第一篇：怎樣證明直線與圓相切？

怎樣證明直線與圓相切？

在直線與圓的各種位置關系中，相切是一種重要的位置關系．

現介紹以下三種判別直線與圓相切的基本方法：

(1)利用切線的定義——在已知條件中有“半徑與一條直線交于半徑的外端”，于是只需直接證明這條直線垂直于半徑的外端．

例1：已知：△ABC內接于⊙O，⊙O的直徑AE交BC于F點，點P在BC的延長線上，且∠CAP=∠ABC．

求證：PA是⊙O的切線．

證明：連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且過A點，則PA是⊙O的切線．

(2)利用切線的判定定理——在已知條件中，有“一條直線過圓上某一公共點(即為切點)，但沒有半徑”，于是先連接圓心與這個公共點成為半徑，然后再證明這條直線和這條半徑垂直．

例2：以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作⊙O交斜邊AB于P，Q為AC的中點． 求證：PQ必為⊙O的切線．

證明 連接OP，CP．

∵BC為直徑，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．

又∵Q為AC中點，∴QP=QC，∴∠1=∠2．

又OP=OC，∴∠3=∠4．

又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．

∵P點在⊙O上，且P為半徑OP的端點，則QP為⊙O的切線．

說明：要證PQ與半徑垂直，即連接OP．這是判別相切中添輔助線的常用方法．

(3)證明“d=R”——在已知條件中“沒有半徑，也沒有與圓有公共交點的直線”，于是過圓心作直線的垂線，然后再證明這條垂線的長(d)等于圓的半徑(R)．

例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC與D，且AD=BC，E、F為AB、AC的中點，O為EF2的中點。

求證：以EF為直徑的圓與BC相切．

證明：作OH⊥BC于H，設AD與EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，則OHDM是矩形．

∴OH是⊙O的半徑，則EF為直徑的圓與BC相切.思考題：

1．AB是⊙O的直徑，AC是弦，AC=CD，EF過點C，EF⊥BD于G．

求證：EF是⊙O的切線．

提示：連接CO，則OC是⊙O的半徑，再證OC⊥EF．

2．DB是圓的直徑，點A在DB的延長線上，AB=OB，∠CAD=30°．求證：AC是⊙O的切線．

提示：∵AC與⊙O沒有公共點，∴作OE⊥AC于E，再證OE是⊙O的半徑．

第二篇：證明直線與圓相切的常見方法（定稿）

證明直線與圓相切的常見方法

學習了直線與圓的位置關系,常會遇到證明一條直線是圓的切線的題目,如何證明一條直線是圓的切線,一般會出現以下三種情況.一、若證明是圓的切線的直線與圓有公共點,且存在連接公共點的半徑,此時可根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.簡記為“見半徑，證垂直”.例1如圖1,已知AB為⊙O的直徑,直線PA過點A,且∠PAC=∠B.求證:PA是⊙O的切線.圖 1分析：要證明PA是⊙O的切線，因為AB是⊙O的直徑，所以只要證明AB⊥AP.可結合直徑所對的圓周為直角進行推理.證明：因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因為∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切線.二、若給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑，則連結公共點和圓心，然后根據“經過半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”來證明.簡記為“作半徑，證垂直”.例2如圖2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長線上的一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，且AC平分∠EAB．

求證：DE是⊙O的切線．

證明：連接OC，則OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因為AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切線．

三、若直線與圓的公共點不明確時，則過圓心作該直線的垂線段，然后根據“圓心到直線的距離等于圓的半徑，該直線是圓的切線”來證明.簡記為“作垂直，證相等”.例3如圖3，已知，O為正方形ABCD對角線上一點，以O為圓心，OA的長為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F.求證：CD與⊙O相切．

圖3

分析：要識別“CD與⊙O相切”，由于不知道CD經過圓上哪一點，所以先過點O作：ON⊥CD于N，再證明ON是⊙O半徑。易知OM是⊙O的半徑，只要證明：OM=ON即可.證明：連結OM，作ON⊥CD于N，因為 ⊙O與BC相切，所以 OM⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以 AC平分∠BCD.所以OM=ON.圖 4

所以CD與⊙O相切.總結： 切線判斷并不難，認真審題是重點；直線與圓有交點，連接半徑是關鍵，推得垂直是切線；若沒明確是切點，作過圓心垂線段，半徑相等得切線.

