第一篇：專題1、不等式講義
“登峰”輔導(dǎo)伴你行
專題
1、不等式性質(zhì)及解不等式講義
類型
一、不等式性質(zhì)
基本知識點(diǎn)要求：能熟練應(yīng)用不等式性質(zhì).題型
1、不等式性質(zhì)考查.例1．若?,?滿足??
2??????
2，則2???的取值范圍是（不等式性質(zhì)）
?b，則2a?b的取值范圍是的范圍.（不等式性質(zhì)）練習(xí)1.若a,b滿足2?a?3and1?b?4且aa2例2．已知?1?a?3and2?b?4，求a?b,a?b,b
練習(xí)2.已知?1?a?3and?2?b?4，求a?b,a?b,a2b的范圍.（不等式性質(zhì)）
2?a?b?4，求2a?3b的取值范圍.題型
2、不等式性質(zhì)+待定系數(shù)法以及整體構(gòu)造思想構(gòu)造題.例3．已知?1?a?b?3and
練習(xí)3.已知?1?x?y?1,1?x?y?3，求3x?y的取值范圍.練習(xí)4.已知函數(shù)f(x)?ax2?bx(a?0)滿足1?f(?1)?2，2?f(1)?5，求f(?3)的取值范圍.類型
二、解不等式
基本知識點(diǎn)要求：（1）知道不等式、方程及函數(shù)之間的關(guān)系；
（2）知道不等式解與方程的根之間的關(guān)系；
（3）能用數(shù)軸標(biāo)根法求解不等式.題型
1、解不等式基本知識考查.例4．解不等式：2x?x?3?0.練習(xí)5．解不等式：?x?x?6?0.例5．解不等式：22x?1?0.x?2
x2?3x?2x?1?0.練習(xí)7．2?0.練習(xí)6．解不等式：2?xx?2x?3
總結(jié)高次不等式求解步驟：（1）最高次系數(shù)化正；（2）分式不等式化整式；（3）因式分解；（4）數(shù)軸標(biāo)根
法寫出答案.題型
2、解含參不等式.例6．解關(guān)于x的不等式：(x?2)(ax?2)?0.練習(xí)8.關(guān)于x的不等式ax?b?0的解集為?1,???，求
練習(xí)9.解關(guān)于x的不等式：x?(1?a)ax?a?0.總結(jié)：（自己填寫）
會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小——成功者的領(lǐng)地.江西省、南昌市、西湖區(qū)
聯(lián)系電話：***徐（數(shù)學(xué)老師）23ax?b?0的解集.x?2
第二篇：不等式第二次課講義
不等式講義Ⅱ
1、排序不等式：an?an?1???a1，bn?bn?1???b1，則：
n
n
k
n
k
?a
k?
1bk?
?a
k?1
bik?
?a
k?1
k
bn?k?1(其中i1,i2,?,in是1,2,?,n的一個(gè)排列)
212
1例1：x,y,z?R,求證：○
?
yzx
?
zxy
?
xyz
2?x?y?z；○
x
yz
?
y
zx
?
z
xy
?x
?y
?z102、均值不等式：M?Max?a1,a2,?,an?,m?Min?a1,a2,?,an?，則：
a1?a2???an
n
M??
a1?a2???an
n
?
a1a2?an?
n
1a
1?1a2
???
1an
?m
?a?a???a?x
?，注：記f?x?????n??
x
1x2xn
以上不等式即：f?????f?2??f?1??f?0??f??1??f???? 可猜測f?x?是單增函數(shù)，這就是冪均值不等式。
?
1例1○1；○2x,y,z?R,且x?y?z?1求：S?例2：○
3x?2?3y?2?3z?2
T?xy2z3的最大值。例3：求f?t??48t?
1t
3,?t?0?的最小值。
例4：a,b?R,a?b?1求S??a?
?
?
?
1??1?
??b??的最小值。a??b?
???2??2?
3、柯西不等式：??ak???bk????akbk?
?k?1??k?1??k?1?
?n?
??ak??k?1?
n
nnn
n
最重要的變形：?
k?1
akbk
?，(bi?0)當(dāng)且僅當(dāng)a1:a2:?:an?b1:b2:?:bn時(shí)取等。
?b
k?12
k
例5：求S?x?y?y?x的最大值。
a
1例6：a?1,b?1，求證：○
b?1
?
b
a?1
2?8；○
a
a?1
?
b
b?1
?8。
例7：x?1,y?1,求證：
例8：?,?為銳角，且
11?x
?
11?y
?
21?xy
cos?sin
?
?
sin?cos?
?1，求證：????
?
例9：a,b,c?R?,abc?1，求證：
1a?b?c?
?
1b?c?a?
?
1c?a?b?
?
例10：a,b,c,d,e都是實(shí)數(shù)，且a?b?c?d?e?8,a2?b2?c2?d2?e2?16求e的取值范圍。
?n???ak??k?1?
n
n
通過以上例子，我們感受到了柯西不等式的推論：?
k?1
akbk
?非常好用，我們把它
?b
k?1
k
推廣。以下給出幾個(gè)引理或定理，它們的證明你可以在教程中找到。切比雪夫不等式：
?1
10?a?a???a,0?b?b???b，則：akbk??○?12n12n
nk?1?n
?1
???b1，則：?akbk??
nk?1?n
n
n
??1
?ak??nk?1????1
a?k??nk?1??
n
nn
?b
k?1n
k
?
