直徑的⊙O過點B，交CD于點E，過點E作EF⊥AD于點F.（1）

求證：EF是⊙O的切線；

（2）

若∠BAC=∠DAC=300,BC=2,求弧BCE的長。（結果保留）

解析：（1）證明：連接OE,AE.∵AC為直徑

∴∠AEC=∠AED=900

∵AC=AD

∴CE=DE

∵OA=OC

∴OE∥AD

∴∠OEF=∠EFD

∵EF⊥AD

∴∠OEF=∠EFD=900

∴OE⊥EF

∴EF是⊙O的切線；

（2）連接OB.∵∠BAC=∠DAC=300,∠CAE=∠CAD

∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=450

∴∠BOE=2∠BAE=900

∵AC是直徑

∴∠ABC=900

∴AC=2BC=4

∴弧BCE的長=

14.（2017.撫順）如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=CB，點O在△ABC的內部，⊙O經過B，C兩點，交AB于點D，連接CO并延長交AB于點G，以GD，GC為鄰邊作GDEC.（1）

判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由。

（2）

若點B是弧DBC的中點，⊙O的半徑為2，求弧BC的長。

解析：（1）DE與⊙O的位置相切，理由如下：

連接OD.∵∠ACB=900，AC=CB

∴∠B=∠A=450

∴∠DOC=2∠B=900

∵四邊形DECB是平行四邊形

∴ED∥CG

∴∠EDO+∠DOC=1800

∴∠EDO=900

∴OD⊥DE

∴DE與⊙O的位置相切

（2）∵點B是弧DBC的中點

∴弧CB=弧DB

∴∠DOB=∠COB

∵∠DOB+∠COB+∠DOC=3600，∠DOC=900

∴∠COB=1350

∵⊙O的半徑為2

∴弧CB=

15.（2017.營口）如圖，△ABC中，∠ACB=900,BO為△ABC的角平分線，以點O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交于點D.（1）

求證：AB為⊙O的切線；

（2）

若tan∠A=，AD=2,求BO的長.解析：（1）證明：過點O作OH⊥AB，垂足為H.則∠OHB=900

∵BO為△ABC的角平分線，∴∠HBO=∠CBO

∵∠ACB=900,∴∠OHB=∠ACB，又BO=BO

∴△BOH≌△BOC

∴OH=OC=R

∴AB為⊙O的切線

（2）設OH=3k，由tan∠A=得，AH=4K,根據勾股定理

得，AO=5k。

∵AD=2，AO=AD+OD,OD=OH=3k.∴5k=2+3k，解得：k=1

∴OC=3，AC=8

在Rt△ACB中

tan∠A=

∴BC=6

∴OB=

16.（2018.本溪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，點O，D分別為AB，BC的中點，連接OD，作⊙O與AC相切于點E，在AC邊上取一點F，使DF=DO，連接DF.（1）

判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）

當∠A=300，CF=時，求⊙O的半徑。

解析：（1）直線DF與⊙O的位置相切，理由如下：

連接OE,過點O作OH⊥DF，垂足為H.∵⊙O與AC相切于點E,∴OE⊥AB

∵點O，D分別為AB，BC的中點

∴OD∥AC

∴∠ODC+∠C=1800,又∠C=900，∴∠ODC=∠OEC=∠C=900

∴四邊形DCEO是矩形

∴DC=OE=R

∵∠ODH=∠CFD,DF=DO,∠OHD=∠DCF=900

∴△OHD≌△DCF

∴OH=DC=OE=R

∴直線DF與⊙O的位置相切

（2）∵OD是△ABC的中位線

∴OD=AC,∵四邊形DCEO是矩形

∴OD=CE

∴OD=AE

在Rt△OEA中，∠A=300，∠OEA=900

∴OD=AE=OE=R

∵△OHD≌△DCF

∴DH=CF=

在Rt△OHD中，OH2+DH2=OD2

∴R2+2=3R2,解得：R=1