第一篇:圓的證明與計算(弧中點)
《弧中點的運用》教學案
張店中學
桂應(yīng)祥 教學目標:
1、知道過弧中點作圓的切線得到的基本圖形以及相關(guān)基本結(jié)論;
2、會利用該基本圖形中的結(jié)論(性質(zhì))進行計算;
3、通過變式尋求基本圖形的性質(zhì),從而探求一般解法,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力;
4、在變式過程中養(yǎng)成探究的習慣,增強學習數(shù)學的信心 教學重點:利用基本圖形、基本結(jié)論進行計算 教學難點:結(jié)合基本圖形歸納基本方法 教學過程:
一、探究性質(zhì)
活動1(1)如圖1,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,D為弧BC的中點,過點D作⊙O的切線交AC的延長線于點E.① DE與AE有何位置關(guān)系?證明你的結(jié)論.② 連接BC,DE與BC有何關(guān)系?證明你的結(jié)論.③ 求證:2AE=AC+AB.④ 連接AD、BD,求證;AD2=AE?AB.(2)如圖2,設(shè)切線DE交AB的延長線于F,連接BD并延長交AE的延長線于M,連OD.① AB與AM有何數(shù)量關(guān)系?為什么?DM與DB呢?CE與ME呢? ② 由OD∥AE,可得△ODF~△AEF嗎? ③ △MDC與△MAB相似嗎?為什么?
【設(shè)計思路】涉及弧的中點一般有三種用法:一是等弧對等弦;二是構(gòu)造弧所對的圓周角的平分線;三是由垂徑定理構(gòu)造矩形。
二、尋求解法 活動2
在圖1中,(1)已知DE=3,CE=1,求AB 的長.分析:連 OD交BC于G,則四邊形 DECG為矩形,在Rt△OBG中由勾股定理可求出⊙O的半徑.(2)已知:AD=310,BC=6,求S△ABD.分析:DE?1BC?3,可求AE=9,再由△ADE~△ABD,求得AB=10,所以BD=10, 2得到S△ABD=15.歸納:
1、在圖中選擇適當?shù)闹苯侨切芜\用勾股定理是解決圓中計算的常用方法;
2、相似三角形的證明與運用解決圓中計算問題的又一常用方法。
活動3 在圖2中,(1)已知AE=9,EF=12, 求 BC的長.分析:先求AF=15,由△ODF~△AEF,得出
ODAE3??,設(shè)OD=3x,DF=4x,則OF=5x,于是DFEF415275x?15?3x?x?,所以BC?9..再由2AE?AC?AB,得AC?84(2)設(shè)AD交BC于N,已知AB=15,DF=10, 求 CN的長.25,則AF?20.由△ODF~△AEF,求EF=16,得出DE=6.2CNANAB9???CN?.由BC∥EF,得DEADAF2 分析:先求OF?歸納:
1、在Rt△ODF中運用勾股定理;
2、發(fā)現(xiàn)并充分利用△ODF~△AEF;
3、利用BC∥EF, 得到比例式.三、拓展訓練
1、在圖1中,已知⊙O的半徑為5,AD=310,求CE的長.2、在圖2中,已知DF=5,DE=3,求S△DEM.3、在圖2中,已知sinF?3,CE?1.求⊙O的半徑以及EF的長.4
第二篇:中點四邊形猜想與證明
中點四邊形猜想與證明
大連市第四十四中學初二八班***
猜想:四邊形中點連線為平行四邊形
即:如圖1-1,在四邊形ABCD中,E、F、G、H為四邊中點
求證:四邊形EFGH為平行四邊形
證明:如圖∵E、F為AD、AB的中點
∴EF//BD(三角形的中位線平行于第三邊)
同理:HG//BD
∴HG//EF(如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行)
同理:EH//FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形
(兩組對邊分別平行的四邊形是平行
四邊形)
FH
圖1-1圖1-2 B
那么:由已知條件:EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位線定理)因為“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”,所以當EF=GF時,即1/2BD=1/2AC,即BD=AC時,平行四邊形EFGH是菱形
猜想:當一個四邊形的兩條對角線相等時,其中點四邊形是菱形。
例如:矩形的對角線相等
則:如圖1-2,在矩形ABCD中,E、F、G、H為四邊中點。
求證:四邊形EFGH是菱形
證明:∵E、F為AD、AB的中點
∴EF=1/2BD(三角形的中位線等于第三邊的一半)
同理:HG=1/2BD
∴HG=EF=1/2BD(等量代換)
