第一篇：圓的證明與計算(弧中點)

《弧中點的運用》教學案

張店中學

桂應(yīng)祥 教學目標：

1、知道過弧中點作圓的切線得到的基本圖形以及相關(guān)基本結(jié)論；

2、會利用該基本圖形中的結(jié)論（性質(zhì)）進行計算；

3、通過變式尋求基本圖形的性質(zhì)，從而探求一般解法，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；

4、在變式過程中養(yǎng)成探究的習慣，增強學習數(shù)學的信心 教學重點：利用基本圖形、基本結(jié)論進行計算 教學難點：結(jié)合基本圖形歸納基本方法 教學過程：

一、探究性質(zhì)

活動1(1)如圖1，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，D為弧BC的中點，過點D作⊙O的切線交AC的延長線于點E.① DE與AE有何位置關(guān)系？證明你的結(jié)論.② 連接BC，DE與BC有何關(guān)系？證明你的結(jié)論.③ 求證：2AE=AC+AB.④ 連接AD、BD，求證；AD2=AE?AB.(2)如圖2，設(shè)切線DE交AB的延長線于F，連接BD并延長交AE的延長線于M，連OD.① AB與AM有何數(shù)量關(guān)系？為什么？DM與DB呢？CE與ME呢？ ② 由OD∥AE，可得△ODF～△AEF嗎？ ③ △MDC與△MAB相似嗎？為什么？

【設(shè)計思路】涉及弧的中點一般有三種用法：一是等弧對等弦；二是構(gòu)造弧所對的圓周角的平分線；三是由垂徑定理構(gòu)造矩形。

二、尋求解法 活動2

在圖1中，（1）已知DE=3，CE=1，求AB 的長.分析：連 OD交BC于G，則四邊形 DECG為矩形，在Rt△OBG中由勾股定理可求出⊙O的半徑.(2)已知：AD=310,BC=6,求S△ABD.分析：DE?1BC?3，可求AE=9,再由△ADE～△ABD,求得AB=10,所以BD=10, 2得到S△ABD=15.歸納：

1、在圖中選擇適當?shù)闹苯侨切芜\用勾股定理是解決圓中計算的常用方法；

2、相似三角形的證明與運用解決圓中計算問題的又一常用方法。

活動3 在圖2中，（1）已知AE=9,EF=12, 求 BC的長.分析：先求AF=15,由△ODF～△AEF,得出

ODAE3??，設(shè)OD=3x,DF=4x,則OF=5x,于是DFEF415275x?15?3x?x?,所以BC?9..再由2AE?AC?AB,得AC?84(2)設(shè)AD交BC于N，已知AB=15,DF=10, 求 CN的長.25,則AF?20.由△ODF～△AEF，求EF=16,得出DE=6.2CNANAB9???CN?.由BC∥EF,得DEADAF2 分析：先求OF?歸納：

1、在Rt△ODF中運用勾股定理；

2、發(fā)現(xiàn)并充分利用△ODF～△AEF；

3、利用BC∥EF, 得到比例式.三、拓展訓練

1、在圖1中，已知⊙O的半徑為5，AD=310，求CE的長.2、在圖2中，已知DF=5，DE=3，求S△DEM.3、在圖2中，已知sinF?3,CE?1.求⊙O的半徑以及EF的長.4

第二篇：中點四邊形猜想與證明

中點四邊形猜想與證明

大連市第四十四中學初二八班***

猜想：四邊形中點連線為平行四邊形

即：如圖1-1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點

求證：四邊形EFGH為平行四邊形

證明：如圖∵E、F為AD、AB的中點

∴EF//BD（三角形的中位線平行于第三邊）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

同理：EH//FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

FH

圖1-1圖1-2 B

那么：由已知條件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位線定理)因為“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，所以當EF=GF時，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC時，平行四邊形EFGH是菱形