第三篇：圓錐曲線與直線相切的條件教案

圓錐曲線與直線相切的條件教案

教學目的(1)掌握圓錐曲線與直線相切的條件及圓錐曲線切線的定義；

(2)使學生會用初等數學方法求圓錐曲線的切線；

(3)應用相切的公式解題，從而培養學生綜合應用能力．

教學過程

一、問題提出

1．有心的二次曲線包括哪些？無心的二次曲線包括哪些？

(答：有心的二次曲線是圓、橢圓及雙曲線；無心的二次曲線是拋物線．)

(由教師啟發下，讓學生共同討論．)

(1)當α＞0，β＞0且α＝β時，方程表示為圓；

(2)當α＞0，β＞0且α≠β時，方程表示為橢圓；

(3)當α、β為異號時，方程表示為雙曲線．

因此，這個方程可以統一表示有心的二次曲線．

3．圓錐曲線與直線的相切的條件是什么？

設直線l′與圓錐曲線相交于P、Q兩點(圖1)，將直線l′繞點P旋轉，使點Q逐漸靠近點P，當l′轉到直線l的位置時，點Q與點P重合，這時，直線l叫做圓錐曲線在點P的切線．也就是圓錐曲線與直線l相切．根據這個定義，于是圓錐曲線方程

f(x，y)＝0

與直線方程

y＝kx＋m

組成的方程組應有兩個相同的實數解．實系數一元二次方程有兩個相同的實數解的充要條件是判別式Δ＝0，根據條件轉化為求Δ＝0．

(啟發學生回答，由教師歸納，然后板書課題．)

今天我們要研究“圓錐曲線與直線相切的條件”．

二、講述新課

根據上面分析，得

由②代入①，化簡、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

當αk＋β≠0時(二次項系數)，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(啟發學生討論．)

由于α、β均不為零，因此當Δ＝0時可知有心二次曲線與直線y＝kx＋m相切的充要條件為

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

這里αk2＋β恰是方程③的二次項系數．

(引導學生對結論④，在圓、橢圓、雙曲線各種情況下變化規律進行討論，教師邊歸納，邊板書．)

(1)對于圓x2＋y2＝γ2，可寫成

222

222

即有α＝β＝γ2，于是相切條件為m2＝γ2(k2＋1)．

(2)對于橢圓(焦點在x軸上)

即有α＝a，β＝b，于是相切條件為m＝ak＋b．

(3)對于橢圓(焦點在y軸上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝b2k2＋a2．

(4)對于雙曲線(焦點在x軸上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切條件為m2＝a2k2－b2．

(5)對于雙曲線(焦點在y軸上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝a2－b2k2．

[應用有心曲線統一公式，這樣就不必從圓、橢圓、雙曲線一個一個地去求，可避免一個一個冗長復雜的計算，使問題的解決變得簡捷．]

2．無心的二次曲線y2＝2px與直線y＝kx＋m相切的條件

根據上面的分析，得

由②代入①，化簡整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

當二次項系數k2≠0時，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

無心的二次曲線x2＝2py與直線y＝kx＋m相切的條件，應為

(讓學生獨立完成．)

三、鞏固新課

(讓學生直接對照上述結論，設所求公切線的斜率為k，截距為m，再根據橢

解 設所求的公切線斜率為k，截距為m，根據相切條件有

由②代入①，化簡整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切線方程為

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求雙曲線的兩條互相垂直的切線交點的軌跡方程．

(幫助學生分析解題的幾個要點，然后由學生上黑板解，教師巡視指點．)

y=kx＋m，則由相切條件，可知m2=a2k2－b2．

(2)設兩切線交點為P(x0，y0)，則切線方程為

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直線，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韋達定理從方程①求得k1k2，即

因此，點P的軌跡方程為

x＋y=a－b．

這里a＞b，點P的軌跡是一個實圓；

a=b，點P的軌跡是一個點圓；

a＜b，點P無軌跡(虛圓)．

解略．

法，不難得出軌跡方程為圓方程

x＋y=a＋b；

這題若改為求拋物線y=2px的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡方程，方法也類似，不難得出軌跡方程為

即點P一定在準線上．

[這樣改變一下題目，可讓學生開拓思路，舉一反三．]

四、練習

1．已知l為橢圓x＋4y=4的切線并與坐標軸交于A、B兩點，求|AB|的最小值及取得最小值時切線l的方程．

2解 如圖2，設切線方程為

y=kx＋m，根據相切條件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切線共有四條(圖3)，它們的方程為

