第一篇：不等式專題練習與解答（本站推薦）
京翰教育中心 http://
不等式專題練習與解答
專題一：利用不等式性質，判斷其它不等式是否成立
1、a、b∈R,則下列命題中的真命題是（C）
A、若a>b，則|a|>|b|B、若a>b，則1/a<1/b C、若a>b，則a3>b3D、若a>b，則a/b>1
2、已知a<0.－1
3、當0 A、(1―a)1/b >(1―a)bB、(1+a)a>(1+b)b C、(1―a)b >(1―a)b/2D、(1―a)a>(1―b)b 4、若loga3>logb3>0，則a、b的關系是（B）A、0 中成立的是（A）A、①②③④B、①②③C、①②D、③④ 專題二：比較大小 1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，則（A）A、a＜bB、a＞bC、ab＜1D、ab＞ 22、a、b為不等的正數，n∈N，則(anb+abn)－(an－1+bn－ 1)的符號是（C）A、恒正B、恒負 C、與a、b的大小有關D、與n是奇數或偶數有關 3、設1＜x＜10，則lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小關系是 lgx2>lg 2x>lg(lgx).4、設a>0,a≠1,比較logat/2與loga(t+1)/2的大小。 56、若a?1，比較M?N?專題三；利用不等式性質判斷P是Q的充分條件和必要條件 1、設x、y∈R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關系 ⑴命題甲：x>0且y>0，命題乙：x+y>0且xy>0充要條件 ⑵命題甲：x>2且y>2，命題乙：x+y>4且xy>4充分不必要條件 2、已知四個命題，其中a、b∈R ①a2 2的充要條件是(a+b)與(a －b)異號；④a2 3、“a+b>2c”的一個充分條件是（C） A、a>c或b>cB、a>c或b＜cC、a>c且b>cD、a>c且b＜c 專題四：范圍問題 1、設60＜a＜84,－28＜b＜33,求：a+b,a－b,a/b的范圍。 2、若二次函數y=f(x)的圖象過原點，且1≤f(―1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(―2)的范圍。專題五：均值不等式變形問題 1、當a、b∈R時,下列不等式不正確的是（D） A、a2+b2≥2|a|?|b|B、(a/2+b/2)2≥ab C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|) 2、x、y∈(0,+∞)，則下列不等式中等號不成立的是（A） A、x? 1x ??2(x?1)?(y?1)?4 x? 1B、xyx C、(x+y)(1/x+1/y)≥4D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2 3、已知a>0,b>0,a+b=1，則(1/a2―1)(1/b2―1)的最小值為（D） A、6B、7C、8D、9 4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c≥9 5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：ad?bcbd?bc?ad ac ?4 專題六：求函數最值 1、若x>4,函數y??x? 4?x，當x?____時，函數有最＿值是_____。答案：5，大，－62、設x、y∈R, x+y=5，則3x+3y的最小值是（D） A、10B、63C、46D、3、下列各式中最小值等于2的是（D）2A、x/y+y/xB、x?5x2? 4C、tanα+cotαD、2x+2－ x4、已知實數a、b、c、d滿足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。 5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。專題七：實際問題1、98（高考）如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬為2cm的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為am，高度為bm，已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比，現有制箱材料60m2，問當a、b各為多少米時，沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A、B孔的面積忽略不計）。解一：設流出的水中雜質的質量分數為y，由題意y=k/ab，其中k為比例系數(k>0) 據題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0) ?b? 30?a 2?a 由a>0,b>0可得0 ?y? kab?k30a?a2?a 令t=2+a，則a=t－ 230a?a2從而30(t?2)?(t?2)234t?t2?64642?a?t?t?34?(t?t)?34?2t?64t ?18 當且僅當t=64/t，即t=8,a=6時等號成立。∴y=k/ab≥k/18 當a=6時,b=3，綜上所述，當a=6m,b=3m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。 解二：設流出的水中雜質的質量分數為y，由題意y=k/ab，其中k為比例系數(k>0)要求y的最小值，即要求ab的最大值。 據題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30 ?a?2b?22ab(當且僅當a?2b時等號成立）?ab?22ab?30，解得－52?ab?32 即0?ab?18,由a?2b及ab?a?2b?30解得a?6,b? 3即a=6,b=3時，ab有最大值，從而y取最小值。 