第一篇：證明直線與圓相切的常見方法（定稿）

證明直線與圓相切的常見方法

學習了直線與圓的位置關系,常會遇到證明一條直線是圓的切線的題目,如何證明一條直線是圓的切線,一般會出現以下三種情況.一、若證明是圓的切線的直線與圓有公共點,且存在連接公共點的半徑,此時可根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.簡記為“見半徑，證垂直”.例1如圖1,已知AB為⊙O的直徑,直線PA過點A,且∠PAC=∠B.求證:PA是⊙O的切線.圖 1分析：要證明PA是⊙O的切線，因為AB是⊙O的直徑，所以只要證明AB⊥AP.可結合直徑所對的圓周為直角進行推理.證明：因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因為∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切線.二、若給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑，則連結公共點和圓心，然后根據“經過半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”來證明.簡記為“作半徑，證垂直”.例2如圖2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長線上的一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，且AC平分∠EAB．

求證：DE是⊙O的切線．

證明：連接OC，則OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因為AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切線．

三、若直線與圓的公共點不明確時，則過圓心作該直線的垂線段，然后根據“圓心到直線的距離等于圓的半徑，該直線是圓的切線”來證明.簡記為“作垂直，證相等”.例3如圖3，已知，O為正方形ABCD對角線上一點，以O為圓心，OA的長為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F.求證：CD與⊙O相切．

圖3

分析：要識別“CD與⊙O相切”，由于不知道CD經過圓上哪一點，所以先過點O作：ON⊥CD于N，再證明ON是⊙O半徑。易知OM是⊙O的半徑，只要證明：OM=ON即可.證明：連結OM，作ON⊥CD于N，因為 ⊙O與BC相切，所以 OM⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以 AC平分∠BCD.所以OM=ON.圖 4

所以CD與⊙O相切.總結： 切線判斷并不難，認真審題是重點；直線與圓有交點，連接半徑是關鍵，推得垂直是切線；若沒明確是切點，作過圓心垂線段，半徑相等得切線.

第二篇：怎樣證明直線與圓相切？

怎樣證明直線與圓相切？

在直線與圓的各種位置關系中，相切是一種重要的位置關系．

現介紹以下三種判別直線與圓相切的基本方法：

(1)利用切線的定義——在已知條件中有“半徑與一條直線交于半徑的外端”，于是只需直接證明這條直線垂直于半徑的外端．

例1：已知：△ABC內接于⊙O，⊙O的直徑AE交BC于F點，點P在BC的延長線上，且∠CAP=∠ABC．

求證：PA是⊙O的切線．

證明：連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且過A點，則PA是⊙O的切線．

(2)利用切線的判定定理——在已知條件中，有“一條直線過圓上某一公共點(即為切點)，但沒有半徑”，于是先連接圓心與這個公共點成為半徑，然后再證明這條直線和這條半徑垂直．

例2：以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作⊙O交斜邊AB于P，Q為AC的中點． 求證：PQ必為⊙O的切線．

證明 連接OP，CP．

∵BC為直徑，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．

又∵Q為AC中點，∴QP=QC，∴∠1=∠2．

又OP=OC，∴∠3=∠4．

又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．

∵P點在⊙O上，且P為半徑OP的端點，則QP為⊙O的切線．

說明：要證PQ與半徑垂直，即連接OP．這是判別相切中添輔助線的常用方法．

(3)證明“d=R”——在已知條件中“沒有半徑，也沒有與圓有公共交點的直線”，于是過圓心作直線的垂線，然后再證明這條垂線的長(d)等于圓的半徑(R)．

例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC與D，且AD=BC，E、F為AB、AC的中點，O為EF2的中點。

求證：以EF為直徑的圓與BC相切．

證明：作OH⊥BC于H，設AD與EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，則OHDM是矩形．

∴OH是⊙O的半徑，則EF為直徑的圓與BC相切.思考題：

1．AB是⊙O的直徑，AC是弦，AC=CD，EF過點C，EF⊥BD于G．

求證：EF是⊙O的切線．

提示：連接CO，則OC是⊙O的半徑，再證OC⊥EF．

2．DB是圓的直徑，點A在DB的延長線上，AB=OB，∠CAD=30°．求證：AC是⊙O的切線．

提示：∵AC與⊙O沒有公共點，∴作OE⊥AC于E，再證OE是⊙O的半徑．

第三篇：圓錐曲線與直線相切的條件教案

圓錐曲線與直線相切的條件教案

教學目的(1)掌握圓錐曲線與直線相切的條件及圓錐曲線切線的定義；

(2)使學生會用初等數學方法求圓錐曲線的切線；

(3)應用相切的公式解題，從而培養學生綜合應用能力．

教學過程

一、問題提出

1．有心的二次曲線包括哪些？無心的二次曲線包括哪些？

(答：有心的二次曲線是圓、橢圓及雙曲線；無心的二次曲線是拋物線．)