同理:EH=FG=1/2AC
∴四邊形EFGH是平行四邊形
(兩組對邊分別相等的四邊形是平行
四邊形)
∵AC=BD
∴1/2AC=1/2BD
即:EF=GF
∴平行四邊形EFGH是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)
同理上結(jié)論思路:
由已知條件:EF//HGFG//EH(三角形中位線定理)
因為“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”,所以當∠EFG=90°時,即∠1=90°,即∠AOB=90°時,平行四邊形EFGH是矩形。
猜想:當一個四邊形兩對角線互相垂直時,其中點四邊形為矩形。
例如:菱形的對角線互相垂直。
則:如圖1-3,在菱形ABCD中,E、F、G、H為四邊中點。
求證:四邊形EFGH是矩形
證明:∵E、F為AD、AB的中點
∴EF//BD(三角形的中位線平行于第三邊)
同理:HG//BD
∴HG//EF(如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行)
同理:FG//AC;EH//FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形
(兩組對邊分別平行的四邊形是平行
四邊形)
∵四邊形ABCD是菱形
∴∠AOB=90°(菱形的對角線互相垂直)
∴∠FNO=∠AOB=90°(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)
∴∠EFG=∠FNO =90°(兩直線平行,同位角相等)
∴平行四邊形EFGH是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)
BF
H
圖1-3圖1-
4那么:因為正方形同時是矩形和菱形,所以滿足同時使中點四邊形為矩形和菱形的四邊形,其中點四邊形則可能是正方形。
猜想:當一個四邊形的兩對角線相等且互相垂直時,其中點四邊形是正方形。
例如:正方形的對角線相等且互相垂直。
則:如圖1-4,在正方形ABCD中,E、F、G、H為四邊中點。
求證:四邊形EFGH是正方形
證明:∵E、F為AD、AB的中點
∴EF//BD;EF=1/2BD(三角形的中位線平行于
第三邊且等于第三邊的一半)
同理:HG//BD;HG=1/2BD
∴HG//EF(如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行)
HG=EF=1/2BD(等量代換)
同理:EH//AC//FG;EH=FG=1/2AC
∴四邊形EFGH是平行四邊形
(兩組對邊分別平行的四邊形是平行
四邊形)
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠AOB=90°(正方形兩對角線互相垂直)
AC=BD(正方形兩對角線相等)
∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°
(兩直線平行,內(nèi)錯角相等;
兩直線平行,同位角相等)
1/2AC=1/2BD
即:EF=GF
∴平行四邊形EFGH是正方形
(有一個角是直角且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形)
2010/4
第三篇:平行四邊形的證明與計算
中考專題:平行四邊形的證明與計算
1.如圖,?ABCD中,BD是它的一條對角線,過A、C兩點作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E、F,延長AE、CF分別交CD、AB于M、N.
(1)求證:四邊形CMAN是平行四邊形.(2)已知DE=4,F(xiàn)N=3,求BN的長.
號考 線
2.如圖,已知BD是△ABC的角平分線,點E、F分別在邊AB、BC上,ED∥BC,EF∥AC.求證:BE=CF.
題級 班答 要 不
內(nèi)3.如圖,在平行四邊形ABCD中,點E、F分別在AB、CD上,且AE=CF,求證:DE=BF.
線 封封 密
名 4.如圖,在平行四邊形ABCD中,已知點E在AB上,點F在CD上,且AE=CF.求證:DE=BF.
姓
5.如圖,BD是△ABC的角平分線,點E、F分別在BC、AB上,且DE∥AB,EF∥AC,求證:BE=AF.
密 校 學
6.如圖,已知點A、C在EF上,AD∥BC,DE∥BF,AE=CF.
(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;(2)直接寫出圖中所有相等的線段(AE=CF除外).