? ?
20?a?a???a,0?b?b○12nnn?1
n
?
b?k? k?1?
?
1x??1，n?N，則：?1?x??1?nx 貝努力不等式：○
2x??1，且x?0，r?1或r?0，則：?1?x??1?rx○
r
3x??1，且x?0，0?r?1，則：?1?x??1?rx○
r
赫爾德不等式：ai,bi?R?,p?0,q?1,1p
?
1q
?1,則：
n
pq?p??q?1當(dāng)p?1有：○ab?ab?kk??k???k?
k?1?k?1??k?1?
n
n
p
n
nn
q?p??q?2當(dāng)0?p?1有：○?akbk???ak???bk?
k?1?k?1??k?1?
n
1當(dāng)m?0或m??1，則：權(quán)方和不等式：xi,yi?R，○?
k?1
?
xk
m?1m
yk
?
?n?
??xk??k?1?
n
m?1
????yk??k?1?
m?1
m
n
2當(dāng)?1?m?0，則：○?
k?1
xk
m?1m
k
y
?
?n???xk??k?1?
n
????yk??k?1?
m
q
注：當(dāng)且僅當(dāng)x1:x2:?:xn?y1:y2:?:yn時(shí)取等。證明時(shí)只需令：xk?akbk,yk?bk
p?m?1,直接運(yùn)用赫爾德不等式。
?n???ak??k?1?????bk??k?1?
n
p
n
推論：ai,bi?R,p,q?N,p?q，則：?
k?1
??
akb
p
qk
?n
1?q?p
?
q
注：證明可參考教程P311習(xí)題11
1例11：a,b,c?R，且a?b?c?3，求證：○
?1 1?2ab1?2bc1?2ca11132???○
1?ab1?bc1?ca2
?
?
?222
例12：a,b,c?R，求證：
?
ab?c
?
bc?a
?
ca?b
?
?a?b?c?
例13：a,b,c?R?，求證：
aa?8bc
?
bb?8ca
?
cc?8ab
?1
例14：a,b,c?R?，且a?b?c?1求證：
例15：a,b,c?R?，求證：
a?bc
a1?bc
?
b1?ca
?
c1?ab
?
910
?
b?ca
?
c?ab
?111??2???? ?abc?
n
例16：已知：a1,a2,?,an是兩兩互異的正整數(shù)，求證：?
k?1
akk
n
?
?
k?1
1k
第三篇：高二_不等式的證明講義
高二數(shù)學(xué)不等式同步輔導(dǎo)講義
第1講 不等式的證明
一、輔導(dǎo)內(nèi)容
不等式證明的方法與技巧
二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)
不等式的證明主要研究對絕對不等式的變形、化簡。其原理是利用不等式的傳遞性從不等式的左端或右端適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。橛叶嘶蜃蠖?。不等式的性質(zhì)是不等式證明的基礎(chǔ)。
不等式證明的常規(guī)方法有：比較法、綜合法、分析法。比較法的研究對象通常是代數(shù)不等式，如整式不等式，分式不等式；綜合法主要是用基本不等式及不等式的性質(zhì)研究非負(fù)實(shí)數(shù)集內(nèi)的絕對值不等式；當(dāng)因題目條件簡單或結(jié)論形式復(fù)雜而無法對不等式下手時(shí)，可考慮用分析法，但應(yīng)注重格式，注意規(guī)范化用語。
根據(jù)題目條件或結(jié)論的特殊形式，證明不等式還有一些技巧方法；換元法、反證法、放縮法、判別式法等。
三、典型例題
【例1】 設(shè)a，b∈R，求證：a+b≥ab+a+b-1。
解題思路分析：
思路一：這是一個(gè)整式不等式，可考慮用比較法，在配方過程應(yīng)體現(xiàn)將a或b看成主元的思想，在這樣的思想下變形，接下來的配方或因式分解相對容易操作。
作差δ=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a? =(a?b?123)?(b?1)2≥0 2
422222
222
b?123233)?b?b? 2424思路二：注意到不等式兩邊式子a+b與ab的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到基本不等式；為了得到左邊的a與b項(xiàng)，應(yīng)用增減項(xiàng)法變形。增加若干項(xiàng)或減少若干項(xiàng)的技巧在本節(jié)應(yīng)用得較為普遍。
因a+b≥2ab，a+1≥2a，b+1≥2b 三式同向相加得：a+b≥ab+a+b-1 思路三：在思路一中，作差δ后得到關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，除了用配方法，還可以聯(lián)系二次函數(shù)的知識求解。記f(a)=a-(b+1)a+b-b+1 因二次項(xiàng)系數(shù)為正，△=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)≤0 ∴ f(a)≥0 【例2】 已知0 根據(jù)已知條件：a+b+c+abc>0，首先將題目結(jié)論改造為1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。這樣的化簡或變形（變形的目的也是化簡）在絕大多數(shù)解題中都是需要的），而且是必要的。在變形過程中通常注意前后問題的等價(jià)性。 其次在對欲證不等式左邊的化簡時(shí)，應(yīng)從已知條件中尋找思路：由a≤1，b≤1，c≤1得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在對1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解時(shí)，應(yīng)向1-a，1-b，1-c這三個(gè)因式靠攏，這樣才便于判斷整個(gè)因式的符號。由輪換式的特點(diǎn)，找準(zhǔn)1-a，1-b，1-c中的一個(gè)因式即可。 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0 【例3】 設(shè)A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。 解題思路分析： 因A、B的表達(dá)形式比較簡單，故作差后如何對因式進(jìn)行變形是本題難點(diǎn)之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個(gè)字母。關(guān)鍵是消去哪個(gè)字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個(gè)均可。 由ad=bc得：d?bcbcbc?ac A-B=a+d-(b+c)=a? ?b?c?a?b?aaa1?ab?bc?ca≥1。 a?b?c?abc 22222222222 =a?b?c(a?b)(a?b)(a?c)??0 aabc d(b?d)(c?d)bcbc?cd A-B=a?d?b?c? ?d?b?c??(b?d)=ddd下面是判斷b-d與c-d的符號，即比較a、c與d的大小：應(yīng)從條件a=max{a，b，c，d}及ad=bc出發(fā)才挖掘隱藏條件。又：若不慎消去了a，該怎么辦呢？ 由ad=bc得：a?ac? bdac∵ a>b>0 ∴ >1 即 >1 ∴ c>d，c-d>0 bd由ad=bc得：同理b-d>0 ∴ A-B>0 【例4】 a，b，c∈R，求證：a+b+c≥(a+b+c)。 解題思路分析： 不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號右邊為三項(xiàng)和，根據(jù)不等號方向，應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項(xiàng)，故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。 