第一篇：圓的證明歌

圓的證明歌：

圓的證明不算難，常把半徑直徑連;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直徑是圓最大弦，直圓周角立上邊，它若垂直平分弦，垂徑、射影響耳邊;還有與圓有關角，勿忘相互有關聯，圓周、圓心、弦切角，細找關系把線連。同弧圓周角相等，證題用它最多見，圓中若有弦切角，夾弧找到就好辦;圓有內接四邊形，對角互補記心間，外角等于內對角，四邊形定內接圓;直角相對或共弦，試試加個輔助圓;若是證題打轉轉，四點共圓可解難;要想證明圓切線，垂直半徑過外端，直線與圓有共點，證垂直來半徑連，直線與圓未給點，需證半徑作垂線;四邊形有內切圓，對邊和等是條件;如果遇到圓與圓，弄清位置很關鍵，兩圓相切作公切，兩圓相交連公弦。

解不等式的途徑，利用函數的性質。對指無理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉化要等價。數形之間互轉化，幫助解答作用大。

證不等式的方法，實數性質威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數學歸納法。圖形函數來幫助，畫圖建模構造法

第二篇：圓票證明

圓 票 證 明

地稅局：

茲有 公司在我單位承接消防安裝工程，需圓票金額，現由該公司 前來辦理圓票手續，請貴局給予辦理為謝!

業主單位名稱 年 月 日

第三篇：杭州學思教育小升初數學圓的證明歌

圓的證明歌：

圓的證明不算難，常把半徑直徑連;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直徑是圓最大弦，直圓周角立上邊，它若垂直平分弦，垂徑、射影響耳邊;還有與圓有關角，勿忘相互有關聯，圓周、圓心、弦切角，細找關系把線連。

同弧圓周角相等，證題用它最多見，圓中若有弦切角，夾弧找到就好辦;圓有內接四邊形，對角互補記心間，外角等于內對角，四邊形定內接圓;直角相對或共弦，試試加個輔助圓;

若是證題打轉轉，四點共圓可解難;要想證明圓切線，垂直半徑過外端，直線與圓有共點，證垂直來半徑連，直線與圓未給點，需證半徑作垂線;四邊形有內切圓，對邊和等是條件;如果遇到圓與圓，弄清位置很關鍵，兩圓相切作公切，兩圓相交連公弦。圓中比例線段：遇等積，改等比，橫找豎找定相似;不相似，別生氣，等線等比來代替，遇等比，改等積，引用射影和圓冪，平行線，轉比例，兩端各自找聯系。

第四篇：圓冪定理及其證明

圓冪定理

圓冪的定義:一點P對半徑R的圓O的冪定義如下：OP?R

所以圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們推論的統稱。

（1）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

DA22PC

如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，則∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 BAPPD??AP?BP?PC?PD PCBP（2）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項。

TPAB

如圖，PT為圓切線，PAB為割線。連接TA，TB，則∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圓周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPA??PT2?PA?PB PBPT（3）割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有

PA·PB=PC·PD。

DCPAB

這個證明就比較簡單了。可以過P做圓的切線，也可以連接CB和AD。證相似。存在：PA?PB?PC?PD 進一步升華（推論）：

過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則

PC?PD?(PO?R)?(PO?R)?PO2?R2?|PO2?R2|（一定要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值）

若點P在圓內，類似可得定值為R2?PO2?|PO2?R2|

故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕 對值。（這就是“圓冪”的由來）

第五篇：圓的有關證明相關定理

平面幾何證明相關定理、題型及條件的聯想

一、平面幾何證明相關定理

1、平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段相等.推論1: 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推論2: 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。

2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。

3、相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比；

相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于相似比； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于相似比的平方；

4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項；

兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

5、圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

圓心角定理：圓心角的度數等于它所對的弧的度數。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

6、圓內接四邊形的性質定理與判定定理：

圓的內接四邊形的對角互補；圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角。如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；

如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。

7、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過圓心；經過切點且垂直于切線的直線必經過切點。

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

8、相交弦定理：圓內兩條相交弦，被交點分成兩條線段長的積相等。

割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；圓心和這點的連線平分兩條切線的夾角。

重要結論：經過不共線三點的圓有且只有一個

二、平面幾何證明問題形式及處理方向

1、線段等比式的證明——利用三角形相似證明

2、線段的等積式證明——轉化成等比式，利用三角形相似證明，或者等比中項式進行等量代換證明

3、等比中項式證明——可以通過三角形相似，切割線定理，直角三角形射影定理證明

4、線段相等證明——如果它們在一個三角形中，則證明它們所對的角相等，如果不在同一個三角形中，則通過等量代換證明即可

5、四點共圓的證明——證明四點形成的三角形對角互補或是證明該四邊形中同一條邊對應的兩個角相等

6、直線與圓相切的證明——連接圓心與直線與圓的交點，證明半徑與該直線垂直即可

7、角相等的證明——通過三角形相似證明或是等量代換證明

8、三角形相似的證明——通過證明兩個三角形中有兩組角對應相等或是一組角相等，且夾這個的兩邊對應成比例

三、平面幾何證明條件的發散思維

1、條件中有直徑——聯想——直徑所對的圓周角是直角，2、條件中的切線——聯想——切割線定理，弦切角定理，連接圓心與與切點，半徑與切線垂直

3、直角三角形斜邊上的高——聯想——直角三角形射影定理

4、條件中圓內接四邊形——聯想——圓內角四邊形對角互補，圓內接四邊形外角等于內對角

5、條件中弧相等——聯想——它們所對的圓周角相等

6、條件中線段相等——聯想——如果在同一個三角形中，則它們所對的角相等