第一篇：廣東省徐聞縣梅溪中學2013屆中考數學第二輪復習專題 判別式與韋達定理

廣東省徐聞縣梅溪中學2013屆中考數學第二輪復習專題 判別式與韋

達定理

〖知識點〗

一元二次方程根的判別式、判別式與根的個數關系、判別式與根、韋達定理及其逆定理 〖大綱要求〗

1.掌握一元二次方程根的判別式，會判斷常數系數一元二次方程根的情況。對含有字母系數的由一元二次方程，會根據字母的取值范圍判斷根的情況，也會根據根的情況確定字母的取值范圍；

2.掌握韋達定理及其簡單的應用；

3.會在實數范圍內把二次三項式分解因式；

4.會應用一元二次方程的根的判別式和韋達定理分析解決一些簡單的綜合性問題。內容分析

1.一元二次方程的根的判別式

22一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△＝b-4ac

當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；

當△＝0時，方程有兩個相等的實數根，當△＜0時，方程沒有實數根．

2.一元二次方程的根與系數的關系

2(1)如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1，x2，那么x1?x2??b，x1x2?c aa

(2)如果方程x+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q

x1x2=q

(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項系數為1)是x-(x1+x2)x+x1x2=0．

2x-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三項式的因式分解(公式法)

22在分解二次三項式ax+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程ax+bx+c=0的兩個根是

2x1,x2，那么ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重點與常見題型〗

1.利用根的判別式判別一元二次方程根的情況，有關試題出現在選擇題或填空題中，如：

2關于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情況是（）

（A）有兩個相等的實數根（B）有兩個不相等的實數根

（C）沒有實數根（D）不能確定

2.利用一元二次方程的根與系數的關系求有關兩根的代數式的值，有關問題在中考試題中出現的頻率非常高，多為選擇題或填空題，如：

222設x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的兩根，則x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．在中考試題中常出現有關根的判別式、根與系數關系的綜合解答題。在近三年試題中又出現了有關的開放探索型試題，考查了考生分析問題、解決問題的能力。

考查題型

21．關于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情況是（）22

（A）有兩個相等的實數根（B）有兩個不相等的實數根

（C）沒有實數根（D）不能確定

2222．設x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的兩根，則x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．下列方程中，有兩個相等的實數根的是（）

（A）2y+5=6y（B）x+5=25 x（C）3 x－2 x+2=0（D）3x－26 x+1=0

4．以方程x＋2x－3＝0的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是（）

2222（A）y+5y－6=0（B）y+5y＋6=0（C）y－5y＋6=0（D）y－5y－6=0

225．如果x1，x2是兩個不相等實數，且滿足x1－2x1＝1，x2－2x2＝1，那么x1·x2等于（）

（A）2（B）－2（C）1（D）－1

226．如果一元二次方程x＋4x＋k＝0有兩個相等的實數根，那么k＝

227．如果關于x的方程2x－(4k+1)x＋2 k－1＝0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍

是

228．已知x1，x2是方程2x－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）

＝

229．若關于x的方程(m－2)x－(m－2)x＋1＝0的兩個根互為倒數，則m＝

二、考點訓練：

1、不解方程，判別下列方程根的情況：

（1）x－x=5(2)9x－62 +2=0(3)x－x+2=02、當m=時，方程x+mx+4=0有兩個相等的實數根；

2當m=時，方程mx+4x+1=0有兩個不相等的實數根；

23、已知關于x的方程10x－(m+3)x+m－7=0，若有一個根為0，則m=，這時方程的另

3一個根是；若兩根之和為－，則m=，這時方程的兩個根為.54、已知3－2 是方程x+mx+7=0的一個根，求另一個根及m的值。

5、求證：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=0沒有實數根。

6、求作一個一元二次方程使它的兩根分別是1－5 和1+5。

7、設x1,x2是方程2x+4x－3=0的兩根，利用根與系數關系求下列各式的值：

x2x12(1)(x1+1)(x2+1)（3）x1+ x1x2+2 x1 x1x2

解題指導

221、如果x－2(m+1)x+m+5是一個完全平方式，則m=;

22、方程2x(mx－4)=x－6沒有實數根，則最小的整數m=;

3、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)兩根的和與兩根的積相等，則m=;

24、設關于x的方程x－6x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為;

25、設方程4x－7x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值:

1222(1)x1+x2(2)x1－x2（3ｘ1 ｘ2＊（4）x1x2＋ x1 2

22＊6.實數ｓ、ｔ分別滿足方程19ｓ＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ＝0求代數式2222222222222