(由教師啟發下，讓學生共同討論．)

(1)當α＞0，β＞0且α＝β時，方程表示為圓；

(2)當α＞0，β＞0且α≠β時，方程表示為橢圓；

(3)當α、β為異號時，方程表示為雙曲線．

因此，這個方程可以統一表示有心的二次曲線．

3．圓錐曲線與直線的相切的條件是什么？

設直線l′與圓錐曲線相交于P、Q兩點(圖1)，將直線l′繞點P旋轉，使點Q逐漸靠近點P，當l′轉到直線l的位置時，點Q與點P重合，這時，直線l叫做圓錐曲線在點P的切線．也就是圓錐曲線與直線l相切．根據這個定義，于是圓錐曲線方程

f(x，y)＝0

與直線方程

y＝kx＋m

組成的方程組應有兩個相同的實數解．實系數一元二次方程有兩個相同的實數解的充要條件是判別式Δ＝0，根據條件轉化為求Δ＝0．

(啟發學生回答，由教師歸納，然后板書課題．)

今天我們要研究“圓錐曲線與直線相切的條件”．

二、講述新課

根據上面分析，得

由②代入①，化簡、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

當αk＋β≠0時(二次項系數)，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(啟發學生討論．)

由于α、β均不為零，因此當Δ＝0時可知有心二次曲線與直線y＝kx＋m相切的充要條件為

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

這里αk2＋β恰是方程③的二次項系數．

(引導學生對結論④，在圓、橢圓、雙曲線各種情況下變化規律進行討論，教師邊歸納，邊板書．)

(1)對于圓x2＋y2＝γ2，可寫成

222

222

即有α＝β＝γ2，于是相切條件為m2＝γ2(k2＋1)．

(2)對于橢圓(焦點在x軸上)

即有α＝a，β＝b，于是相切條件為m＝ak＋b．

(3)對于橢圓(焦點在y軸上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝b2k2＋a2．

(4)對于雙曲線(焦點在x軸上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切條件為m2＝a2k2－b2．

(5)對于雙曲線(焦點在y軸上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝a2－b2k2．

[應用有心曲線統一公式，這樣就不必從圓、橢圓、雙曲線一個一個地去求，可避免一個一個冗長復雜的計算，使問題的解決變得簡捷．]

2．無心的二次曲線y2＝2px與直線y＝kx＋m相切的條件

根據上面的分析，得

由②代入①，化簡整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

當二次項系數k2≠0時，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

無心的二次曲線x2＝2py與直線y＝kx＋m相切的條件，應為

(讓學生獨立完成．)

三、鞏固新課

(讓學生直接對照上述結論，設所求公切線的斜率為k，截距為m，再根據橢

解 設所求的公切線斜率為k，截距為m，根據相切條件有

由②代入①，化簡整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切線方程為

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求雙曲線的兩條互相垂直的切線交點的軌跡方程．

(幫助學生分析解題的幾個要點，然后由學生上黑板解，教師巡視指點．)

y=kx＋m，則由相切條件，可知m2=a2k2－b2．

(2)設兩切線交點為P(x0，y0)，則切線方程為

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直線，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韋達定理從方程①求得k1k2，即

因此，點P的軌跡方程為

x＋y=a－b．

這里a＞b，點P的軌跡是一個實圓；

a=b，點P的軌跡是一個點圓；

a＜b，點P無軌跡(虛圓)．

解略．

法，不難得出軌跡方程為圓方程

x＋y=a＋b；

這題若改為求拋物線y=2px的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡方程，方法也類似，不難得出軌跡方程為

即點P一定在準線上．

[這樣改變一下題目，可讓學生開拓思路，舉一反三．]

四、練習

1．已知l為橢圓x＋4y=4的切線并與坐標軸交于A、B兩點，求|AB|的最小值及取得最小值時切線l的方程．

2解 如圖2，設切線方程為

y=kx＋m，根據相切條件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切線共有四條(圖3)，它們的方程為

求四邊形ABCD的最大面積．

則由相切條件，知

m2=a2k2＋b2，故兩切線方程為

即

兩切線間的距離

∴四邊形ABCD的最大面積為

五、補充作業

軌跡方程．

2．求出斜率為k的圓錐曲線的切線方程．

教案說明

這一節課的指導思想是：根據現代教育理論，強調在教學的過程中培養能力，特別是思維能力．數學思維結構與科學結構十分相似，學習數學的過程，就是從一種思維結構過渡到另一種思維結構的過程，數學知識只是進行思維結構訓練的材料．二次曲線與直線相切的條件若從上述結構進行訓練，就是使學生形成完整的思維結構，使對數學的認識有新的突破．這一點已成為我在課堂教學中進行探索和研討的課題．