求四邊形ABCD的最大面積．

則由相切條件，知

m2=a2k2＋b2，故兩切線方程為

即

兩切線間的距離

∴四邊形ABCD的最大面積為

五、補充作業

軌跡方程．

2．求出斜率為k的圓錐曲線的切線方程．

教案說明

這一節課的指導思想是：根據現代教育理論，強調在教學的過程中培養能力，特別是思維能力．數學思維結構與科學結構十分相似，學習數學的過程，就是從一種思維結構過渡到另一種思維結構的過程，數學知識只是進行思維結構訓練的材料．二次曲線與直線相切的條件若從上述結構進行訓練，就是使學生形成完整的思維結構，使對數學的認識有新的突破．這一點已成為我在課堂教學中進行探索和研討的課題．

這節課的整個教學過程中，著重于講解——啟導——探究，培養學生的分析能力．講解時，突出重點：“相切條件”，并以此為中心，達到舉一反

三、觸類旁通．其中也穿插了自學討論，而不是教師滿堂灌．

在練習中，注意到了再現性練習、鞏固性練習，同時也留有發現性練習，使學生以新帶舊，鞏固新知，發展智力，反過來從思維結構上形成完整體系，以認識數學本身．

第四篇：蘇教版直線與圓單元測試(A級)

蘇教版直線與圓單元測試（A級）

一、填空題（共70分）

1、已知過兩點A（4，y）,B(2,-3)的直線的傾斜角是135°，則y=_______。

2、過點（3,1），且斜率是4的直線方程為_______________。

3、原點到直線的距離為___________；

4、過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程________________.5、直線與的交點坐標是___________；

6、已知過點A(-2,m)和B（m，4）的直線與直線平行，則m的值為______________；

7、圓心為A（2，-3）,半徑長為5的圓的方程為______________；

8、點（0,2）關于直線x+y=0的對稱點是_________；

9、空間兩點P（3，-2,5），Q（6,0，-1）間的距離PQ為________；

10、在空間直角坐標系中，點關于坐標平面的對稱點的坐標為_______________；

11、以線段A（-4，-5），B（6，-1）為直徑的圓的方程是______________；

12、設直線過點，其斜率為1，且與圓相切，則。

13、經過三點A（-1,5），B（5,5），C（6，-2）的圓的方程是____________________；

14、一束光線從點出發，經x軸反射到圓上的最短路徑是。

二、解答題

15、已知半徑為5的圓過點P（-4,3），且圓心在直線上，求這個圓的方程。

16、已知△ABC的頂點坐標為A（-1,5），B（-2，-1），C（4,7），求BC邊上的中線AM的長和AM所在直線的方程。

17、求過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程。

18、已知直線與，則當為何值時，直線：

(1)平行？（2）垂直？（3）相交?

19、求過點A（2,4）向圓所引的切線方程；并求出切線長。

20、已知圓C：，直線。

（1）求證：對直線與圓C總有兩個不同的交點；

（2）若直線與圓C交于不同的兩點A、B，且，求直線的方程。

第五篇：直線與圓的位置關系教案

《直線與圓的位置關系》教案

教學目標：

根據學過的直線與圓的位置關系的知識，組織學生對編出的有關題目進行討論.討論中引導學生體會

（1）如何從解決過的問題中生發出新問題.（2）新問題的解決方案與原有舊方法之間的聯系與區別.通過編解題的過程，使學生基本了解、把握有關直線與圓的位置關系的知識可解決的基本問題，并初步體驗數學問題變化、發展的過程，探索其解法.重點及難點：

從學生所編出的具體問題出發，適時適度地引導學生關注問題發展及解決的一般策略.教學過程

一、引入：

1、判斷直線與圓的位置關系的基本方法：

（1）圓心到直線的距離

（2）判別式法

2、回顧予留問題：

要求學生由學過知識編出有關直線與圓位置關系的新題目，并考慮下面問題：

（1）為何這樣編題.（2）能否解決自編題目.（3）分析解題方法及步驟與已學過的基本方法、步驟的聯系與區別.二、探討過程：

教師引導學生要注重的幾個基本問題：

1、位置關系判定方法與求曲線方程問題的結合.2、位置關系判定方法與函數或不等式的結合.3、將圓變為相關曲線.備選題

1、求過點P（-3，-2）且與圓x2+y2+2x-4y+1=0相切的直線方程.備選題

2、已知P(x, y)為圓(x+2)2+y2=1上任意一點，求（1）（2）2x+3y=b的取值范圍.備選題

3、實數k取何值時，直線L：y=kx+2k-1與曲線: y=兩個公共點；沒有公共點.三、小結：

1、問題變化、發展的一些常見方法，如：

（1）變常數為常數，改系數.（2）變曲線整體為部分.有一個公共點；=m的最大、最小值.（3）變定曲線為動曲線.2、理解與體會解決問題的一般策略，重視“新”與“舊”的聯系與區別，并注意哪些可化歸為“舊”的方法去解決.自編題目：