2ｓｔ＋4ｓ＋1的值。ｔ

122227.已知a是實數，且方程x+2ax+1=0有兩個不相等的實根，試判別方程x+2ax+1x－2

2a－1)=0有無實根？

28.求證：不論k為何實數，關于x的式子(x－1)(x－2)－k都可以分解成兩個一次因式的積。

29．實數K在什么范圍取值時，方程ｋｘ＋2（ｋ－1）ｘ－（K－1）＝0有實數正根？

獨立訓練

（一）1、不解方程，請判別下列方程根的情況；

22(1)2t+3t－4=0,;(2)16x+9=24x,;

2(3)5(u+1)－7u=0,;

222、若方程x－(2m－1)x+m+1=0有實數根，則m的取值范圍是;

3、一元二次方程x+px+q=0兩個根分別是2+3 和23，則p=,q=;

4、已知方程3x－19x+m=0的一個根是1，那么它的另一個根是，m=;

25、若方程x+mx－1=0的兩個實數根互為相反數，那么m的值是;

22n6、m,n是關于x 的方程x-(2m-1)x+m+1=0的兩個實數根，則代數式m=。

27、已知關于x的方程x－(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求k的值;

28、如果α和β是方程2x+3x－1=0的兩個根，利用根與系數關系，求作一個一元二次方程，11使它的兩個根分別等于α+ 和β+;β α

22229、已知a,b,c是三角形的三邊長，且方程(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0有兩個相等的實數根，求證：這個三角形是正三角形

2210.取什么實數時，二次三項式2x－(4k+1)x+2k－1可因式分解.12211.已知關于X的一元二次方程ｍｘ＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的兩實數根為α,β，若ｓ＝ α

1＋，求ｓ的取值范圍。β

獨立訓練

（二）21、已知方程x－3x+1=0的兩個根為α,β，則α+β=, αβ=;

222、如果關于x的方程x－4x+m=0與x－x－2m=0有一個根相同，則m的值為;

123、已知方程2x－3x+k=0的兩根之差為2，則k=;2

224、若方程x+(a－2)x－3=0的兩根是1和－3，則a=;

25、方程4x－2(a-b)x－ab=0的根的判別式的值是;

226、若關于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有兩個實數根，且這兩個根互為倒數，那么m的值

為;

27、已知p<0,q<0，則一元二次方程x+px+q=0的根的情況是;

28、以方程x－3x－1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是;

29、設x1,x2是方程2x－6x+3=0的兩個根，求下列各式的值：

1122(1)x1x2+x1x2(2)－x1x2

2210．m取什么值時，方程2x－(4m+1)x+2m－1=0

（1）有兩個不相等的實數根，（2）有兩個相等的實數根，（3）沒有實數根；

211．設方程x+px+q=0兩根之比為1:2，根的判別式Δ=1，求p,q的值。22

x12212．是否存在實數ｋ，使關于ｘ的方程9x－(4ｋ－7)x－6ｋ=0的兩個實根x1,x2，滿足｜｜ x2

3＝，如果存在，試求出所有滿足條件的ｋ的值，如果不存在，請說明理由。2

第二篇：廣東省廉江市第三中學2014屆高三數學專題復習立體幾何歐拉定理與球學案

廣東省廉江市第三中學2014屆高三數學專題復習立體幾何歐拉定理與球

學案

一、知識點：

1．簡單多面體：考慮一個多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體球面的多面體，叫做2．五種正多面體的頂點數、面數及棱數：

3．歐拉定理（歐拉公式）：簡單多面體的頂點數、面數及棱數E有關系式：V?F?

E?2．4．歐拉示性數：在歐拉公式中令f(p)?V?F?E，f(p)（1）簡單多面體的歐拉示性數f(p)?2．（2）帶一個洞的多面體的歐拉示性數f(p)?0（3）多面體所有面的內角總和公式：①(E?F)360? 或②(V?2)3600球心，表示它的球心的字母表示，例如球O． 6．球的截面：用一平面?去截一個球O，設OO?是平面?的垂線段，O?為垂足，且，所得的截面是以球心在截面內的射影為圓心，以r

大圓，被不經過球心的平面截得的圓叫做7． 經線：球面上從北極到南極的半個大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截

球面所得的小圓；經度：某地的經度就是經過這點的經線與地軸確定的半平面與0經線及軸確定的8．兩點的球面距離：球面上兩點之間的最短距離，就是經過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的9．兩點的球面距離公式： AB?R?（其中R為球半徑，?為A,B所對應的球心角的弧度數）已知半徑為R的球O，用過球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的兩個半球，截面圓O（包含它內部的點），叫做所得11．球的體積公式：V?

