第一篇：關于判別式法與韋達定理的論述

關于判別式法與韋達定理論述

weiqingsong

摘要：判別式法與韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，討論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

關鍵詞：判別式法韋達定理

在中學解題中判別式法與韋達定理的應用極其普遍，因此系統的研究一下利用判別式法與韋達定理解題是有必要的。別式法與韋達定理說明了一元二次方程中根和系數之間的關系。它們都有著廣泛的應用在整個中學階段。

一、韋達定理的由來

法國數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間有這種關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。判別式法與韋達定理在方程論中有著廣泛的應用。

二、對判別式法的介紹及概括

一般的關于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別，△=b^2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

關于x的一元二次方程x^2+mx+n=0有兩個相等的實數根，求符合條件的一組的實數值。這是應注意以下問題：如果說方程有實數根，即應當包括方程只有一個實根和有兩個不等實根或有兩個相等實根三種情況；如果方程不是一般形式，要化為一般形式，再確定a、b、c的值；使用判別式的前提是方程為一元二次方程，即二次項系數a≠0；當二次項系數含字母時，解題時要加以考慮。

判別式的主要應用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情況；已知方程根的情況，確定方程中未知系數（或參數）的取值范圍；判別或證明一元二次方程的根的性質；判別二次三項式ax^2+bx+c(a≠0)能否在實數范圍內分解因式(1)當△≥0 時，二次三項式在實數范圍內能分解因式；（2）當△≤0 時，二次三項式在實數范圍內不能分解因式。

三、某些利用別式法解題的例題

“判別式法”是我們解題時常用的方法，對初高中同學來說，在解題中常常用到，掌握它很有必要，下面舉例說明它的作用。

1.求最值

例： 已知a?2b?ab?30，且a?0，b?0，試求實數a、b為何值時，ab

1取得最大值。

解：構造關于a的二次方程，應用“判別式法”。設ab?y

由已知得a?2b?y?30（2）

（3）（1）2ab由（1）（2）消去，對a整理得?(y?30)a?2y?0

22對于（3），由??(y?30)?4?2y?0，y?68y?900?0，解得y?50或

y?18。由y?ab?30，舍去y?50，得y?18。

2把y?18代入（3）（注意此時??0），得a?12a?36?0，即a?6，從而

b?3。

故當a?6，b?3時，ab取得最大值為18。

2.求參數的取值范圍

例：對于函數f(x)，若存在x0?R，使f(x0)?x0成立，則稱x0為f(x)的2f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)，不動點。已知函數對于任意實數b，函數f(x)

恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍。

解：對任意實數b，f(x)恒有兩個相異的不動點?對任意實數b,ax2?(b?1)x?b?1?x恒有兩個不等實根?對任意實數b，ax2?bx?b?1?0

2恒有兩個不等實根?對任意實數b,??b?4a(b?1)?0恒成立。

22??b?4a(b?1)?b?4ab?4a看作關于b的二次函數，可以將則對任意實

22b，??b?4ab?4a?0?'?(?4a)?4?4a?0?a(a?1)?0 ?數恒成立

?0?a?1

故a的取值范圍是(0，1)

四、對韋達定理的介紹及概括

韋達定理說明了一元n次方程中根和系數之間的關系。這里講一元二次方程兩根之間的關系。一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，兩根X1,X2有如下關系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韋達定理（即根與系數的關系）雖然是初中數學的內容，但它的應用卻貫穿于整個中學數學教學的始終，用它來解決一些數學問題非常簡捷巧妙，簡捷得使人驚嘆，巧妙的令人叫絕，能激發學生的學習興

2趣。有利于創造思維能力的培養。

五、某些利用韋達定理解題的例題

1.利用根與系數的關系求值

11?2例：若方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，則x1x2的值為_____.x1?x2??b?3c?1???3,x1?x2????1a1a1解：根據韋達定理得：

?11x1?x23?????3x1x2x1x2?

12.利用根與系數的關系構造新方程

理論：以兩個數為根的一元二次方程是。例：解方程組

解：顯然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的兩根

由方程①解得 z1=2,z2=

3∴原方程組的解為 x1=2,y1=3

x2=3,y2=

2六、判別式法與韋達定理相結合的綜合應用

例1.如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為?