11左=(2a4?2b4?2c4)?[(a4?b4)?(b4?c4)?(c4?a4)] 21≥(2a2b2?2b2c2?2c2a2)?a2b2?b2c2?c2a2 2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。a2b2?b2c2?c2a2?1(2a2b2?2b2c2?2c2a2)24 441?[(a2b2?b2c2)?(b2c2?c2a2)?(c2a2?a2b2)]21≥(2ab2c?2abc2?2a2bc)?ab(a?b?c)2 【例5】（1）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證： 111111??； ??≥ abcabbcaca2b2c2a?b?c??（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：≥。b?ca?ca?b2解題思路分析： （1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。 （2）同學(xué)們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個(gè)分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達(dá)到目的。試一試行嗎？ a2 【例6】 x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥。 2解題思路分析： 思路一；根據(jù)x+y和x+y的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系。x2?y2x?y∵ ≤ 22(x?y)2a2?∴ x?y≥ 222222思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。換元有下列三種途徑： 途徑1：用均值換元法消元： 令 x?aa?m，y??m 22 a2aaa2222則 x?y?(?m)?(?m)?2m?≥ 2222途徑2：代入消元法： 22y=a-x，0 222222222途徑3：三角換元法消元： ?22令 x=acosθ，y=asinθ，θ∈(0，] 222244222222則 x+y=a(cosθ+sinθ)=a[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ] a211222 =a[1-2(sin2θ)]=a(1-sin2θ)≥ 222 注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個(gè)中間變量表示x，y。這種引參的思想2是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法。 (a?b)2a?b(a?b)2??ab? 【例7】 已知a>b>0，求證：。8a28b解題思路分析： 所證不等式的形式較復(fù)雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，1次等），難以從某個(gè)角度著手。故考慮用分析法證明，即2執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實(shí)際上就是對所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?、變形，?shí)際上這種變形在相當(dāng)多的題目里都是充要的。 a?ba?b?2ab(a?b)2?ab?? 222a?b?(a?b)(a?b)(a?b)2(a?b)2(a?b)2(a?b)2(a?b)2??所證不等式可化為 8a28b∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0 (a?b)2(a?b)2?1?∴ 不等式可化為： 4a4b2???(a?b)?4a?a?b?2a即要證? 只需證? 2???4b?(a?b)?2b?a?b在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=解題思路分析： 不等號兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進(jìn)行比較。 22x?34x?8，求證：對任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a) 211.2112f(a)?2a?34?82a?8?2a(2)?8a2?82a?82a≤ 82?2a?82a?842?2 令 g(b)=b-4b+∵ 11323 g(b)=(b-2)+≥ 2223?2 ∴ g(b)>f(a)2注：本題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時(shí)曾講過。由此也說明，實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。 【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證： （1）|c|≤1，|b|≤1； （2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。 解題思路分析： 這是一個(gè)與絕對值有關(guān)的不等式證明題，除運(yùn)用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個(gè)如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1”的解題意識。 從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1；當(dāng)x=-1時(shí)，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1∴ b?[f(1)?f(?1)] 2111∴ |b|?|f(1)?f(?1)|≤[|f(1)|?|f(?1)|]≤(1?1)≤1 222（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。 2當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)] ≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。思路二：直接利用絕對值不等式 為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進(jìn)行討論。當(dāng)a>0時(shí) |ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論 ① b≥0時(shí)，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時(shí)，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2?！?|ax+b|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。 評注：本題證明過程中，還應(yīng)根據(jù)不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當(dāng)選擇，則不能滿足題目要求。 同步練習(xí) （一）選擇題 1、設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是（）1111111?≤ B、≤?≤ ab44ab211111C、≤?≤1 D、?