第一篇：高等數(shù)學(xué) 第一章函數(shù)與極限教案

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y ,或 {x0?x?a??}?.記為5.點6.點7.函數(shù)是實數(shù)集到實數(shù)集的映射U(a , ?)a?(a?? , a)a?(a , a??)f的左鄰域: 的右鄰域: 中有唯一的實數(shù)

...單值函數(shù)是指對于定義域

Df內(nèi)的任何實數(shù)

x，在值域Rf 其中y與之對應(yīng)，記作

y?f(x)x?Dfxy，稱為自變量，稱為因變量.，8.函數(shù)的自然定義域: 通常指使得函數(shù)算式有意義的一切實數(shù)組成的集合.9.絕對值函數(shù): ?x , x?0 ,x????x , x?0.10.符號函數(shù):

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

? 1 , x?0,?sgn(x)?? 0 , x?0,??1 , x?0.?11.取整函數(shù):

?x??n , n?x?n?1(n?0 , ?1 , ?2 , ?)?x? x?3.2??3??3.2???4?3??3?0.5??0.其中表示不超過的最大整數(shù).例如，.，即定義域為

?x?0P4?221?1?x?0?1?x?00?x?1[?1 , 0)?(0 , 1]③.解: 令，得

或

.，練習(xí)1.求函數(shù)的定義域.1f(x)?lnx?3.-----高等數(shù)學(xué)教案-----??x?3??1 , ?x?2 , 解: 令?x?3?0 , ?得

?x?3 ,即定義域為

?x?3?1 ,?x?4 ,D??(?? , 2)??(2 , 3)?(3 , ?(4 , ??).練習(xí)2.求函數(shù)的定義域.y?cosx2.解: 令cosx2?0，得

0?x2??22k???2?x2?2k???2，?x??2?x??2

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

4)或即定義域為 或

???2k???x??2k??222

或

??2k???x?2k??.的定義域為，數(shù)集

.12.函數(shù)的有界性: 設(shè)對任一在對任一在(k?1 , 2 , ?)}f(x)DX?DK1f(x)?K1x?Xf(x)XK1f(x)XK2f(x)?K2x?Xf(x)XK2f(x)XM①.如果存在數(shù)，使得，都成立，則稱

在上有上界，而

為上的一個上界.②.如果存在數(shù)，使得，都成立，則稱

在上有下界，為上的一個下界.③.如果存在正數(shù)，使得

-----高等數(shù)學(xué)教案-----對任一④.如果對于任何正數(shù)則稱13.函數(shù)的單調(diào)性: 設(shè)①.如果對于區(qū)間則稱②.如果對于區(qū)間則稱14.函數(shù)的奇偶性: 設(shè)函數(shù)①.如果對于任一f(x)?Mx?Xf(x)XMx0?Xf(x0)?Mf(x)Xf(x)DI?DIx1x2x1?x2f(x1)?f(x2)f(x)IIx1x2x1?x2f(x1)?f(x2)f(x)If(x)Dx?D，都成立，則稱

在上有界.，總存在，使得，在上無界.的定義域為，區(qū)間上任意兩點

及，當(dāng)，在區(qū)間

上是單調(diào)增加的.上任意兩點

及，當(dāng)

時，恒有，在區(qū)間

上是單調(diào)減少的.的定義域

關(guān)于原點對稱，.時，恒有

-----高等數(shù)學(xué)教案-----恒成立，則稱②.如果對于任一恒成立，則稱15.函數(shù)f(?x)??f(x)f(x)x?Df(?x)?f(x)f(x)y?f(x)Df為奇函數(shù).，為偶函數(shù).的定義域為，值域為

Rf，如果

f是一一映射，則f存在逆映射f?1:

Rf?Df?1，即對于任意

y?Rf?1為，有唯一的記作 x?Df，使得

f(x)?yf，稱，f的反函數(shù)，x?f(y)y?Rf 16.設(shè)函數(shù)

.y?f(u)的定義域為的定義域為

Df，且，值域為

Rf;函數(shù)u?g(x)由下式確定的函數(shù)

Dg，值域為

RgRg?Df，則y?f[g(x)] x?Dg，-----高等數(shù)學(xué)教案-----稱為由u?g(x)y?f(u)uy與中間變量，因變量.構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).x自變量，P1422 ④.解：y?ex2.y?e?e?1y?e?e?e，①.冪函數(shù)x2102x2212.17.基本初等函數(shù): y?x?（?為實數(shù)）.②.指數(shù)函數(shù)y?a(a?0 , a?1).x，特例③.對數(shù)函數(shù)特例y?ey?logax(a?0 , a?1)y?logex?lnx.④三角函數(shù) x，y?sinx y?cosxy?tanxy?cotxy?secxy?cscx，，⑤反三角函數(shù)，.-----高等數(shù)學(xué)教案-----y?arcsinxy?arccosx y?arctanxy?arccotx，.，18.初等函數(shù): 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).19.雙曲函數(shù)

①雙曲正弦②雙曲余弦③雙曲正切

e?eshx?2x?xe?echx?2x?xshxe?ethx??x?xchxe?e..x?x.§1.2 數(shù)列的極限

1.如果按照某一法則，對每個

n?N?，對應(yīng)著一個確定的數(shù)照下標(biāo)nxn，這些實數(shù)

xn按從小到大排列得到的一個序列

叫做數(shù)列，簡記為數(shù)列般項.x1 , x2 , ? , xn , ?nxn?xn?，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，-----

當(dāng)自變量例如.① xn?f(n)n?Nn?xn?111 , , ? , , ?2n，.依次取1，2，3，…一切正整數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排成數(shù)列

;

?.②

1?(?1)1 , 0 , 1 , 0 , ? , , ?21 , 2 , ? , n , ?1 , 1 , 1 , ? , 1 , ?n248234n?12 , , , ? , , ?23nnan??xna?xn?xna;③

;④

;⑤

2.深刻理解數(shù)列極限的概念.當(dāng)無限增大時(即

時)，對應(yīng)的項

無限接近于某個確定的數(shù)值，稱常數(shù)是數(shù)列的極限.無限接近于

是什么含意? 考察數(shù)列

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

n?134n?12 , , , ? , , ?23nn?11xn1n??xn?n1xn?1?n0.110n?101xn?1??0.1n0.01100n?1001xn?1??0.01n11?[]n?[]

當(dāng)時，無限接近于，也就是說

與要多小就有多小.比如說: ①給定，在-----它多么小），總存在正整數(shù)都成立，那么稱常數(shù)Nn?Nxn?a??a?xn??xn?alimxn?axn?a(n??)n??，使得當(dāng)

時，不等式

是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列

收斂于

或，正整數(shù)，當(dāng)，則稱數(shù)列

以，記為

.???0?Nn?Nxn?a???xn?alimxn?an?????0?N?xn?a?N1?NxN?a???xn?alim0.999?9?1P3 31?????3'.對于

.4.數(shù)列不以

為極限的定義:，對于

正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列

時，為極限，記為，1不以為極限.④證: 等價于

n??n個1lim(1?n)?1n??10.-----高等數(shù)學(xué)教案-----對于

只要???011(1?n)?1?n??101011n?lgN?[lg]n?N，要使

?，取

?，當(dāng)時，1(1?n)?1??101lim(1?n)?1n??10lim0.999?9?1?????n??n個5.有界數(shù)列: 對于數(shù)列，所以，故

.?xn?，如果存在正數(shù)

M，使得對于任意

n，不等式

都成立，那么稱數(shù)列無界數(shù)列: 對于數(shù)列xn?M?xn??xn?

是有界的.，如果對于任意正數(shù)

M，存在正整數(shù)

N，使得不等式

-----高等數(shù)學(xué)教案-----成立，那么稱數(shù)列 6.子數(shù)列: 在數(shù)列序,這樣得到的數(shù)列xN?M?xn??xn?xn，是無界的.??k中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列

稱為原數(shù)列

?xn??xn?中的先后次的子數(shù)列.7.收斂數(shù)列的性質(zhì).①唯一性: 如果數(shù)列②有界性: 如果數(shù)列?xn??xn?收斂，那么它的極限唯一.收斂，那么數(shù)列

?xn?一定有界.③保號性: 如果 推論: 如果數(shù)列l(wèi)imxn?aa?0a?0n???Nn?Nxn?0xn?0?xn?xn?0xn?0limxn?aa?0a?0n??，且

(或，當(dāng)

時，都有

(或

從某項起有

(或，那末

(或).④.數(shù)列)，那末).)，且?xn?斂，且有相同的極限；若

?x??x??x??x??x?與子數(shù)列

n的關(guān)系: 若

kn收斂，則

n也收

kn收斂，則

kn不一定收斂.-----高等數(shù)學(xué)教案-----P31 5?xn?xn?M 證: 由于

都成立.對于，由于

有界，所以

?M正數(shù)，對于

?n，不等式

當(dāng)

?n?Nyn?時，yn?0?N???0limn??，所以

正整數(shù)，故當(dāng)，使得從而所以

M?xnyn?M???Mlimxnyn?0n??P31 6???0x2k?1?a(k??)?N1k?N1x2k?1?a??時，..證：對于，由于，正整數(shù)，使得當(dāng)

時，n?N.又由于

所以x2k?a(k??)?N2k?N2x2k?a??，正整數(shù)，使得當(dāng)

時，.-----高等數(shù)學(xué)教案-----N?Max{2N1?1 , 2N2}xn?a??n?Nxn?a(n??)x?x?x0x?x0xx0取時，.§1.3 函數(shù)的極限 1.自變量的六種變化趨勢.① :，任意地接近于有限值

.②，當(dāng)

所以x?xx?x0xx0x?x0x?x0xx0x???xx???xx??xxf(x)x?x0f(x)x0A??0?x?x0??f(x)，任意地接近于有限值

.③ :，任意地接近于有限值

.④⑤

: :

沿著數(shù)軸負(fù)向無限遠(yuǎn)離原點.沿著數(shù)軸正向無限遠(yuǎn)離原點.⑥ : 的絕對值

無限增大.2.函數(shù)當(dāng)

時的極限: 設(shè)函數(shù)

在點一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，使得當(dāng)

時，對應(yīng)的函數(shù)值不等式

-----高等數(shù)學(xué)教案-----? : 0的某

（不論它多么小），總存在正數(shù)

都滿足那么常數(shù)f(x)?A??Af(x)x?x0limf(x)?A，就叫做函數(shù)

當(dāng)

時的極限，記作

或

取f(x)?A(x?x0)???0P5382x?4?(?4)?x?(?2)??x?20?x?(?2)?????.③.證: 對于，要使，當(dāng)