4?R

312 S?4?R

2二、練習：n面體共有8條棱，5個頂點，求2．一個正n面體共有8個頂點，每個頂點處共有三條棱，求3．一個簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點數V和面數F有下面的關系：F＝2V－

44．有沒有棱數是75．是①過球面上任意兩點，作球的大圓的個數是．

②球半徑為25cm，球心到截面距離為24cm，則截面面積為．

③已知球的兩個平行截面的面積分別是5?和8?，它們位于球心同一側，且相距1，則球半徑是． ④球O直徑為4，A,B

為球面上的兩點且AB?A,B兩點的球面距離為． ⑤北緯60圈上M,N兩地，它們在緯度圈上的弧長是

離為

． ?R（R為地球半徑），則這兩地間的球面距

2練習參考答案：n面體共有8條棱，5個頂點，求解：∵V?F?E?2，∴F?E?2?V?5，即n?5．

2．一個正n面體共有8個頂點，每個頂點處共有三條棱，求解：∵V?8，E?8?3?12，∴F?E?2?V?6，即n?6． 2

3．一個簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點數V和面數F有下面的關系：F＝2V－4 證明：∵E＝3F3，V＋F－E＝2 ∴V＋F－F＝2 ∴F＝2V－4 22

4．有沒有棱數是7解：若E＝7，∵V＋F－E＝2，∴V＋F＝7＋2＝9，∵多面體的頂點數V≥4，面數F≥4

∴只有兩種情況V＝4，F＝5或V＝5，F＝4，但是有4個頂點的多面體只有四個面，不可能是5個面，有四個面的多面體是四面體，也只有四個頂點，不可能有5個頂點，∴沒有棱數是7的多面體 5解：設有一個多面體，有F（奇數）個面，并且每個面的邊數n1,n2?nF也都是奇數，則，結果仍為奇數，可右端是偶數，這n1?n2???nF?2E，但是上式左端是奇數個“奇數相加” ①過球面上任意兩點，作球的大圓的個數是．

②球半徑為25cm，球心到截面距離為24cm，則截面面積為．

③已知球的兩個平行截面的面積分別是5?和8?，它們位于球心同一側，且相距1，則球半徑是． ④球O直徑為4，A,B

為球面上的兩點且AB?A,B兩點的球面距離為． ⑤北緯60圈上M,N兩地，它們在緯度圈上的弧長是

離為．

答案：①一個或無數個②49m③3④2?R（R為地球半徑），則這兩地間的球面距24??⑤

39.設地球的半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，它們的經度相差90°，那么這兩點間的緯線的長為_________，兩點間的球面距離是_________．

分析：求A、B兩點間的球面距離，就是求過球心和點A、B的大圓的劣弧長，因而應先求出弦AB的長，所以要先求出A、B兩點所在緯度圈的半徑．

解：連結AB．設地球球心為O，北緯45°圈中心為O1，則

O1O⊥O1A，O1O⊥O1B．

∴ ?O1AO??O1BO??AOC?45?．

∴O1A＝O1B＝O1O＝OA?cos45?＝

22R．

∴ 兩點間的緯線的長為：?2

2?2R?2

4R．

∵A、B兩點的經度相差90°，∴ ?AO?

1B?90．

在Rt△AO1B中，AB?2AO1?R，∴ OA?AB?OB，?AOB??

3．∴ 兩點間的球面距離是：?

3R．

16．表面積為324?的球，其內接正四棱柱的高是14解：設球半徑為R，正四棱柱底面邊長為a，則作軸截面如圖，AA??

14，AC?，又∵4?R2?324?，∴R?9，∴AC??a?8，∴S表?64?2?32?14?576．

17．正四面體ABCD的棱長為a，球O是內切球，球O1是與正四面體的三個面和球O都相切的一個小球，求球O1的體積． 分析：正四面體的內切球與各面的切點是面的中心，球心到各面的距離相等． 解：如圖，設球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點，球O與平面ACD、BCD切于點F、G，球O1與平面ACD切于點H．

由題設AG?AE2?GE2?6a． 3

a?RR?，得R? a．123aa62∵ △AOF∽△AEG∴

a?2R?rr6?，得r?∵ △AO1H∽△AOF∴a． R246a?R3

∴ V球O1434?6?63????r???aa． ?33?241728??

積相3另法：以O為頂點將正四面體分成相等體積的四個三棱錐，用體

等法，可以得到R?OG?11AG?

h，h?，44111r?(h)?h?a。

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