≥1 2ababA、2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是（）A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c 3、設(shè)m不等于n, x=m-mn y=nm-n，則x , y的大小關(guān)系為（） A、x>y B、x=y C、y>x D、與m ,n的取植有關(guān) 43344、已知a，b是不相等的正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)：x1，x2，?，xn和y1，y2，?，yn，b成等比數(shù)列，并給出下列不等式： ① ② 1a?b2(x1?x2???xn)?ab?()n21nn(x1?x2???xn)?a?b2 ③ y1y2?yn?ab ④ y1y2?yn?na?ba?b2?()22那么，其中為真命題的是（） A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設(shè)M= abc，N=，則MN的大小關(guān)系是 ?4?ab?c4?cA、M>N B、M=N C、M 6、已知函數(shù)f(x)=-x-x，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（） A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負(fù)都有可能 111117、若a>0，b>0，x?(?)，y?，z?，則（） 2aba?babA、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x 8、設(shè)a，b∈R，下面的不等式成立的是（）A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題 9、設(shè)a>0，b>0，a≠b，則ab與ab的大小關(guān)系是__________。 10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。 11、設(shè)n個(gè)正數(shù)x1，x2，?，xn的算術(shù)平均數(shù)是x，若a是不等于x的任意實(shí)數(shù)，并記ab ba22 3aa?12D、a+b≥2(a-b-1)?bb?1p?(x1?x1)2?(x2?x)2???(xn?x)2，q?(x1?a)2?(x2?a)2???(xn?a)2，則p與q大小關(guān)系是__________。 1t?112、當(dāng)0 22nnn13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則a+b與c（其中n∈N，n>2）的大小關(guān)系是________________。 （三）解答題 14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?b?ab?ba。 15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1?abc???2。b?ca?ca?b1116、已知a≥0，b≥0，求證：(a?b)2?(a?b)≥aa?ba。 243317、已知a，b為正數(shù)，a+b=2，求證：a+b≤2。 111a8?b8?c818、若a，b，c為正數(shù)，求證：??≤。 abca3b3c3112519、設(shè)a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?)(b?)≥。 ab420、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。 第2講 含有絕對值的不等式 一、輔導(dǎo)內(nèi)容 含有絕對值的不等式證明 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1、絕對值的性質(zhì) （1）基本性質(zhì)：①x∈R時(shí)，|x|≥x，|x|≥-x；②|x| （2）運(yùn)算性質(zhì)：|ab|=|a||b|，|a|a||?，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。b|b| 222（3）幾何意義：|x-a|表示數(shù)軸上數(shù)x，a對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離。 2、與絕對值有關(guān)的不等式的證明 其方法仍是證明一般不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性質(zhì)外，還經(jīng)常用到剛才所介紹的絕對值的性質(zhì)，特別是||a|-|b||≤|a|±|b|這一條性質(zhì)。 在利用絕對值的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)不等號的方向進(jìn)行合理的選擇。 3、含絕對值不等式的證明與解法有較大的差異，在解不等式中，主要是考慮如何去掉絕對值符號；而在證明中，一般不提倡去掉絕對值符號，當(dāng)然，少數(shù)題目例外。 三、典型例題 【例1】 設(shè)|a|<ε,|a-b|<2ε，求證：|b|<3ε。 解題思路分析： 根據(jù)解題的“結(jié)論向條件靠攏”的原則，本題主要思考如何用a，a-b表示b，從而利用|a|及|a-b|的條件得到|b|的范圍。 ∵ b=a-(a-b)∴ |b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|<ε+2ε=3ε 注：本題還涉及到了化簡變形中的整體思想，即將a-b看作一個(gè)整體。 實(shí)際上根據(jù)|a-b|的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，也可用絕對值的基本不等式對其縮?。簗|a|-|b||≤|a-b|，關(guān)鍵是不等式的左端是選擇|a|-|b|，還是|b|-|a|，盡管兩個(gè)不等式都成立，但由本題的消元要求，應(yīng)消去a，保留b，故選|b|-|a|≤|a-b|。 ∴ |b|-|a|<2ε 又 |a|<ε ∴ 兩不等式同向相加得|b|<3ε 【例2】 已知f(x)=x-x+c，|x-a|<1，a，c∈R，求證：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。 求證：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)解題思路分析： 因f的對應(yīng)法則已知，故首先對不等式左邊化簡：|f(x)-f(a)|=|x-x+c-(a-a+c)|=|x-a-x+a|。接下來的變形向條件|x-a|<1靠攏，即湊出因式x-a： |f(x)-f(a)|=|x-a-x+a|=1(x-a)(x+a)-(x-a)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1| 下一步化簡有兩種途徑：從結(jié)論向條件湊，或從條件向結(jié)論湊。 途徑一：|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1)途徑二：|x+a-1|≤|x|+|a-1|≤|x|+|a|+1 又 |x-a|≥|x|-|a| ∴ |x|-|a|<1 ∴ |x|<|a|+1 ∴ |x+a-1|≤|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1)注：途徑二在利用基本不等式|x-a|≥||x|-|a||時(shí)，涉及到是選擇|x-a|≥|x|-|a|，還是|x-a|≥|a|-|x|，應(yīng)根據(jù)與|x|有關(guān)的不等號方向選擇。本題是要將|a|放大，故選擇|x-a|≥|x|-|a|。 |a?b||a||b|? 【例3】 求證≤。 1?|a?b|1?|a|1?