猜想：當一個四邊形的兩條對角線相等時，其中點四邊形是菱形。

例如：矩形的對角線相等

則：如圖1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點。

求證：四邊形EFGH是菱形

證明：∵E、F為AD、AB的中點

∴EF=1/2BD（三角形的中位線等于第三邊的一半）

同理：HG=1/2BD

∴HG=EF=1/2BD（等量代換）

同理：EH=FG=1/2AC

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別相等的四邊形是平行

四邊形）

∵AC=BD

∴1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四邊形EFGH是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

同理上結(jié)論思路：

由已知條件：EF//HGFG//EH(三角形中位線定理)

因為“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”，所以當∠EFG=90°時，即∠1=90°，即∠AOB=90°時，平行四邊形EFGH是矩形。

猜想：當一個四邊形兩對角線互相垂直時，其中點四邊形為矩形。

例如：菱形的對角線互相垂直。

則：如圖1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點。

求證：四邊形EFGH是矩形

證明：∵E、F為AD、AB的中點

∴EF//BD（三角形的中位線平行于第三邊）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

同理：FG//AC；EH//FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

∵四邊形ABCD是菱形

∴∠AOB=90°（菱形的對角線互相垂直）

∴∠FNO=∠AOB=90°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∴∠EFG=∠FNO =90°（兩直線平行，同位角相等）

∴平行四邊形EFGH是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）

BF

H

圖1-3圖1-

4那么：因為正方形同時是矩形和菱形，所以滿足同時使中點四邊形為矩形和菱形的四邊形，其中點四邊形則可能是正方形。

猜想：當一個四邊形的兩對角線相等且互相垂直時，其中點四邊形是正方形。

例如：正方形的對角線相等且互相垂直。

則：如圖1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點。

求證：四邊形EFGH是正方形

證明：∵E、F為AD、AB的中點

∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位線平行于

第三邊且等于第三邊的一半）

同理：HG//BD；HG=1/2BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

HG=EF=1/2BD（等量代換）

同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠AOB=90°（正方形兩對角線互相垂直）

AC=BD（正方形兩對角線相等）

∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

兩直線平行，同位角相等）

1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四邊形EFGH是正方形

（有一個角是直角且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形）

2010/4

第三篇：平行四邊形的證明與計算

中考專題：平行四邊形的證明與計算

1.如圖，?ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，延長AE、CF分別交CD、AB于M、N．

（1）求證：四邊形CMAN是平行四邊形．（2）已知DE=4，F(xiàn)N=3，求BN的長．

號考 線

2.如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求證：BE=CF．

題級 班答 要 不

內(nèi)3.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且AE=CF，求證：DE=BF．

線 封封 密

名 4.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知點E在AB上，點F在CD上，且AE=CF．求證：DE=BF．

姓

5.如圖，BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC，求證：BE=AF．

密 校 學

6.如圖，已知點A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF．

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）直接寫出圖中所有相等的線段（AE=CF除外）．

7.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

8.如圖，ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，若∠ABF=∠CDE=90°．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AB=AD=8，BF=6，求AE的長．

9.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線與BE的延長線相交于點F，連接CF．（1）求證：四邊形CDAF為平行四邊形；（2）若∠BAC=90°，AC=AF，且AE=2，求線段BF的長．

10.如圖，將?ABCD沿CE折疊，使點D落在BC邊上的F處，點E在AB上．（1）求證：四邊形ABFE為平行四邊形；（2）若AB=4，BC=6，求四邊形ABFE周長．

11.如圖，延長?ABCD的邊AB到點E，使BE=BC，延長CD到點F，使DF=DA，連結(jié)AF，CE，求證：四邊形AECF

是平行四邊形．

12.如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，延長BC至點F，使得CF=

BC，連結(jié)CD、DE、EF．

（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形．

（2）若四邊形CDEF的面積為8，則△ABC的面積為 16 ．

13.如圖，在△ABC中，D、E是AB、AC中點，AG為BC邊上的中線，DE、AG相交于點O，求證：AG與DE互相平分．

14.如圖，已知AD為△ABC的中線，點E為AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：CF=2AE；（2）若S△ABE=2cm2，求四邊形ADCF的面積．