時x?x0，某一左鄰域內(nèi)有定義.對于x?4?(?4)?x?(?2)??x?22x?4lim??4x??2x?2f(x)x?x0f(x)x0???0???0.3.函數(shù)當(dāng)

時的左極限: 設(shè)函數(shù)

在點，2，所以的，當(dāng)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----0?x0?x???x?x04.函數(shù)

或

時，f(x)?A???0.，則limf(x)?Af(x)?A當(dāng)

時的右極限: 設(shè)函數(shù)某一右鄰域內(nèi)有定義.對于f(x)x?x0f(x)x0???0???00?x?x0??f(x)?A??在點，時，的，當(dāng)，則limf(x)?Af(x)?A?x?x0或 5.函數(shù)

?0.f(x)x?x0當(dāng)

時的極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在且相等，即

limf(x)?A?x?x0

limf(x)?limf(x)?A?x?x0?x?x0.P438limf(x)?lim1?1??.解: ①，x?0x?0

-----高等數(shù)學(xué)教案-----limf(x)?lim1?1??x?0于

.由limf(x)?limf(x)?1??x?0x?0.x?0，所以limf(x)?1x?0②

lim?(x)?lim(?1)??1??lim?(x)?lim1?1??x?0x?0由于，x?0x?0.lim?(x)lim?(x)?lim?(x)??x?0，所以

不存在

x?0x?0練習(xí)1.設(shè)函數(shù)(A)

x?2limf(x)f(x)?x?2x?2?101，則.(B).(C)

.當(dāng)

時的極限: 設(shè)函數(shù)

在為.(D)不存在.[ D ] 6.函數(shù)一正數(shù)時有定義.如果存在常數(shù)使得當(dāng)f(x)x??f(x)xXA?x?Xf(x)，對于任意給定的正數(shù)

（不論它多么小），總存在正數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值

都滿足不等式

大于某，-----高等數(shù)學(xué)教案-----那么常數(shù)f(x)?A??Af(x)x??limf(x)?A，就叫做函數(shù)

當(dāng)

時的極限，記作

或x??一負(fù)數(shù)時有定義.對于時，某一正數(shù)時有定義.對于f(x)?A(x??)f(x)x???f(x)x???0?X?0x??Xf(x)?A??limf(x)?Ax???f(x)x???f(x)x???0?X?0x?Xf(x)?A??limf(x)?Ax???f(x)x??x???x???limf(x)?A?x??.7.函數(shù)當(dāng)

時的極限: 設(shè)函數(shù)

在，當(dāng)，則

.8.函數(shù)當(dāng)

時的極限: 設(shè)函數(shù)

在，當(dāng)，則

.9.函數(shù)當(dāng)時極限及當(dāng)

時極限都存在且相等，即

小于某

大于

時，時的極限存在的充分必要條件是當(dāng)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----limf(x)?limf(x)?Ax???x???9.水平漸近線: 若

.limf(x)?cx??或

x???或 limf(x)?climf(x)?c是函數(shù)，x???則稱直線y?cy?f(x)圖形的水平漸近線.10.函數(shù)極限的性質(zhì).①唯一性: 若limf(x)x?x00，當(dāng)

存在，此極限唯一.②局部有界性: 若limf(x)?Ax?x.，那末存在常數(shù)

M?0時，和??00?x?x0??，且

有 ③局部保號性: 若f(x)?Mlimf(x)?AA?0x?x0），那末存在，當(dāng)

（或A?0??00?x?x0??時，-----高等數(shù)學(xué)教案-----有③'若f(x)?0f(x)?0limf(x)?AA?0（或）.（），那末存在點x?x0x0的某一去心鄰域內(nèi)，使得

Af(x)?2f(x)?0f(x)?0x0A?0A?0limf(x)?Ax?x.推論: 若在點的某一去心鄰域內(nèi)

（，那末

（）.），且0§1.4 無窮小與無窮大

1.無窮小: 若

limf(x)?0x?x0為當(dāng)

（或取limf(x)?0f(x)x?x0x??x?????0P2421xsin?x??x0?x?????），則稱）時的無窮小.②.證: 對于，要使，當(dāng)

時

（或，-----高等數(shù)學(xué)教案-----2.極限與無窮小的關(guān) 系:

11y?xsinxsin?x??xxx?0limf(x)?A?f(x)?A??x?x，所以時的無窮小.①

.為當(dāng)0②limf(x)?A?f(x)?A??x??為無窮小.在點

.其中 3.無窮大: 設(shè)函數(shù)f(x)x0?M?0???00?x?x0??，當(dāng)?的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果對于時，總有

那f(x)?Mf(x)x?x0limf(x)??，么稱

為

當(dāng)

.時的無窮大，記作x?x03'.無窮大: 設(shè)函數(shù)f(x)x在大于某一正數(shù)時有定義.如果對于

-----高等數(shù)學(xué)教案-----?M?0?X?0，那么稱，當(dāng)

x?X時，總有f(x)?Mf(x)x??為當(dāng)

時的無窮大，記作limf(x)??.x??P423.① 證: 對于

?M?0，要使

1?x2x?1x?2?M，而 1x?2?1x?2，只要 1x?2?M，x?M1，取??M1?2?2，當(dāng)

0?x??

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

時，有 ②取

1?2x1?2x?My?xxx?01??40?x??10?21?2x?1?2xx1??2x，所

以的無窮大.，當(dāng)

時，為當(dāng)1??21410?24?10

.-----高等數(shù)學(xué)教案-----練習(xí)1.若limf(x)??limg(x)??x?xx?x，00則下列式子成立的是

(A)lim[f(x)?g(x)]??x?xlim[f(x)?g(x)]??x?x00.(B).(C)(D)

1lim?0x?xf(x)?g(x)1lim?0x?xf(x)?g(x)0..0[ D ] 4.鉛直漸近線: 如果

limf(x)??x?x0或

limf(x)???x?x0

或 limf(x)???x?x0是函數(shù)，那么稱直線x?x0y?f(x)圖形的鉛直漸近線.-----高等數(shù)學(xué)教案-----P342.解：由于

所以

4limf(x)?lim2?0x??x??2?xy?0是水平漸近線.，由于

所以 5.無窮小與無窮大的關(guān)系: 在自變量的同一變化過程中，如果

4limf(x)?lim2??x??2x??22?x4limf(x)?lim2??x?2x?22?xx??2x?2f(x)1f(x)f(x)?0f(x)1f(x)，，都是鉛直漸近線.為無窮小；如果

為無窮小，且為無窮大.為無窮大，則，則§1.5 極限運算法則 1.無窮小的性質(zhì): ①有限個無窮小的和也是無窮小.-----高等數(shù)學(xué)教案-----②.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.有限個無窮小的乘積也是無窮小.P4932.①解: 由于當(dāng)

x?0x時

是

當(dāng)

2是無窮小，而

1sinx的無

窮

是有界變量，所以1xsinx?0x21limxsin?0x?0xlimf(x)?Alimg(x)?Blim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?Blim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?Bc時

小，故

.2.極限的四則運算:，.①..②..推論1: 為常數(shù)，-----高等數(shù)學(xué)教案-----推論2: ③.lim[c?f(x)]?c?limf(x)?c?Annnnlim[f(x)]?[limf(x)]?Af(x)limf(x)Alim??g(x)limg(x)B(B?0)?(x)??(x)lim?(x)?alim?(x)?ba?bx?x0nn?1f(x)?a0x?a1x???anlimf(x)?f(x0).為正整數(shù)，..3.極限的單調(diào)性: 若，而，則

.4.有理整函數(shù)(多項式)、有理分式函數(shù)當(dāng)?shù)臉O限: ①.多項式，.，x?x0例1.②.有理分式

?16lim(x?2x?1)?3?2?3?1x?3P(x)F(x)?P(x)Q(x)Q(x)，其中、22.是多項式，-----高等數(shù)學(xué)教案-----Q(x0)?00，P(x0)P(x)limF(x)?lim?x?xx?xQ(x)Q(x0)?F(x0)3x?13?2?1lim?lim33x?2x?xx?22?21?22x?1lim?lim(x?1)x??1x?1x??1??22x?3lim2x?1x?3x?20.例2..例3..例4.求

.解: x?3x?21?3?1?2lim?x?12x?32?1?3

-----高等數(shù)學(xué)教案-----225.有理分式函數(shù)當(dāng)?02x?3lim??2x?1x?3x?2x??mm?1a0x?a1x???amlimnn?1x??bx?bx???b01n?a0 , n?m ,?b0???0 , n?m , ?? , n?m.??，.的極限:

例5.??111lim????n???1?22?3n(n?1)???

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

111?lim[(1?)?(?)??n??223 11?(?)]nn?1例6.1?lim1?n??n?1?1na?1lima?1n?1n??1?a???an?1?1?a???a??a?1??limn?1n??1?a???a?lim(a?1)n??

.（??)

?a?1(A).例7.下列數(shù)列中收斂的是.nan?(?1)n?1n.-----高等數(shù)學(xué)教案-----(B)bn?1?2n.(C)(D)?1?1 , n為奇數(shù) ,?n?2Cn??1?1? , n為偶數(shù).?n?1?n , n為奇數(shù) ,?n?1Dn??n? , n為偶數(shù).?1?n

[ C ] 例8.設(shè)

x?1lim(?ax?b)?1x??x?1則有(A)(B)2，(C)a??1b?0a?1b??1a?1b?0，，...-----高等數(shù)學(xué)教案-----(D)a?1b?1，.[ C ] 例9.設(shè)

2x?1lim(?ax?b)?02x??x?1則有(A)(B)3，(C)(D)a?1b?0a??2b?1a??2b?0a?2b?1，.，，...[ C ] 例10.已知

求x?ax?blim?5x?11?xab，的值.2，解: 一方面，lim(x?ax?b)x?122

x?ax?b???lim?(1?x)x?1???1?x?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

?5?0?0.另一方面，lim(x?ax?b)?1?a?bx?1所以，即

.故

2.1?a?b?0b??a?12x?ax?blimx?11?x2x?ax?a?1?limx?11?x(x?1)(x?1)?a(x?1)?limx?11?x?lim[?(x?1)?a]x?1

從而 6.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則: 設(shè)函數(shù)??2?a?2?a?5a??7b?6y?f[g(x)].，得，.是由函數(shù)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----u?g(x)y?f(u)y?f[g(x)]x0limg(x)?u0limf(u)?Ax?xu?u與

復(fù)

合在點，而成，的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在00?0?0x?U(x0 , ?0)g(x)?u0，當(dāng)