|b|解題思路分析： 思路一：三個(gè)分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)完全一致，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=2 222 x，利用f(x)的單調(diào)性放縮。1?xx(x≥0)1?x易證f(x)在[0，+∞）上遞增 令f(x)=∵ 0≤|a+b|≤|a|+|b| ∴ f(|a+b|)≤f(|a|+|b|) ∴ |a?b||a|?|b||a||b|??≤ 1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b||a||a||b||b|??，1?|a|?|b|1?|a|1?|a|?|b|1?|b||a||b||a||b|??? 1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b|根據(jù)結(jié)論要求，采用縮小分母增大分式的放縮技巧 ∵ ∴ ∴ 由不等式傳遞性，原不等式成立 思路二：用|a+b|≤|a|+|b|進(jìn)行放縮。但不等式左邊分式的分子、分母均含有|a+b|，必須轉(zhuǎn)化為只有一項(xiàng)含|a+b|的分式。 ∵ |a+b|≤|a|+|b| 11∴ ≥ |a?b||a|?|b| 1?11|a?b|?1?11|a?b|≤1?11|a|?|b|?|a|?|b| 1?|a|?|b|下同思路一。 【例4】 已知a，b，x∈R，ab≥0，x≠0，求證|ax?解題思路分析： 本題考慮去絕對值符號后進(jìn)行證明。 b|≥2ab。xb思路一：不等號兩邊均為非負(fù)，原不等式?(ax?)2≥(2ab)2 xb2即 ax?2?2ab≥4ab x22b2∵ ax?2≥2a2b2?2ab x22b2∴ ax?2≥4ab x?2ab22b|≥0，|ax|≥0，顯然成立 ab當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，由a、b>0知，(ax)?()>0 x思路二：當(dāng)a=0，或b=0時(shí)，原不等式為|∴ |ax?bbb|?|ax|?||≥2|ax|?||?2|ab|?2ab xxx2 【例5】 已知f(x)=x+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）證明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于解思路分析： （1）f(1)-f(2)+f(3)=2；問題（2）的求解想辦法利用（1）的結(jié)論。 這是一個(gè)存在性的命題，因正面情形較多，難以確定有幾個(gè)，故采用反證法。 假設(shè)|f(x)|< 1。2111,|f(2)|<，|f(3)|< 222111?2???2 222 則 |f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|< 但 |f(1)-2f(2)+f(3)|=2 由此得到矛盾。 【例6】 已知a，b∈R，|a|>1，|b|>1，且a≠b，求證：| 解題思路分析： 本題用分析法較為方便。 1?ab|>1。a?b1?ab1?ab2|?1?()?1?(1?ab)2?(a?b)2?1?a2b2?a2?b2?0 a?b a?b?(1?a2)(1?b2)?0|∵ |a|>1，|b|>1 ∴ a>1，b>1 ∴ 1-a<0，1-b<0 ∴(1-a)(1-b)>0 ∴ 原不等式成立 【例7】 設(shè)x，y∈R，x+y≤1，求證：|x+2xy-y|≤2。 解題思路分析： 也許有同學(xué)會這樣解： |x+2xy-y|≤|x|+|2xy|+|-y|=x+y+2|xy|≤x+y+x+y=2(x+y)≤2 但放縮過度，不能滿足本題要求。 根據(jù)條件“平方和”的特征，考慮用三角換元法： 令 x=rcosθ，y=rsinθ，|r|≤1 則 |x+2xy-y|=2r|sin(2θ+222222 222 222 2222222?2)|≤2r≤2 4同步練習(xí) （一）選擇題 1、已知函數(shù)f(x)=-2x+1對任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|< ε成立的一個(gè)充分但不必要條件是 ?? C、|x1-x2|< D、|x1-x2|>ε 242、a，b是實(shí)數(shù)，則使|a|+|b|>1成立的充分不必要條件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2| 3、設(shè)a，b C、|a-b|<||a|-|b|| D、|a-b|<|a|+|b| 4、若a，b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，則 ?a?0?a?0A、? B、ab?0 C、? D、ab?0 b?0b?0??11且|b|≥ C、a≥1 D、b<-1 225、已知h>0，命題甲；兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足|a-b|<2h；命題乙：兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b滿足|a-1| C、甲是乙的充要條件 D、甲既不是乙的充分條件又不是乙的必要條件 |a?b| 6、不等式≤1成立的充要條件是 |a|?|b|A、ab≠0 B、a+b≠0 C、ab>0 D、ab<0 7、設(shè)a，b∈R，則|a|<1且|b|<1是ab+1>a+b的 A、充分非必要條件 B、必要非充分條件 C、充要條件 D、既非充分又非必要條件 8、已知函數(shù)f(x)=-2x+1，對于任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一個(gè)充分非必要條件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|< （二）填空題 9、若|x+y|=4，則xy最大值是________。 |a||b|? 10、若a≠b，a≠0，b≠0，則______|a|?|b|（填>、≥、<、≤）。|b||a| 11、a，b∈R，則|a+b|-|a-b|與2|b|的大小關(guān)系是______________。 12、關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1| 22??? C、|x1-x2|< D、|x1-x2|> 23 3（三）解答題 ?2? 13、已知|a+b|<，|a-b| 233cbcb?|x1|?，?|x2|?。baba15、已知f(x)在[0。1]上有意義，且f(0)=f(1)，對于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，14、已知二次方程ax+bx+c=0（a>0，b>0，c>0）的兩個(gè)實(shí)根x1，x2，求證：2求證：|f(x1)-f(x2)<1。2a2?b2|a|?|b| 16、求證：≥（a，b∈R）。 2217、已知a，b∈R，|a|<1，|b|>1，求證：|1+ab|<|a+b|。 18、已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證： （1）|ab?c|?1； |1?abc|（2）a+b+c 19、求證 220、已知a，b∈R，且|a|+|b|<1，求證方程x+ax+b=0的兩個(gè)根的絕對值都小于1。 21、在一條筆直的街道上住著7位小朋友，他們各家的門牌分別為3號，6號，15號，19號，20號，30號，39號，這7位小朋友準(zhǔn)備湊在一起玩游戲，問地點(diǎn)選在哪位小朋友家，才能使大家所走的路程和最短？（假定數(shù)字相連的兩個(gè)門牌號碼的房子間的距離相等）。 不等式的證明方法 一、比較法 1.求證：x2 + 3 > 3x 2.已知a, b, m都是正數(shù)，并且a < b，求證：a?ma? b?mb a?b 23.