7.如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=10cm,BC=30cm,E是邊CD的中點,連接BE并延長與AD的延長線相交于點F.(1)求證:四邊形BDFC是平行四邊形;(2)若△BCD是等腰三角形,求四邊形BDFC的面積.
8.如圖,ABCD是平行四邊形,E、F是對角線AC上的兩點,若∠ABF=∠CDE=90°.(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;(2)若AB=AD=8,BF=6,求AE的長.
9.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點,過點A作BC的平行線與BE的延長線相交于點F,連接CF.(1)求證:四邊形CDAF為平行四邊形;(2)若∠BAC=90°,AC=AF,且AE=2,求線段BF的長.
10.如圖,將?ABCD沿CE折疊,使點D落在BC邊上的F處,點E在AB上.(1)求證:四邊形ABFE為平行四邊形;(2)若AB=4,BC=6,求四邊形ABFE周長.
11.如圖,延長?ABCD的邊AB到點E,使BE=BC,延長CD到點F,使DF=DA,連結(jié)AF,CE,求證:四邊形AECF
是平行四邊形.
12.如圖,在△ABC中,D、E分別是邊AB、AC的中點,延長BC至點F,使得CF=
BC,連結(jié)CD、DE、EF.
(1)求證:四邊形CDEF是平行四邊形.
(2)若四邊形CDEF的面積為8,則△ABC的面積為 16 .
13.如圖,在△ABC中,D、E是AB、AC中點,AG為BC邊上的中線,DE、AG相交于點O,求證:AG與DE互相平分.
14.如圖,已知AD為△ABC的中線,點E為AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F,連接CF.(1)求證:CF=2AE;(2)若S△ABE=2cm2,求四邊形ADCF的面積.
15.如圖,在平行四邊形ABCD中,點E、F分別在AD、BC上,且AE=CF.求證:BE∥DF.
16.如圖,平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E,F(xiàn)分別是OB,OD的中點,試說明四邊形AECF是平行四邊形.
17.如圖,平行四邊形ABCD中,點O是AC與BD的交點,過點O的直線與BA,DC的延長線分別交于點E,F(xiàn).(1)求證:△AOE≌△COF;(2)連接EC,AF,求證:四邊形AECF是平行四邊形.
18.如圖Rt△ACB中,已知∠BAC=30°,BC=2,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD,等邊△ABE. EF⊥AB,垂足為F,連接DF.
(1)求證:四邊形ADFE是平行四邊形;(2)求四邊形ADFE的周長.
19.(2016春?云夢縣期末)如圖,D是△ABC的邊AB上一點,CE∥AB,DE交AC于點F,若FA=FC.(1)求證:四邊形ADCE是平行四邊形;(2)若AE⊥EC,EF=EC=1,求四邊形ADCE的面積.
20.如圖,在?ABCD中,點E、F在對角線BD的延長線上,且ED=FB,連結(jié)AE、EC、CF,AF.(1)求證:AE=CF.(2)求證:四邊形AECF是平行四邊形.
21.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,過點B作AC的平行線交∠CAB的平分線于點D,過點D作AB的平行線交
AC于點E,交BC于點F,連接BE,交AD于點G.(1)求證:四邊形ABDE是菱形;(2)若BD=14,cos∠GBH=,求GH的長.
22.如圖,茬四邊形ABCD中,AD∥BC,E是BC的中點,AC平分∠BCD,且AC⊥AB,接DE,交AC于F.(1)求證:AD=CE;
(2)若∠B=60°,試確定四邊形ABED是什么特殊四邊形?請說明理由.
第四篇:平行四邊形的證明與計算
平行四邊形的證明與計算
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分,在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合題目要求的)1.下列命題正確的是()
A.對角線互相平分的四邊形是菱形;B.對角線互相平分且相等的四邊形是菱形 C.對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形;
D.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.2.平行四邊形ABCD中,∠A、∠B、∠C、∠D四個角的度數(shù)比可能是()A.1:2:3:4B.2:3:2:3C.2:2:3:3D.1:2:2:3 3.如果菱形的邊長是a,一個內(nèi)角是60°,那么菱形較短的對角線長等于()A.
2aB
.