綜上所述，當a=6m,b=3m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。 2、某工廠有舊墻一面長14米,現準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126米2的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費用為a元；②修1米舊墻的費用為a/4元；③拆去1米舊墻用所得材料建1米新墻的費用為a/2元.經過討論有兩種方案：⑴利用舊墻的一段x(x<14)米為矩形廠房的一面邊長；⑵矩形廠房的一面長為x(x≥14).問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？⑴⑵兩種方案哪種方案最好？ 解：設總費用為y元，利用舊墻的一面矩形邊長為x米，則另一邊長為126/x米。 ⑴若利用舊墻的一段x米(x<14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14－x)?a/2元，其余的建新墻的費用為(2x+ 2?126/x－14)?a元，故總費用 y?a14?x252x36 4x?2a?a(2x?x?14)?7a(4?x?1) ?x4?36x ?6,當且僅當x＝12時等號成立，∴x＝12時ymin=7a(6－1)=35a。 ⑵若利用舊墻的一段x米(x≥14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，建新墻的費用 為(2x+ 2?126/x－14)?a元，故總費用 y? a4x?a(2x?252x?14)?72a?2a(x?126x ?7) ?x?126x?2,當x??14?等號不成立。 設f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，則f(x2)－f(x1)= x2+126/x2－(x1+126/x1) =(x2―x1)(1―126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在［14，＋∞)上遞增，∴f(x)≥f(14)∴x=14時ymin=7a/2+2a(14+126/14－7)=35.5a 綜上所述，采用方案⑴，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長，建墻費用最省。專題八：比較法證明不等式 1、已知a、b、m、n∈R+,證明：am+n+bm+n≥ambn+anbm 變式：已知a、b∈R+,證明：a3/b+b3/a≥a2+b22、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對任意實數p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)專題九：綜合法證明不等式 1、已知a、b、c為不全相等的正數，求證： b?c?aa?a?c?bb?a?b?c c ?3 2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3 3、已知a、b、c為不全相等的正數，且abc=1,求證： a?b?c? 1a?11b?c4、已知a、b∈R+，a+b=1,求證：a?1/2?b?1/2?2 專題十：分析法證明不等式 1、已知a、b、c為不全相等的正數，求證：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c 2、已知函數f(x)=lg(1/x－1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求證： f(x1)?f(x2)?x?2?f?1x2? ?2?? 3、設實數x,y滿足y+x2=0,0 專題十一：反證法、放縮法、構造法、判別式法、換元法等證明不等式 1、設f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于1/2。 2、若x2+y2≤1,求證|x 2+2xy－y2 |≤2.3、已知a>b>c,求證： 1a?b?1b?c? 4a?c4、已知a、b、c∈R＋，且a+b>c求證：a1?a?b1?b?c1?c .5、已知a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等號何時成立。 分析：整理成關于a的二次函數f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c 2∵Δ=(c+3b)2 －4(3b2+3bc+c2)=－3(b2+2bc+c2)≤0 ∴f(a)≥06、已知：x2－2xy + y 2+ x + y + 1＝0，求證：1/3≤y/x≤ 37、在直角三角形ABC中，角C為直角，n≥2且n∈N，求證：cn≥an + bn8、設an??2?2?3??4???n(n?1)(n?N) n(n?1)(n 2a?1) 2?n?2對所有正整數n都成立。 專題十二：解不等式 1、解不等式： 1x?1?2x?3? 3x? 22、解關于x的不等式：a?x x 2?x?2 ?0 專題十三：不等式應用 不等式的應用主要有三個方面：一是能轉化為求解不等式（組）的有關問題（如求函數的定義域、討論一元二次方程的根的分布等）；二是能轉化為不等式證明的有關問題（如證明函數的單調性）；三是能轉化為重要不等式的極端情形解決的最值問題。 1、已知f(x)的定義域是（0,1］，則函數y?f(lgx2?x)的定義域是_［－5，－2)∪(1,4］。 2、已知不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|α +bx+a<0的解集。、設f(x)?2x 31?4x (x≥0).⑴求證：f(x)是減函數；⑵求f(x)的值域。 4、由于對某種商品實行征稅，其售價比原價上漲x%，漲價后商品賣出量減少 36x %，已知稅率為銷售金額的20%.⑴為實現銷售金額和扣除稅款的余額y不比原銷售金額少，求上漲率x%的取值范圍； ⑵x為何值時，y最大？（保留一位小數）解：設原價為a，銷售量為b，則 y?a(1?x%)?b(1? 36x100%)?(1?20%)?ab(1?x%)(1?36x 100%)?80%?y?ab,?(1?x%)(1?36x %)?80%? 1整理得：36(x%)2?64(x%)?25?0,?0?x%? ?2?y?ab(1?x%)（259?x%)?80%?36125ab(1?x%)(259 ?x%)?1?x%?25?x? ?36?%?125ab??2? ?? ? 當且僅當1＋x%＝25/9－x%，即x%＝8/9.∴x＝88.9時y最大。專題十四：恒成立問題 1、若不等式a 2、關于x的不等式2x－1＞a(x－2)的解集為R，求實數a的取值范圍。 3、如果關于x的不等式 lg?2ax?lga?x?1的解集總包含了區間（1,2］，求實數a的取值范圍。解：由題設可知，原不等式在（1,2］中總成立，∴a＞0且a＋x＞ 1原不等式等價于lg(2ax)＜lg(a+x),等價于2ax＜a＋x，等價于(1－2a)x＋a＞0設f(x)＝(1－2a)x＋a，則f(x)＞0在（1,2］中總成立，故有 4、設對x∈R有3x2?2x? 2x2 ?x?1?n(n?N)恒成立，試求n的值。分析：原不等式等價于 (3?n)x2?(2?n)x?(2?n) x2?x? 1?0(1)由題意不等式（1）的解集為R 又x2+x+1恒大于零，所以不等式（1）等價于(3－n)x2＋(2－n)x＋(2－n)＞0(2)故不等式（2）的解集為R，從而有 所以n＜2，又n∈N，所以n＝0或15、若f(x)=(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1＞0對于一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍。 6、已知函數f(x)?x2?2x?a x ⑴當a=1/2時，求函數f(x)的最小值； ⑵若對任意x∈［1，＋∞）,f(x)＞0恒成立，試求實數a的取值范圍。專題十五：絕對值不等式定理中等號成立的問題 1、解關于x的不等式|x+log2x|=x+|log2x| 2、證明：|x+1/x|≥ 2專題十六：絕對值不等式的證明 1、設a∈R，函數f(x)=ax 2+x－a(－1≤x≤1).⑴若|a|≤1,求證|f(x)|≤5/4； ⑵若函數f(x)有最大值17/8，求實數a的值。 2、已知|x－a|＜ε/2a,|y－b|＜ε/2|a|,且0＜y＜A，求證：|xy－ab|＜ε 3、專題十七：探索性問題 1、是否存在自然數k，使得不等式 1n?1?1n?2?1n?3???13n? 1?2k?5對一切正整數n都成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由。 解：令 f(n)? 1n?1?1n?2???13n?1，對任意的n?N? f(n?1)?f(n)?111111 23n?2?3n?3?3n?4?n?1?3n?2?3n?4? 3n?3 ?2∴ f(n+1)>f(n)，即＋3(n?4)(n?2)(n?3)?0 f(n)在N上是增函數，∴f(n)的最小值是f(1)又f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12 故對一切正整數n使得f(n)>2a－5的充要條件是13/12>2a－5，∴a<73/24 故所求自然數a的最大值是3。 2、已知拋物線y=f(x)=ax2+bx+c過點（－1,0），問是否存在常數a、b、c，使得不等式x≤f(x)≤ (1+x 2)/2對于一切實數x都成立？ 解：假設存在常數a、b、c，使得x≤f(x)≤(1+x 2)/2對一切實數x恒成立，令x＝1有1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1，即a＋b＋c＝1① ∵拋物線過點（－1,0）∴a－b＋c＝0② 解①②得：b=1/2,c=1/2－a,∴f(x)=ax2 +x/2+1/2－a 由x≤f(x)≤(1+x2)/2得2x≤2ax2+x+1－2a≤1+x2 ∴a=1/4,專題十八：不等式中常見的數學思想方法 （一）分類討論的思想： 1、設f(x)= 1+logx3,g(x)=2logx2，其中x＞0且x≠1，試比較f(x)與g(x)的大小。 2、解關于x的不等式 x?a (x?1)(x?1) ?0 分析：①當a＜－1時，原不等式的解集為｛x|x≤a或－1＜x＜1} ②當－1＜a＜時，原不等式的解集為｛x|x＜－1或a≤x＜ 1} ③當a＞1時，原不等式的解集為｛x|x＜－1或1＜x≤a} ④當a＝1時，原不等式的解集為｛x|x＜－1 } ⑤當a＝－1時，原不等式的解集為｛x|x＜1且x≠－1} （二）數形結合的思想 1、關于x的方程x2―x―(m＋1)＝0只在［－1,1］上有解，則實數a的取值范圍是（）A、［－5/4,+∞)B、(―5/4,―1)C、［－5/4，1］D、(－∞，1］ 2、設k、a都是實數，關于x的方程|2x―1|=k(x―a)+a對于一切實數k都有解，求實數a的取值范圍。 3、已知0＜a＜1，0＜b＜1.求證： + ≥ 分析觀察待證式左端，它的每個根式都使我們想到Rt△ABC中的等式a 2+b2 =c2，激起我們構造平面圖形利用幾何方法證明這個不等式的大膽想法.如圖27-3，作邊長為1的正方形ABCD，分別在AB、AD上取AE=a，AG=b，過E、G分別作AD、AB的平行線，交CD、BC于F、H，EF、GH交于O點.由題設條件及作圖可知，△AOG、△BOE、△COF、△DOG皆為直角三角形.∴ OC= 再連結對角形AC，BD，易知AC=BD=，OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，∴ ≥ （三）函數與方程的思想 1、函數f(x)=lg(x2+ax+1)的值域為R，求實數a的取值范圍。、已知f(x)?lg1?2x?3x?4x2a，若f(x)在（－∞，1］有意義，求實數a的取值范圍。 3、設不等式mx2―2x＜m―1對于滿足|m|≤2的一切實數m都成立，求x的取值范圍。 分析：設f(m)=(x 2―1)m＋2x―1，則對于滿足|m|≤2的一切實數m都有f(m)＜0 ∴f(－2)＜0且f(2)＜0 4、已知x、y、z∈（0,1），求證：x(1－y)+ y(1－z)+ z(1－x)< 1 證明：構造函數f(x)= x(1－y)+ y(1－z)+ z(1－x)－1即f(x)=(1－y－z)x + y(1－z)+ z－1當1－y－z = 0,即y + z = 1時，f(x)= y(1－z)+ z－1 = y + z －1－yz = －yz < 0當1－y－z ≠ 0時，f(x)為一次函數，又x∈（0,1），由一次函數的單調性，只需證明f(0)< 0, f(1)< 0 ∵y、z∈（0,1） ∴f(0)= y(1－z)+ z－1 =(y－1)(z－1)< 0f(1)=(1－y－z)+ y(1－z)+ z－1 =－yz < 0∴對任意的x∈（0,1）都有f(x)< 0即x(1－y)+ y(1－z)+ z(1－x)< 1（四）轉化與化歸思想 1、關于x的方程4x+(m－3)?2x+m=0有兩個不等的實數根，求實數m的取值范圍。 （五）換元的思想 1、解不等式：2x?5?x? 1變：關于x的不等式ax?5?x?b的解集為［－5/2,2），求實數a、b的值。 2、（六）1的代換 1、已知a、b∈R+，a+b=1,x、y∈R,求證：ax2+by2≥(ax+by) 22、已知x、y都是正數，a、b都是正常數，且a/x + b/y = 1，求證：x?y?(a?b) 23、已知x、y都是正數，且x + y = 1,求證：(1 + 1/x)(1 + 1/y)≥94、已知x、y∈R+,且1/x + 9/y = 1，求x + y的最小值。 5、若0＜x＜1,a＞0，b＞0，求a/x + b/(1－x)的最小值是。 6、已知a,b是正數，且a + b = 1，求證：(ax + by)(ay + bx)≥xy 分析：∵a,b是正數，且a + b = 1∴(ax + by)(ay + bx)= a2xy + abx2 + aby2 + b2xy =(a2 + b2)xy+ ab(x2 + y2)=(1－2ab)xy+ ab(x2 + y2)= xy+ ab(x2 + y2－2xy)= xy + ab(x－y)2 ≥xy （七）特殊與一般的思想 1、已知a、b、c ∈R,函數f(x)= ax2 + bx + c, g(x)= cx2+bx + a, 當|x| ≤1時，有|f(x)≤2。（1）求證：|g(1)| ≤ 2；（2）求證：當|x| ≤ 1時，|g(x)|≤ 4.證：（1）∵當|x| ≤1時，|f(x)|≤2,∴|f(1)|≤2又|f(1)|＝|g(1)|∴|g(1)|≤ 2（2）∵f(x)= ax2 +bx+c ∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c∴a= [f(1)+f(-1)-2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2 ∵|x|≤1時|f(x)|≤2 ∴|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2,|f(0)|≤2 ∴|g(x)|=|cx2 +bx+a| =|x2 f(0)+[f(1)-f(-1)]x/2+[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2| =|(x2 －1)f(0)+(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2| ≤|(x2 －1)f(0)|+|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2| ≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|(1－x2)||f(0)| ≤x+1+1-x+2 = 4小結：對于二次函數f(x)=ax2 +bx+cc=f(0) 2a=f(1)+f(－1)－2f(0)2b=f(1)―f(―1) 2、已知a、b、c ∈R,函數f(x)= ax2 + bx + c, g(x)= ax + b, 當－1≤x≤1時，有|f(x)≤1。（1）證明：|c|≤1；（2）證明：當－1≤x≤1時，|g(x)|≤2；（3）設a＞0，－1≤x≤1時，g(x)的最大值為2，求f(x)的解析式。 ①證明：∵－1≤x≤1時，有|f(x)|≤1,∴當x = 0時，有f(0)= c, 即|c| = |f(0)|≤1,故|c|≤1。②證明：欲證當－1≤x≤1時，有|g(x)|≤2,即證－1≤x≤1時，－2≤g(x)≤2。 對a分類討論 當a＞0時，∵g(x)在[－1,1]上是增函數，∴－a+b≤g(x)≤a+b, ∵a+b = f(1)－c ≤|f(1)| + |c|≤2,－a +b = －[f(－1)－c]≥－[|f(－1)|+|c|]≥－2，∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2。當a＜0時，∵g(x)在[－1,1]上是減函數，∴a+b≤g(x)≤－a+b, ∵a+b = f(1)－c ≥－[|f(1)|+|c|]≥－2，－a +b = －[f(－1)－c] ≤|f(－1)|+ |c|≤2,，∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2。綜上所述，有|g(x)|≤2。 ③∵a＞0，∴g(x)在[－1,1]上是增函數，∴x＝1時，g(x)取最大值2，即a+b＝2。∴f(1)－f(0)＝a+b＝2，∴－1≤f(0)＝f(1)－2≤1－2＝－1，即c= f(0)＝－1，∵－1≤x≤1時，f(x)≥－1= f(0)，∴x = 0為函數f(x)圖象的對稱軸，∴b = 0, 故a＝2，所以f(x)＝2x2－1。 ②另解：∵f(x)= ax 2+bx+c ∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c∴a= [f(1)+f(-1)-2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2 ∵|x|≤1時|f(x)|≤1 ∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1 ∴|g(x)|=|ax+b| =|[f(1)+f(-1)-2f(0)]x/2+[f(1)-f(-1)]/2| =|(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2-xf(0)| ≤|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|+|-xf(0)| ≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|-x||f(0)| ≤(x+1)/2+(1-x)/2+1= 23、是否存在滿足下列條件的二次函數f(x)： ⑴當|x|≤1時，|f(x)|≤1；⑵f(2)＞7。若存在，求出解析式；若不存在，說明理由。 4、設f(x)=x 2+bx+c(b、c為常數)，定義域為［－1,1］，⑴設|f(x)|的最大值為M，求證：M≥1/2；⑵求出⑴中當M＝1/2時，f(x)的表達式。 不等式與一次函數專題練習 題型一：方程、不等式的直接應用 典型例題：李暉到“寧泉牌”服裝專賣店做社會調查．了解到商店為了激勵營業員的工作積極性，實行“月總收入＝基本工資＋計件獎金”的方法，并獲得如下信息： 假設月銷售件數為x件，月總收入為y元，銷售1件獎勵a元，營業員月基本工資為b元．（1）求a，b的值； （2）若營業員小俐某月總收入不低于1800元，則小俐當月至少要賣服裝多少件？ 配套練習： 1、(2009,益陽)開學初，小芳和小亮去學校商店購買學習用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小 亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.(1)求每支鋼筆和每本筆記本的價格； (2)校運會后，班主任拿出200元學校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共48件作為獎品，獎給校運會中表現突出的同學，要求筆記本數不少于鋼筆數，共有多少種購買方案？請你一一寫出.2、北京奧運會開幕前，某體育用品商場預測某品牌運動服能夠暢銷，就用32000元購進了一批這種運動服，上市后很快脫銷，商場又用68000元購進第二批這種運動服，所購數量是第一批購進數量的2倍，但每套進價多了10元． （1）該商場兩次共購進這種運動服多少套？ （2）如果這兩批運動服每套的售價相同，且全部售完后總利潤率不低于20%，那么每套售價至少是多少元？（利 利潤潤率??100%）成本 題型二：方案設計 典型例題 3、（2009，深圳）迎接大運，美化深圳，園林部門決定利用現有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個擺放在迎賓大道兩側，已知搭配一個A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個B種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆． （1）某校九年級（1）班課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設計，問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設計出來． （2）若搭配一個A種造型的成本是800元，搭配一個B種造型的成本是960元，試說明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？ 典型例題4：(2008、湖北咸寧)“５、１２”四川汶川大地震的災情牽動全國人民的心，某市A、B兩個蔬菜基地得知四川C、D兩個災民安置點分別急需蔬菜240噸和260噸的消息后，決定調運蔬菜支援災區。已知A蔬菜基地有蔬菜200噸，B蔬菜基地有蔬菜300噸，現將這些蔬菜全部調往C、D兩個災民安置點。從A地運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B地運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元。設從地運往處的蔬菜為x噸。 ⑴、請填寫下表，并求出兩個蔬菜基地調運蔬菜的運費相等時x的值； ⑵、設A、B兩個蔬菜基地的總運費為w元，寫出w與x之間的函數關系式，并求總運費最小的調運方案； ⑶、經過搶修，從B地到C地的路況得到進一步改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少m元(m>0)，其余路線的運費不變，試討論總運費最小的調運方案。 配套練習： 1．（2009，牡丹江）某冰箱廠為響應國家“家電下鄉”號召，計劃生產A、B兩種型號的冰箱100臺．經預算，兩種冰箱全部售出后，可獲得利潤不低于 4.75萬元，不高于4.8萬元，兩種型號的冰箱生產成本和售價如下表：（1）冰箱廠有哪幾種生產方案？ （2）該冰箱廠按哪種方案生產，才能使投入成本最少？“家電下鄉”后農民買家 電（冰箱、彩電、洗衣機）可享受13%的政府補貼，那么在這種方案下政府需補貼給農民多少元？ （3）若按（2）中的方案生產，冰箱廠計劃將獲得的全部利潤購買三種物品：體育器材、實驗設備、辦公用品支援某希望小學．其中體育器材至多買4套，體育器材每套6000元，實驗設備每套3000元，辦公用品每套1800元，把錢全部用盡且三種物品都購買的情況下，請你直接寫出實驗設備的買法共有多少種． 2．光華農機租賃公司共有50臺聯合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺．?現將這50臺聯合收割機派往A，B兩地區收割小麥，其中30臺派往A地區，20臺派往B地區． （1）設派往A地區y（元），求y 與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（2）若使農機租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元，?說明有多少種分派方案，并將各種方案設計出來； （3）如果要使這50臺聯合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農機租賃公司提出一條合理建議。解：（1）派往A地區的乙型收割機為x臺，則派往A地區的甲型收割機為（30－x）臺，派往B地區的乙型收割機為（30－x）臺，派往B地區的甲型收割機為（x－10）臺，則： 3.（2009，撫順）某食品加工廠，準備研制加工兩種口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．現有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．計劃利用這兩種主要原料，研制加工上述兩種口味的巧克力共50塊．加工一塊原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一塊益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一塊原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一塊益智核桃巧克力的成本是2元．設這次研制加工的原味核桃巧克力x塊． （1）求該工廠加工這兩種口味的巧克力有哪幾種方案？ （2）設加工兩種巧克力的總成本為y元，求y與x的函數關系式，并說明哪種加工方案使總成本最低？總成本最低是多少元？ 題型三：不等式與一次函數的實際應用 典型例題5：（南充市2009）某電信公司給顧客提供了兩種手機上網計費方式： 方式A以每分鐘0.1元的價格按上網時間計費；方式B除收月基費20元外，再以每分鐘0.06元的價格按上網時間計費．假設顧客甲一個月手機上網的時間共有x分鐘，上網費用為y元． （1）分別寫出顧客甲按A、B兩種方式計費的上網費y元與上網時間x分鐘之間的函數關系式，并在圖7的坐標系中作出這兩個函數的圖象； （2）如何選擇計費方式能使甲上網費更合算？ 典型例題6：(2009，朝陽)某學校計劃租用6輛客車送一批師生參加 一年一度的哈爾濱冰雕節，感受冰雕藝術的魅力．現有甲、乙兩種客 車，它們的載客量和租金如下表．設租用甲種客車x輛，租車總費用為y元．（1）求出y（元）與x（輛）之間的函數關系式，指出自變量的取值范圍； （2）若該校共有240名師生前往參加，領隊老師從學校預支租車費用1650元，試問預支的租車費用是否可以結余？若有結余，最多可結余多少元？ 典型例題7：(2009、唐山)送家電下鄉活動開展后，某家電經銷商計劃購進A、B、C三種家電共70臺，每種家電至少要購進8臺，且恰好用完資金45000元。設購進A種家電x臺，B種家電y臺。三種家電的進價和預售價如下表： ⑴、用含x，y的式子表示購進C種家電的臺數； ⑵、求出y與x之間的函數關系式； ⑶、假設所購進家電全部售出，綜合考慮各種因素，該家電經銷商在購銷這批家電過程中需另外支出各種費用共1000元。①、求出預估利潤P(元)與x(臺)的函數關系式； ②、求出預估利潤的最大值，并寫出此時購進三種家電各多少臺。 配套練習： 1、(2009、保定)水果經銷商計劃將一批蘋果從我市運往某地銷售，有汽車、火車兩種運輸工具可供選擇，兩種運輸工具的主要參考數據如下： 設我市到某地的路程為x千米，這批水果在途中的損耗為150元/時，若選用汽車運輸，其總費用為y1元，若選 ⑴、分別寫出1，2與之間的函數關系式； ⑵、請你為水果經銷商設計省錢的運輸方案，并說明理由。 3、（2009，清遠）某飲料廠為了開發新產品，用A種果汁原料和B種果汁原料試制新型甲、乙兩種飲料共50千克，設甲種飲料需配制x千克，兩種飲料的成本總額為y元． （1）已知甲種飲料成本每千克4元，乙種飲料成本每千克3元，請你寫出y與x之間的函數關系式． （2）若用 AB y值最小，最小值是多少？ 5、（2009，梧州）某工廠要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別為600元和1000元． （1）設招聘甲種工種工人x人，工廠付給甲、乙兩種工種的工人工資共y元，寫出y（元）與x（人）的函數關系式； （2）現要求招聘的乙種工種的人數不少于甲種工種人數的2倍，問甲、乙兩種工種 各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？ 6、(2009、河南)某家電商場計劃用32400元購進“家電下鄉”指定產品 中的電視機、冰箱、洗衣機共15臺。三種家電的進價和售價如下表所示： ⑴、在不超出現有資金的前提下，若購進電視機的數量和冰箱的數量相 同，洗衣機數量不大于電視機數量的一半，商場有哪幾種進貨方案？ ⑵、國家規定：農民購買家電后，可根據商場售價的13%領取補貼。在⑴的條件下，如果這15臺家電全部銷售給農民，國家財政最多需補貼農民多少元？ 題型四：不等式與一次函數圖象性質的應用 典型例題10：（2009年江蘇省）某加油站五月份營銷一種油品的銷售利潤y（萬元）與銷售量x（萬升）之間函數關系的圖象如圖中折線所示，該加油站截止到13日調價時的銷售利潤為4萬元，截止至15日進油時的銷售利潤為5.5萬元．（銷售利潤＝（售價－成本價）×銷售量）請你根據圖象及加油站五月份該油品的所有銷售記錄提供的信息，解答下列問題：（1）求銷售量x為多少時，銷售利潤為4萬元；（2）分別求出線段AB與BC所對應的函數關系式；（3）我們把銷售每升油所獲得的利潤稱為利潤率，那么，在OA.AB.BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤率最大？ 典型例題11：（2009 黑龍江大興安嶺）郵遞員小王從縣城出發，騎自行車到A村投遞，途中遇到縣城中學的學生李明從A村步行返校．小王在A村完成投遞工作后，返回縣城途中又遇到李明，便用自行車載上李明，一起到達縣城，結果小王比預計時間晚到1分鐘．二人與縣城間的距離s(千米)和小王從縣城出發后所用的時間t(分)之間的函數關系如圖，假設二人之間交流的時間忽略不計，求：（1）小王和李明第一次相遇時，距縣城多少千米？請直接寫出答案．（2）小王從縣城出發到返回縣城所用的時間．（3）李明從A村到縣城共用多長時間？ 配套練習 1．（2008貴州貴陽)如圖，反映了甲、乙兩名自行車運動員在公路上進行訓練時的行駛路程s（千米）和行駛時間t（小時）之間的關系，根據所給圖象，解答下列問題： （1）寫出甲的行駛路程s和行駛時間t(t≥0)之間的函數關系式．（3分） （2）在哪一段時間內，甲的行駛速度小于乙的行駛速度；在哪一段時間內，甲的行駛速度大于乙的行駛速度．（4分） （3）從圖象中你還能獲得什么信息？請寫出其中的一條．（3分） 2、（2009·南寧）南寧市獅山公園計劃在健身區鋪設廣場磚．現有甲、乙兩個工程隊參加競標，甲工程隊鋪設廣場磚的造價y甲（元）與鋪設面積x(m2)的函數關系如圖所示；乙工程隊鋪設廣場磚的造價y乙（元）與鋪設面積x(m2)滿足函數關系式：y乙＝kx． （1）根據圖寫出甲工程隊鋪設廣場磚的造價y甲（元）與鋪設面積x(m2)的函數關系式；（2）如果獅山公園鋪設廣場磚的面積為1600m2，那么公園應選擇哪個工程隊施工更合算？ 3．（2009年婁底）婁底至新化高速公路的路基工程分段招標，市路橋公司中標承包了一段路基工程，進入施工場地后，所挖筑路基的長度y（m）與挖筑時間x（天）之間的函數關系如圖所示，請根據提供的信息解答下列問題：（1）請你求出： ①在0≤x＜2的時間段內，y與x的函數關系式； ②在x≥2時間段內，y與x的函數關系式.（2）用所求的函數解析式預測完成1620 m的路基工程，需要挖筑多少天？ 高二數學中午練習10.17 1、設Sn為等差數列?an?的前n項和，若a1?1，公差d?2，Sk?2?Sk?24，則k= 2、已知數列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).則數列?an?的 通項公式為 1??????1?21?2?31?2?3???n3、求和： 4、在等差數列?an?中，a3?a7?37，則a2?a4?a6?a8?________ 5、等差數列?an?前9項的和等于前4項的和．若a1?1,ak?a4?0，則k=____________． 6、設{an}是一個公差為d(d?0)的等差數列，它的前10項和S10?110，且a1,a2,a4成等比數列． （Ⅰ）證明：a1?d；（Ⅱ）求公差d的值和數列{an}的通項公式． 一元一次不等式與實際問題練習題 1、在一次綠色環保知識競賽中，共有20道題，對于每一道題，答對了得10分，答錯了或不答扣5分，則至少要答對幾道題，其得分才會不少于80分？ 2、某次數學競賽有50道選擇題,評分標準為答對一題2分,答錯一題倒扣1分, 不答題不得分,也不扣分,某學生4道題沒有答,但得分超過70分,取得了復賽資格,問他可能答對多少道題? 3、有人問一位老師,他所教的班有多少學生,老師說:“一半學生在學數學,四分之一的學生在學英語,七分之一的學生在學音樂,還剩不足六位同學在操場上踢足球”.試問這個班有多少學生? 4.七年級6班組織有獎知識競賽，小明用100元班費購買筆記本和鋼筆共30件，已知筆記本每本2元，鋼筆每支5元，那么小明最多能買鋼筆多少支.5、某個體商店第一天以每件10元的價格購進某種商品15件，第二天又以每件12元的價格購進同種商品35件，然后以相同的價格賣出，如果商品銷售這些商品時，至少要獲得10%的利潤，這種商品每件的售價應不低于多少元？ 6、某物流公司，要將300噸物資運往某地，現有A、B兩種型號的車可供調用，已知A型車每輛可裝20噸，B型車每輛可裝15噸，在每輛車不超載的條件下，把300噸物資裝運完，問：在已確定調用5輛A型車的前提下至少還需調用B型車多少輛？ 7.某市自來水公司按如下標準收取水費，若每戶每月用水不超過5cm3,則每立方米收費1.5 元；若每戶每月用水超過5cm3，則超出部分每立方米收費2元。小童家某月的水費不少于 10元，那么她家這個月的用水量至少是多少？ 8.某城市一種出租車起價為5元，（即行駛路程在2.5千米以內都只需付5元，達到或超過2.5千米后每增加1千米加價1.2元，（不足1千米按1千米算）.現在某人乘這種出租車從甲地到乙地，支付車費13.4元，則甲地到乙地路程大約是多少千米？ 9.某體育用品商場采購員要到廠家批發購進籃球和排球共100只，付款總額不得超過11 815元．已知兩種球廠家的批發價和商場的零售價如右表，試解答下列問題： （1）該采購員最多可購進籃球多少只？ （2）若該商場把這100只球全部以零售價售出，為使商場獲得的利潤不低于2580元，則 采購員至少要購籃球多少只，該商場最多可盈利多少元？ 10、某電信公司的“全球通”手機用戶的收費標準是：不管通話時間長短，每月必須繳月租費30元，另外每通話１分鐘交費0.4元；“快捷通”手機用戶的收費標準是：沒有月租費，但每通話１分鐘交費0.6元。 （1）設每月通話時間為x分，試分別寫出“全球通”每月應交費和“快捷通”每月應交費。 （2）當每月的通話時間x在什么范圍時，選擇“全球通”較合算？ （3）當每月的通話時間x在什么范圍時，選擇“快捷通”較合算？ 不等式的證明訓練題及解答 一、選擇題 (1)若logab為整數,且loga1122>logablogba,那么下列四個結論①>b>a②logab+logba=0bb ③0 x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|= 1+(3)若x,y∈R,且x≠y,則下列四個數中最小的一個是（）11 ?)xy (4)若x>0,y>0,且x?y≤ax?y成立,則a的最小值是（） 2(5)已知a,b∈R,則下列各式中成立的是（） 22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb 222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b +(6)設a,b∈R,且ab-a-b≥1,則有（）++b≥2(2+1)+b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1) 二、填空題 22(7)已知x+y=1,則3x+4y2(8)設x=?y,則x+y(9)若11≤a≤5,則a+5a(10)A=1+111????