已知a, b都是正數(shù)，并且a ? b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2作商法1.設(shè)a, b ? R，求證：ab?(ab)+ab?abba 二、綜合法 1．綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明2．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2???Bn?B 3．綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證例題：已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc 例題：已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a?b?c?(a?b?c) 例題：a , b, c?R,求證：1?(a?b?c)(***19??)?92?(a?b?c)(??)? abca?bb?cc?a 2三、分析法 例題： 求證3?7? 2例題：已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a?b)(c?d) 例題：用分析法證明下列不等式: (1)求證:5?7?1?(2)求證:x?1? (3)求證:a,b,c∈R,求證:2(+2222x?2?x?3?x?4(x≥4)a?ba?b?c?ab)?3(?abc)2 3四、換元法 三角換元： 若0≤x≤1，則可令x = sin?(0??? 22???)或x = sin2?(????222若x?y?1，則可令x = cos? , y = sin?(0???2? 代數(shù)換元：“整體換元”,“均值換元”,例題： 求證：?11?x?x2? 2 2例題： 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：11??3?22 xy 2例題：若x?y?1，求證：|x?2xy?y|?2222 五、放縮法與反證法 abcd????2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c 1111例題：求證：2?2?2???2?2 123n例題：若a, b, c, d?R+，求證：1? 例題：（用反證法）設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時(shí)大于 例題：已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 4六、構(gòu)造法 22222222例題：已知0 < a < 1，0 < b < 1，求證：a?b?(a?1)?b?a?(b?1)?(a?1)?(b?1)?2 2習(xí)題精選精解 例題：正數(shù)x,y滿足x?2y?1，求1/x?1/y的最小值。 例題：設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x?(y?1)?1，當(dāng)x?y?c?0時(shí)，求c的取值范圍。 例題：已知函數(shù)f(x)?ax?bx(a?0)滿足1?f(?1)?2，2?f(1)?5，求f(?3)的取值范圍。 例題：已知a?b?c，求證：ab?bc?ca?ab?bc?ca 例題： ?222222222 例題：設(shè)f?x??x?x?13，實(shí)數(shù)a滿足x?a?1，求證：f?x??f?a??2a?1 2?? 注：??式的最后一步省略了對a ?0,a?0,a?0的詳細(xì)分析，正式解題時(shí)不能省。分析過程用 a,b同號?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|;a,b異號?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b| 例題：a、b、c?(0,??)，a?b?c?1，求證： 例題：x?y?1，求證：?2?x?y? 例題：已知1≤x＋y≤2，求證： 2222a2?b2?c2?13 2 122≤x－xy＋y≤3． 22 本資料從網(wǎng)上收集整理 難點(diǎn)18 不等式的證明策略 不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.●難點(diǎn)磁場 (★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+1a1b254)(b+)≥.●案例探究 ［例1］證明不等式1?12?13???1n?2n(n∈N) *命題意圖：本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學(xué)生觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力，屬★★★★★級題目.知識依托：本題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.錯(cuò)解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤： 這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)生的.技巧與方法：本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心，發(fā)人深省.證法一：(1)當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即1+12131k?11k?112?13???1k＜2k，則1??????2k??2k(k?1)?1k?1?k?(k?1)?1k?1 ?2k?1,∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當(dāng)n∈N*時(shí)，都有1+ 12?13???1n＜2n.另從k到k+1時(shí)的證明還有下列證法： ?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2k(k?1)?(k?1)?(k?k?1)?0,2?2k(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?1k?1?2k?1.2k?1?k?2k?1?k?1?1k?1，又如:?2k?1?2k? 本資料從網(wǎng)上收集整理 ?2k?1k?1?2k?1.證法二：對任意k∈N*，都有： 1k?2k?12?k13?2k????k?11n?2(k?k?1)，2)???2(n?n?1)?2n.因此1??2?2(2?1)?2(3?12131n證法三：設(shè)f(n)=2n?(1?* ????)，那么對任意k∈N 都有： f(k?1)?f(k)?2(k?1??1k?11k?1k)?1k?1[2(k?1)?2k(k?1)?1](k?1?k?1k)2 ?0??[(k?1)?2k(k?1)?k]?∴f(k+1)＞f(k)因此，對任意n∈N 都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0，∴1?12?13???1n?2n.x?y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.*［例2］求使x?y≤a命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力，屬于★★★★★級題目.知識依托：該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.錯(cuò)解分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應(yīng)進(jìn)行換元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜ ?2)，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯(cuò)誤的.