2aC.a(chǎn)D
a
4.順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點,所得圖形一定是()A.矩形
B.直角梯形
C.菱形
D.正方形
5.已知一個等腰梯形的下底與上底之差等于一腰長,?則這個等腰梯形中的較小的角的度數(shù)為()
A.30°B.60°C.45°D.75°
6.已知四邊形ABCD中,在①AB∥CD;②AD=BC;③AB=CD;④∠A=∠C四個條件中,不能推出四邊形ABCD是平行四邊形的條件是().A.①②B.①③C.①④D.②③
7.如圖1,矩形紙片ABCD中,AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合,折痕為DG,則AG的長為()A.1B.
A
G
B
43C.
C
D.2
D
A E
P C
F
A B
D
O
C
B
(1)(2)(3)
8.如圖2,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點,EP⊥CD于點P,則∠FPC=()
A.35°B.45°C.50°D.55°
9.在下列命題中,是真命題的是()
A.兩條對角線相等的四邊形是矩形
B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
C.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
10.如圖3,矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,?AOB?60°,AB?2,則矩形的對角線AC的長是()
A.2
二、填空題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)
11.如圖5,?ABCD中,∠BAD的平分線AE交BC于E,且AD=a,AB=b,用含a、b的代數(shù)式表示EC,則EC=________.
B.4C
. D
.
(5)(6)(7)(8)
12.如圖6,平行四邊形ABCD中,E是BC中點,且AE=9,BD=12,AD=10,則該平行四邊形的面積是_________.
13.已知菱形的周長為20cm,兩對角線之和為14cm,則菱形的面積為_____cm2.
14.以邊長為2cm的正方形的對角線為邊的正方形的面積為________cm2.
15.一個多邊形的每個外角都是36°,則這個多邊形的邊數(shù)是________.
16.矩形ABCD中,M是BC的中點,且MA⊥MD,若矩形的周長為48cm,則矩形ABCD的面積為_______cm2.
17.如圖7,若將四根木條釘成矩形木框,再變形為平行四邊形ABCD的形狀,并使其面積為矩形面積的一半,則這個平行四邊形的一個最小內(nèi)角的度數(shù)為_______.
18.如圖8,菱形ABCD的對角線長分別為2和5,P是對角線AC上任一點(點P不與點A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,則陰影部分的面積是_______.
三、解答題(本大題共46分,19~23題每題6分,24題、25題每題8分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19.如圖,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中點,DE⊥AB,DF⊥AC,?垂足分別為E、F.求證:(1)△BDE≌CDF.(2)△ABC是直角三角形時,四邊形AEDF是正方形.
20.如圖,?ABCD中,E、F為對角線AC上兩點,且AE=CF,問:四邊形EBFD是平行四邊形嗎?為什么?
21如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,CG⊥AB于G,對角線AC⊥BC于點O,EF是中位線,求證CC=EF.22.如圖,?ABCD中,O是對角線AC的中點,EF⊥AC交CD于E,交AB于F,問四邊形AFCE是菱形嗎?請說明理由.
23.1.如圖①,四邊形ABCD是正方形, 點G是BC上任意一點,DE⊥AG于點E,BF⊥AG于點F.(1)求證:DE-BF = EF.
(2)當點G為BC邊中點時, 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量
關(guān)系,并說明理由.
24. 如圖,梯形ABCD中,AD=18cm,BC=21cm,點P從點A開始沿AD邊向D以
1m/s的速度移動,點Q從C點開始沿CB邊向B以2m/s的速度移動,如果P、Q分別從A、C同時出發(fā),設(shè)移動時間為t秒,求:
(1)t為何時,四邊形ABQP為矩形?
(2)t為何時,四邊形PQCD為等腰梯形?