15.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF．求證：BE∥DF．

16.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點，試說明四邊形AECF是平行四邊形．

17.如圖，平行四邊形ABCD中，點O是AC與BD的交點，過點O的直線與BA，DC的延長線分別交于點E，F(xiàn)．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）連接EC，AF，求證：四邊形AECF是平行四邊形．

18.如圖Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE． EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；（2）求四邊形ADFE的周長．

19.（2016春?云夢縣期末）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CE∥AB，DE交AC于點F，若FA=FC．（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；（2）若AE⊥EC，EF=EC=1，求四邊形ADCE的面積．

20.如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD的延長線上，且ED=FB，連結(jié)AE、EC、CF，AF．（1）求證：AE=CF．（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．

21.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，過點B作AC的平行線交∠CAB的平分線于點D，過點D作AB的平行線交

AC于點E，交BC于點F，連接BE，交AD于點G．（1）求證：四邊形ABDE是菱形；（2）若BD=14，cos∠GBH=，求GH的長．

22.如圖，茬四邊形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AC平分∠BCD，且AC⊥AB，接DE，交AC于F．（1）求證：AD=CE；

（2）若∠B=60°，試確定四邊形ABED是什么特殊四邊形？請說明理由．

第四篇：平行四邊形的證明與計算

平行四邊形的證明與計算

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）1．下列命題正確的是（）

A．對角線互相平分的四邊形是菱形；B．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形 C．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形；

D．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.2．平行四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四個角的度數(shù)比可能是（）A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：3 3．如果菱形的邊長是a，一個內(nèi)角是60°，那么菱形較短的對角線長等于（）A．

2aB

．

2aC．a(chǎn)D

a

4．順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是（）A．矩形

B．直角梯形

C．菱形

D．正方形

5．已知一個等腰梯形的下底與上底之差等于一腰長，?則這個等腰梯形中的較小的角的度數(shù)為（）

A．30°B．60°C．45°D．75°

6．已知四邊形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四個條件中，不能推出四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（）．A．①②B．①③C．①④D．②③

7．如圖1，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）A．1B．

A

G

B

43C．

C

D．2

D

A E

P C

F

A B

D

O

C

B

（1）(2)（3）

8．如圖2，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點，EP⊥CD于點P，則∠FPC=（）

A．35°B．45°C．50°D．55°

9．在下列命題中，是真命題的是（）

A．兩條對角線相等的四邊形是矩形

B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

C．兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D．兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

10．如圖3，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，?AOB?60°，AB?2，則矩形的對角線AC的長是（）

A．2

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11．如圖5，?ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代數(shù)式表示EC，則EC=________．

B．4C

． D

．

(5)(6)(7)(8)

12．如圖6，平行四邊形ABCD中，E是BC中點，且AE=9，BD=12，AD=10，則該平行四邊形的面積是_________．

13．已知菱形的周長為20cm，兩對角線之和為14cm，則菱形的面積為_____cm2．

14．以邊長為2cm的正方形的對角線為邊的正方形的面積為________cm2．

15．一個多邊形的每個外角都是36°，則這個多邊形的邊數(shù)是________．

16．矩形ABCD中，M是BC的中點，且MA⊥MD，若矩形的周長為48cm，則矩形ABCD的面積為_______cm2．

17．如圖7，若將四根木條釘成矩形木框，再變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最小內(nèi)角的度數(shù)為_______．

18．如圖8，菱形ABCD的對角線長分別為2和5，P是對角線AC上任一點（點P不與點A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是_______．

三、解答題（本大題共46分，19～23題每題6分，24題、25題每題8分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，?垂足分別為E、F．求證：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形時，四邊形AEDF是正方形．

20．如圖，?ABCD中，E、F為對角線AC上兩點，且AE=CF，問：四邊形EBFD是平行四邊形嗎？為什么？

21如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CG⊥AB于G，對角線AC⊥BC于點O，EF是中位線，求證CC＝EF.22．如圖，?ABCD中，O是對角線AC的中點，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，問四邊形AFCE是菱形嗎？請說明理由．

23．1．如圖①，四邊形ABCD是正方形, 點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F.(1)求證：DE－BF = EF．