其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對的.技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，a≥f(x)，則amin=f(x)max；若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實(shí)，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題.還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化.解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得： 22x+y+2xy≤a(x+y)，即2xy≤(a－1)(x+y)，① ② ∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，②中有等號成立.本資料從網(wǎng)上收集整理 比較①、②得a的最小值滿足a－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.x?x?yy(x?x?yy)22解法二：設(shè)u???x?y?2xyx?y?1?2xyx?y.∵x＞0，y＞0，∴x+y≥22xy2xyxy(當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)，∴x?y≤1，x?y的最大值是1.從而可知，u的最大值為1?1?2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值為2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化為 xy+1≤a xy?1，設(shè)xy=tanθ，θ∈(0，?2).∴tanθ+1≤atan2??1；即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+?4?4)，?4).③)的最大值為1(此時(shí)θ=由③式可知a的最小值為2.●錦囊妙計(jì) 1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各 本資料從網(wǎng)上收集整理 種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn).●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、填空題 1.(★★★★★)已知x、y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且 ax?by=1，x+y的最小值為__________.2.(★★★★)設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是__________.3.(★★★★)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________.二、解答題 4.(★★★★★)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1.求證：(1)a2+b2+c2≥ (2)3a?2?3b?2?3c?2≤6 5.(★★★★★)已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=6.(★★★★★)證明下列不等式：(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R，則(2)若x，y，z∈R，且x+y+z=xyz，則y?zx?z?xy?x?yz+ + 12，證明：x，y，z∈［0，23］ b?cax?2c?aby?2a?bcz≥2(xy+yz+zx) 2≥2（1x?1y?1z)7.(★★★★★)已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：niAim＜miAin； (2)證明：(1+m)n＞(1+n)m 338.(★★★★★)若a＞0，b＞0，a+b=2，求證：a+b≤2，ab≤1.參考答案 難點(diǎn)磁場 證法一：(分析綜合法） 欲證原式，即證4(ab)+4(a+b)－25ab+4≥0，即證4(ab)－33(ab)+8≥0，即證ab≤ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2ab，∴ab≤證法二：(均值代換法)設(shè)a=121 4222 14或，從而得證.+t1，b=12+t2.12∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜ 本資料從網(wǎng)上收集整理 ?(a?(?121a)(b?21b)?(1a?1a22?b?1b(?14?t1?t1?1)((222?t1)?112?t12?2?t2)?11214?t21412?t2?t2?1)?t2)2212?t1)(22(?14?t1?t1?1)(14?t2?t2?1)?2(54?t2)?t214?t22 ?t2425?16?1432t2?t2222525?16?.144?t2顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=證法三：(比較法） 12時(shí)，等號成立.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125222214 a?1b?1254ab?33ab?8(1?4ab)(8?ab)(a?)(b?)???????0ab4ab44ab4ab 1125?(a?)(b?)?ab4證法四：(綜合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤ 14.?2?(1?ab)?125?? ??ab4???25?2(1?ab)?1??139?162?1?ab?1???(1?ab)???4416? 1?4?ab?即(a?1a)(b?1b)?254 證法五：(三角代換法） ∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，?2) 本資料從網(wǎng)上收集整理 (a??1a4)(b?1b)?(sin??4221sin?22)(cos2??1cos?222)2sin??cos??2sin?cos??24sin2?222?(4?sin?)?164sin2??sin2??1,?4?sin2??4?1?3.4?2sin2??16?25?22(4?sin2?)25????11244sin2???24sin2??即得(a?1a)(b?1b)?254.22 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：令ax=cos2θ，by=sin2θ，則x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2atan2??bcot2??a?b?2ab.答案：a+b+2ab 2.解析：由0≤|a－d|＜|b－c|?(a－d)2＜(b－c)2?(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.答案：ad＞bc 3.解析：把p、q看成變量，則m＜p＜n，m＜q＜n.答案：m＜p＜q＜n 二、4.