時，有則

?，limf[g(x)]?limf(u)?Ax?x0u?u0 例如..limln(x?1)u?x?1 limlnux?2u?9§1.6 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 1.準(zhǔn)則I 如果數(shù)列

① ②?ln9?xn??yn??zn?yn?xn?zn(n?1 , 2 , ?)limyn?alimzn?an??n??.、及

滿足:

，，那么limxn?an??.準(zhǔn)則I' 如果

-----高等數(shù)學(xué)教案-----① ②g(x)?f(x)?h(x)limg(x)?Alimh(x)?A，，那么limf(x)?A.P564②.解: n(1n?n????12n2?n?)??n(11n2???n2)，n2n2?n??原式

?1，而lim2，所以

n??n2n?n??1lim11n??n?n2?????n2?n???1.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

原

式 2.重要極限I: 例1.例2.例3.sinxlim?1x?0xsin2xsin2xlim?2limx?0x?0x2x?2?1?2tanxsinx1lim?lim(?)x?0x?0xxcosxsinx1?lim?limx?0xx?0cosx?12x2sin1?cosx2lim?lim22x?0x?0xx...-----高等數(shù)學(xué)教案-----例4.xsin12?lim2x?0(x)222?sinx?12???lim2x?0?x??2?1?22sin(x?1)limx?1x?12(x?1)sin(x?1)?lim2x?1x?12sin(x?1)?lim(x?1)?lim2x?1x?1x?12

.-----高等數(shù)學(xué)教案-----?2例5.求極限.解: sinmxmnlimx??sinnxsinmxlimx??sinnx(，為非零整數(shù)).sin(m??my)x???y limy?0sin(n??ny)m?1

(?1)sin(my)?limn?1y?0(?1)sin(ny)sin(my)m?1(?1)m?my?limy?0n?1sin(ny)(?1)n?nym?nm?(?1)n.3.單調(diào)數(shù)列:

-----高等數(shù)學(xué)教案-----①.如果數(shù)列則稱數(shù)列②.如果數(shù)列x1?x2?x3???xn?xn?1???xn??xn?x1?x2?x3???xn?xn?1??，單調(diào)增加.滿足條件: ?xn?滿足條件:，則稱數(shù)列?xn?單調(diào)減少.4.準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例6.利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列

2，22.，證: 記數(shù)列的通項為 ①有界性: 222xnxn?1?2xn…的極限存在并求此極限.，則時，.當(dāng) 假設(shè)當(dāng)所以對任意的n?1x1?2?2n?kxk?2n?k?1xk?1?2xk?2?2?2nxn?2xn?0{xn}時，當(dāng)

時，有，是顯然的，故數(shù)列

有界.②單調(diào)性:

-----高等數(shù)學(xué)教案-----xn?1?2xn?xn?xn?xn，所以數(shù)列{xn}單調(diào)增加.由①②可知數(shù)列{xn}的極限存在.設(shè)此極限為

a，則

limxn?1?lim2xn，n??n?? a?2a，得a?2.4.重要極限II: limx??(1?1xx)?elim(1?z)1z?e.z?0例7.limx??(1?1x)x?limx???11?(?1?xx)?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----，例8.t??x limt??t1(1?)t1?e.例9.1?1?x?xx?1lim?limx??x?1x???1?1??x1?lim?xxx??111?1?xx1?2ecsc2xlim(cosx)???????x

????

.x?0

-----高等數(shù)學(xué)教案-----?lim(cosx)x?021csc2x2

?2?lim[1?(?sinx)]?x?0?2?1sin2x????12

?? t??sinx lim(1?t)??t?0????e例10.1?12t

?12.x?0lim(1?x)?x?01x

???lim(1?x)(1?x)?1xx?0x?01x

1x ?????lim1?x?lim1?x??

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

1???lim?lim1?x1xx?0??1?x?? 1xx?0??1e?e

?1.§1.7 無窮小的比較

1.無窮小的比較: 設(shè)?、?都是無窮小，且

??0.①如果lim??0，就說

?是比

?高階的無窮小，???(??).②如果lim????，就說

?是比?低階的無窮小.③如果lim???c?0，就說

?與

?是同階無窮小.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

記作

?limk?c?0??k??lim?1????~?P59 1 ④如果，就說

是關(guān)于的 ⑤如果，就說

與..解: 由于

階無窮小.是等價無窮小，記作

x?xx?xlim?lim?02x?02x?xx?02?x，232所以 x?x2x?xP592321?xlim?lim(1?x?x)?3x?11?xx?1是比

高階無窮小..解: 由于 232，所以1?x1?x與3是同階無窮小.由于

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

1(1?x2)12lim?lim(1?x)?x?11?x2x?1，所以2.3.幾組等價無窮小量: 當(dāng)1(1?x2)1?x2???????(?)x?0x~sinx~tanx~arcsinx與

是等價無窮小.與是等價無窮的充分必要條件為

.時，~arctanx；

x~ln(1?x)~e?1 ；

x；

121?cosx~x2xa?1~xlna a(1?x)?1~ax(a?0)；

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

.4.等價無窮小量代換: 若???????~????????~??limlim?lim?????、、、都是無窮小量，且，存在，則，.例1.求limtanx?sinxx?0sin3x.x?022解: 由于當(dāng)

時，x~sinx?cosx~122x，所以

-----高等數(shù)學(xué)教案-----，1limtanx?sinxx?0sin3x?lim1?cosx x?0cosxsin2x12?lim2x

x?0cos21x?x?lim2

x?0?1cosx.例2.求lim(21?arcsinx)3?1x?0etanx?1.解: 由

于

當(dāng)

x?0

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

時，(1?arcsinx)3?1~3arcsinxarcsintanxx~x，etanx?1~tanx 所以

lim(~1x? arcsinx)3?1x?0etanx?lim3arcsin?x1 x?0tanx?lim3x

x?0?3x.§1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 1.引入記號: 對于函數(shù)y?f(x)，當(dāng)

x?x時，令

?x?x?x0?y?f(x)?0f(x

則 x?x0)，?0??x?yf(x0??x)?f(x0)，-----高等數(shù)學(xué)教案-----，，

第二篇：高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限教案

高等數(shù)學(xué)教案

課程的性質(zhì)與任務(wù)

高等數(shù)學(xué)是計算機科學(xué)與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過本課程的學(xué)習(xí)，也是該專業(yè)的核心課程。要使學(xué)生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運算；同時要通過各個教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力。在傳授知識的同時，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實際問題的意識、興趣和能力。

第一章：函數(shù)與極限

教學(xué)目的與要求

18學(xué)時

1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

7.了解極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

第一節(jié)：映射與函數(shù)

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A?{a1,a2,a3,??} 2)A?{xx的性質(zhì)P}

元素與集合的關(guān)系：a?A

a?A

一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+

元素與集合的關(guān)系：

A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集。空集?： ??A2、集合的運算

并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}

差集

AB：AB?{x|x?A且x?B

全集I、E

補集AC：

集合的并、交、余運算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A

A?B?B?A 結(jié)合律、(A?B)?C?A?(B?C)

(A?B)?C?A?(B?C)分配律

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

對偶律

(A?B)?A?B

(A?B)?A?B 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}

3、區(qū)間和鄰域

開區(qū)間

(a,b)閉區(qū)間

?a,b? 半開半閉區(qū)間

?a,b?有限、無限區(qū)間 cccccc?a,b?

鄰域：U(a)

U(a,?)?{xa???x?a??}

a 鄰域的中心

?鄰域的半徑

?

去心鄰域

U(a,?)

左、右鄰域

二、映射 1.映射概念

定義

設(shè)X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中的每一個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作

f：X?Y

其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即

y?f(x)

注意：1）集合X；集合Y；對應(yīng)法則f

2）每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復(fù)合映射

三、函數(shù)

1、函數(shù)的概念：

定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)

記為

y?f(x)x?D

自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值

用f、g、?

函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)法則相等

自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符號函數(shù)

?1?y??0??1?x?0x?0x?04)取整函數(shù) y??x?

（階梯曲線）

?2x0?x?1x?15)分段函數(shù) y??

2、函數(shù)的幾種特性

?1?x1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點比較函數(shù)值

f(x1)與f(x2)的大小（注：與區(qū)間有關(guān)）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(?x)關(guān)系決定)

圖形特點(關(guān)于原點、Y軸對稱)

4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))

3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)f:D?f(D)是單射，則有逆映射f反函數(shù)

函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y?x于對稱

復(fù)合函數(shù)：函數(shù)u?g(y)定義域為D1，函數(shù)y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)

4、函數(shù)的運算

和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運算)

5、初等函數(shù)：

?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數(shù)的

1)冪函數(shù)：y?xa

2)指數(shù)函數(shù)：y?ax

3)對數(shù)函數(shù) y?loga(x)

4)三角函數(shù)

()

y?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cotx

5)反三角函數(shù)

y?arcsin(x)，y?arccoxs)（y?arctan(x)以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)

6)雙曲函數(shù)

e?e2x?xy?arccot(x)

shx?

chx?xx?x?xe?e2x?x

thx?shxchx?e?ee?e

注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。

雙曲函數(shù)公式

sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數(shù)：y?archxy?arthx

作業(yè)： 同步練習(xí)冊練習(xí)一

第二節(jié)：數(shù)列的極限

一、數(shù)列

數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。

1）這個序列中的每個數(shù)都編了號。

2）序列中有無限多個成員。一般寫成：a1縮寫為?un?

例 1 數(shù)列??是這樣一個數(shù)列?xn?，其中

?n??1?a2a3a4??an??

xn?也可寫為：

1121n，n?1,2,3,4,5???

131415????

1n?0 可發(fā)現(xiàn)：這個數(shù)列有個趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為lim1、極限的??N定義：

???0?N?n?Nn??xn?a??則稱數(shù)列?xn?的極限為a，記成

limxn?a

n??也可等價表述：

1）???0

2）???0?N?N?n?N?n?N?(xna)??

xn?O(a?)

極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個、前幾個的值沒有關(guān)系。

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1：如果數(shù)列?xn?收斂，那么它的極限是唯一 定理2 如果數(shù)列?xn?收斂，那么數(shù)列?xn?一定有界

定理3：如果limxn?a且a>0(a<0)那么存在正整數(shù)N>0，當(dāng)n>N時，xn?0x??(xn?0)

定理

4、如果數(shù)列{xn}收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。

第三節(jié)：函數(shù)的極限

一、極限的定義

1、在x0點的極限

1）x0可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及f在x0有沒有定義，以及函數(shù)值f(x0)的大小。只要滿足：存在某個??0使：(x0??,x0)?(x0,x0??)?D。2）如果自變量x趨于x0時，相應(yīng)的函數(shù)值 f(x)有一個總趨勢-----以某個實數(shù)A為極限，則記為 ：limf(x)?A。

x?x0形式定義為：

???0?????x(0?x?x0??)注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系

2、x??的極限

設(shè)：y?f(x)x?(??,??)如果當(dāng)時函數(shù)值 有一個總趨勢------該曲線有一條水平漸近

f(x)?A??

