第一篇：初中數學之韋達定理

初中數學之韋達定理

韋達定理：對于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果方程有兩個實數根

bcx1,x2，那么x1?x2??,x1x2? aa

說明：定理成立的條件??0

1.不解方程寫出下列方程的兩根和與兩根差

（1）x2?3x?10?0（2）3x2?5x?1?0（3）2x?43x?22?0

2.如果一元二次方程x2?mx?n?0的兩根互為相反數，那么m；如果兩根互為倒數，那么n=.3.若兩數和為3，兩數積為－4，則這兩數分別為224.已知方程2x2?3x?4?0的兩根為x1，x2，那么x1?x2

5.若方程x2?6x?m?0的一個根是3?2，則另一根是，m的值是 6.已知方程x2?3x?2?0的兩根為x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12?x2；2（2）11 ?x1x2

（3）(x1?x2)2?；（4）(x1?1)(x2?1)7.已知關于x的方程x2?(5k?1)x?k2?2?0，是否存在負數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于4？若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。

8.關于x的方程2x2?8x?p＝０有一個正根，一個負根，則p的值是（）

（A）0（B）正數（C）－8（D）－4

9.已知方程x2?2x?1=0的兩根是x1，x2，那么x12x2?x1x22?1?（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2?x?3?0的兩根為x1，x2，那么?=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2?(a2?3a?10)x?4a?0的兩根互為相反數，則a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x2?3x?4?0的兩根是x1，x2，那么(x1?1)(x2?1)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分別以方程x?2x?1=0兩根的平方為根的方程是（）

（A）y2?6y?1?0（B）y2?6y?1?0

（C）y2?6y?1?0（D）y2?6y?1?0

第二篇：韋達定理教案

教案：韋達定理

一、教學目標

1．通過根與系數的關系的發現與推導，進一步培養學生分析、觀察、歸納、猜想的能力和推理論證的能力；

2．通過本節課的學習，向學生滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規律。培養邏輯思維及創新思維能力。

二、教學重點、難點

1．教學重點：根與系數的關系的發現及其推導． 2．教學難點：韋達定理的靈活應用．

三、教學過程

（一）定理的發現及論證提出問題：已知?，?是方程2x2?3x?1?0的兩根，如何求?3??3的值

1.你能否寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別為 1）2和3 2）—4和7

問題1：從求這些方程的過程中你發現根與各項系數之間有什么關系？

觀察、思考、探索：2x-5x+3=0,這個方程的兩根之和，兩根之積與各項系數之間有什么關系？請猜想？ 2問題2；對于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具備這個特征？

22結論1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1?x2??bc,x1x2? aa結論2．如果方程x+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2結論1具有一般形式，結論2有時給研究問題帶來方便．

（二）定理的應用

例

1、關于x的方程x-2x+m=0 的一根為2，求另一根和m的值。2例2.已知?,?是方程2x2?3x?1?0的兩根,不解方程，求下列各式的值.11(1)?(2)(??1)(??1)??

(3)?2??2（5）???33(4)|???|例

2、已知x1,x2是關于x的方程x2?6x?k?0的兩個實數根且x1x2?(x1?x2)?115，求k值。

例3已知實數a,b分別滿足a?2a?2,b?2b?2且a?b,求222211?的值 ab

（三）總結

一元二次方程根與系數的關系的推導是在求根公式的基礎上進行．它深化了兩根的和與積和系數之間的關系，是我們今后繼續研究一元二次方程根的情況的主要工具，為進一步學習使用打下堅實基礎．

韋達定理的內容

2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-

ba，1·2=

xx

ca

②如果方程x+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2

第三篇：韋達定理推廣的證明

證明：

當Δ＝b^2-4ac≥0時,方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有兩個實根,設為x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 則：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.綜上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數根

若b^2-4ac<0 則方程沒有實數解

韋達定理的推廣

韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑AiX^i=0

它的根記作X1,X2…,Xn

我們有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

如果一元二次方程

在復數集中的根是，那么

由代數基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在復數集中必有根。因此，該方程的左端可以在復數范圍內分解成一次因式的乘積：

其中是該方程的個根。兩端比較系數即得韋達定理。

法國數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間有這種關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。

(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項系數為1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三項式的因式分解(公式法)

在分解二次三項式ax^2+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外這與射影定理是初中必須

射影定理圖

掌握的.韋達定理推廣的證明

設x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。

則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）

通過系數對比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

有關韋達定理的經典例題

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整數根．

(’94祖沖之杯數學邀請賽試題)

解：設方程的兩整數根為x1、x2，不妨設x1≤x2．由韋達定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均為整數，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知關于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的兩個根都是正整數，求m的值．

解：設方程的兩個正整數根為x1、x2，且不妨設x1≤x2．由韋達定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2為正整數，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求實數k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整數．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，設二次方程的兩個整數根為x1、x2，由韋達定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因為x1－

1、x2－1均為整數，所以

例4 已知二次函數y＝－x2＋px＋q的圖像與x軸交于(α，0)、(β，0)兩點，且α＞1＞β，求證：p＋q＞1．

(’97四川省初中數學競賽試題)

證明：由題意，可知方程－x2＋px＋q＝0的兩根為α、β．由韋達定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理

正玄定理與余弦定理

第四篇：韋達定理代數式的值教案

根與系數的關系2

教學目標：

1、會利用韋達定理求出與根有關的代數式的值

2、學會靈活多變的代數式變形

3、會求作新方程

一、知識回顧

1、設、代數式是方程=。的兩根，則兩根之和為

兩根之積為

則

學生講出做題依據，復習根與系數的關系。

2、如果關于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為x1=2，x2=1，那么p=，q=

2本題可能有學生用代人法，聯立方程組，引導用韋達定理。

二、自主探究1|

3、設x1.、x2是方程的兩根，求 ：（1）2x1?2x

2（2）2x1?2x2

（3）

111（4）? ?x1x2x1x2重點訓練利用韋達定理求出與根有關的代數式的值，和學生一起總結解題步驟。

（1）韋達定理

（2）代數式變形

變式訓練

4、方程x2-2x-1=0的兩個實數根分別為x1，x2，求：（1）（x1-1）（x2-1）

（2）x1+x

2（3）

22x2x1?

（4）(x1?x2)2 x1x2

三、合作探究

25、如果關于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為x1=2，x2=1，則方程為

6、如果關于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為3?2和3?2，則方程為

如果第5題用代人法，聯立方程組還可以解決的話，那么的第6題用此法則太繁瑣，引導學生善于思考，善于比較，選擇最簡單的方法。

7、如果關于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為x1、x2，那么p=，q= 則方程為

28、設x1.、x2是方程程

引導學生總結求作新方程的解題步驟

（1）求出原方程的兩根和與積（2）寫出新方程的兩根

（3）求出新方程的兩根和與積（4）寫出新方程

四、反思總結：

五、課堂小測： 的兩根，求作一個新方程，使它的兩根是方的兩根的倒數。

9、已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的兩實數根，則

x2x1?的值為________ x1x210、方程x2-2x-1=0的兩個實數根分別為x1，x2，求作一個新方程，使它的兩根分別是2x1和2x2。

第五篇：初中數學相關定理

1,三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°

2, 推論1直角三角形的兩個銳角互余

3, 推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

4,推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角

5, 全等三角形的對應邊、對應角相等

6, 邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等7, 角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等8 推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等9, 邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

10, 斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上13 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）15 推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合17 推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對 的邊也相等（等角對等邊）推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上25 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合26 定理 1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形定理 2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線定理 3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那 么交點在對稱軸上逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，