這節課的整個教學過程中，著重于講解——啟導——探究，培養學生的分析能力．講解時，突出重點：“相切條件”，并以此為中心，達到舉一反

三、觸類旁通．其中也穿插了自學討論，而不是教師滿堂灌．

在練習中，注意到了再現性練習、鞏固性練習，同時也留有發現性練習，使學生以新帶舊，鞏固新知，發展智力，反過來從思維結構上形成完整體系，以認識數學本身．

第四篇：立體幾何常見證明方法

立體幾何方法歸納小結

一、線線平行的證明方法

1、根據公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。

2、根據線面平行的性質定理，若直線a平行于平面A，過a的平面B與平面A相交于b，則 a//b。

3、根據線面垂直的性質定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。

4、根據面面平行的性質定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線 a與直線 b，則a//b。????????

5、由向量共線定理，若AB?xCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。

二、線面平行的證明方法

1、根據線面平行的定義，證直線與平面沒有公共點。

2、根據線面平行的判定定理，若平面 A內存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)

3、根據平面與平面平行的性質定理，若兩平面平行，則一個平面內的任一直線與另一個平面平行。

4、向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內，則c//A。

三、面面平行的證明方法

1、根據定義，若兩平面沒有公共點，則兩平面平行。

2、根據兩平面平行的判定定理，一個平面內有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行。

或根據兩平面平行的判定定理的推論，一平面內有兩相交直線與另一平面內兩相交直線平行，則兩平面平行。

3、垂直同一直線的兩平面平行。

4、平行同一平面的兩平面平行。

5、向量法，證明兩平面的法向量共線。

四、兩直線垂直的證明方法

1、根據定義,證明兩直線所成的角為90°

2、一直線垂直于兩平行直線中的一條,也垂直于另一條.3、一直線垂直于一個平面,則它垂直于平面內的所有直線.4、根據三垂線定理及逆定理,若平面內的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內的射影),則它垂直于斜線在平面內的射影(或平面的斜線).5、向量法.五、線面垂直的證明方法

1、根據定義,證明一直線與平面內的任一(所有)直線垂直,則直線垂直于平面.2、根據判定定理,一直線垂直于平面內的兩相交直線,則直線垂直于平面.3、一直線垂直于兩平行平面中的一個,也垂直于另一個.4、兩平行直線中的一條垂直于一個平面,另一條也垂直于這個平面.5、根據兩平面垂直的性質定理,兩平面垂直,則一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.6、向量法,證明平面的法向量與表示該直線的向量共線.六、面面垂直的證明方法

1、根據面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。

2、根據面面垂直的判定定理，一平面經過另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。

3、一平面垂直于兩平行平面中的一個，也垂直于另一個。

4、向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數量積為零）。

七、兩異面直線所成角的求法

1、根據定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點（中位線的交點）然后在三角形中求角。

3、cos?=cos?1cos?

24、向量法.八、直線與平面所成角的求法

1、根據定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、轉化為距離(sin?=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）

注：對兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。

九、二面角的求法

1、定義法，從二面角的棱上的某一點分別在兩個半平面內作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。

2、根據三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面積法，先作出一個半平面內的某個多邊形，在另一個半平面內的射影多邊形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ為二面角的平面角，s'為射影多邊形的面積，s為多邊形的面積）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出兩個半平面的法向量，然后求兩法向量的夾角。（一般要先根據已知判斷二面角是銳角還是鈍角,否則要判斷指向，同內同外為補角）

5.公式法(異面直線上點距離公式和三類角公式)

十、點到平面的距離的求法

1、根據定義，直接求垂線段的長度。

2、向量法，利用公式??????|PA?n|d=|n|（其中PA為平面的一條斜

線，向量n 為平面的一個法向量。

3、等體積法，主要用在四面體（三棱錐）中，根據四面體的體積等于1/3底面積×高，選取不同的底面積，求出其中一條高長。

十一、平面圖形翻折問題的處理方法

1、先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關系在翻折過程中不變，哪些已發生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結為一個條件與結論都已知的立體幾何問題。

2、有關翻折問題的計算，必須抓住在翻折過程中點、線、面之間的位置關系、數量關系中，哪些是變的，哪些沒變，尤其要抓住不變量。對計算幾何體上兩點之間的最短距離問題，要注意轉變為平面圖形求兩點間的距離來計算。

十二、要注意的問題

1、對推理論證與計算相結合的題目的解題原則是一作、二證、三計算。(向量法可省略證角，但必須交代如何建系，右手系)。

2、正方體中，兩個平行的正三角形截面把一條與它們垂直的體對角線三等分。

3、已知三條射線兩兩夾角，會求線面角和二面角(課堂筆記，只需會推導方法，不需強記公式)

4、適當時候，坐標法不方便時可以考慮基向量法，求向量

模易出錯：r

a?。

5、求異面直線間的距離，若公垂線找不到，除向量法外，可以考慮構造平行平面或平行線面，轉化為點面距離求。

第五篇：立體幾何常見證明方法

立體幾何方法歸納小結

一、線線平行的證明方法

1、根據公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。

2、根據線面平行的性質定理，若直線a平行于平面A，過a的平面B與平面A相交于b，則 a//b。

3、根據線面垂直的性質定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。

4、根據面面平行的性質定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線 a與直線 b，則a//b。

????????

