第一篇：高等數學(同濟大學版) 課程講解 1.3函數的極限

課 時 授 課 計 劃

課次序號： 0

3一、課題：§1.3函數的極限

二、課型：新授課

三、目的要求：1.理解自變量各種變化趨勢下函數極限的概念；

2.了解函數極限的性質．

四、教學重點：自變量各種變化趨勢下函數極限的概念．

教學難點：函數極限的精確定義的理解與運用．

五、教學方法及手段：啟發式教學，傳統教學與多媒體教學相結合．

六、參考資料：1.《高等數學釋疑解難》，工科數學課程教學指導委員會編，高等教育出版社；

2.《高等數學教與學參考》，張宏志主編，西北工業大學出版社．

七、作業：習題1–31（2），2（3），3，6

八、授課記錄：

九、授課效果分析：

第三節函數的極限

復習

xn?a??； 1.數列極限的定義：limxn?a????0,?N,當n?Nn??

2.收斂數列的性質：唯一性、有界性、保號性、收斂數列與其子列的關系．

在此基礎上，今天我們學習應用上更為廣泛的函數的極限． 與數列極限不同的是，對

于函數極限來說，其自變量的變化趨勢要復雜的多．

一、x→∞時函數的極限

對一般函數y?f（x）而言，自變量無限增大時，函數值無限地接近一個常數的情形與數列極限類似，所不同的是，自變量的變化可以是連續的．

定義1若?ε＞0，?X＞0，當x＞X時，相應的函數值f（x）∈U（A，ε）（即|f(x)?A|<ε），limf（x）?A．

x???

若?ε＞0，?X＞0，當x＜?X時，相應的函數值f（x）∈U（A，ε）（即|f(x)?A|<ε），則limf（x）?A．

x???

例

1證明lim

?0．

x證

?ε＞0

ε，?

0?0＜ε，則當x＞X

即x＞

?

2．因此，?ε＞0，可取X?

?2

?0＜ε，故由定義1得

?0．

xlim

例2證明lim10?0．

x???

x

證?ε＞0，要使?0?10x＜ε，只要x＜lgε．因此可取X ?｜lgε｜?1，當x＜?X時，x

即有｜10x?0｜＜ε，故由定義1得lim10x?0．

x???

定義2若?ε＞0，?X＞0，當｜x｜＞X時，相應的函數值f（x）∈U（A，ε）（即|f(x)?A|<ε）limf（x）?A．

x??

為方便起見，有時也用下列記號來表示上述極限：

f（x）→A（x→?∞）；f（x）→A（x→?∞）；f（x）→A（x→∞）．

注 若limf(x)?A或limf(x)?A或limf(x)?A，則稱y?A為曲線y?f(x)的水

x??

x???

x???

平漸近線．

由定義

1、定義2及絕對值性質可得下面的定理．

定理1limf（x）?A的充要條件是limf（x）?limf（x）?A．

x??

x???x???

例3證明lim

x?

2?1．

x??x?

133x?2

＜ε，只需｜x?1｜＞，而｜x?1｜≥｜x｜?1，故?1?

?x?1x?1

證?ε＞0，要使

只需｜x｜?1＞

3，即｜x｜＞1?． ??

3x?2，則當｜x｜＞X時，有?1＜ε，故由定義2得?x?1

因此，?ε＞0，可取X?1?

lim

x?2

?1．

x??x?1

二、x→x0時函數的極限

現在我們來研究x無限接近x0時，函數值f（x）無限接近A的情形，它與x→∞時函數的極限類似，只是x的趨向不同，因此只需對x無限接近x0作出確切的描述即可．

以下我們總假定在點x0的任何一個去心鄰域內都存在f（x）有定義的點．

定義3設有函數y ?f（x），其定義域Df?R，若?ε＞0，?δ＞0，使得x∈U（x0，δ）（即0＜｜x?x0｜＜δ）時，相應的函數值f（x）∈U（A，ε）（即｜f（x）?A｜＜ε），則稱A為函數y?f（x）當x→x0時的極限，記為limf（x）? A，或f（x）→A（x→x0）．

x?x0

?

研究f（x）當x→x0的極限時，我們關心的是x無限趨近x0時f（x）的變化趨勢，而不關心f（x）在x?x0處有無定義，大小如何，因此定義中使用去心鄰域．

函數f(x)當x→x0時的極限為A的幾何解釋如下：任意給定一正數ε，作平行于x軸的兩條直線y?A?ε和y?A?ε，介于這兩條直線之間是一橫條區域．根據定義，對于給定的ε，存在著點x0的一個δ鄰域（x0?δ,x0?δ），當y?f(x)的圖形上點的橫坐標x在鄰域（x0?δ,x0?δ）內，但x≠x0時，這些點的縱坐標f(x)滿足不等式 |f(x)?A|<ε,或 A?ε

圖1－3

4x2?

1例4證明lim?2．

x?1x?1

x2?1

證函數f（x）?在x?1處無定義．?ε＞0，要找δ＞0，使0＜｜x?1｜＜δ時，x?1x2?1

?2?｜x?1｜＜ε成立．因此，?ε＞0，據上可取δ?ε，則當0＜｜x?1｜＜δ時，x?1

x2?1x2?1

?2＜ε成立，由定義3得lim?2．

x?1x?1x?1

例5證明limsinx?sinx0．

x?x0

證由于｜sinx｜≤｜x｜，｜cosx｜≤1，所以

｜sinx?sinx0｜?2cos

x?x0x?x0

≤｜x?x0｜． sin

2因此，?ε＞0，取δ?ε，則當0＜｜x?x0｜＜δ時，｜sinx?sinx0｜＜ε成立，由定義3得

x?x0

limsinx?sinx0．

有些實際問題只需要考慮x從x0的一側趨向x0時，函數f（x）的變化趨勢，因此引入

下面的函數左右極限的概念．

定義4設函數y?f（x），其定義域D f?R，若?ε＞0，?δ＞0，當x∈U(x0,?)(或x∈U(x0,?))時，相應的函數值f（x）∈U（A，ε），則稱A為f（x）當x→x0時的左（右）極限，記為lim?f（x）?A（lim?f（x）?A），或記為f（x0?）?A（f（x0?）?A）．

x?x0

x?x0

?

?

?

?

由定義3和定義4可得下面的結論．

定理2limf（x）?A的充要條件是lim?f（x）?lim?f（x）?A．

x?x0

x?x0x?x0

例6設f(x)??