線y?A-----則稱函數(shù)在無限遠(yuǎn)點?有極限。記為：limf(x)?A

x??

在無窮遠(yuǎn)點?的左右極限：

f(??)?lim關(guān)系為： x???f(x)

f(??)?limf(x)

x???limf(x)?A?limf(x)?A?limf(x)

x??x???x???

二、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、極限的唯一性

2、函數(shù)極限的局部有界性

3、函數(shù)極限的局部保號性

4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

第四節(jié)：無窮小與無窮大

一、無窮小定義

定義：對一個數(shù)列?xn?，如果成立如下的命題： ???0??N??n?N?xn?注：

1、??? 則稱它為無窮小量，即limxn?0

x???的意義；

2、xn??可寫成xn?0??；?(0,xn)??

3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù)?，存在一個號碼N，使在這個號碼以后的所有的號碼n，相應(yīng)的xn與極限0的距離比這個給定的?還小。它是我們在直觀上對于一個數(shù)列趨于0的認(rèn)識。

定理1 在自變量的同一變化過程x?x0（或x??)中，函數(shù)f?x?具有極限A的充分必要條件是f(x)?A??，其中?是無窮小。

二、無窮大定義

一個數(shù)列?xn?，如果成立：

?G?0??N??n?N?xn?G那么稱它為無窮大量。記成：limxn??。

x?? 特別地，如果?G?0??N??n?N?xn?G，則稱為正無窮大，記成limxn???

x??特別地，如果?G?0??N??n?N?xn??G，則稱為負(fù)無窮大，記成limxn??? x??注：無法區(qū)分正負(fù)無窮大時就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。

三、無窮小和無窮大的關(guān)系

定理2 在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

1f(x)為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)?0則

1f(x)為無窮大

即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)xn?0時：有

lim?0?limx??1xnx????

lim???limx??1xnx???0

注意是在自變量的同一個變化過程中

第五節(jié)：極限運算法則

1、無窮小的性質(zhì)

設(shè)?xn?和?yn?是無窮小量于是：（1）兩個無窮小量的和差也是無窮小量：

limxn?0x??limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（2）對于任意常數(shù)C，數(shù)列?c?xn?也是無窮小量：

limxn?0?lim(c?xn)?0 x??x??（3）xn?yn也是無窮小量，兩個無窮小量的積是一個無窮小量。

limxn?0x????limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（4）?xn?也是無窮小量：

x?x0limxn?0?limxn?0

x?x0（5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。

2、函數(shù)極限的四則運算

1、若函數(shù)f和g在點x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0

2、函數(shù)f在點x0有極限，則對任何常數(shù)a成立

lim(a?f(x))?a?limx?x0x?x0f(x)

3、若函數(shù)f和g在點x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x03、若函數(shù)f和g在點x0有極限，并且limg(x)???0，則

x?x0limf(x)?f(x)?x?x0????

lim?

x?x0?g(x)?limg(x)???x?x0極限的四則運算成立的條件是若函數(shù)f和g在點x0有極限 例：求下述極限

lim

x?3x?3x?92limx?12x?3x?5x?42limx??3x?2x?12x?x?5322

4、limx??3x?4x?27x?5x?33232limx??sinxxlimx??2x?x?53x?2x?1232復(fù)合函數(shù)的極限運算法則

定理6 設(shè)函數(shù)y?f[g(x)}是由函數(shù)y?f(u)與u?g(x)復(fù)合而成，f[g(x)]在點x0的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(x)?u0，x?x00u?u0limf(u)?A，且存在?0?0，當(dāng)x?u(x0,?0)時，有

g(x)?u0，則

x?x0limf[g(x)]?limf(u)?Au?u0第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限

定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列?xn?、?yn?和?zn?，如果從某個號碼起成立：1）xn?yn?zn，并且已知?xn?和?zn?收斂，2）limxn?a?limzn，則有結(jié)論：

x??x??limyn?a

x??

定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。

單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。

例：證明：limx?0sinxx?1

例：

limx?0

例：證明：lim(1?x??tanxx

limx?01?cosxxlimx?0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1?)x的極限

x??x1x

第七節(jié)：無窮小的比較

定義：若?,?為無窮小

limlim????????0???c?0?c?0?1且

limlimlim

?K??高階、低階、同階、k階、等價?～?

1、若?,?為等價無窮小，則?????(?)

2、若?～?1、?～?1且

lim??11??11存在，則： lim???lim

例：

limx?0tan2xsin5x limx?0sinxx?3xlimx?0(1?x)3?1cosx?12

第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

一、函數(shù)在一點的連續(xù)性

函數(shù)f在點x0連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點的函數(shù)值f(x0)、左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)三者相等：

f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)

或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f在點x0有極限且此極限等于該點的函數(shù)值。

limf(x)?f(x0)

其形式定義如下：

x?x0???0???x(x?x0??)f(x)?f(x0)??

函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時裝意端點。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點)

連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線

二、間斷點

若：f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)中有某一個等式不成立，就間斷，分為：

1、第一類間斷點：

f(x0?0)?f(x0?0)

即函數(shù)在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個跳躍。、第二類間斷點x0：左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)兩者之中至少有一個不存在

例：見教材

第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

一、連續(xù)函數(shù)的四則運算

1.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?lim???f(x)???g(x)????f(x0)???g(x0)

x?x02limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?limx?x0?f(x)?g(x)??x?x0f(x0)?g(x0)

3.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)?0，x?x0?limx?xf(x)0g(x)?f(x0)g(x0)

x?Df是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)

反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)f:y?f(x)的，則存在它的反函數(shù)f并且連續(xù)的。

注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。

?1：x?f?1(y)y?Df并且f?1也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成

y?f?1(x)x?Df?1

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：

設(shè)函數(shù)f和g滿足復(fù)合條件?g?Df，若函數(shù)g在點x0連續(xù)；g(x0)?u0，又若f函數(shù)在點u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f?g在點x0連續(xù)。

注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換：

x?x0limf(g(x))?f(limg(x))

x?x0從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、最大、最小值

設(shè)函數(shù)：y?f(x),x?D在上有界，現(xiàn)在問在值域

D1??yy?f(x),x?D?

中是否有一個最大的實數(shù)？如果存在，譬如說它是某個點x0?D的函數(shù)值 y0?f(x0)，則記y0?max?f(x)?叫做函數(shù)在D上的最大值。

x?D

類似地，如果 Df中有一個最小實數(shù)，譬如說它是某個點x2?Df的函數(shù)值y2?f(x2)，則記y2?min

二、有界性

x?Df?f(x)?稱為函數(shù)在上的最小值。

有界性定理：如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則它在?a,b?上有界。

三、零點、介值定理

最大值和最小值定理：如果函數(shù) f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)則它在?a,b?上有最大值和最小值，也就是說存在兩個點?和?，使得

f(?)?f(x)?f(?),亦即

x??a,b?

f(?)?min x??a,b??f(x)?

f(?)?max?f(x)?

x??a,b? 若x0使f(x0)?0，則稱x0為函數(shù)的零點

零點定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f在區(qū)間?a,b?的兩個端點異號：f(a)*f(b)?0則至少有一個零點??(a,b)，使f(?)?0

