第一篇：圓的證明競賽題

如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證： tan?PAD?

EF． BC

第二篇：圓票證明

圓 票 證 明

地稅局：

茲有 公司在我單位承接消防安裝工程，需圓票金額，現由該公司 前來辦理圓票手續，請貴局給予辦理為謝!

業主單位名稱 年 月 日

第三篇：圓的證明歌

圓的證明歌：

圓的證明不算難，常把半徑直徑連;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直徑是圓最大弦，直圓周角立上邊，它若垂直平分弦，垂徑、射影響耳邊;還有與圓有關角，勿忘相互有關聯，圓周、圓心、弦切角，細找關系把線連。同弧圓周角相等，證題用它最多見，圓中若有弦切角，夾弧找到就好辦;圓有內接四邊形，對角互補記心間，外角等于內對角，四邊形定內接圓;直角相對或共弦，試試加個輔助圓;若是證題打轉轉，四點共圓可解難;要想證明圓切線，垂直半徑過外端，直線與圓有共點，證垂直來半徑連，直線與圓未給點，需證半徑作垂線;四邊形有內切圓，對邊和等是條件;如果遇到圓與圓，弄清位置很關鍵，兩圓相切作公切，兩圓相交連公弦。

解不等式的途徑，利用函數的性質。對指無理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉化要等價。數形之間互轉化，幫助解答作用大。

證不等式的方法，實數性質威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數學歸納法。圖形函數來幫助，畫圖建模構造法

第四篇：圓票證明1

圓票證明

*****稅務局：

茲有******為我公司提供倉庫防火墻改建工程，施工地址為*****************。本次工程總價款叁萬陸仟元整（￥36000元）。

請貴局予以圓票。

單位名稱：************* 稅號：******************** 開戶行：************************* 賬號：************************ 地址：************************ 電話：****************

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******年****月****日

第五篇：圓的定理及其證明

圓周角定理

內容：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半。證明：

情況1：

如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：

圖1

∵OA、OC是半徑 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等腰三角形底角相等）∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情況2：

如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時： 連接AO，并延長AO交⊙O于D

圖2

∵OA、OB、OC是半徑 解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情況3：

如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：

圖3

連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OC,OB。解：∵OA、OB、OC、是半徑 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 圓心角等于180度的情況呢？

看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，顯然因為∠OCA=∠OAC=∠BOC/2 ∠OCB=∠OBC=∠AOC/2 所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度 所以2∠ACB=∠AOC 圓心角大于180度的情況呢？

看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB，只要延長CO交園于點D，由圓心角等于180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度 根據情況3同理可證：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC 根據情況1和情況3同理可證：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC 所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度 即∠ACB=180度-∠ADB 由情況2可知：∠AOB=2∠ADB 所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

切線長定理

內容：切線長定理，是初等平面幾何的一個定理。在圓中，在經過圓外一點的切線，這一點和切點之間的線段叫做這點到圓的切線長。它指出，從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。證明：

欲證AC = AB，只需證△ABO≌ △ACO。

如圖，OC、OB為圓的兩條半徑，又∠ABO = ∠ACO=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。[3]

弦切角定理

內容：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數。證明：

分三種情況

：

（1）圓心O在∠BAC的一邊AC上 ∵AC為直徑 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA為半圓, ∴弧CmA的度數為180° ∵AB為圓的切線 ∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半（2）圓心O在∠BAC的內部.過A作直徑AD交⊙O于D,在優弧m所對的劣弧上取一點

E，連接EC、ED、EA。則 ∵弧CD=弧CD ∴∠CED=∠CAD ∵AD是圓O的直徑 ∴∠DEA=90° ∵AB為圓的切線 ∴∠BAD=90° ∴∠DEA=∠BAD ∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC 又∠CEA的度數等于弧CmA的度數的一半

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半

（3）圓心O在∠BAC的外部 過A作直徑AD交⊙O于D，連接CD ∵AD是圓的直徑 ∴∠ACD=90° ∴∠CDA+∠CAD=90° ∵AB是圓O的切線 ∴∠DAB=90° ∴∠BAC+∠CAD=90° ∴∠BAC=∠CDA ∵∠CDA的度數等于弧CmA的度數的一半。

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半。

切割線定理

內容：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。與圓相交的直線是圓的割線。切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關系。這是一個重要的定理，在解題中經常用到。

推論： 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。證明：

設ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點為T，則PT2=PA·PB。

圖1

證明：連接AT，BT。

∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)； ∴ △PBT∽△PTA(兩角對應相等，兩三角形相似)； ∴PB：PT=PT：AP； 即：PT2=PB·PA。

垂徑定理

內容：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。證明：

如圖，在⊙O中，DC為直徑，AB是弦，AB⊥DC于點E，AB、CD交于E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 連接OA、OB分別交⊙O于點A、點B ∵OA、OB是⊙O的半徑 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三線合一）

∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC