第一篇：不等式的證明練習
不等式的證明練習
111??． a?bb?ca?c
112．設a、b?R，求證：log1(a?b)?a?b?1． 4421．已知a?b?c，求證：
1x2?x?13?． 3．設x?R，求證：?22x?12
4．設n?N*，求證：
1112(n?1?1)?1??????2n． 23n
5．設a、b、c、分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，求證：
abc??． 1?a1?b1?c
226．若x2?y2?1，求證：x?2xy?y?2．
a2b2
??(a?b)2． 7．若0＜x＜1，求證：x1?x
4?5． 8．設x?(0,?)，求證：sinx?sinx
9．已知：x?y?z?0，xy?yz?zx?0，xyz?0．
求證：x?0，y?0，z?0．
參考答案
111(a?a)2?(b?c)2?(c?a)2
1．????0． a?bb?ca?c2(a?b)(b?c)(a?c)
2．log1（2111?)?log2??log221?a?b?a?b?1． 1aba?b4442
3．用判別式法證明．
122???2(k?1?k)及 kk?kk?1?k
222???2(k?k?1)，再由不等式的同向可加性即得． k?k?1kk?k
ababa?b11c?????1??1??5．． 1?a1?b1?a?b1?a?b1?a?b1?a?b1?c1?c
?x?rcos??0???2??6．換元? ??0???1??即可得證． y?rsin????
?a2b2?1?x2x2227．??[x?(1?x)]?a?b?a?b?a2?b2?2ab?(a?b)2． ?x1?x?x1?x?
13)??2?3?5． 8．(sinx?sinxsinx4．由
9．用反證法，假設結論不成立，由xyz＞0知x、y、z中應有兩個負數，一個正數，不妨設x＞0，y＜0，z＜0．由已知條件，得：
x＞－（y＋x）＞0，yz＞－x（y＋z）＞0，xyz?x(y?z)2，2即yz?(y?z)，z232亦即(y?)?z?0，矛盾． 24
第二篇：不等式的證明練習
不等式的證明練習
A級
一、選擇題 1.2+7與3+6的大小關系是()A.2+≥+B.2+7≤3+6 C.2+>+6D.2+7<3+ 6
3332.設a、b、c∈R且a、b、c不全為0，則不等式a+b+c≥3abc成立的一個充要條件是
()
A.a、b、c全為正數B.a、b、c全為非負實數
C.a+b+c≥0D.a+b+c>0
3.若實數ab滿足0 A.2B.a+bC.2abD.a 4.設實數a、b滿足a+b＝3,則2+2的最小值是() A.6B.42C.22D.26 5.已知a>0且a≠1，M＝loga，N＝loga則M與N的大小關系是() A.M C.M>ND.不確定隨a的變化而變化 二、填空題 226.已知x+y＝4，則2x+3y的取值范圍為.(a3?1)(a2?1)ab ba 7.若不等式a+b>2成立，則a與b滿足的條件是.8.b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，則糖水就變甜了，試根據事實提煉一個不等式.三、解答題 (a?b)2a?b(a?b) 29.已知a>b>0.求證：8a<2-ab<8b.10.已知a,b,c∈(0,1).求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于4.AA級 一、選擇題 1.已知下列不等式： 2+①x+3>2x(x∈R) 553223②a+b≥ab+ab(a,b∈R) 22③a+b≥2(a-b-1) 其中正確的個數是() A.0B.1C.2D.3+2.設x,y∈R，且xy-(x+y)＝1,則() A.x+y≥2(2+1)B.xy≤+ 12C.x+y≤(2+1)D.xy≥2(2+1) 11a?23.設M＝a+(2 A.M>NB.M＝NC.M 1+ 4.設a,b,c∈R，則3個數a+b,b+c,c+a() A.都大于2B.都小于 2C.至少有一個不大于2D.至少有一個不小于2 5.為適應社會發展的需要，國家決定降低某種存款的利息，現有四種降息方案： 方案Ⅰ先降息p%，再降息q%(其中p、q>0且p≠q)方案Ⅱ先降息q%，后降息p% p?qp?q 方案Ⅲ先降息2%，后降息2% 方案Ⅳ一次降息(p+q)% 在上述四種方案中，降息最少的是() A.方案ⅠB.方案ⅡC.方案ⅢD.方案Ⅳ 二、填空題 x 6.實數y＝x-y，則x的取值范圍是.a?b 7.若a>b>c>1，p＝2(2-ab) a?b?c 3θ＝3(-abc)，則p與θ中的較小者是.11k 8.若a>b>c，則不等式a?b+b?c≥a?c成立的最大的k值為.三、解答題 cab 39.已知：a≥0，b≥0，c≥0.求證：a?b+b?c+c?a≥ 2111111 110.證明：n?1(1+3+?+2n?1)>n(2+4+?+2n)(n≥2) 【素質優化訓練】 一、選擇題 11(x?)6?(x6?6) 11(x?)3?(x3?3) xx，則()1.若x>0，f(x)＝ A.f(x)≥10B.f(x)≤2C.f(x)≥8D.f(x)≥6 + 2.設a,b,c∈R，P＝a+b-c，Q＝b+c-a，R＝c+a-b，則“PQR>0”是“P、Q、R”同時大于零的() A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分且必要條件D.即不充分也不必要 + 3.已知a,b∈R，則下列各式中成立的是() 222a2b(a+b) A.cosθ·lga+sinθ·lgb C.a cos2? ·b sin2? ＝a+bD.a cos2? ·b sin2? >a+b aaa 4.設a1>a2>a3>?>a2000>a2001，且m＝a1?a2+a2?a3+?+a2000?a2001，n＝ 4?106 a1?a2001，則m與n的大小關系是() A.m 5.連結直角三角形的直角頂點與斜邊的兩個三等分點所得的兩條線段長分別為sinα ? 和cosα(0<α<2)，則斜邊的長為() 4A.B.C.3D.5二、填空題 n2 5m? 16.已知m，n∈R，則36?16-n+3(用“≥”或“≤”號連接).11 27.若x-1＝2(y-1)＝3(Z-2)，則S＝x+y+z的最小值為.6m 8.設三角形三邊長為3，4，5，P是三角形內的一點，則P到達這個三角形三邊距離乘積的最大值是.三、解答題 x2?111 29.已知a∈(-1,1)，求證ax?2x?a的值不可能在a?1與a?1之間.10.已知二次函數y＝ax+2bx+c，其中a>b>c，且a+b+c＝0.(1)求證：此函數的圖像與x軸交于相異的兩個點.(2)設函數圖像截x軸所得線段的長為l，求證： 2222 1.設m+n＝a,x+y＝b.(其中a、b是不相等的正整數)，則mx+ny的最大值是() a2?b2a?babA.2B.abC.a?bD.2.已知0 b a a b,log 1b a的大小關系是.222 23.設x,y∈R，且x+y≤1，求證｜x+2xy-y｜≤2.+3 34.已知p,q∈R且p+q＝2,求證：p+q≤2.參考答案 A級 1.D 2.A 3.B 4.B 5.D a?ma 6.［-2,2］ 7.ab>0且a≠b 8.b?m>b (a?b)2a?b[(a?b)(a?)]2(a?)2 8a-(2-)＝28a9.證明：-＝ (a?b)2a?b)2?4a] 8a,∵a>b>0,∴a?b<2a,∴(a?b)<4a，∴ (a?b)2a?b 8a(a?b)-4a<0,又(a?b)>0,8a>0,∴-(2-ab)<0，即(a?b)2a?b(a?b)2a?b 8a<2-ab.同理可證：8a>2-ab,∴原不等式成立.111 110.證明：假設三個式子同時大于4，即(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-c)a>4,三式相乘 1a?1?a132 2得：(1-a)a·(1-b)·b·(1-c)·c>4 ①，又因為0 同理0 盾，所以假設不成立，故原命題成立.AA級 1.C 2.A 3.A 4.D 5.C 6.(-∞，0)∪［4，+∞］ 7.P 8.4caba?b?ca?b?ca?b?c 9.證明：∵a?b+b?c+c?a＝a?b+b?c+c?a-3＝ 1111111 (a+b+c)(a?b+b?c+c?a)-3＝2［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［a?b+b?c+c?a］-3 3?3 (a?b)(b?c)(c?a) ≥2·3cab3 a?b+b?c+c?a≥2成立.11193 ?? a?bb?cc?a-3＝2-3＝2，即 111(????) 111111111n10.證明：∵2＝2，3>4，5>6，??，2n?1>2n,又2>，111111n?1 將上述各式兩邊分別相加得1+3+5+?+2n?1>(2+4+?+2n)·n，∴1111111n?1(1+3+?+2n?1)>n(2+4+?+2n) 【素質優化訓練】 1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 5916 6.≤ 7.14 8.1 5x2?1122 9.證明：設y＝ax?2x?a，則(ay-1)x+2yx+ay-1＝0，若y≠a，由x∈R，得△≥ 0.即4y-4(ay-1)≥0，∴［(1-a)y+1］［(1+a)y-1］≥0，因a∈(-1,1)，所以1-a>0,1+a>0 11111111 且a?1>a?1，所以y≤a?1或y≥a?1，若y＝a，由a?(a?1, a?1),原命題也 正確.綜上所述，原命題成立.22 10.證明：(1)令ax+2bx+c＝0，則Δ＝4b-4ac，由a+b+c＝0且a>b>c，∴a>0,c<0,∴ac<0，故Δ>0，即函數的圖像與x軸交于相異的兩點.(2)設函數圖像截x軸于A、B兩點，4b24(?a?c)24c2bcc22 a2其坐標為x1,x2，則x1+x2＝-a,x1x2＝a,∴l＝a-4·a＝-a＝4 ccc13bbc22 ［(a)+a+1］＝4［(a+2)+4］，又a+b+c＝0且a>b>c,∴｜a｜<1，即-1 ＝a＝-1-a∈(-2,0),∴3 1.B2.logb>loga>log>log 2222 3.證明：設x＝rcosθ,y＝rsinθ，且｜r｜≤1,則｜x+2xy-y｜＝r｜cosθ+2cosθ a b 1a b 1b a ? 222 sinθ-sinθ｜＝r｜cos2θ+sin2θ｜＝2r｜sin(2θ+4)｜≤2 4.證明：假設p+q>2，則(p+q)>8,∴p+q+3pq+3pq>8，又p+q＝2,∴pq(p+q)>2＝p+q,2222 又p+q>0，∴pq>p-pq+q?(p-q)<0，這與(p-q)≥相矛盾，故假設不成立，∴p+q≤2. 不等式證明 1.比較法： 比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法 （1）作差比較： ①理論依據a-b>0 a>b;a-b=0 a=b;a-b<0 a ⑴作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。 ⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。⑶判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。 注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）作商法：①要證A>B(B>0),只要證 ;要證A ②證明步驟：作商→變形→判斷與1的關系 常用變形方法：一是配方法，二是分解因式 2.綜合法：所謂綜合法，就是從題設條件和已經證明過的基本不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，可簡稱為由因導果。常見的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2?b2?2ab，a?b?ab 2，a?b?a?b?a?b 分析法：從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思想是“執果索因”：即從求證的不等式出發，探求使結論成立的充分條件，直至已成立的不等式。 基本步驟：要證??只需證??，只需證?? 4 分析綜合法 單純地應用分析法證題并不多見，常常是在分析的過程中，又綜合條件、定理、常識等因素進行探索，把分析與綜合結合起來，形成分析綜合法。反證法：先假設所要證明的不等式不成立，即要證的不等式的反面成立，如要證明不等式M 具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數的單調性放縮。常用的技巧有：舍去一些正項或負項；在和或積中換大（或換小）某些項；擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等，放縮時要注意不等號的一致性。放縮法的方法有： ⑴添加或舍去一些項，如：a2?1?a；n(n?1)?n ⑵將分子或分母放大（或縮小）⑶利用基本不等式，如：lg3?lg5?(n?(n?1)2⑷利用常用結論： n(n?1)?lg3?lg5)?lg15?lg16?lg4 2Ⅰ、k?1?k?1k?1?k?12k； Ⅱ、1111； ???k2k(k?1)k?1k1111（程度大）???2k(k?1)kk?1kⅢ、12?k11111??(?)；（程度小）2k?1(k?1)(k?1)2k?1k?17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。如： 已知x2?y2?a2，可設x?acos?,y?asin?； 已知x2?y2?1，可設 x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)； x2y2已知2?2?1，可設x?acos?,y?bsin?； abx2y2已知2?2?1，可設x?asec?,y?btan?； ab8、判別式法：判別式法是根據已知或構造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數的根、解集、函數的性質等特征確定出其判別式所應滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。 9、其它方法 最值法：恒成立 恒成立 構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式； §14不等式的證明 不等式在數學中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數變形和化歸，而變形的依據是不等式的性質，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質：a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.這是不等式的定義，也是比較法的依據.對一個不等式進行變形的性質： （1）a?b?b?a（對稱性） （2）a?b?a?c?b?c（加法保序性） （3）a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.（4）a?b?0?an?bn,na?nb(n?N*).對兩個以上不等式進行運算的性質.（1）a?b,b?c?a?c（傳遞性）.這是放縮法的依據.（2）a?b,c?d?a?c?b?d.（3）a?b,c?d?a?c?b?d.（4）a?b?0,d?c?0,?含絕對值不等式的性質： （1）|x|?a(a?0)?x2?a2??a?x?a.（2）|x|?a(a?0)?x2?a2?x?a或x??a.（3）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）.（4）|a1?a2???an|?|a1|?|a2|???|an|.ab?,ad?bc.cd 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數學歸納法、構造函數方法等.當然在證題過程中，常可“由因導果”或“執果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數學問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.例題講解 1．a,b,c?0,求證：ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.a?b?c32．a,b,c?0，求證：abc?(abc) abc.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3．：a,b,c?R,求證a?b?c?2c2a2bbccaab? 4．設a1,a2,?,an?N*，且各不相同，求證：1????? 12131aa3an?a1?2????..n2232n25．利用基本不等式證明a2?b2?c2?ab?bc?ca.446．已知a?b?1,a,b?0,求證：a?b?1.8 7．利用排序不等式證明Gn?An 8．證明：對于任意正整數R，有(1? 1n1n?1)?(1?).nn?11119．n為正整數，證明：n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n 1n? 課后練習 1.選擇題 (1)方程x-y=105的正整數解有().（A）一組（B）二組 （C）三組 （D）四組 (2)在0,1,2,?，50這51個整數中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）3個（B）4個 （C）5個 （D）6個 2．填空題 （1）的個位數分別為_________及_________.4 5422(2)滿足不________.等式10?A?10的整數A的個數是x×10+1，則x的值(3)已知整數y被7除余數為5,那么y被7除時余數為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數解x和y_________.3.求三個正整數x、y、z滿足 23.4．在數列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數之和是3的倍數，而不是9的倍數的數組共有多少組？ 5．求的整數解.6．求證可被37整除.7．求滿足條件的整數x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數，l為質數.證明：2（l+m+n）是完全平方數.9.如果p、q、、都是整數，并且p＞1，q＞1，試求p+q的值.課后練習答案 1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數.4.可仿例2解.5.分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.．． 略解：a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式 如(等.但其本質特征不等式兩邊的次22數及系數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，系數和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888333 3222 2≡8(mod37).2222 27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22 3+7777 3333 ≡(8+7)(mod37),而 237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l為質數,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數.222 229.易知p≠q,不妨設p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程 例題答案： 1.證明：?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc ?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab) ?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2 ?0 ?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c 評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明a2?b2?c2?ab?bc?ca時，可將a2?b2 1?(ab?bc?ca)配方為[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，亦可利用a2?b2?2ab，2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數式，故嘗試用商較法.不等式關于a,b,c對稱，不妨a?b?c,則a?b,b?c,a?c?R?，且 ab,，bca都大于等于1.caabbcc(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3 a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai?0(i?1,2,?,n),則a11a22?anaaan?(a1a2?an)a1?a2???ann.（3）本題還可用其他方法得證。因aabb?abba，同理bbcc?bccb,ccaa?caac，另aabbcc?aabbcc，4式相乘即得證.（4）設a?b?c?0,則lga?lgb?lgc.例3等價于alga?blgb?algb?blga,類似例4可證alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事實上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設有兩個有序數組a1?a2???an,b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbn（順序和） ?a1bj1?a2bj2???anbjn（亂序和）?a1bn?a1bn?1???anb1（逆序和） 其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時等號成立.排序不等式應用較為廣泛（其證明略），它的應用技巧是將不等式兩邊轉化為兩個有序數組的積的形式.如a,b,c?R?時,a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc222.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.111111??，則a2??b2??c2?（亂序和）cbacab111111?a2??b2??c2?（逆序和），同理a2??b2??c2?（亂序和）abccab111?a2??b2??c2?（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數abc111333??組a?b?c及，仿上可證第二個不等式.bcacab 222不妨設a?b?c,則a?b?c,4.分析：不等式右邊各項 ai1?a?；可理解為兩數之積，嘗試用排序不等式.i22ii設b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列，滿足b1?b2???bn，又1?111????.22223nanbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整數，?????b?????122222n2323nb3bnb11故b1?1,b2?2,?,bn?n.從而b1?2，原式得證.?????1????2222n23n所以a1?評述：排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2?b2?a?b?b?a，a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式 如(等.但其本質特征不等式兩邊的次數及22系數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，系數和為1.6.思路分析：不等式左邊是a、b的4次式，右邊為常數式呢.44要證a?b?1，如何也轉化為a、b的4次811,即證a4?b4?(a?b)4.8833評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求證：x1 ?x211133求證：x1x2?x2x3 ?x3?.右側的可理解為(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0，3332+x3x1?0，此處可以把0理解為(x1?x2?x3)，當然本題另有簡使證法.38（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數a1,a2,?an) 調和平均Hn?n111????a1a2an 幾何平均Gn?na1?a2?an 算術平均An?a1?a2???an n22a12?a2???an平方平均Qn? 2這四個平均值有以下關系：Hn?Gn?An?Qn，其中等號當且僅當a1?a2???an時成立.7.證明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)則b1b2?bn?1，故可取x1,x2,?xn?0，使得 Gnb1? xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有： x2x3xnx1b1?b2???bn =xx1x2????n（亂序和）x2x3x1111?x2????xn?（逆序和）x1x2xn ?x1? =n，?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?Gn.GnGnGnn111，?,各數利用算術平均大于等于幾何平均即可得，Gn?An.a1a2an 評述:對8.分析:原不等式等價于n?1(1?)?1?平均，而右邊為其算術平均.n?11nn1，故可設法使其左邊轉化為n個數的幾何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n個n?1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關鍵是通過分拆和轉化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應項的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式 111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n? n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*) nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式 ?1111??????n?(n?1)?nn?1 23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n （**）? n?1?nn?1 （**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立. 學習資 料 教學目標 （1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義； （2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式； （3）能靈活根據題目選擇適當地證明方法來證不等式； （4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養學生分析問題、解決問題的能力； （6）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力； （7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應用的參與，培養學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣． 教學建議 （一）教材分析 1．知識結構 2．重點、難點分析 重點：不等式證明的主要方法的意義和應用； 難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的； ②綜合性問題選擇適當的證明方法． （1）不等式證明的意義 不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立． （2）比較法證明不等式的分析 ①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法． ②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑． 以上資料均從網絡收集而來 學習資 料 由于 種證法就是求差比較法．，因此，證明，可轉化為證明與之等價的 ．這 由于當 時，因此，證明 可以轉化為證明與之等價的 定要注意 ．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 的前提條件． 時，一 ③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”． 其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的． 變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少． 變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式．或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等． 總之．能夠判斷出差的符號是正或負即可． ④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明． （3）綜合法證明不等式的分析 ①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法． ②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式． ③綜合法證明不等式的邏輯關系是： ? ． （已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論） 以上資料均從網絡收集而來 學習資 料 ④利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯系、不等式左右兩端的差異和聯系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵． （4）分析法證明不等式的分析 ①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法． 有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據． ②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統一的兩種方法． ③用分析法證明不等式的邏輯關系是： ? ． （已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論） ④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關（分析推理）步驟的關鍵詞．如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定??成立”等． ⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效． （5）關于分析法與綜合法 ①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法． ②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件．即推理方向是：結論 已知． 綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題．即：已知 結論． 以上資料均從網絡收集而來 學習資 料 ③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件． 綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件． ④各有其優缺點： 從尋求解題思路來看：分析法是執果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節橫生，不容易達到所要證明的結論． 從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰． 也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達． ⑤一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的． （二）教法建議 ①選擇例題和習題要注意層次性． 不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的．教師在教學中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發學生理解各種證法的意義和邏輯關系．教師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當． 要堅持精講精練的原則．通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯系，對知識進行拓展、延伸，使學生溝通知識，有效地提高解題能力． ②在教學過程中，應通過精心設置的一個個問題，激發學生的求知欲，調動學生在課堂活動中積極參與． 通過學生參與教學活動，理解不等式證明方法的實質和幾種證明方法的意義，通過訓練積累經驗，能夠總結出比較法的實質是把實數的大小順序通過實數運算變成一個數與0(或1)比較大小；復雜的習題能夠利用綜合法發展條件向結論方向轉化，利用分析法能夠把結論向條件靠攏，最終達到結合點，從而解決問題． ③學生素質較好的，教師可在教學中適當增加反證法和用函數單調性來證明不等式的內容，但內容不易過多過難． 以上資料均從網絡收集而來 學習資 料 第一課時 教學目標 1．掌握證明不等式的方法——比較法； 2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟． 教學重點 比較法的意義和基本步驟.教學難點 常見的變形技巧.教學方法 啟發引導式.教學過程 （－）導入新課 （教師活動）教師提問：根據前一節學過的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數 與 的大小？． （學生活動）學生思考問題，找學生甲口答問題． （學生甲回答：，，） ［點評］（待學生回答問題后）要比較兩個實數 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現在我們就來學習：用比較法證明不等式．（板書課題） 設計意圖：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入本節課學習的知識． （二）新課講授 【嘗試探索，建立新知】 （教師活動）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目 以上資料均從網絡收集而來 學習資 料 [問題] 求證 教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明． （學生活動）學生研究證明不等式，嘗試完成問題． （得出證明過程后） ［點評］ ①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過． ②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化． ③理論依據是： ④由 要證明，知：要證明 只要證 ；這種證明不等式的方法通常叫做比較法． 設計意圖：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想． 【例題示范，學會應用】 （教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評． 例1 求證 （學生活動）學生在教師引導下，研究問題．與教師一道完成問題的論證． ［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 將此式看作關于 的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證． 以上資料均從網絡收集而來，學習資 料 證明：∵ ＝ ＝，∴ ． ［點評］ ①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號． ②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定． ③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷． 變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少．至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法． 例2 已知都是正數，并且，求證： ［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證． 證明： ＝ 以上資料均從網絡收集而來 學習資 料 ＝ ． 因為 都是正數，且，所以 ． ∴ ． 即： [點評] ①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號． ②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法． ③例2的結論反映了分式的一個性質（若都是正數． 1．當 時，2．當 時，．以后要記住． 設計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法． 【課堂練習】 （教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考．完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題． 以上資料均從網絡收集而來 學習資 料 [字幕] 練習：1．求證 2．已知，，d都是正數，且，求證 （學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演． 設計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學效果，調節課堂教學． 【分析歸納、小結解法】 （教學活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法． （學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記． 比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法．用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號．要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形． 設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法． （三）小結 （教師活動）教師小結本節課所學的知識． （學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記． 本節課學習了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的．掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法．并在下節課繼續學習對差式變形的常用方法． 設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識． （四）布置作業 1．課本作業：P16．1，2，3． 以上資料均從網絡收集而來 學習資 料 2．思考題：已知，求證： 3．研究性題：設，都是正數，且，求證： 設計意圖，課本作業供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生完成，培養其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養學生創新意識． （五）課后點評 1．本節課是用比較法證明不等式的第一節課，在導入新課時，教師提出問題，讓學生回憶所學知識中，是如何比較兩個實數大小的，從而引入用比較法證明不等式．這樣處理合情合理，順理成章． 2．在建立新知過程中，教師引導學生分析研究證明不等式，使學生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認識． 3．例1，例2兩道題主要目的在于讓學生歸綱、總結，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對差式變形是難點，應著重解決．首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結變形時常用方法，有利于難點的突破． 4．本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成．教師通過啟發誘導學生深入思考問題，培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質． 作業答實 思考題： 又，獲證．，研究性題： ． 所以，以上資料均從網絡收集而來第三篇：不等式證明
第四篇：不等式證明
第五篇：不等式的證明
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