?cosx,x?0，研究limf（x）．

x?0

?1?xx?0

解x?0是此分段函數的分段點，x?0?

limf（x）?limcosx?cos0?1，而 limf（x）?lim（1?x）?1． ???

x?0

x?0

x?0

故由定理2可得，limf（x）?1．

x?0

例7設f(x)??

?x,x?0，研究limf（x）．

x?01x?0?

解由于 limf（x）?limx?0，limf（x）?lim1?1，因為limf（x）≠limf(x), ??????

x?0

x?0

x?0

x?0

x?0

x?0

故limf（x）不存在．

x?0

三、函數極限的性質

與數列極限性質類似，函數極限也具有相類似性質，且其證明過程與數列極限相應定理的證明過程相似，下面未標明自變量變化過程的極限符號“lim”表示定理對任何一種極限過程均成立．

1．唯一性

定理3 若limf（x）存在，則必唯一． 2．局部有界性

定義5在x→x0（或x→∞）過程中，若?M＞0，使x∈U(x0)(或｜x｜＞X)時，｜f（x）｜≤M，則稱f（x）是x→x0（或x→∞）時的有界變量．

定理4 若limf（x）存在，則f（x）是該極限過程中的有界變量． 證我們僅就x→x0的情形證明，其他情形類似可證．

若limf（x）?A，由極限定義，對ε?1，?δ＞0，當x∈U（x0，δ）時，｜f（x）?A｜

x?x0

??

＜1，則｜f（x）｜＜1?｜A｜，取M?1?｜A｜，由定義5可知，當x→x0時，f（x）有界． 注意，該定理的逆命題不成立，如sinx是有界變量，但limsinx不存在．

x??

3．局部保號性

定理5 若limf（x）?A，A＞0（A＜0），則?U（x0），當x∈U（x0）時，f（x）＞0（f

x?x0

?

?

（x）＜0）．

若limf（x）?A，A＞0（A＜0），則?X＞0，當｜x｜＞X時，有f（x）＞0（f（x）＜0）．

x??

該定理通常稱為保號性定理，在理論上有著較為重要的作用． 推論在某極限過程中，若f（x）≥0（f（x）≤0），且limf（x）?A，則A≥0（A≤0）．

4.函數極限與數列極限的關系

定理6limf(x)?A的充要條件是對任意的數列{xn}，xn∈Df（xn≠x0）,當xn→x0（n→∞）

x?x0

時，都有limf（xn）?A，這里A可為有限數或為∞．

n??

定理6 常被用于證明某些極限不存在． 例1 證明極限limcos

x?0

不存在． x

證取{xn}?

111，則limxn?lim?0，而limcos?limcos2nπ?1．

n??n??2n?n??2n?xnn??

??111??

limlimlim又取{x′n}??，則x′??0,而cos?limcos(2n?1)π??1，n?n??n??2n?1?n??n??2n?1?x'??n??

由于 limcos

n??