第五篇:四邊形的證明與計算
四邊形的證明與計算
(時間:100分鐘總分:100分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分,在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合題目要求的)
1.下列命題正確的是()
A.對角線互相平分的四邊形是菱形;
B.對角線互相平分且相等的四邊形是菱形
C.對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形;
D.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.2.平行四邊形ABCD中,∠A、∠B、∠C、∠D四個角的度數(shù)比可能是()
A.1:2:3:4B.2:3:2:3C.2:2:3:3D.1:2:2:
33.如果菱形的邊長是a,一個內(nèi)角是60°,那么菱形較短的對角線長等于()
1A.2aB
.2aC.a(chǎn)D
4.用形狀、大小完全相同的圖形不能進行密鋪的是()
A.任意三角形B.任意四邊形C.正五邊形D.正四邊形
5.已知一個等腰梯形的下底與上底之差等于一腰長,?則這個等腰梯形中的較小的角的度數(shù)為()
A.30°B.60°C.45°D.75°
6.已知四邊形ABCD中,在①AB∥CD;②AD=BC;③AB=CD;④∠A=∠C四個條件中,不能推出四邊形ABCD是平行四邊形的條件是().
A.①②B.①③C.①④D.②③
7.如圖1,ABCD中,對角線AC和BD相交于點O,如果AC=12,BD=10,則AB的長m?取值范圍是()
A.1 5 ? (1)(2)(3)(4) 8.如圖2,兩張寬度相等的紙條交叉重疊,重合部分是() A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形 9.如圖3,ABCD中,P是對角線BD上的任意一點,過點P作EF∥BC,HG∥AB,?則下列說法不正確的是() A.S?AEPG=S?PHCFB.圖中有3對全等三角形 C.圖中共有9個平行四邊形D.S?AEFD≠S?GHCD 10.如圖4,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分線交對角線AC于點F,?E為垂足,連結(jié)DF,則∠CDF等于() A.80°B.70°C.65°D.60° 二、填空題(本大題共8小題,每小題3分,共24分) 11.如圖5,ABCD中,∠BAD的平分線AE交BC于E,且AD=a,AB=b,用含a、b的代數(shù)式表示EC,則EC=________. ?? (5)(6)(7)(8) 12.如圖6,平行四邊形ABCD中,E是BC中點,且AE=9,BD=12,AD=10,則該平行四邊形的面積是_________. 13.已知菱形的周長為20cm,兩對角線之和為14cm,則菱形的面積為_____cm2. 14.以邊長為2cm的正方形的對角線為邊的正方形的面積為________cm2. 15.一個多邊形的每個外角都是36°,則這個多邊形的邊數(shù)是________. 16.矩形ABCD中,M是BC的中點,且MA⊥MD,若矩形的周長為48cm,則矩形ABCD的面積為_______cm2. 17.如圖7,若將四根木條釘成矩形木框,再變形為平行四邊形ABCD的形狀,并使其面積為矩形面積的一半,則這個平行四邊形的一個最小內(nèi)角的度數(shù)為_______. 18.如圖8,菱形ABCD的對角線長分別為2和5,P是對角線AC上任一點(點P不與點A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,則陰影部分的面積是_______. 三、解答題(本大題共46分,19~23題每題6分,24題、25題每題8分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 19.如圖,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中點,DE⊥AB,DF⊥AC,?垂足分別為E、F.求證:(1)△BDE≌CDF.(2)△ABC是直角三角形時,四邊形AEDF是正方形. 20.如圖,ABCD中,E、F為對角線AC上兩點,且AE=CF,問:四邊形EBFD是平行四邊形嗎?為什么? ? 21.如圖,圓A、圓B、圓C、圓D、圓E、圓F相互外離,它們的半徑都是1,順次連結(jié)這 六個圓心,得到六邊形ABCDEF. 求:(1)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).(2)求圖中陰影部分的面積之和. 22.如圖,ABCD中,O是對角線AC的中點,EF⊥AC交CD于E,交AB于F,問四邊形AFCE是菱形嗎?請說明理由. ? 23.如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,求梯形的面積. 24.如圖,正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等圖形,則當正方形A?′OB′C′繞正方形ABCD的中心O順時針旋轉(zhuǎn)的過程中. (1)四邊形OECF的面積如何變化. (2)若正方形ABCD的面積是4,求四邊形OECF的面積. 25.如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,動點P?從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動,動點Q從點C開始沿CB以3cm/s的速度向點B運動.P、Q同時出發(fā),當其中一點到達頂點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為ts,?問t為何值時. (1)四邊形PQCD是平行四邊形.(2)當t為何值時,四邊形PQCD為等腰梯形. 答案: 一、選擇題 二、