中值定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個中間值。

作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。

第三篇：高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限練習(xí)題

設(shè)f(x)?2x1?x，求f(x)的定義域及值域。設(shè)f(x)對一切實數(shù)x1，x2成立f(x1?x2)?f(x1)f(x2)，且f(0)?0，f(1)?a，求f(0)及f(n)．(n為正整數(shù))定義函數(shù)I(x)表示不超過x的最大整數(shù)叫做x的取整函數(shù)，若f(x)表示將x之值保留二I(x)位小數(shù)，小數(shù)第3位起以后所有數(shù)全部舍去，試用法則保留2位小數(shù)，試用I(x)表示g(x)。表示f(x)。定義函數(shù)I(x)表示不超過x的最大整數(shù)叫做x的取整函數(shù)，若g(x)表示將x依4舍5入在某零售報攤上每份報紙的進價為0.25元，而零售價為0.40元，并且如果報紙當(dāng)天未售出不能退給報社，只好虧本。若每天進報紙t份，而銷售量為x份，試將報攤的利潤y表示為x的函數(shù)。定義函數(shù)I(x)表示不超過?(x)?x?I(x)的周期性。判定函數(shù)f(x)?(exx?xx的最大整數(shù)叫做x的取整函數(shù)，試判定?1)?ln(1?x?x)的奇偶性。設(shè)f(x)?esinx，問在0，???上f(x)是否有界？ 函數(shù)y?f(x)的圖形是圖中所示的折線OBA，寫出y?f(x)的表達(dá)式。? ?x，?x，0?x?2；0?x?4；設(shè)f(x)???(x)?? 求f??(x)?及??f(x)?． 2?x?4．4?x?6．?x?2，?x?2，??1，x?0；設(shè)f(x)???(x)?2x?1，求f??(x)?及??f(x)?． ?1，x?0．??ex，x?0；?0，x?0；求f(x)的反函數(shù)設(shè)f(x)???(x)??2?x，x?0．??x，x?0．g(x)及f??(x)?． 2設(shè)f(x)??x，x?0；(x?x)，?(x)??2求f??(x)?． 2?x，x?0．1?2?x，x?0；設(shè)f(x)??求f?f(x)?． ?2，x?0．?0，x?0；?x?1，x?1；設(shè)f(x)???(x)?? 求f(x)??(x)． ?x，x?0．?x，x?1．?ex，???x?0；?設(shè)f(x)??x?1，0?x?4；求f(x)的反函數(shù)?(x)． ?x?1，４?x???．??x，???x?1；?2設(shè)f(x)??x，1?x?4；求f(x)的反函數(shù)?(x)． ?x?2，4?x???．2??1?x，x?0；設(shè)f(x)??求： ???x，x?0．(1)f(x)的定義域；2(2)f(2)及f(a)．(a為常數(shù))。??1，x??1；?22設(shè)f(x)??x，x?1；求f(x?3)?f(sinx)?5f(4x?x?6)． ??1，x?1．?2x?1，x?0；設(shè)f(x)??2求f(x?1)． ?x?4，x?0．?x2，x?1；??設(shè)f(x)??，求f(cos)及f(sec)． 44?log2x，x?1．?1?x?0；?x?2，?設(shè)f(x)??0，x?0；試作出下列函數(shù)的圖形?x?2，x?0．?(1)y?f(x)；(2)y?f(x)；(3)y??f(x)?f(x)2． ：?2?x?0；??x，?設(shè)f(x)??1，x?0試作出下列函數(shù)的圖形??x?2，0?x?2?f(x)?f(?x)(1)y?f(x)；(2)y?f(?x)；(3)y?． 2 ：2??1?x,x?1；設(shè)f(x)?? 試畫出y?f(x)，y??f(x),y?f(x).的圖形。1?x?2．???x?1，?1?x?0，???(x)，設(shè)f(x)??求?(x)，使f(x)在??1，1?上是偶函數(shù)。2?0?x?1．?x?x，???(x)，當(dāng)x?0時，?設(shè)f(x)??0，當(dāng)x?0時，?1，當(dāng)x?0時．?x?x?(1)求f(2?cosx)；(2)求?(x)，使f(x)在(??，??)是奇函數(shù)。?1?x?0；?0，?設(shè)f(x)??x，0?x?1；F(x)?f(1?2x)，?2?x，1?x?2．?(1)求F(x)的表達(dá)式和定義域；(2)畫出F(x)的圖形。?0，?1?x?0;?設(shè)f(x)??x?1，0?x?1；求f(x)的定義域及值域。??2?x，1?x?2．?1?x，x?0；設(shè)f(x)??x求f(?2)、f(0)及f(2)的值。?2，x?0.2??x?x?1，x?1；設(shè)f(x)??求f(1?a)?f(1?a)，其中a?0． 2??2x?x，x?1求函數(shù)y?lnx?1的反函數(shù)，并作出這兩個函數(shù)的圖形。求函數(shù)y?sin(x??4)的反函數(shù)y??(x)，并作出這兩個函數(shù)的圖形（草圖）。求函數(shù)y?tan(x?1)的反函數(shù)y??(x)，并作出這兩個函數(shù)的圖形（草圖）。利用圖形的疊加作出函數(shù)y?x?sinx的圖形。利用圖形的疊加作出函數(shù)y?x?1x的圖形。作函數(shù)y?1x?1的圖形（草圖）。作函數(shù)y?ln(x?1)的圖形（草圖）。作函數(shù)y?arcsin(x?1)的圖形。（草圖）作出下列函數(shù)的圖形：（草圖）(1)y?x?1；(2)y??x；222(3)y?(x?1)．設(shè)函數(shù)y?lgax，就a?1和a??2時，分別作出其草圖。利用y?2的圖形（如圖）作出下x列函數(shù)的圖形（草圖）：(1)y?2x?1；(2)y?1x32． 利用y?sinx的圖形（如圖）作出下(1)y?sin2x；(2)y?sin(x?? 4)。列函數(shù)的圖形：（草圖）利用y?sinx的圖形（如圖）作出下列函數(shù)的圖形：（草圖）(1)y?(2)y?1212sinx；sinx?1 ?ππ2 x(??，??)的反函數(shù)，并指出其定義域。3x求函數(shù)y?ch(???x???)的反函數(shù)，并指出其定義域。3x求函數(shù)y?Sh(???x???)的反函數(shù)，并指出其定義域。3求函數(shù)y?ln求函數(shù)，y?ee2x2x?1?1的反函數(shù)，并指出其定義域。驗證1?cthx??驗證1?thx?221shx22。1chx驗證Ch(???)?Ch?Ch??Sh?Sh?。驗證Ch(???)?Ch?Ch??Sh?Sh?。驗證Sh(???)?Sh?Ch??Ch?Sh?。驗證Sh(???)?Sh?Ch??Ch?Sh?。驗證2Shx?Chx?Sh2x。證明Shx?Chx?Ch2x。設(shè)f(x)?arctanx(???x???)，?(x)?x?a，1?ax22(a?1，x?1)，驗證：f??(x)??f(x)?f(a)。x?1，求f??(x)?。設(shè)f(x)?1?lnx，?(x)?設(shè)f(x)?x1?x2，?(x)?x1x，求f??(x)?。設(shè)f(x)?sinx，?(x)?2，求f??(x)?、??f(x)?及f?f(x)?。設(shè)f(x)?x?1，?(x)?1x?12，求f??(x)?及??f(x)?。設(shè)f(x)?設(shè)f(x)?1?1?(x?0，x?1)，求f??及fx?1f(x)??x，?(x)?x?1x?122?f?f?x???。x?1x2，求f??(x)?及其定義域。已知f(x)?e，f??(x)??1?x，且?(x)?0，求?(x)，并指出其定義域。設(shè)f(x)?lnx，?(x)?1?x，求f??(x)?及f??(0)?。2設(shè)f(x)?arcsinx，?(x)?lgx，求f??(x)?及其定義域。求函數(shù)y?x?1(x??1)的反函數(shù)，并指出反函數(shù)的定義域。32求函數(shù)y?lgarccosx(?1?x?1)的反函數(shù)，并指出其定義域。求函數(shù)y?arctg求函數(shù)y?12(e?ea?xa?xx?x1?x的反函數(shù)。1?x)的反函數(shù)，并指出其定義域。求函數(shù)y?ln(a?0)的反函數(shù)的形式。求函數(shù)y?exx1?e的反函數(shù)，并指出其定義域。求函數(shù)y?xx?4x的反函數(shù)。求函數(shù)f(x)?1?1?x1?x1?x(x?1)的反函數(shù)?(x)，并指出?(x)的定義域。求函數(shù)f(x)?loga(x?設(shè)f(x)?e?exx?x1?x)的反函數(shù)?(x)(式中a?0，a?1)。2e?ex設(shè)f(x)?(0?x???)，試討論f(x)的單調(diào)性和有界性。1?x1討論函數(shù)f(x)?x?在區(qū)間(0，1)和(1，??)內(nèi)的單調(diào)性。xx討論函數(shù)f(x)?的有界性。21?x1討論函數(shù)f(x)?，當(dāng)x?(??，0)?(0，??)時的有界性。13?2xx討論函數(shù)f(x)?2在(??，??)上的單調(diào)性。討論函數(shù)f(x)?x?a?x，求f(x)的反函數(shù)?(x)，并指出其定義域.(a?1)在(??，??)上的單調(diào)性。討論函數(shù)f(x)?1?lnx在(0，??)內(nèi)的單調(diào)性。?1?x?1?x?2，設(shè)f(x)??，?(x)?f(a?x)?b 1?x?3?x?1，試求a，b的值，使?(x)(x?0除外)為奇函數(shù)。判斷f(x)?e?1e?1xxln1?x1?xx(?1?x?1)的奇偶性。證明f(x)?(2?23)?(2?3)是奇函數(shù)。2x判定f(x)?x?arccotx在其定義域(??，??)上的奇偶性。判定f(x)?3(1?3x)?3(1?3x)(???x???)的奇偶性。判定f(x)?ax?a22(a?0)(???x???)的奇偶性。?xG(x)與偶函數(shù)F(x),使f(x)?G(x)?F(x)。設(shè)f(x)?2exx1?e，求奇函數(shù)11設(shè)函數(shù)f(x)滿足4f(x)?2f()?，討論f(x)的奇偶性。xx判斷f(x)?loga(x?x?1)(a?0，a?1)的奇偶性。x2判定函數(shù)f(x)? aa2x?1(a?0，a?1)的奇偶性。設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y滿足關(guān)系式：　　f(x?y)?f(x)?f(y)(1)求f(0)；(2)判定函數(shù)f(x)的奇偶性。求f(x)?sinx?12sin2x?13sin3x的最小正周期。設(shè)f(x)是以T?2為周期的周期函數(shù)，且上的表達(dá)式。在?0，2?上f(x)?x?2x，求f(x)在??2，4?2求f(x)?sin3x?cosx的最小正周期。設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且滿足條件f(1)?a和f(x?2)?f(x)?f(2)。(1)試求f(2)及f(n)(n為正整數(shù))；(2)如果f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，試確定a的值。設(shè)F(x)?(x?x)e則F(x)?x?x?1(???x???)?(A)是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)；(B)是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)；(C)是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(D)非奇函數(shù)又非偶函數(shù)。答（）2 討論函數(shù)f(x)?1?2x1?x4在(??，??)的有界性。設(shè)f(x)是定義在(??，??)內(nèi)的任意函數(shù)，則f(x)?f(?x)是（）(A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)非奇非偶函數(shù)；(D)非負(fù)函數(shù)。下列函數(shù)中為非偶數(shù)函數(shù)的是（）(A)y?sinx?(C)y? 22?12?1xx；(B)y?arccosx；x?3x?4；(D)y?2 x?3x?4?x1?x2lg(x?1?x)2設(shè)f(x)?xx，(??，??)，則f(x)()(A)在(??，??)單調(diào)減；(B)在(??，??)單調(diào)增；(C)在(??，0)內(nèi)單調(diào)增，而在(0，??)內(nèi)單調(diào)減；(D)在(??，0)內(nèi)單調(diào)減，而在(0，??)內(nèi)單調(diào)增。答（）x?x f(x)?(e?e)sinx在其定義域(??，??)上是(A)有界函數(shù)；(B)單調(diào)增函數(shù)；(C)偶函數(shù)；(D)奇函數(shù)。答（）f(x)?sinx在其定義域(??，＋?)上是(A)奇函數(shù)；(B)非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；(C)最小正周期為2?的周期函數(shù)；(D)最小正周期為?的周期函數(shù)。答（）f(x)?cos(x?2)1?x2在定義域(??，??)上是(A)有界函數(shù)；(B)周期函數(shù)；(C)奇函數(shù)；(D)偶函數(shù)。答（）f(x)?(cos3x)在其定義域(??，??)上是(A)最小正周期為3?的周期函數(shù)；(B)最小正周期為2?的周期函數(shù)；3(C)最小正周期為2?3的周期函數(shù)；(D)非周期函數(shù)。答（）設(shè)f(x)????x3，?3?x?0?，則此函數(shù)是??x3，0?x?2(A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)有界函數(shù)；(D)周期函數(shù)。答（）設(shè)f(x)???sin3x，???x?0?，則此函數(shù)是???sin3x，0?x??(A)周期函數(shù)；(Ｂ)單調(diào)減函數(shù)；(C)奇函數(shù);(D)偶函數(shù)。答（）f(x)?x(ex?e?x)在其定義域(??，??)上是(A)有界函數(shù)；(B)奇函數(shù)；(C)偶函數(shù)；(D)周期函數(shù)。答（）函數(shù)f(x)?lna?xa?x(a?0)是(A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)非奇非偶函數(shù)；(D)奇偶性決定于a的值　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函數(shù)中為非奇函數(shù)的是x(A)y?2?1；(B)y?lg(x?1?x2)；2x?1(C)y?xarccosx；(D)y?x2?3x?7?x2?3x?71?x2 答（）關(guān)于函數(shù)y??1x的單調(diào)性的正確判斷是1x1x1x1x單調(diào)增；單調(diào)減；單調(diào)減；當(dāng)x?0時，y??單調(diào)增；當(dāng)x?0時，y??1x1x單調(diào)增；單調(diào)增。(A)當(dāng)x?0時，y??(B)當(dāng)x?0時，y??(C)當(dāng)x?0時，y??(D)當(dāng)x?0時，y?? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函數(shù)中（其中?x?表示不超過x的最大整數(shù)），非周期函數(shù)的是(A)y?sinx?cos?x；(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(A)y?xtan(sinx)；(B)y?xcos(x?(C)y?cos(arctanx)；(D)y?2?2x22?4)； ?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（）求函數(shù)y?arcsin(lg確定函數(shù)y?arccosx102x)的定義域及值域。的定義域及值域。1?x求函數(shù)y?lg(1?2cosx)的定義域及值域。求函數(shù)y?2?x?x的定義域及值域。22f(x)已知f(x)是二次多項式，且f(x?1)?f(x)?8x?3，f(0)?0，求。圖中圓錐體高OH = h，底面半徑HA = R，在OH上任取一點P（OP = x），過P作平面?垂直于OH，試把以平面?為底面的圓錐體的體積V表示為x的函數(shù)。設(shè)一球的半徑為r，作外切于球的圓錐，試將圓錐體積V表示為高h(yuǎn)的函數(shù)，并指出其定義域。在半徑為R的球內(nèi)嵌入一內(nèi)接圓柱，試將圓柱的體積表示為其高的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域。在半徑為20厘米的圓內(nèi)作一個內(nèi)接矩形，試將矩形的面積表示成一邊長的函數(shù)。135生產(chǎn)隊要用籬笆圍成一個形狀是直角梯形的苗圃（如圖），它的相鄰兩面借用夾角為?的兩面墻（圖中AD和DC），另外兩面用籬笆圍住，籬笆的總長是30米，將苗圃的面積表示成AB的邊長x的函數(shù)。有一條由西向東的河流，經(jīng)相距150千米的A、B兩城，從A城運貨到B城正北20千米的C城，先走水道，運到M處后，再走陸道，已知水運運費是每噸每千米3元，陸運運費是每噸每千米5元，求沿路線AMC從A城運貨到C城每噸所需運費與MB之間的距離的函數(shù)關(guān)系。由直線y?x，y?2?x及x軸所圍成的等腰三角形OAB。在底邊上任取一點x?[0 , 2]，過x作垂直x軸的直線，試將圖上陰影部分的面積表示成x的函數(shù)。旅客乘火車可免費攜帶不超過20千克的物品，超過20千克，而不超過50千克的部分，每千克交費0.20元，超過50千克部分每千克交費0.30元，求運費與攜帶物品重量的函數(shù)關(guān)系。設(shè)有一塊邊長為a的正方形鐵皮，現(xiàn)將它的四角剪去邊長相等的小正方形后，制作一個無蓋盒子，試將盒子的體積表示成小正方形邊長的函數(shù)。等腰直角三角形的腰長為l（如圖），試將其內(nèi)接矩形的面積表示成矩形的底邊長x的函數(shù)。在底AC = b，高BD = h的三角形ABC中，內(nèi)接矩形KLMN（如圖），其高為x，試將矩形的周長P和面積S表示為x的函數(shù)。設(shè)M為密度不均勻的細(xì)桿OB上的一點，若OM的質(zhì)量與OM的長度的平方成正比，又已知OM = 4單位時，其質(zhì)量為8單位，試求OM的質(zhì)量與長度間的關(guān)系。等腰梯形ABCD（如圖），其兩底分別為AD = a和BC = b，（a > b），高為h。作直線MN // BH，MN與頂點A的距離AM = x(的面積S表示為x的函數(shù)。a?ba?b?x?)，將梯形內(nèi)位于直線MN左邊22 建一蓄水池，池長50 m，斷面尺寸如圖所示，為了隨時能知道池中水的噸數(shù)（1立方米水為1噸），可在水池的端壁上標(biāo)出尺寸，觀察水的高度x，就可以換算出儲水的噸數(shù)T，試列出T與x的函數(shù)關(guān)系式。設(shè)　f(x)?arcsin(lg設(shè)　f(x)?arcsinx10x?32)，求f(x)的定義域.?ln(4?x),　求f(x)的定義域.2設(shè)　f(x)?設(shè)f(x)?2?x?6?5x?x?lg(x?5x?6)，求f(x)的定義域。21，求f(x)的定義域.lg(1?x)設(shè)f(x)?lg(1?2cosx)，求f(x)的定義域。設(shè)　f(x)?lgx?12x?1，求f?x?的定義域。2 9?x2x?1設(shè)　f(x)??srcsin，求f(x)的定義域ln(x?2)4設(shè)　?(t)?t322。2??(t)?　???(t)? 設(shè)　f(x?2)?x?2x?3 求f(x)及f(x?h).?1　求?(t)?1?x1,求f(2)，f(a),　f()，f??。1?xa?f(x)?設(shè)　f(x)?設(shè)　f(x)?設(shè)　f(sin1?x1　求f()及f?f(x)?.設(shè)　f(x?1)?x?2x,求f(x).1?xxx)?1?cosx, 求f(cos222x).2設(shè)　2f(x)?xf(1x?2x，求f(x)。)?xx?121x設(shè)　f(x?)?(x?0), 求f(x)。4xx?1設(shè)　z?x?y?f(x?y), 且當(dāng) y?0 時 , z?x , 求f(x)及z。設(shè)　f(t)?e , 證明　t2f(x)f(y)?f(x?y)。2設(shè)F(x)?lg(x?1), 證明當(dāng) y?1 時有F(y設(shè)f(x)?ln?2)?F(y?2)?F(y)。y?z1?x,證明f(y)?f(z)?f()1?x1?yz(式中y?1,z?1).設(shè)f(x)?2x?2,求f(2),f(?2),f(5)。2t1x2設(shè)f()?x(),求f(x)。xx?12設(shè)f(t)?2t2?22?51?5t , 證明f(t)?f()。tt設(shè)f(x?1)?x　 ,　求f(2x?1)。t1設(shè)y?f(t?x)，且當(dāng)x?2 時，y?x222?2t?5，求f(x)。設(shè)f(lnx)?x?x?2，0?x???，求f(x)及其定義域設(shè)f(1)?x(1?xx2。?1)(x?0)，求f(x)。1x?x設(shè)f(x?)?(x?0)，求f(x)。42xx?3x?13設(shè)f(x)?x1?x22，求f(1?x)(x??1)。1?x設(shè)f(x)?ax?bx?c，計算f(x?3)?3f(x?2)?3f(x?1)?f(x)?1的值，其中a，b，c是給定的常數(shù)。設(shè)f(x)?a?bx?c(x?0，abc?0), xm)?f(x)，對一切x?0成立。x求數(shù)m，使f(設(shè)f(x)?lgx?5, x?5(1)確定f(x)的定義域；(2)若f?g(x)??lgx，求g(2)的值。設(shè)y?1?a?f(x?1)滿足條件，求f(x)及y.y|a?0?x及y|x?1?2, 設(shè)f(x)?設(shè)f(x)?25?x22?arctan1x，求f(x)的定義域。lgx?5x62，求f(x)的定義域。設(shè)f(x)?設(shè)f(x)?2?x1?x，求f(x)的定義域16?x2。sinx?，求f(x)的定義域F(x)設(shè)f(x)的定義域為?a．b?，F(xiàn)(x)?f(x?m)?f(x?m)，(m?0)，求的定義域。求函數(shù)f(x)?arccos2x1?x?1?x?2x2的定義域。設(shè)f(x)?ln?1?，求f(x)?f??的定義域。2?x?x?2x?1522?x設(shè)f(x)?arcsin?sin?x，求f(x)的定義域2。設(shè)f(x)?2?xx2?ln(x?x)，求f(x)的定義域。f(x)?log2(logf(x)?2xx2x)的定義域是_________________。的定義域是________________。2x?13?3x?2函數(shù)f(x)?arcsin的定義域用區(qū)間表示為______________。函數(shù)f(x)?1x?x的定義域用區(qū)間表示為________________。函數(shù)f(x)?arccos(2x?1)的定義域用區(qū)間表示為_____________。函數(shù)f(x)?x(x?4)的定義域是_____________。2函數(shù)f(x)?ln(6?x?x)的定義域用區(qū)間表示為______________。函數(shù)f(x)?1ln(x?4)的定義域用區(qū)間表示為_____________。設(shè)f(x)?函數(shù)f(x)?x?1?ln(2?x)，則f(x)的定義域用區(qū)間表示為。2?xx?2的定義域用區(qū)間表示為_______________。設(shè)f(x)?arcsin2?x，則f(x)的定義域用區(qū)間表示為______________。2設(shè)f(x)的定義域是(0,1)，則f(1?x)的定義域是________________。設(shè)f(x)?lnx，?(x)?arcsinx，則f[?(x)]的定義域是________________。2設(shè)f(x)的定義域是[0，4），則f(x)的定義域是______________。?1?設(shè)f(x)的定義域是(1 , 2]，則f??的定義域是______________。x?1??設(shè)f(x)的定義域是（0，1），則f(lgx)的定義域是______________。函數(shù)f(x)?sin(arcsinx)與函數(shù)g(x)?arcsin(sinx)是否表示同一函數(shù)？為什么？ 2函數(shù)f(x)?ln(x?2x?1)與函數(shù)g(x)?2ln(x?1)是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?cos(arccos函數(shù)f(x)?(1?cosx)2x)與函數(shù)g(x)?x是否表示同一函數(shù)？為什么？ 12與函數(shù)g(x)?sinx是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?x?1x?12與函數(shù)g(x)?lgx11?x是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?10函數(shù)f(x)?3與函數(shù)g(x)?x是否表示同一函數(shù)？為什么？ 33與函數(shù)g(x)?xx?1是否表示同一函數(shù)？為什么？ x4?x函數(shù)f(x)?x?1x?2x與函數(shù)g(x)?lnxx?1x?2是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?lne與函數(shù)g(x)?e函數(shù)f(x)?x2是否表示同一函數(shù)？為什么？ 1x2?1?x與函數(shù)g(x)?是否表示同一函數(shù)？為什么？ ?1?x設(shè)f(x)?1?x1?x，確定f(x)的定義域及值域。