1≠limcos，故limcos不存在．

n?0xxnn??x'n

課堂總結

1.兩種變化趨勢下函數極限的定義；

2.左右極限（單側極限）；

3.函數極限的性質：惟一性、局部有界性、局部保號性、函數極限與數列極限的關系．

第二篇：高等數學函數極限練習題

設f(x)?2x1?x，求f(x)的定義域及值域。設f(x)對一切實數x1，x2成立f(x1?x2)?f(x1)f(x2)，且f(0)?0，f(1)?a，求f(0)及f(n)．(n為正整數)定義函數I(x)表示不超過x的最大整數叫做x的取整函數，若f(x)表示將x之值保留二I(x)位小數，小數第3位起以后所有數全部舍去，試用法則保留2位小數，試用I(x)表示g(x)。表示f(x)。定義函數I(x)表示不超過x的最大整數叫做x的取整函數，若g(x)表示將x依4舍5入在某零售報攤上每份報紙的進價為0.25元，而零售價為0.40元，并且如果報紙當天未售出不能退給報社，只好虧本。若每天進報紙t份，而銷售量為x份，試將報攤的利潤y表示為x的函數。定義函數I(x)表示不超過?(x)?x?I(x)的周期性。判定函數f(x)?(exx?xx的最大整數叫做x的取整函數，試判定?1)?ln(1?x?x)的奇偶性。設f(x)?esinx，問在0，???上f(x)是否有界？ 函數y?f(x)的圖形是圖中所示的折線OBA，寫出y?f(x)的表達式。? ?x，?x，0?x?2；0?x?4；設f(x)???(x)?? 求f??(x)?及??f(x)?． 2?x?4．4?x?6．?x?2，?x?2，??1，x?0；設f(x)???(x)?2x?1，求f??(x)?及??f(x)?． ?1，x?0．??ex，x?0；?0，x?0；求f(x)的反函數設f(x)???(x)??2?x，x?0．??x，x?0．g(x)及f??(x)?． 2設f(x)??x，x?0；(x?x)，?(x)??2求f??(x)?． 2?x，x?0．1?2?x，x?0；設f(x)??求f?f(x)?． ?2，x?0．?0，x?0；?x?1，x?1；設f(x)???(x)?? 求f(x)??(x)． ?x，x?0．?x，x?1．?ex，???x?0；?設f(x)??x?1，0?x?4；求f(x)的反函數?(x)． ?x?1，４?x???．??x，???x?1；?2設f(x)??x，1?x?4；求f(x)的反函數?(x)． ?x?2，4?x???．2??1?x，x?0；設f(x)??求： ???x，x?0．(1)f(x)的定義域；2(2)f(2)及f(a)．(a為常數)。??1，x??1；?22設f(x)??x，x?1；求f(x?3)?f(sinx)?5f(4x?x?6)． ??1，x?1．?2x?1，x?0；設f(x)??2求f(x?1)． ?x?4，x?0．?x2，x?1；??設f(x)??，求f(cos)及f(sec)． 44?log2x，x?1．?1?x?0；?x?2，?設f(x)??0，x?0；試作出下列函數的圖形?x?2，x?0．?(1)y?f(x)；(2)y?f(x)；(3)y??f(x)?f(x)2． ：?2?x?0；??x，?設f(x)??1，x?0試作出下列函數的圖形??x?2，0?x?2?f(x)?f(?x)(1)y?f(x)；(2)y?f(?x)；(3)y?． 2 ：2??1?x,x?1；設f(x)?? 試畫出y?f(x)，y??f(x),y?f(x).的圖形。1?x?2．???x?1，?1?x?0，???(x)，設f(x)??求?(x)，使f(x)在??1，1?上是偶函數。2?0?x?1．?x?x，???(x)，當x?0時，?設f(x)??0，當x?0時，?1，當x?0時．?x?x?(1)求f(2?cosx)；(2)求?(x)，使f(x)在(??，??)是奇函數。?1?x?0；?0，?設f(x)??x，0?x?1；F(x)?f(1?2x)，?2?x，1?x?2．?(1)求F(x)的表達式和定義域；(2)畫出F(x)的圖形。?0，?1?x?0;?設f(x)??x?1，0?x?1；求f(x)的定義域及值域。??2?x，1?x?2．?1?x，x?0；設f(x)??x求f(?2)、f(0)及f(2)的值。?2，x?0.2??x?x?1，x?1；設f(x)??求f(1?a)?f(1?a)，其中a?0． 2??2x?x，x?1求函數y?lnx?1的反函數，并作出這兩個函數的圖形。求函數y?sin(x??4)的反函數y??(x)，并作出這兩個函數的圖形（草圖）。求函數y?tan(x?1)的反函數y??(x)，并作出這兩個函數的圖形（草圖）。利用圖形的疊加作出函數y?x?sinx的圖形。利用圖形的疊加作出函數y?x?1x的圖形。作函數y?1x?1的圖形（草圖）。作函數y?ln(x?1)的圖形（草圖）。作函數y?arcsin(x?1)的圖形。（草圖）作出下列函數的圖形：（草圖）(1)y?x?1；(2)y??x；222(3)y?(x?1)．設函數y?lgax，就a?1和a??2時，分別作出其草圖。利用y?2的圖形（如圖）作出下x列函數的圖形（草圖）：(1)y?2x?1；(2)y?1x32． 利用y?sinx的圖形（如圖）作出下(1)y?sin2x；(2)y?sin(x?? 4)。列函數的圖形：（草圖）利用y?sinx的圖形（如圖）作出下列函數的圖形：（草圖）(1)y?(2)y?1212sinx；sinx?1 ?ππ2 x(??，??)的反函數，并指出其定義域。3x求函數y?ch(???x???)的反函數，并指出其定義域。3x求函數y?Sh(???x???)的反函數，并指出其定義域。3求函數y?ln求函數，y?ee2x2x?1?1的反函數，并指出其定義域。驗證1?cthx??驗證1?thx?221shx22。1chx驗證Ch(???)?Ch?Ch??Sh?Sh?。驗證Ch(???)?Ch?Ch??Sh?Sh?。驗證Sh(???)?Sh?Ch??Ch?Sh?。驗證Sh(???)?Sh?Ch??Ch?Sh?。驗證2Shx?Chx?Sh2x。證明Shx?Chx?Ch2x。設f(x)?arctanx(???x???)，?(x)?x?a，1?ax22(a?1，x?1)，驗證：f??(x)??f(x)?f(a)。x?1，求f??(x)?。設f(x)?1?lnx，?(x)?設f(x)?x1?x2，?(x)?x1x，求f??(x)?。設f(x)?sinx，?(x)?2，求f??(x)?、??f(x)?及f?f(x)?。設f(x)?x?1，?(x)?1x?12，求f??(x)?及??f(x)?。設f(x)?設f(x)?1?1?(x?0，x?1)，求f??及fx?1f(x)??x，?(x)?x?1x?122?f?f?x???。x?1x2，求f??(x)?及其定義域。已知f(x)?e，f??(x)??1?x，且?(x)?0，求?(x)，并指出其定義域。設f(x)?lnx，?(x)?1?x，求f??(x)?及f??(0)?。2設f(x)?arcsinx，?(x)?lgx，求f??(x)?及其定義域。求函數y?x?1(x??1)的反函數，并指出反函數的定義域。32求函數y?lgarccosx(?1?x?1)的反函數，并指出其定義域。求函數y?arctg求函數y?12(e?ea?xa?xx?x1?x的反函數。1?x)的反函數，并指出其定義域。求函數y?ln(a?0)的反函數的形式。求函數y?exx1?e的反函數，并指出其定義域。求函數y?xx?4x的反函數。求函數f(x)?1?1?x1?x1?x(x?1)的反函數?(x)，并指出?(x)的定義域。求函數f(x)?loga(x?設f(x)?e?exx?x1?x)的反函數?(x)(式中a?0，a?1)。2e?ex設f(x)?(0?x???)，試討論f(x)的單調性和有界性。1?x1討論函數f(x)?x?在區間(0，1)和(1，??)內的單調性。xx討論函數f(x)?的有界性。21?x1討論函數f(x)?，當x?(??，0)?(0，??)時的有界性。13?2xx討論函數f(x)?2在(??，??)上的單調性。討論函數f(x)?x?a?x，求f(x)的反函數?(x)，并指出其定義域.(a?1)在(??，??)上的單調性。討論函數f(x)?1?lnx在(0，??)內的單調性。?1?x?1?x?2，設f(x)??，?(x)?f(a?x)?b 1?x?3?x?1，試求a，b的值，使?(x)(x?0除外)為奇函數。判斷f(x)?e?1e?1xxln1?x1?xx(?1?x?1)的奇偶性。證明f(x)?(2?23)?(2?3)是奇函數。2x判定f(x)?x?arccotx在其定義域(??，??)上的奇偶性。判定f(x)?3(1?3x)?3(1?3x)(???x???)的奇偶性。判定f(x)?ax?a22(a?0)(???x???)的奇偶性。?xG(x)與偶函數F(x),使f(x)?G(x)?F(x)。設f(x)?2exx1?e，求奇函數11設函數f(x)滿足4f(x)?2f()?，討論f(x)的奇偶性。xx判斷f(x)?loga(x?x?1)(a?0，a?1)的奇偶性。x2判定函數f(x)? aa2x?1(a?0，a?1)的奇偶性。設函數f(x)對任意實數x、y滿足關系式：　　f(x?y)?f(x)?f(y)(1)求f(0)；(2)判定函數f(x)的奇偶性。求f(x)?sinx?12sin2x?13sin3x的最小正周期。設f(x)是以T?2為周期的周期函數，且上的表達式。在?0，2?上f(x)?x?2x，求f(x)在??2，4?2求f(x)?sin3x?cosx的最小正周期。設f(x)為奇函數，且滿足條件f(1)?a和f(x?2)?f(x)?f(2)。(1)試求f(2)及f(n)(n為正整數)；(2)如果f(x)是以2為周期的周期函數，試確定a的值。設F(x)?(x?x)e則F(x)?x?x?1(???x???)?(A)是奇函數而不是偶函數；(B)是偶函數而不是奇函數；(C)是奇函數又是偶函數；(D)非奇函數又非偶函數。答（）2 討論函數f(x)?1?2x1?x4在(??，??)的有界性。設f(x)是定義在(??，??)內的任意函數，則f(x)?f(?x)是（）(A)奇函數；(B)偶函數；(C)非奇非偶函數；(D)非負函數。下列函數中為非偶數函數的是（）(A)y?sinx?(C)y? 22?12?1xx；(B)y?arccosx；x?3x?4；(D)y?2 x?3x?4?x1?x2lg(x?1?x)2設f(x)?xx，(??，??)，則f(x)()(A)在(??，??)單調減；(B)在(??，??)單調增；(C)在(??，0)內單調增，而在(0，??)內單調減；(D)在(??，0)內單調減，而在(0，??)內單調增。答（）x?x f(x)?(e?e)sinx在其定義域(??，??)上是(A)有界函數；(B)單調增函數；(C)偶函數；(D)奇函數。答（）f(x)?sinx在其定義域(??，＋?)上是(A)奇函數；(B)非奇函數又非偶函數；(C)最小正周期為2?