(2)當點G為BC邊中點時, 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由．

24． 如圖，梯形ABCD中，AD＝18cm，BC＝21cm，點P從點A開始沿AD邊向D以

1m/s的速度移動，點Q從C點開始沿CB邊向B以2m/s的速度移動，如果P、Q分別從A、C同時出發(fā)，設(shè)移動時間為t秒，求：

（1）t為何時，四邊形ABQP為矩形？

（2）t為何時，四邊形PQCD為等腰梯形？

第五篇：四邊形的證明與計算

四邊形的證明與計算

（時間：100分鐘總分：100分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）

1．下列命題正確的是（）

A．對角線互相平分的四邊形是菱形；

B．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形

C．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形；

D．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.2．平行四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四個角的度數(shù)比可能是（）

A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：

33．如果菱形的邊長是a，一個內(nèi)角是60°，那么菱形較短的對角線長等于（）

1A．2aB

．2aC．a(chǎn)D

4．用形狀、大小完全相同的圖形不能進行密鋪的是（）

A．任意三角形B．任意四邊形C．正五邊形D．正四邊形

5．已知一個等腰梯形的下底與上底之差等于一腰長，?則這個等腰梯形中的較小的角的度數(shù)為（）

A．30°B．60°C．45°D．75°

6．已知四邊形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四個條件中，不能推出四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（）．

A．①②B．①③C．①④D．②③

7．如圖1，ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，如果AC=12，BD=10，則AB的長m?取值范圍是（）

A．1

5

?

（1）(2)(3)(4)

8．如圖2，兩張寬度相等的紙條交叉重疊，重合部分是（）

A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形

9．如圖3，ABCD中，P是對角線BD上的任意一點，過點P作EF∥BC，HG∥AB，?則下列說法不正確的是（）

A．S?AEPG=S?PHCFB．圖中有3對全等三角形

C．圖中共有9個平行四邊形D．S?AEFD≠S?GHCD

10．如圖4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，?E為垂足，連結(jié)DF，則∠CDF等于（）

A．80°B．70°C．65°D．60°

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11．如圖5，ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代數(shù)式表示EC，則EC=________． ??

(5)(6)(7)(8)

12．如圖6，平行四邊形ABCD中，E是BC中點，且AE=9，BD=12，AD=10，則該平行四邊形的面積是_________．

13．已知菱形的周長為20cm，兩對角線之和為14cm，則菱形的面積為_____cm2．

14．以邊長為2cm的正方形的對角線為邊的正方形的面積為________cm2．

15．一個多邊形的每個外角都是36°，則這個多邊形的邊數(shù)是________．

16．矩形ABCD中，M是BC的中點，且MA⊥MD，若矩形的周長為48cm，則矩形ABCD的面積為_______cm2．

17．如圖7，若將四根木條釘成矩形木框，再變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最小內(nèi)角的度數(shù)為_______．

18．如圖8，菱形ABCD的對角線長分別為2和5，P是對角線AC上任一點（點P不與點A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是_______．

三、解答題（本大題共46分，19～23題每題6分，24題、25題每題8分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，?垂足分別為E、F．求證：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形時，四邊形AEDF是正方形．

20．如圖，ABCD中，E、F為對角線AC上兩點，且AE=CF，問：四邊形EBFD是平行四邊形嗎？為什么？ ?

21．如圖，圓A、圓B、圓C、圓D、圓E、圓F相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)這

六個圓心，得到六邊形ABCDEF．

求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．（2）求圖中陰影部分的面積之和．

22．如圖，ABCD中，O是對角線AC的中點，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，問四邊形AFCE是菱形嗎？請說明理由．

?

23．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，求梯形的面積．

24．如圖，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等圖形，則當正方形A?′OB′C′繞正方形ABCD的中心O順時針旋轉(zhuǎn)的過程中．

（1）四邊形OECF的面積如何變化．

（2）若正方形ABCD的面積是4，求四邊形OECF的面積．

25．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，動點P?從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB以3cm/s的速度向點B運動．P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達頂點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為ts，?問t為何值時．

（1）四邊形PQCD是平行四邊形．（2）當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形．

答案:

一、選擇題

二、