5、由向量共線定理，若AB?xCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。

二、線面平行的證明方法

1、根據線面平行的定義，證直線與平面沒有公共點。

2、根據線面平行的判定定理，若平面 A內存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)

3、根據平面與平面平行的性質定理，若兩平面平行，則一個平面內的任一直線與另一個平面平行。

4、向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內，則c//A。

三、面面平行的證明方法

1、根據定義，若兩平面沒有公共點，則兩平面平行。

2、根據兩平面平行的判定定理，一個平面內有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行。

或根據兩平面平行的判定定理的推論，一平面內有兩相交直線與另一平面內兩相交直線平行，則兩平面平行。

3、垂直同一直線的兩平面平行。

4、平行同一平面的兩平面平行。

5、向量法，證明兩平面的法向量共線。

四、兩直線垂直的證明方法

1、根據定義,證明兩直線所成的角為90°

2、一直線垂直于兩平行直線中的一條,也垂直于另一條.3、一直線垂直于一個平面,則它垂直于平面內的所有直線.4、根據三垂線定理及逆定理,若平面內的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內的射影),則它垂直于斜線在平面內的射影(或平面的斜線).5、向量法.五、線面垂直的證明方法

1、根據定義,證明一直線與平面內的任一(所有)直線垂直,則直線垂直于平面.2、根據判定定理,一直線垂直于平面內的兩相交直線,則直線垂直于平面.3、一直線垂直于兩平行平面中的一個,也垂直于另一個.4、兩平行直線中的一條垂直于一個平面,另一條也垂直于這個平面.5、根據兩平面垂直的性質定理,兩平面垂直,則一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.6、向量法,證明平面的法向量與表示該直線的向量共線.六、面面垂直的證明方法

1、根據面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。

2、根據面面垂直的判定定理，一平面經過另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。

3、一平面垂直于兩平行平面中的一個，也垂直于另一個。

4、向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數量積為零）。

七、兩異面直線所成角的求法

1、根據定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點（中位線的交點）然后在三角形中求角。

3、cos?=cos?1cos?2

4、向量法.八、直線與平面所成角的求法

1、根據定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、轉化為距離(sin?=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）注：對兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。九、二面角的求法

1、定義法，從二面角的棱上的某一點分別在兩個半平面內作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。

2、根據三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面積法，先作出一個半平面內的某個多邊形，在另一個半平面內的射影多邊形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ為二面角的平面角，s'為射影多邊形的面積，s為多邊形的面積）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出兩個半平面的法向量，然后求兩法向量的夾角。（一般要先根據已知判斷二面角是銳角還是鈍角,否則要判斷指向，同內同外為補角）

5.公式法(異面直線上點距離公式和三類角公式)

十、點到平面的距離的求法

1、根據定義，直接求垂線段的長度。

2、向量法，利用公式

??????|PA?n|d=??|n|（其中PA為平面的一條斜線，向量n 為平面的一個法向量。

3、等體積法，主要用在四面體（三棱錐）中，根據四面體的體積等于1/3底面積×高，選取不同的底面積，求出其中一條高長。

十一、平面圖形翻折問題的處理方法

1、先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關系在翻折過程中不變，哪些已發生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結為一個條件與結論都已知的立體幾何問題。

2、有關翻折問題的計算，必須抓住在翻折過程中點、線、面之間的位置關系、數量關系中，哪些是變的，哪些沒變，尤其要抓住不變量。對計算幾何體上兩點之間的最短距離問題，要注意轉變為平面圖形求兩點間的距離來計算。

十二、要注意的問題

1、對推理論證與計算相結合的題目的解題原則是一作、二證、三計算。(向量法可省略證角，但必須交代如何建系，右手系)。

2、正方體中，兩個平行的正三角形截面把一條與它們垂直的體對角線三等分。

3、已知三條射線兩兩夾角，會求線面角和二面角(課堂筆記，只需會推導方法，不需強記公式)

4、適當時候，坐標法不方便時可以考慮基向量法，求向量模易出錯：ra?r2a。

5、求異面直線間的距離，若公垂線找不到，除向量法外，可以考慮構造平行平面或平行線面，轉化為點面距離求。