的周期函數；(D)最小正周期為?的周期函數。答（）f(x)?cos(x?2)1?x2在定義域(??，??)上是(A)有界函數；(B)周期函數；(C)奇函數；(D)偶函數。答（）f(x)?(cos3x)在其定義域(??，??)上是(A)最小正周期為3?的周期函數；(B)最小正周期為2?的周期函數；3(C)最小正周期為2?3的周期函數；(D)非周期函數。答（）設f(x)????x3，?3?x?0?，則此函數是??x3，0?x?2(A)奇函數；(B)偶函數；(C)有界函數；(D)周期函數。答（）設f(x)???sin3x，???x?0?，則此函數是???sin3x，0?x??(A)周期函數；(Ｂ)單調減函數；(C)奇函數;(D)偶函數。答（）f(x)?x(ex?e?x)在其定義域(??，??)上是(A)有界函數；(B)奇函數；(C)偶函數；(D)周期函數。答（）函數f(x)?lna?xa?x(a?0)是(A)奇函數；(B)偶函數；(C)非奇非偶函數；(D)奇偶性決定于a的值　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函數中為非奇函數的是x(A)y?2?1；(B)y?lg(x?1?x2)；2x?1(C)y?xarccosx；(D)y?x2?3x?7?x2?3x?71?x2 答（）關于函數y??1x的單調性的正確判斷是1x1x1x1x單調增；單調減；單調減；當x?0時，y??單調增；當x?0時，y??1x1x單調增；單調增。(A)當x?0時，y??(B)當x?0時，y??(C)當x?0時，y??(D)當x?0時，y?? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函數中（其中?x?表示不超過x的最大整數），非周期函數的是(A)y?sinx?cos?x；(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函數中為奇函數的是(A)y?xtan(sinx)；(B)y?xcos(x?(C)y?cos(arctanx)；(D)y?2?2x22?4)； ?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（）求函數y?arcsin(lg確定函數y?arccosx102x)的定義域及值域。的定義域及值域。1?x求函數y?lg(1?2cosx)的定義域及值域。求函數y?2?x?x的定義域及值域。22f(x)已知f(x)是二次多項式，且f(x?1)?f(x)?8x?3，f(0)?0，求。圖中圓錐體高OH = h，底面半徑HA = R，在OH上任取一點P（OP = x），過P作平面?垂直于OH，試把以平面?為底面的圓錐體的體積V表示為x的函數。設一球的半徑為r，作外切于球的圓錐，試將圓錐體積V表示為高h的函數，并指出其定義域。在半徑為R的球內嵌入一內接圓柱，試將圓柱的體積表示為其高的函數，并指出函數的定義域。在半徑為20厘米的圓內作一個內接矩形，試將矩形的面積表示成一邊長的函數。135生產隊要用籬笆圍成一個形狀是直角梯形的苗圃（如圖），它的相鄰兩面借用夾角為?的兩面墻（圖中AD和DC），另外兩面用籬笆圍住，籬笆的總長是30米，將苗圃的面積表示成AB的邊長x的函數。有一條由西向東的河流，經相距150千米的A、B兩城，從A城運貨到B城正北20千米的C城，先走水道，運到M處后，再走陸道，已知水運運費是每噸每千米3元，陸運運費是每噸每千米5元，求沿路線AMC從A城運貨到C城每噸所需運費與MB之間的距離的函數關系。由直線y?x，y?2?x及x軸所圍成的等腰三角形OAB。在底邊上任取一點x?[0 , 2]，過x作垂直x軸的直線，試將圖上陰影部分的面積表示成x的函數。旅客乘火車可免費攜帶不超過20千克的物品，超過20千克，而不超過50千克的部分，每千克交費0.20元，超過50千克部分每千克交費0.30元，求運費與攜帶物品重量的函數關系。設有一塊邊長為a的正方形鐵皮，現將它的四角剪去邊長相等的小正方形后，制作一個無蓋盒子，試將盒子的體積表示成小正方形邊長的函數。等腰直角三角形的腰長為l（如圖），試將其內接矩形的面積表示成矩形的底邊長x的函數。在底AC = b，高BD = h的三角形ABC中，內接矩形KLMN（如圖），其高為x，試將矩形的周長P和面積S表示為x的函數。設M為密度不均勻的細桿OB上的一點，若OM的質量與OM的長度的平方成正比，又已知OM = 4單位時，其質量為8單位，試求OM的質量與長度間的關系。等腰梯形ABCD（如圖），其兩底分別為AD = a和BC = b，（a > b），高為h。作直線MN // BH，MN與頂點A的距離AM = x(的面積S表示為x的函數。a?ba?b?x?)，將梯形內位于直線MN左邊22 建一蓄水池，池長50 m，斷面尺寸如圖所示，為了隨時能知道池中水的噸數（1立方米水為1噸），可在水池的端壁上標出尺寸，觀察水的高度x，就可以換算出儲水的噸數T，試列出T與x的函數關系式。設　f(x)?arcsin(lg設　f(x)?arcsinx10x?32)，求f(x)的定義域.?ln(4?x),　求f(x)的定義域.2設　f(x)?設f(x)?2?x?6?5x?x?lg(x?5x?6)，求f(x)的定義域。21，求f(x)的定義域.lg(1?x)設f(x)?lg(1?2cosx)，求f(x)的定義域。設　f(x)?lgx?12x?1，求f?x?的定義域。2 9?x2x?1設　f(x)??srcsin，求f(x)的定義域ln(x?2)4設　?(t)?t322。2??(t)?　???(t)? 設　f(x?2)?x?2x?3 求f(x)及f(x?h).?1　求?(t)?1?x1,求f(2)，f(a),　f()，f??。1?xa?f(x)?設　f(x)?設　f(x)?設　f(sin1?x1　求f()及f?f(x)?.設　f(x?1)?x?2x,求f(x).1?xxx)?1?cosx, 求f(cos222x).2設　2f(x)?xf(1x?2x，求f(x)。)?xx?121x設　f(x?)?(x?0), 求f(x)。4xx?1設　z?x?y?f(x?y), 且當 y?0 時 , z?x , 求f(x)及z。設　f(t)?e , 證明　t2f(x)f(y)?f(x?y)。2設F(x)?lg(x?1), 證明當 y?1 時有F(y設f(x)?ln?2)?F(y?2)?F(y)。y?z1?x,證明f(y)?f(z)?f()1?x1?yz(式中y?1,z?1).設f(x)?2x?2,求f(2),f(?2),f(5)。2t1x2設f()?x(),求f(x)。xx?12設f(t)?2t2?22?51?5t , 證明f(t)?f()。tt設f(x?1)?x　 ,　求f(2x?1)。t1設y?f(t?x)，且當x?2 時，y?x222?2t?5，求f(x)。設f(lnx)?x?x?2，0?x???，求f(x)及其定義域設f(1)?x(1?xx2。?1)(x?0)，求f(x)。1x?x設f(x?)?(x?0)，求f(x)。42xx?3x?13設f(x)?x1?x22，求f(1?x)(x??1)。1?x設f(x)?ax?bx?c，計算f(x?3)?3f(x?2)?3f(x?1)?f(x)?1的值，其中a，b，c是給定的常數。設f(x)?a?bx?c(x?0，abc?0), xm)?f(x)，對一切x?0成立。x求數m，使f(設f(x)?lgx?5, x?5(1)確定f(x)的定義域；(2)若f?g(x)??lgx，求g(2)的值。設y?1?a?f(x?1)滿足條件，求f(x)及y.y|a?0?x及y|x?1?2, 設f(x)?設f(x)?25?x22?arctan1x，求f(x)的定義域。lgx?5x62，求f(x)的定義域。設f(x)?設f(x)?2?x1?x，求f(x)的定義域16?x2。sinx?，求f(x)的定義域F(x)設f(x)的定義域為?a．b?，F(x)?f(x?m)?f(x?m)，(m?0)，求的定義域。求函數f(x)?arccos2x1?x?1?x?2x2的定義域。設f(x)?ln?1?，求f(x)?f??的定義域。2?x?x?2x?1522?x設f(x)?arcsin?sin?x，求f(x)的定義域2。設f(x)?2?xx2?ln(x?x)，求f(x)的定義域。f(x)?log2(logf(x)?2xx2x)的定義域是_________________。的定義域是________________。2x?13?3x?2函數f(x)?arcsin的定義域用區間表示為______________。函數f(x)?1x?x的定義域用區間表示為________________。函數f(x)?arccos(2x?1)的定義域用區間表示為_____________。函數f(x)?x(x?4)的定義域是_____________。2函數f(x)?ln(6?x?x)的定義域用區間表示為______________。函數f(x)?1ln(x?4)的定義域用區間表示為_____________。設f(x)?函數f(x)?x?1?ln(2?x)，則f(x)的定義域用區間表示為。2?xx?2的定義域用區間表示為_______________。設f(x)?arcsin2?x，則f(x)的定義域用區間表示為______________。2設f(x)的定義域是(0,1)，則f(1?x)的定義域是________________。設f(x)?lnx，?(x)?arcsinx，則f[?(x)]的定義域是________________。2設f(x)的定義域是[0，4），則f(x)的定義域是______________。?1?設f(x)的定義域是(1 , 2]，則f??的定義域是______________。x?1??設f(x)的定義域是（0，1），則f(lgx)的定義域是______________。函數f(x)?sin(arcsinx)與函數g(x)?arcsin(sinx)是否表示同一函數？為什么？ 2函數f(x)?ln(x?2x?1)與函數g(x)?2ln(x?1)是否表示同一函數？為什么？ 函數f(x)?cos(arccos函數f(x)?(1?cosx)2x)與函數g(x)?x是否表示同一函數？為什么？ 12與函數g(x)?sinx是否表示同一函數？為什么？ 函數f(x)?x?1x?12與函數g(x)?lgx11?x是否表示同一函數？為什么？ 函數f(x)?10函數f(x)?3與函數g(x)?x是否表示同一函數？為什么？ 33與函數g(x)?xx?1是否表示同一函數？為什么？ x4?x函數f(x)?x?1x?2x與函數g(x)?lnxx?1x?2是否表示同一函數？為什么？ 函數f(x)?lne與函數g(x)?e函數f(x)?x2是否表示同一函數？為什么？ 1x2?1?x與函數g(x)?是否表示同一函數？為什么？ ?1?x設f(x)?1?x1?x，確定f(x)的定義域及值域。

第三篇：北大版高等數學第一章 函數及極限答案習題1.3

習題1.3

1.設xn?

nn?2

(n?1,2,?),證明limxn?1,即對于任意??0,求出正整數N,使得

n??

當n?N時有 |xn-1|??,并填下表:

n

?1|?

2n?2

??,只需n?

2?2,取

證???0,不妨設??1,要使|xn-1|?|N?

n?2?

?2?

?2,則當n?N時,就有|xn-1|??.?????

n??

n??

2.設liman?l,證明lim|an|?|l|.證???0,?N,使得當n?N時,|an?l|??,此時||an|?|l||?|an?l|??,故lim|an|?|l|.n??

3.設{an}有極限l,證明

(1)存在一個自然數N,n?N|an|?|l|?1;

(2){an}是一個有界數列,即存在一個常數M,使得|an|?M(n?12,?).證(1)對于??1,?N,使得當n?N時,|an?l|?1,此時|an|?|an?l?l|?|an?l|?|l|?|l|?1.(2)令M?max{|l|?1,|a1|,?,|aN|},則|an|?M(n?12,?).4.用?-N說法證明下列各極限式:

(1)lim

n??

3n?12n?3

?

;(2)lim

n??

n?1

?0;

(3)limnq?0(|q|?1);(4)lim

n??

n??

2n

n!n

n

?0;

?1?11(5)lim???????1;n??1?22?3(n?1)?n????11(6)lim?????0.3/23/2?n??(n?1)(2n)??證(1)??>0,不妨設?<1,要使

3n?12n?3

?32?

112(2n?3)

??,只需n?

112?

?3,取N?

3n?133n?13?11?

?3,當n?N時,???,故lim?.?2??n??2n?32n?322??

(2)??>0,要使

??,由于

?

只需

??,n?

?

3,?1

取N?

??3?(3)|q|?|nq|?

n

?,當

n?N時??1

??.1??n

(??0).n?4

?

1?n???124n?

n

n(n?1)

(1??)6n

n

??

n(n?1)(n?2)

?????

?}.??

3n

?

(n?1)(n?2)?n!n

n

??,n??1????.??

??,N?max{4,?24???3?

(4)?

1n

??,n?

?,N?

?1?11(5)???????1

(n?1)?n??1?22?3

??11??11??11??11?1

?????????????????1???,n?,N?

?n????(n?1)n????12??23?

?

.??

(6)

1(n?1)

n??

3/2

???

1(2n)

3/2

?

n(n?1)

3/2

?

??,n?

?,N?

?1??2??.??

5.設liman?0,{bn}是有界數列,即存在常數M,使得|bn|?M(n?1,2,?),證

明limanbn?0.n??

證???0,?正整數 N,使得

|an|?故limanbn?0.n??

?

M,|anbn|?|an||bn|?

?

M

?M??,6.證明lim

n??

?1.證???0,要使1|n(1??)

n

1??,只需

n(1??)

n

?1.4n?

而?

1?n??

nn(n?1)

?

?

(n?1)?

?

4n?,只需?1,n?

?,N?

?4

??2??.??

7.求下列各極限的值:(1)limn??

?lim

n??

?0.22

(2)lim

n??

n?3n?1004n?n?2(2n?10)n?n

?lim

n??

1?3/n?100/n4?1/n?2/n

?

.(3)lim

n??

?lim

n??

(2?10/n)1?1/n

n

?16.?2

1??

(4)lim?1??

n??n??

?2n

?1???

??lim?1???

n??n??????

?e.?2

1?1?

(5)lim?1???limn?1

n??n??n??1??1??

1?1?????

n?1??n?1???

1??

lim?1??n??n?1??1??

(6)lim?1??

n??n??

n

n

n

n?1

?

1??

lim?1??n??n?1??

n

n

1e

.??1??11??

?lim??1???,取q?(,1),?N,當n?N時,?1???qn??n??en??????

??1??1??

1??0,即lim1???????n??nn????????

n

n

n

n

n

??1??nn

0???1????q,limq?0,lim

n??n??n??????

n

n

n

?0.1?1?1?1???

(7)lim?1?2??lim?1??lim?1???e?1.n??n??n?n?n???n?e??

8.利用單調有界序列有極限證明下列序列極限的存在性:(1)xn?xn?1?(2)xn?

11?11?212?1

???

1n,xn?1?xn??2?

12?1

n

1(n?1)

?xn,???

1(n?1)n1

1n

?2.xn單調增加有上界，故有極限.,xn?1?xn?

n?1

?

2?1

???

?1

?xn,1?n

1111?111?1?1.xn??2???n??1??2???n?1??2222?222?21?1

2xn單調增加有上界，故有極限.(3)xn?

1n?1

?

1n?2

???

1n?n

.xn?1?xn?

12n?2

?

1n?1

??

12n?2

?0,xn?1?xn,xn?0,xn單調減少有下界，故有極限.(4)xn?1?1?

12!???

1n!

.xn?1?xn?

1(n?1)!

?0,1??11?1?1??1

xn?2??1?????????????3??3.2??23?n??n?1n?xn單調增加有上界，故有極限.11??

9.證明e=lim?1?1?????.n??2!n!??

1?1n(n?1)1n(n?1)?(n?k?1)1?

證?1???1?n?2????k

nn2!nk!n????

n(n?1)?(n?n?1)1

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1?1?1?1??k?1?1?1??n?1?1??1??1??1??1???????????2!?n?k!?n??n?n!?n??n?1

n

1?11????1?1????.e?lim?1???lim?1?1?????.n??n??2!n!n?2!n!???對于固定的正整數k,由上式,當n?k時,1?1?1?1?1??k?1??1??2?1??1??1?????????,n?2!?n?k!?n??n??

11??

令n??得e??1?1?????,2!k!??

11?11???

e?lim?1?1?????lim1?1?????n????.k??2!k!2!n!????

10.設滿足下列條件:|xn?1|?k|xn|,n?1,2,?,其中是小于1的正數.證明limxn?0.n??

n

n?1

證由|xn?1|?k|xn|?k|xn?1|??k|x1|?0(n??),得limxn?0.n??

第四篇：高等數學函數極限連續練習題及解析

數學任務——啟動——習題

1一、選擇題：

(1)函數y??x?arccosx?1的定義域是()

2(A)x?1;(B)?3?x?1(C)??3,1?(D)xx?1?x?3?x?

1(2)函數y?xcosx?sinx是()

(A)偶函數(B)奇函數(C)非奇非偶函數(D)奇偶函數

(3)函數y?1?cos?????

2x的最小正周期是()

(A)2?(B)

(4)與y??(C)4(D)1 2x2等價的函數是()

(A)x;(B)?x?(C)x?(D)23x

?x?1?1?x?0(5)f?x???,則limf?x??()x0?x?1x?0?

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空題：

(1)若f????1?

?t?5?2t2,則f?t??_________,ft2?1?__________.t??

??

1(2)??t????sinx??????3，則??????______。???______,??6??6?x?

30,1?，則fx2的定義域為______，f?sinx?的定義域為x??(3)若f?x?的定義域為??

______，f?x?a??a?0?的定義域為___，f?x?a??f?x?a??a?0?的定義域為______。

1?4x

2(4)lim。?__________

12x?1x??2

(5)無窮小量皆以______為極限。

三、計算題

(1)證明函數y?11sin在區間?0,1?上無界，但當x??0時，這個函數不是無窮大。xx

(2)求下列極限(1)lim2x3?3x2?5

x??7x3?4x2?1

(3)lim?tanx?tan2x

x??

(5)limex?1

x

x?0

(7)lim?xsinx?1

x?0x2arctanx

(2)lim1?cos2x x?0xsinx(4)lim?1?2n?3n1n n??(6)limtanx?sinxx?0sin32x ?1(8)limx??ex?1??x?????

(3)設f?x???

?1?xx?0，求limf?x?。2x?0?x?1x?0

(4)證明數列2,2?2,2?2?2,??的極限存在，并求出該極限。

f(x)?2x3f(x)?2,lim?3, 求f(x)(5)設f(x)是多項式, 且lim2x??x?0xx

(6)證明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一個正根，并且它不超過a?b。

x2?ax?b?2,求:a,b.(7).lim2x?2x?x?2

第五篇：高等數學第一章函數與極限教案

高等數學教案

課程的性質與任務

高等數學是計算機科學與技術；信息管理與信息系統兩個專業的一門重要的基礎理論課，通過本課程的學習，也是該專業的核心課程。要使學生獲得“向量代數”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級數”等方面的基本概論、基本理論與基本運算；同時要通過各個教學環節逐步培訓學生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力。在傳授知識的同時，要著眼于提高學生的數學素質，培養學生用數學的方法去解決實際問題的意識、興趣和能力。

第一章：函數與極限

教學目的與要求

18學時

1.解函數的概念，掌握函數的表示方法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。2.解函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性。

3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。4.掌握基本初等函數的性質及其圖形。

5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系。

6.掌握極限的性質及四則運算法則。

7.了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9.理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。

10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，了解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。

第一節：映射與函數

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A?{a1,a2,a3,??} 2)A?{xx的性質P}

元素與集合的關系：a?A

a?A

一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數集：N，Z，Q，R，N+

元素與集合的關系：

A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集。空集?： ??A2、集合的運算

并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}

差集

AB：AB?{x|x?A且x?B

全集I、E

補集AC：

集合的并、交、余運算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A

A?B?B?A 結合律、(A?B)?C?A?(B?C)

(A?B)?C?A?(B?C)分配律

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

對偶律

(A?B)?A?B

(A?B)?A?B 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}

3、區間和鄰域

開區間

(a,b)閉區間

?a,b? 半開半閉區間

?a,b?有限、無限區間 cccccc?a,b?

鄰域：U(a)

U(a,?)?{xa???x?a??}

a 鄰域的中心

?鄰域的半徑

?

去心鄰域

U(a,?)

左、右鄰域

二、映射 1.映射概念

定義

設X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中的每一個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射，記作

f：X?Y

其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即

y?f(x)

注意：1）集合X；集合Y；對應法則f

2）每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復合映射

三、函數

1、函數的概念：

定義：設數集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數

記為

y?f(x)x?D

自變量、因變量、定義域、值域、函數值

用f、g、?

函數相等：定義域、對應法則相等

自然定義函數；單值函數；多值函數、單值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符號函數

?1?y??0??1?x?0x?0x?04)取整函數 y??x?

（階梯曲線）

?2x0?x?1x?15)分段函數 y??

2、函數的幾種特性

?1?x1）函數的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數、不同定義域，有界性變化。

2)函數的單調性（單增、單減）在x1、x2點比較函數值

f(x1)與f(x2)的大小（注：與區間有關）3)函數的奇偶性(定義域對稱、f(x)與f(?x)關系決定)

圖形特點(關于原點、Y軸對稱)

4)函數的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))

3、反函數與復合函數

反函數：函數f:D?f(D)是單射，則有逆映射f反函數

函數與反函數的圖像關y?x于對稱

復合函數：函數u?g(y)定義域為D1，函數y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復合函數。(注意：構成條件)

4、函數的運算

和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數才能運算)

5、初等函數：

?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數的

1)冪函數：y?xa

2)指數函數：y?ax

3)對數函數 y?loga(x)

4)三角函數

()

y?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cotx

5)反三角函數

y?arcsin(x)，y?arccoxs)（y?arctan(x)以上五種函數為基本初等函數

6)雙曲函數

e?e2x?xy?arccot(x)

shx?

chx?xx?x?xe?e2x?x

thx?shxchx?e?ee?e

注：雙曲函數的單調性、奇偶性。

雙曲函數公式

sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數：y?archxy?arthx

作業： 同步練習冊練習一

第二節：數列的極限

一、數列

數列就是由數組成的序列。

1）這個序列中的每個數都編了號。

2）序列中有無限多個成員。一般寫成：a1縮寫為?un?

例 1 數列??是這樣一個數列?xn?，其中

?n??1?a2a3a4??an??

xn?也可寫為：

1121n，n?1,2,3,4,5???

131415????

1n?0 可發現：這個數列有個趨勢，數值越來越小，無限接近0，記為lim1、極限的??N定義：

???0?N?n?Nn??xn?a??則稱數列?xn?的極限為a，記成

limxn?a

n??也可等價表述：

1）???0

2）???0?N?N?n?N?n?N?(xna)??

xn?O(a?)

極限是數列中數的變化總趨勢，因此與數列中某個、前幾個的值沒有關系。

二、收斂數列的性質

定理1：如果數列?xn?收斂，那么它的極限是唯一 定理2 如果數列?xn?收斂，那么數列?xn?一定有界

定理3：如果limxn?a且a>0(a<0)那么存在正整數N>0，當n>N時，xn?0x??(xn?0)

定理

4、如果數列{xn}收斂于a那么它的任一子 數列也收斂,且收斂于a。

第三節：函數的極限

一、極限的定義

1、在x0點的極限

1）x0可在函數的定義域內，也可不在，不涉及f在x0有沒有定義，以及函數值f(x0)的大小。只要滿足：存在某個??0使：(x0??,x0)?(x0,x0??)?D。2）如果自變量x趨于x0時，相應的函數值 f(x)有一個總趨勢-----以某個實數A為極限，則記為 ：limf(x)?A。

x?x0形式定義為：

???0?????x(0?x?x0??)注：左、右極限。單側極限、極限的關系

2、x??的極限

設：y?f(x)x?(??,??)如果當時函數值 有一個總趨勢------該曲線有一條水平漸近

f(x)?A??

線y?A-----則稱函數在無限遠點?有極限。記為：limf(x)?A

x??

在無窮遠點?的左右極限：

f(??)?lim關系為： x???f(x)

f(??)?limf(x)

x???limf(x)?A?limf(x)?A?limf(x)

x??x???x???

二、函數極限的性質

1、極限的唯一性

2、函數極限的局部有界性

3、函數極限的局部保號性

4、函數極限與數列極限的關系

第四節：無窮小與無窮大

一、無窮小定義

定義：對一個數列?xn?，如果成立如下的命題： ???0??N??n?N?xn?注：

1、??? 則稱它為無窮小量，即limxn?0

x???的意義；

2、xn??可寫成xn?0??；?(0,xn)??

3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數?，存在一個號碼N，使在這個號碼以后的所有的號碼n，相應的xn與極限0的距離比這個給定的?還小。它是我們在直觀上對于一個數列趨于0的認識。

定理1 在自變量的同一變化過程x?x0（或x??)中，函數f?x?具有極限A的充分必要條件是f(x)?A??，其中?是無窮小。

二、無窮大定義

一個數列?xn?，如果成立：

?G?0??N??n?N?xn?G那么稱它為無窮大量。記成：limxn??。

x?? 特別地，如果?G?0??N??n?N?xn?G，則稱為正無窮大，記成limxn???

x??特別地，如果?G?0??N??n?N?xn??G，則稱為負無窮大，記成limxn??? x??注：無法區分正負無窮大時就籠統地稱之為無窮大量。

三、無窮小和無窮大的關系

定理2 在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

1f(x)為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)?0則

1f(x)為無窮大

即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數關系：當xn?0時：有

lim?0?limx??1xnx????

lim???limx??1xnx???0

注意是在自變量的同一個變化過程中

第五節：極限運算法則

1、無窮小的性質

設?xn?和?yn?是無窮小量于是：（1）兩個無窮小量的和差也是無窮小量：

limxn?0x??limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（2）對于任意常數C，數列?c?xn?也是無窮小量：

limxn?0?lim(c?xn)?0 x??x??（3）xn?yn也是無窮小量，兩個無窮小量的積是一個無窮小量。

limxn?0x????limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（4）?xn?也是無窮小量：

x?x0limxn?0?limxn?0

x?x0（5）無窮小與有界函數的積為無窮小。

2、函數極限的四則運算

1、若函數f和g在點x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0

2、函數f在點x0有極限，則對任何常數a成立

lim(a?f(x))?a?limx?x0x?x0f(x)

3、若函數f和g在點x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x03、若函數f和g在點x0有極限，并且limg(x)???0，則

x?x0limf(x)?f(x)?x?x0????

lim?

x?x0?g(x)?limg(x)???x?x0極限的四則運算成立的條件是若函數f和g在點x0有極限 例：求下述極限

lim

x?3x?3x?92limx?12x?3x?5x?42limx??3x?2x?12x?x?5322

4、limx??3x?4x?27x?5x?33232limx??sinxxlimx??2x?x?53x?2x?1232復合函數的極限運算法則

定理6 設函數y?f[g(x)}是由函數y?f(u)與u?g(x)復合而成，f[g(x)]在點x0的 某去心鄰域內有定義，若limg(x)?u0，x?x00u?u0limf(u)?A，且存在?0?0，當x?u(x0,?0)時，有

g(x)?u0，則

x?x0limf[g(x)]?limf(u)?Au?u0第六節：極限存在準則

兩個重要極限

定理1 夾逼定理 ：三數列?xn?、?yn?和?zn?，如果從某個號碼起成立：1）xn?yn?zn，并且已知?xn?和?zn?收斂，2）limxn?a?limzn，則有結論：

x??x??limyn?a

x??

定理2 單調有界數列一定收斂。

單調增加有上界的數列一定收斂；單調減少有下界的數列一定收斂。

例：證明：limx?0sinxx?1

例：

limx?0

例：證明：lim(1?x??tanxx

limx?01?cosxxlimx?0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1?)x的極限

x??x1x

第七節：無窮小的比較

定義：若?,?為無窮小

limlim????????0???c?0?c?0?1且

limlimlim

?K??高階、低階、同階、k階、等價?～?

1、若?,?為等價無窮小，則?????(?)

2、若?～?1、?～?1且

lim??11??11存在，則： lim???lim

例：

limx?0tan2xsin5x limx?0sinxx?3xlimx?0(1?x)3?1cosx?12

第八節：函數的連續性與間斷點

一、函數在一點的連續性

函數f在點x0連續，當且僅當該點的函數值f(x0)、左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)三者相等：

f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)

或者：當且僅當函數f在點x0有極限且此極限等于該點的函數值。

limf(x)?f(x0)

其形式定義如下：

x?x0???0???x(x?x0??)f(x)?f(x0)??

函數在區間（a,b）連續指：區間中每一點都連續。函數在區間［a,b］連續時裝意端點。注：左右連續，在區間上連續(注意端點)

連續函數的圖像是一條連續且不間斷的曲線

二、間斷點

若：f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)中有某一個等式不成立，就間斷，分為：

1、第一類間斷點：

f(x0?0)?f(x0?0)

即函數在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現一個跳躍。、第二類間斷點x0：左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)兩者之中至少有一個不存在

例：見教材

第九節：連續函數的運算與初等函數的連續性

一、連續函數的四則運算

1.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?lim???f(x)???g(x)????f(x0)???g(x0)

x?x02limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?limx?x0?f(x)?g(x)??x?x0f(x0)?g(x0)

3.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)?0，x?x0?limx?xf(x)0g(x)?f(x0)g(x0)

x?Df是嚴格單調增加（減少）并且連續

反函數連續定理：如果函數f:y?f(x)的，則存在它的反函數f并且連續的。

注： 1）反函數的定義域就是原來的值域。

?1：x?f?1(y)y?Df并且f?1也是嚴格單調增加（減少）2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數也可表成

y?f?1(x)x?Df?1

復合函數的連續性定理：

設函數f和g滿足復合條件?g?Df，若函數g在點x0連續；g(x0)?u0，又若f函數在點u0連續，則復合函數f?g在點x0連續。

注：復合函數的連續性可以保證極限號與函數符號的交換：

x?x0limf(g(x))?f(limg(x))

x?x0從這些基本初等函數出,通過若干次四則運算以及復合，得到的種種函數統稱為初等函數，并且：初等函數在其定義區間內連續。

第十節：閉區間上連續函數的性質

一、最大、最小值

設函數：y?f(x),x?D在上有界，現在問在值域

D1??yy?f(x),x?D?

中是否有一個最大的實數？如果存在，譬如說它是某個點x0?D的函數值 y0?f(x0)，則記y0?max?f(x)?叫做函數在D上的最大值。

x?D

類似地，如果 Df中有一個最小實數，譬如說它是某個點x2?Df的函數值y2?f(x2)，則記y2?min

二、有界性

x?Df?f(x)?稱為函數在上的最小值。

有界性定理：如果函數f在閉區間?a,b?上連續，則它在?a,b?上有界。

三、零點、介值定理

最大值和最小值定理：如果函數 f在閉區間?a,b?上連續則它在?a,b?上有最大值和最小值，也就是說存在兩個點?和?，使得

f(?)?f(x)?f(?),亦即

x??a,b?

f(?)?min x??a,b??f(x)?

f(?)?max?f(x)?

x??a,b? 若x0使f(x0)?0，則稱x0為函數的零點

零點定理：

如果函數f在閉區間?a,b?上連續，且f在區間?a,b?的兩個端點異號：f(a)*f(b)?0則至少有一個零點??(a,b)，使f(?)?0

中值定理：

如果函數f在閉區間?a,b?上連續，則f在?a,b?上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個中間值。

作業：見課后各章節練習。