下面是四中學生在課堂上自己編的題目，這些題目由學生自己親自編的或是自學中從課外書上找來的題目，這些題目都與本節課內容有關.①已知圓方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，P（x0, y0）是圓外一點，求過P點的圓的兩切線的夾角如何計算？

②P（x0, y0）是圓x2+(y-1)2=1上一點，求x0+y0+c≥0中c的范圍.③圓過A點（4，1），且與y=x相切，求切線方程.④直線x+2y-3=0與x2+y2+x-2ay+a=0相交于A、B兩點，且OA⊥OB，求圓方程？

⑤P是x2+y2=25上一點，A（5，5），B（2，4），求|AP|2+|BP|2最小值.⑥圓方程x2+y2=4，直線過點（-3，-1），且與圓相交分得弦長為3∶1，求直線方程.⑦圓方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦長為

2，求m.⑧圓O(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)圓一點，求過P點弦長最短的直線方程？

⑨求y=的最值.圓錐曲線的定義及其應用

[教學內容]

圓錐曲線的定義及其應用。

[教學目標]

通過本課的教學，讓學生較深刻地了解三種圓錐的定義是對圓錐曲線本質的刻畫，它決定了曲線的形狀和幾何性質，因此在圓錐曲線的應用中，定義本身就是最重要的性質。

1．利用圓錐曲線的定義，確定點與圓錐曲線位置關系的表達式，體現用二元不等式表示平面區域的研究方法。

2．根據圓錐曲線定義建立焦半徑的表達式求解有關問題，培養尋求聯系定義的能力。

3．探討使用圓錐曲線定義，用幾何法作出過圓錐曲線上一點的切線，激發學生探索的興趣。

4．掌握用定義判斷圓錐曲線類型及求解與圓錐曲線相關的動點軌跡，提高學生分析、識別曲線，解決問題的綜合能力。

[教學重點]

尋找所解問題與圓錐曲線定義的聯系。

[教學過程]

一、回顧圓錐曲線定義，確定點、直線（切線）與曲線的位置關系。

1．由定義確定的圓錐曲線標準方程。

2．點與圓錐曲線的位置關系。

3．過圓錐曲線上一點作切線的幾何畫法。

二、圓錐曲線定義在焦半徑、焦點弦等問題中的應用。

例1．設橢圓+=1(a>b>0)，F1、F2是其左、右焦點，P(x0, y0)是橢圓上任意一點。

（1）寫出|PF1|、|PF2|的表達式，求|PF1|、|PF1|·|PF2|的最大最小值及對應的P點位置。

（2）過F1作不與x軸重合的直線L，判斷橢圓上是否存在兩個不同的點關于L對稱。

（3）P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3, y3)是橢圓上三點，且x1, x2, x3成等差，求證|PF1|、|PF2|、|PF3|成等差。

（4）若∠F1PF2=2?，求證：ΔPF1F2的面積S=btg?

（5）當a=2, b=最小值。

時，定點A（1，1），求|PF1|+|PA|的最大最小值及|PA|+2|PF2|的2例2．已知雙曲線-=1，F1、F2是其左、右焦點。

（1）設P(x0, y0)是雙曲線上一點，求|PF1|、|PF2|的表達式。

（2）設P(x0, y0)在雙曲線右支上，求證以|PF1|為直徑的圓必與實軸為直徑的圓內切。

（3）當b=1時，橢圓求ΔQF1F2的面積。

+y=1 恰與雙曲線有共同的焦點，Q是兩曲線的一個公共點，2例3．已知AB是過拋物線y=2px(p>0)焦點的弦，A(x1, y1), B(x2, y2)、F為焦點，求證：

（1）以|AB|為直徑的圓必與拋物線的準線相切。

（2）|AB|=x1+x2+p

（3）若弦CD長4p, 則CD弦中點到y軸的最小距離為

2（4）+為定值。

（5）當p=2時，|AF|+|BF|=|AF|·|BF|

三、利用定義判斷曲線類型，確定動點軌跡。

例4．判斷方程=1表示的曲線類型。

例5．以點F（1，0）和直線x=-1為對應的焦點和準線的橢圓，它的一個短軸端點為B，點P是BF的中點，求動點P的軌跡方程。

備用題：雙曲線實軸平行x軸，離心率e=，它的左分支經過圓x+y+4x-10y+20=0的2

2圓心M，雙曲線左焦點在此圓上，求雙曲線右頂點的軌跡方程。