第四篇：高等數(shù)學(xué)第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

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教師姓名：________________________

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2004年9月1至2005年1月10

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第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)

第一節(jié) 函數(shù)概念

1、內(nèi)容分布圖示

★ 集合的概念

★ 集合的運算

★ 區(qū)間

★ 例

1★ 鄰域

★ 例2

★ 常量與變量

★ 函數(shù)概念

★ 例

3★ 例

4★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 分段函數(shù)舉例

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 函數(shù)關(guān)系的建立

★ 例 12

★ 例 13

★ 例 14

★ 函數(shù)特性

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-1

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1解下列不等式,并將其解用區(qū)間表示.(1)|2x?1|?3;(2)|3x?2|?3;(3)0?(x?1)2?9.講解注意：

例2將點12的鄰域表示為不帶絕對值的不等式.33

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例3函數(shù)y?2.講解注意：

例4絕對值函數(shù)y?|x|??x,x?0??x,x?0?

講解注意：

例5下面是幾個常見的表格.(1)2002年2月21日國務(wù)院公布的利率表.如表1.1.1.表1.1.1時間年利率(%)3個月6個月1年1.711.891.982年2.253年2.525年2.79(2)國民生產(chǎn)總值統(tǒng)計表《中國統(tǒng)計年鑒((2001)》).如表1.1.2.表1.1.2年份生產(chǎn)總值(億元)******.966850.573142.776967.280579.488189.6

講解注意：

例6下面是幾個常見的圖形.(1)兩位患者的心電圖.見圖1.1.1.圖1.1.1(2)1995?2000年天津市人才市場狀況圖《天津年鑒((2001)》).見圖1.1.2.高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

人數(shù)(人)55 00044 00033 00022 00011 00001995達(dá)成意向人次進場人次***92000年份圖1.1.2

講解注意：

例7下面是幾個常見的公式.(1)自由落體運動的距離公式:12gt,g為常數(shù)2(2)成本函數(shù)(costfunctiong):C(x)?C0?C1(x),其中C0為S?固定成本;C1(x)為可變成本;x為生產(chǎn)量.講解注意：

例8判斷下面函數(shù)是否相同,并說明理由,畫圖表示.(1)y?x2與y?|x|;(2)y?1與y?sin2x?cos2x(3)y?2x?1與x?2y?1.講解注意：

例9求函數(shù)y ?講解注意：

121?x ?x?2的定義域.例10設(shè)f(x)??講解注意：

?1,0?x?1??2,1?x?2,求函數(shù)f(x?3)的定義域.高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例11求函數(shù)f(x)?講解注意：

lg(3?x)sinx?5?4x?x2的定義域.例12把一半徑為R的圓形鐵片,自中心處剪去圓心角為?的扇形后,圍成一無底圓錐,試將圓錐的體積V表為?的函數(shù).講解注意：

例13某工廠生產(chǎn)某型號車床,年產(chǎn)量為a臺,分若干批進行生產(chǎn),每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費為b元,設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場,且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批,即平均庫存量為批量的一半.設(shè)每年每臺庫存費為c元.顯然,生產(chǎn)批量大則庫存費高;生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多,因而生產(chǎn)準(zhǔn)備費高.為了選擇最優(yōu)批量,試求出一年中庫存費與生產(chǎn)準(zhǔn)備費的和與批量的函數(shù)關(guān)系.講解注意：

例14某運輸公司規(guī)定貨物的噸公里運價為:在a公里以內(nèi),每公里k元,超過部分每公里為數(shù)關(guān)系.講解注意：

例15證明(1)函數(shù)y?(2)函數(shù)y?xx2?1在(??,??)上是有界的;4k元.求運價m和里程s之間的函5

1在(0,1)上是無界的.x2

講解注意：

例16證明函數(shù)y?講解注意：

x在(?1,??)內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù).1?x

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例17判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)?ex?1ex?1ln1?x1?x?1?x?1;(2)f(x)?(2?3)x?(2?3)x;(3)f(x)?lg(x?1?x2);(4)f(x)?(x2?x)sinx.講解注意：

例18設(shè)f(x)滿足af(x)?bf|a|?|b|,證明f(x)是奇函數(shù).c?,其中a,b,c為常數(shù),且(1)xx

講解注意：

?1,x?Q7,求D?,D(1?例19設(shè)D(x)??5?0,x?Q()2).并討論D(D(x))的性質(zhì).講解注意：

例20若f(x)對其定義域上的一切x,恒有f(x)?f(2a?x),則稱f(x)對稱于x?a.證明:若f(x)對稱于x?a及x?b(a?b),則f(x)是以T?2(b?a)為周期的周期函數(shù).講解注意：

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第二節(jié) 初等函數(shù)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 反函數(shù)

★ 例★ 例2 ★ 復(fù)合函數(shù)

★ 例★ 例4

★ 例★ 例6

★ 例7

★ 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

★ 三角函數(shù)

★ 反三角函數(shù)

★ 初等函數(shù)

★ 函數(shù)圖形的迭加與變換

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-2

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求函數(shù)y?1?1?1?4x1?4x的反函數(shù).講解注意：

例2已知?1,x?0?sgnx??0,x?0,sgnx為符號函數(shù),??1,x?0?求y?(1?x2)sgnx的反函數(shù).講解注意：

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例3將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合.(1)y?lnsin2x;(2)y?earctanx2;(3)y?cos2ln(2?1?x2).講解注意：

例4設(shè)f(x)?x?1,?(x)?x2,求f[?(x)]及?[f(x)],并求它們的定義域.講解注意：

例5設(shè)求f[?(x)].f(x)??e??xx,x?1,x?1,??x?2,(x)??2?x?1,x?0x?0，講解注意：

例6設(shè)fx?講解注意：

(11?x2?2,求f(x).xx)

例7設(shè)f(x)?ln(3?x)?的定義域(a?0).149?x2,求g(x)?f(x?a)?f(x?a)

講解注意：

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第三節(jié) 經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 單利與復(fù)利

★ 例1

★ 多次付息

★ 貼現(xiàn)

★ 例2 ★ 需求函數(shù)

★ 供給函數(shù)

★ 市場均衡

★ 例

3★ 例4 ★ 成本函數(shù)

★ 例5

★ 收入函數(shù)與利潤函數(shù)

★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-3

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1現(xiàn)有初始本金100元,若銀行年儲蓄利率為7%,問：(1)按單利計算,3年末的本利和為多少?(2)按復(fù)利計算,3年末的本利和為多少?(3)按復(fù)利計算,需多少年能使本利和超過初始本金的一倍?

講解注意：

例2某人手中有三張票據(jù),其中一年后到期的票據(jù)金額是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知銀行的貼現(xiàn)率6%,現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀行做一次性轉(zhuǎn)讓,銀行的貼現(xiàn)金額是多少?

講解注意：

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例3某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為qd?25P?10,qs?200?5P求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量.講解注意：

例4某批發(fā)商每次以160元/臺的價格將500臺電扇批發(fā)給零售售商,在這個基礎(chǔ)上零售商每次多進100臺電扇,則批發(fā)價相應(yīng)降低2元,批發(fā)商最大批發(fā)量為每次1000臺,試將電扇批發(fā)價格表示為批發(fā)量的函數(shù),并求出零售商每次進800臺電扇時的批發(fā)價格.講解注意：

例5某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,每日最多生產(chǎn)200單位.它的日固定成本為150元,生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品的可變成本為16元.求該廠日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù).講解注意：

例6某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為q臺,每臺售價500元,當(dāng)年產(chǎn)量超過800臺時,超過部分只能按9折出售.這樣可多售出200臺,如果再多生產(chǎn).本年就銷售不出去了.試寫出本年的收益(入)函數(shù).講解注意：

例7已知某廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品時,可變成本為15元,每天的固定成本為2000元,如這種產(chǎn)品出廠價為20元,求(1)利潤函數(shù);(2)若不虧本,該廠每天至少生產(chǎn)多少單位這種產(chǎn)品.講解注意：

例8某電器廠生產(chǎn)一種新產(chǎn)品,在定價時不單是根據(jù)生產(chǎn)成本而定,還要請各銷售單位來出價,即他們愿意以什么價格來購買.根據(jù)調(diào)查得出需求函數(shù)為x??900P?45000.該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是270000元,而單位產(chǎn)品的變動成本為10元.為獲得最大利潤,出廠價格應(yīng)為多少?

講解注意：

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例9已知某商品的成本函數(shù)與收入函數(shù)分別是C?12?3x?x2R?11x試求該商品的盈虧平衡點,并說明盈虧情況.講解注意：

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第四節(jié) 數(shù)列的極限

1、內(nèi)容分布圖示

★ 極限概念的引入

★ 數(shù)列的意義 ★ 數(shù)列的極限

★ 例1

★ 例

2★ 例

3★ 例

4★ 例

5★ 例6 ★ 收斂數(shù)列的有界性

★ 極限的唯一性

★ 例7

★ 收斂數(shù)列的保號性

★ 子數(shù)列的收斂性

★ 內(nèi)容小結(jié)

★習(xí)題1-4

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1證明limn?(?1)n?1n?1.n??

講解注意：

例2證明limqn?0,其中q?1.n??

講解注意：

例3用數(shù)列極限定義證明5?2n2??.n??1?3n3lim

講解注意：

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n2?2?1.例4用數(shù)列極限定義證明lim2n??n?n?1

講解注意：

例5設(shè)xn?0,且limxn?a?0,求證limn??n??xn?a.講解注意：

例6證明:若limxn?A,則存在正整數(shù)N,當(dāng)n?N時,不等式n??|xn|?|A|2成立.講解注意：

例7證明數(shù)列xn?(?1)n?1是發(fā)散的.講解注意：

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第五節(jié) 函數(shù)的極限

1、內(nèi)容分布圖示

★ 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

★ 例★ 例★ 例3 ★ 自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

★ 例★ 例5

★ 左右極限

★ 例6

★ 例7 ★ 函數(shù)極限的性質(zhì)

★ 子序列收斂性 ★ 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-5

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1證明lim講解注意：

sinx?0.x??x

例2用函數(shù)極限的??X定義證明limx??x?2?1.x?1

講解注意：

例3(1)lim12xx????0;(2)lim2x?0.x???