與n(n∈N)2n (11)實數x=x-y,則xy 三、解答證明題 2422(12)用分析法證明:3(1+a+a)≥(1+a+a) (13)用分析法證明:ab+cd≤ a2?c2?(14)用分析法證明下列不等式: (1)求證:?7?1?(2)求證:x?1?(3)求證:a,b,c∈R,求證:2（+ x?2?x?3?x?4(x≥4) a?ba?b?c?)?3(?abc)23 (15)若a,b>0,2c>a+b,求證:(1)c>ab；（2）c-c2?ab + 1?x1?y 與中至少有一個小于yx (17)設a,b,c∈R,證明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥(18)已知1≤x+y≤2,求證: 122 ≤x+xy+y≤2 n(n?1)(n?1)2 ?an?(19)設an=?2?2?3???n(n?1)(n∈N),求證:對所有n(n22 * ∈N)2 (20)已知關于x的實系數二次方程x+ax+b=0,有兩個實數根α,β,證明:(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β不等式的證明訓練題參考答案： 1．A2．B3．D4．B5．A6．A * 7．58．-19．［2,26 ］10．A≥n11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 5 12．證明:要證3(1+a+a)≥(1+a+a) 222222222 只需證3［(1+a)-a］≥(1+a+a),即證3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a)≧1+a+a=(a+ 123)+>0 24 只需證3(1+a-a)≥1+a+a，展開得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422 故3(1+a+a)≥(1+a+a)13．證明:①當ab+cd<0時,ab+cd ②當ab+cd≥0時,欲證ab+cd≤a?c?b?d 2222 只需證(ab+cd)≤(a2?c2?b2?d2) 展開得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d) ***2 即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc 22222 只需證ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0 因為(ad-bc)≥0ab+cd≥0時,ab+cd≤a2?c2?b2?d22 22222222 綜合①②可知:ab+cd≤a2?c2?b2?d214．證明:(1)欲證?7?1? 只需證(?)2?(1?)2 展開得12+235>16+2,即2>4+2 只需證(2)>(4+2)，即4>這顯然成立 故?7?1?(2)欲證x?1?只需證x?1?即證(x?1? x?2?x?3?x?4(x≥4)x?4?x?3?x?2(x≥4) x?4)2?(x?3?x?2)2(x≥4) 展開得2x-5+2x?1?x?4?2x?5?2x?3?x?2 即x?1)(x?4)?(x?3)(x?2) 只需證［x?1)(x?4)］<［(x?3)(x?2)］ 即證x-5x+4 x?1?x?2?x?3?x?4(x≥4)(3)欲證2（a?ba?b?c?ab)≤3(?abc)23 只需證a+b-2ab≤a+b+c-3 即證c+2ab≥3 + ≧a,b,c∈R，?c+2ab=c+ab+ab≥3c?ab?ab?3 ?c+2ab≥3abc15．證明:（1）≧ab≤（a?b222) （2）欲證c-c2?ab 只需證-c2?ab 只需證a(a+b)<2ac ≧a>0,只要證a+b<2c(已知)16．證明:(反證法):假設 1?y1?x1?y1?x 與均不小于2,即≥2,≥2,?1+x≥2y,1+y≥2xyxy 兩式相加得:x+y≤2,與已知x+y>2矛盾, 故 1?x1?y 與中至少有一個小于yx 17．證明:目標不等式左邊整理成關于a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222 判別式Δ=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(b+c)≤0 222 當Δ=0時,即b+c=0,a+(c+3b)a+c+3b+3bc≥02 18．證明:設x=kcosθ,y=ksinθ,1≤k≤2 sin2θ)2 13212222 ≧sin2θ∈［-1,1］?k≤k(1+sin2θ)≤k,故≤x+xy+y≤222 n(n?1)2 19．證明:≧n(n?1)?n=n,?an>1+2+3+…+n= 1?22?3n?(n?1)2(1?2???n)?nn(n?1)n又an???????? 222222 ?x+xy+y=k(cosθ+cosθsinθ+sinθ)=k(1+ n(n?2)n2?2n?1(n?1)2 ???,故命題對n∈N222 20．證明:依題設及一元二次方程根與系數的關系(韋達定理)得:α+β=-a,αβ=:(1)(2)等價 于證明|α|<2,|β|<2?2|α+β|<4+αβ,且|αβ???????4??4??4 ???22??2222 ???????4??4??16?0?4(???)?(4???)?2???4??????4 ??2 ??(??4)(??4)?0 ??4??4 ???2? ????4或??2?4??2?4??2?4??4??4 ?? ???2或??2????4 ?? ??2??2,??2.? ???2 ?????2???2 ??第二篇：不等式與一次函數專題練習
第三篇：數列與不等式練習4
第四篇：一元一次不等式與實際問題練習
第五篇：高二數學----不等式的證明題及解答
點擊咨詢 