(1)證法一：a2+b2+c2－===13131313= 13(3a2+3b2+3c2－1)［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］ ［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］ ［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥ 222 證法二：∵(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc≤a+b+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥a?b?c32222 a?b?c3證法三：∵∴a2+b2+c2≥ ?a?b?c3∴a2+b2+c2≥ 13證法四：設(shè)a=+α，b= 13+β，c= 13+γ.∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0 ∴a+b+c=（22213+α)+（2 13+β)+（2 13+γ) 本資料從網(wǎng)上收集整理 ==1313+23(α+β+γ)+α+β+γ 13222 +α2+β2+γ2≥13 ∴a2+b2+c2≥(2)證法一:?同理? 3a?2?3b?32(3a?2)?1?3c?323(a?b?c)?92?63a?2?12,3b?2?,3c?2?3c?2? 3a?2?3b?2?∴原不等式成立.證法二：3a?2?3b?2?33c?2?(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)3 ?3(a?b?c)?63?3 ∴3a?2?3b?2?3c?2≤33＜6 ∴原不等式成立.5.證法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=次方程得： 2y2－2(1－x)y+2x2－2x+ 1212，得x2+y2+(1－x－y)2= 12，整理成關(guān)于y的一元二 =0，∵y∈R，故Δ≥0 12∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+同理可得y，z∈［0，證法二：設(shè)x=于是==1313121323)≥0，得0≤x≤ 23，∴x∈［0，23］ ］ 132+x′，y=2 +y′，z= 13132 +z′，則x′+y′+z′=0，=(13+x′)+（13+y′)+（23+z′) +x′2+y′2+z′2+222 (x′+y′+z′) 13+x′+y′+z′≥2 +x′+ 132 (y??z?)22= 13+ 2332x′2 23故x′≤19，x′∈［－，13］，x∈［0，］，同理y，z∈［0，］ 12證法三：設(shè)x、y、z三數(shù)中若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x＜0，則x2＞0，=x2+y2+z2≥ 本資料從網(wǎng)上收集整理 x+2(y?z)22?(1?x)22?x?232x?x?212＞ 12，矛盾.23x、y、z三數(shù)中若有最大者大于x+ 2，不妨設(shè)x＞ 23，則 12=x2+y2+z2≥(y?z)22=x+232(1?x)22=1223232x2－x+ =32x(x－)+12＞；矛盾.］ c?abcby?22故x、y、z∈［0，6.(1)證明:??(?(?bax?baax?x?22b?c22x?a?bc2z?2(xy?yz?zx)accaz?222aby?2xy)?(aby)?(y?2y?bc2bcz?2yz)?(2cax?2zx)2cby?z)?(acz?x)?0b?cc?aba?bcz?2(xy?yz?zx)(2)證明:所證不等式等介于xyz(222y?zx?z?xy?x?yz)?2(xy?yz?zx)2 2?xyz?[yz(y?z)?zx(z?x)?xy(x?y)]?2(xy?yz?zx)?(x?y?z)(yz?yz22222222?zx?zx222?xy?xy)2222?2(xy?yz?zx)?4(xyz?xyz?xyz)?yz?yz?zx?zx?xy?xy22333333?2xyz?2xyz?2xyz2222222222?yz(y?z)?zx(z?x)?xy(x?y)?x(y?z)?y(z?x)?z(x?y)?0∵上式顯然成立，∴原不等式得證.7.證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m·?·(m－i+1)，AmmiiAmmm?1m?i?1nn?1n?i?1?????,同理?????，immmnnnnn?kn?m?kmi由于m＜n，對于整數(shù)k=1，2，?，i－1，有Annii，所以?Ammii,即mAn?nAm iiii(2)由二項(xiàng)式定理有： 2n2n(1+m)n=1+C1nm+Cnm+?+Cnm，2mm(1+n)m=1+C1mn+C2mn+?+Cmn，本資料從網(wǎng)上收集整理 ii由(1)知miAi＞niAi(1＜i≤miAmnm，而Cm= i!,Cin?Ani! ∴miCin＞niCim(1＜m＜n) ∴m0C0n=n0C0n=1，mC1n=nC1m=m·n，m2C2n＞n2C2m，?，mmCmn＞nmCmm，mm+1Cm?1n＞0，?，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+?+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+?+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.8.證法一：因a＞0，b＞0，a 3+b3 =2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a 2b+3ab2 －8=3a2 b+3ab2 －6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3 +b3)］=－3(a+b)(a－b)2 ≤0.即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因?yàn)?ab≤a+b≤2，所以ab≤1.證法二：設(shè)a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則a?b??m?，?n?ab因?yàn)閍＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m 2－4n≥0 因?yàn)?=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)2所以n=m3?23m 將②代入①得m2－4(m23?23m)≥0，3即?m?83m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤1.證法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2 －ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，從而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）33證法四：因?yàn)閍?b2?(a?b32) 22?4ab?a2?b2?(a?b)[4a?4b?2ab])(a?b)28?3(a?b8≥0，所以對任意非負(fù)實(shí)數(shù)a、b，有 a3?b32≥(a?b32)3 b3 33因?yàn)閍＞0，b＞0，a+=2，所以1=a?ba?b32≥(2)，∴a?b2≤1，即a+b≤2，(以下略） 證法五：假設(shè)a+b＞2，則 ①② 本資料從網(wǎng)上收集整理 a+b=(a+b)(a－ab+b)=(a+b)［(a+b)－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a+b=(a+b)［a－ab+b］=(a+b)［(a+b)－3ab］＞2(2－3ab)因?yàn)閍3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)332 233222第四篇：不等式證明方法講義
第五篇：不等式證明1
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