講解注意：

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例4證明limx2?1?2.x?1x?1

講解注意：

例5證明:當(dāng)x0?0時,lim講解注意：

x?x0x?x0.例6設(shè)f(x)??講解注意：

例7驗證lim?1?x,x?0?1,x?0?x2,求limf(x).x?0

x?0x不存在.x

講解注意：

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第六節(jié) 無窮大與無窮小

1、內(nèi)容分布圖示

★ 無窮小

★ 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系

★ 例1 ★ 無窮小的運算性質(zhì)

★ 例2 ★ 無窮大

★ 無窮大與無界變量

★ 無窮小與無窮大的關(guān)系

★ 例3

★ 內(nèi)容小結(jié)

★習(xí)題1-6

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

1例1根據(jù)定義證明:y?x2sinx當(dāng)x?0時為無窮小.講解注意：

例2求lim講解注意：

x??sinx.x

x4.例3求lim3x??x?5講解注意：

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第七節(jié) 極限運算法則

1、內(nèi)容分布圖示

★ 極限運算法則

★ 例1

★ 例2 –3

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11 ★ 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則

★ 例 12

★ 例 13

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-7

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求x3?1xlim?2x2?3x?5.講解注意：

例2求lim4x?1x2?2x?3.x?1

講解注意：

例3求limx2?1.x?1x2?2x?3

講解注意：

★ 例 14

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例4求lim講解注意：

2x3?3x2?57x3?4x2?1x??.例5求lim講解注意：

x??12n?????222nnn

例6計算下列極限:x?1lim(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)334.講解注意：

例7計算下列極限:?12?lim???.x?1?1?x21?x?

講解注意：

例8計算下列極限:3x??lim8x3?6x2?5x?1.3x?2

講解注意：

例9計算下列極限:x???lim(sinx?1?sinx).講解注意：

例10求lim(x2?x?x2?x).x??8

講解注意：

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例11計算下列極限:3(1)limn??n2sinn!;n?1(2)x?0limtanx12?ex.講解注意：

例12已知?x?1,?f(x)??x2?3x?1,??x3?1x???x?0x?0求limf(x),limf(x),limf(x).x?0x???

講解注意：

例13求極限limlnx?1[x2?1.2(x?1)]

講解注意：

例14已知lim(5x?ax2?bx?c)?2,求a,b之值.x???

講解注意：

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第八節(jié) 極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限

1、內(nèi)容分布圖示

★夾逼準(zhǔn)則★例1★例2★單調(diào)有界準(zhǔn)則★例4★limsinx?1x?0x★例6★例7★例9★例10 x★xlim??(1?1x)?e★例12 ★例13 ★例15 ★例16 ★例17 柯西極限存在準(zhǔn)則★連續(xù)復(fù)制★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題1-8★返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求nlim1??n2?1?1n2?2???1n2?n?

講解注意：

例2計算下列極限:(1)lim(1nn???2?3n1)n;(2)1nlim??n2?1(n?1)2???1(n?n)2?

講解注意：

★例3★例5★例8★例11★例14★例18

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例3證明下列極限:n?0(a?1);n??anan(2)lim?0(a?0);n??n!n!(3)limn?0.n??n(1)lim

講解注意：

例4證明數(shù)列xn?3?3???3(n重根式)的極限存在.講解注意：

例5設(shè)a?0為常數(shù),數(shù)列xn由下式定義:xn?1axn?1?xn?12n??

(n?1,2,??)其中x0為大于零的常數(shù),求limxn.講解注意：

例6求lim講解注意：

tan3x.x?0sin5x

例7求lim講解注意：

x?01?cosx.x2

例8下列運算過程是否正確:x??limxtanxtanxxtanx?lim??limlim?1.sinxx??xsinxx??xx??sinx

講解注意：

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例9計算lim講解注意：

cosx?cos3x.2x?0x

例10計算lim講解注意：

x21?xsinx?cosxx?0.例11計算lim講解注意：

x?02?tanx?2?sinx.x3

1例12求lim1?xx??講解注意：

().x

例13計算下列極限:limx?01x(1?2x);

講解注意：

例14求lim1?n??(1n)n?3.講解注意：

例15求lim講解注意：

x??(x2x2?1)x.例16計算limxx??0cosx.高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

講解注意：

例17計算lim(e?x?0x1xx).講解注意：

tan2x.例18求極限lim(tanx)x??4

講解注意：

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第九節(jié) 無窮小的比較

1、內(nèi)容分布圖示

★ 無窮小的比較

★ 例1-2

★ 例3 ★ 常用等價無窮小

★ 等價無窮小替換定理

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-9 ★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1證明:當(dāng)x?0時,4xtan3x為x的四階無窮小.講解注意：

例2當(dāng)x?0時,求tanx?sinx關(guān)于x的階數(shù).講解注意：

例3當(dāng)x?1時,試將下列各量與無窮小量x?1進行比較:(1)x3?3x?2;(2)lgx;(3)(x?1)?sin1.x?1

講解注意：

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例4求limx?0tan2x.sin5x

講解注意：

例5求limtanx?sinx.sin32xx?0

講解注意：

(1?x2)1/3?1.例6求limx?0cosx?1

講解注意：

例7計算lim1?tanx?1?tanx1?2x?1.x?0

講解注意：

ex?excosx.例8計算limx?0xln(1?x2)講解注意：

例9計算lim講解注意：

x?02?1?cosx.sin2x

例10求lim講解注意：

x?0ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2).secx?cosx

例11求limx?0tan5x?cosx?1.sin3x

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講解注意：

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第十節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

1、內(nèi)容分布圖示

★ 函數(shù)的連續(xù)性

★ 例

1★ 例2 ★ 左右連續(xù)

★ 例3

★ 例

4★ 例5 ★ 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

★ 例6

★ 函數(shù)的間斷點

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 例 12

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-10

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

?xsin1,x?0,?x例1試證函數(shù)f(x)??在x?0處連續(xù).?x?0,?0，講解注意：

例2f(x)是定義于[a,b]上的單調(diào)增加函數(shù),x0?(a,b),若x?x0limf(x)存在,證明f(x)在x0連續(xù).講解注意：

?x?2,x?0,()fx3?例討論在x?0處的連續(xù)性.??x?2,x?0，高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

講解注意：

?1?x,x?0?2?x?0在x?0和x?1處的連例4討論函數(shù)f(x)??0,?1?x2,0?x?1?x?1?4?x,續(xù)性.講解注意：

?x4?ax?b,x?1,x??2,?例5設(shè)f(x)??(x?1)(x?2)為使f(x)在x?1?x?1,?2,處連續(xù),a與b應(yīng)如何取值?

講解注意：

例6證明函數(shù)y?sinx在區(qū)間(??,??)內(nèi)連續(xù).講解注意：

例7討論函數(shù)f(x)????x,x?0,?1?x,x?0,在x?0處的連續(xù)性.講解注意：

例8討論函數(shù)?2x,0?x?1?f(x)??1,x?1?x?1?1?x,在x?1處的連續(xù)性.講解注意：

?1,x?0,?x例9討論函數(shù)f(x)??在x?0處的連續(xù)性.,0,xx??

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例10求下列函數(shù)的間斷點,并判斷其類型.若為可去間斷點,試補充或修改定義后使其為連續(xù)點.?x2?x?|x|(x2?1),f(x)???0,?x??1及0x??1

講解注意：

?x?sin1,x?0,?x例11研究f(x)??在x?0的連續(xù)性.?ex??,x?0,?

講解注意：

x?x2e?nx例12討論f(x)?lim的連續(xù)性.n??1?e?nx

講解注意：

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第十一節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運算

★ 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

★ 例1★ 初等函數(shù)的連續(xù)性

★ 例

3★ 例★ 例4

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ★ 最大最小值定理與有界性定理

★ 零點定理與介值定理

★ 例5

★ 例6

★ 例7

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)★習(xí)題1-11 ★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求nlim??cos(x?1?x).講解注意：

例2求limln(1?x)x?0x.講解注意：

例3求limx?1sinex?1.講解注意：

★ 例8

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例4求lim(x?2ex?01xx?1).講解注意：

例5證明方程x3?4x2?1?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個根.講解注意：

例6證明方程內(nèi)的兩個實根.111???0有分別包含于(1,2),(2,3)x?1x?2x?3

講解注意：

例7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)?a,f(b)?b證明:???(a,b),使得f(?)??.講解注意：

例8設(shè)f(x)在[a,??)上連續(xù),f(a)?0,且limf(x)?A?0,x???證明:在(a,??)上至少有一點?,使f(?)?0.講解注意：

第五篇：高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限連續(xù)練習(xí)題及解析

數(shù)學(xué)任務(wù)——啟動——習(xí)題

1一、選擇題：

(1)函數(shù)y??x?arccosx?1的定義域是()

2(A)x?1;(B)?3?x?1(C)??3,1?(D)xx?1?x?3?x?

1(2)函數(shù)y?xcosx?sinx是()

(A)偶函數(shù)(B)奇函數(shù)(C)非奇非偶函數(shù)(D)奇偶函數(shù)

(3)函數(shù)y?1?cos?????

2x的最小正周期是()

(A)2?(B)

(4)與y??(C)4(D)1 2x2等價的函數(shù)是()

(A)x;(B)?x?(C)x?(D)23x

?x?1?1?x?0(5)f?x???,則limf?x??()x0?x?1x?0?

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空題：

(1)若f????1?

?t?5?2t2,則f?t??_________,ft2?1?__________.t??

??

1(2)??t????sinx??????3，則??????______。???______,??6??6?x?

30,1?，則fx2的定義域為______，f?sinx?的定義域為x??(3)若f?x?的定義域為??

______，f?x?a??a?0?的定義域為___，f?x?a??f?x?a??a?0?的定義域為______。

1?4x

2(4)lim。?__________

12x?1x??2

(5)無窮小量皆以______為極限。

三、計算題

(1)證明函數(shù)y?11sin在區(qū)間?0,1?上無界，但當(dāng)x??0時，這個函數(shù)不是無窮大。xx

(2)求下列極限(1)lim2x3?3x2?5

x??7x3?4x2?1

(3)lim?tanx?tan2x

x??

(5)limex?1

x

x?0

(7)lim?xsinx?1

x?0x2arctanx

(2)lim1?cos2x x?0xsinx(4)lim?1?2n?3n1n n??(6)limtanx?sinxx?0sin32x ?1(8)limx??ex?1??x?????

(3)設(shè)f?x???

?1?xx?0，求limf?x?。2x?0?x?1x?0

(4)證明數(shù)列2,2?2,2?2?2,??的極限存在，并求出該極限。

f(x)?2x3f(x)?2,lim?3, 求f(x)(5)設(shè)f(x)是多項式, 且lim2x??x?0xx

(6)證明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一個正根，并且它不超過a?b。

x2?ax?b?2,求:a,b.(7).lim2x?2x?x?2