4的直線l與線段OA相交(不經過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積解：由題意，可設l的方程為y=x+m,其中－5＜m＜0由方?y?x?m?2程組?y?4x,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直線l線有兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)

設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=42(1?m)點

A到直線l的距離為∴S△=2(5+m)?m,從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤

32?2m?5?m?5?m

32()3=128

∴S△≤82,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為

解法二由題意，可設l與x軸相交于B（m,0）, l的方程為x = y +m,其中0＜m＜5?x?y?m?2y?4x由方程組?,消去x,得y 2－4 y －4m=0①∵直線l與拋物線有

兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,設M(x1,y1),N(x2,y2)則y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m,11(5?m)|y1?y2|?(5?m2∴S△

=251(?m)＝42

2??∴S△≤851(?m)?(1?m)22即m=1時取等號2,當且僅當

故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為

82y例2.已知拋物線?4x的焦點為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M、N。求證：直線MN必過定點，并求出定點的坐標。

解：設直線AB的方程為y?k(x?1)（k?0），則

4??y?k(x?1)x?x?2??B?k2x2?(2k2?4)x?k2?0??Ak2?2?y?4x??xA?xB?1，4?2?yA?yB???xC?xD?2?4k?yC?yD??4kk22???M?1?2,????yA?yB??2x?x?1kk???yC?yD??2，??CD從而有。同理，有?，N(1?2k,?2k)。因此，直線MN的斜率2kMN?k

1?k2，從而直線MN的方程為

y?2k?kk2(x?1?2k)y?(x?3)21?k21?k，即。顯然，直線MN必過定點(3,0)； 參考文獻：①《淺談“判別式法”的作用》作者：徐國鋒、袁玉鳳

②《 2008年安徽省安慶一中高考模擬試卷》

③《 2009年烏魯木齊地區高三年級第二次診斷性測驗試卷》

第二篇：韋達定理教案

教案：韋達定理

一、教學目標

1．通過根與系數的關系的發現與推導，進一步培養學生分析、觀察、歸納、猜想的能力和推理論證的能力；

2．通過本節課的學習，向學生滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規律。培養邏輯思維及創新思維能力。

二、教學重點、難點

1．教學重點：根與系數的關系的發現及其推導． 2．教學難點：韋達定理的靈活應用．

三、教學過程

（一）定理的發現及論證提出問題：已知?，?是方程2x2?3x?1?0的兩根，如何求?3??3的值

1.你能否寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別為 1）2和3 2）—4和7

問題1：從求這些方程的過程中你發現根與各項系數之間有什么關系？

觀察、思考、探索：2x-5x+3=0,這個方程的兩根之和，兩根之積與各項系數之間有什么關系？請猜想？ 2問題2；對于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具備這個特征？

22結論1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1?x2??bc,x1x2? aa結論2．如果方程x+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2結論1具有一般形式，結論2有時給研究問題帶來方便．

（二）定理的應用

例

1、關于x的方程x-2x+m=0 的一根為2，求另一根和m的值。2例2.已知?,?是方程2x2?3x?1?0的兩根,不解方程，求下列各式的值.11(1)?(2)(??1)(??1)??

(3)?2??2（5）???33(4)|???|例

2、已知x1,x2是關于x的方程x2?6x?k?0的兩個實數根且x1x2?(x1?x2)?115，求k值。

例3已知實數a,b分別滿足a?2a?2,b?2b?2且a?b,求222211?的值 ab

（三）總結

一元二次方程根與系數的關系的推導是在求根公式的基礎上進行．它深化了兩根的和與積和系數之間的關系，是我們今后繼續研究一元二次方程根的情況的主要工具，為進一步學習使用打下堅實基礎．

韋達定理的內容

2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-

ba，1·2=

xx

ca

②如果方程x+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2

第三篇：初中數學之韋達定理

初中數學之韋達定理

韋達定理：對于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果方程有兩個實數根

bcx1,x2，那么x1?x2??,x1x2? aa

說明：定理成立的條件??0

1.不解方程寫出下列方程的兩根和與兩根差

（1）x2?3x?10?0（2）3x2?5x?1?0（3）2x?43x?22?0

2.如果一元二次方程x2?mx?n?0的兩根互為相反數，那么m；如果兩根互為倒數，那么n=.3.若兩數和為3，兩數積為－4，則這兩數分別為224.已知方程2x2?3x?4?0的兩根為x1，x2，那么x1?x2

5.若方程x2?6x?m?0的一個根是3?2，則另一根是，m的值是 6.已知方程x2?3x?2?0的兩根為x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12?x2；2（2）11 ?x1x2

（3）(x1?x2)2?；（4）(x1?1)(x2?1)7.已知關于x的方程x2?(5k?1)x?k2?2?0，是否存在負數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于4？若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。

8.關于x的方程2x2?8x?p＝０有一個正根，一個負根，則p的值是（）

（A）0（B）正數（C）－8（D）－4

9.已知方程x2?2x?1=0的兩根是x1，x2，那么x12x2?x1x22?1?（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2?x?3?0的兩根為x1，x2，那么?=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2?(a2?3a?10)x?4a?0的兩根互為相反數，則a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x2?3x?4?0的兩根是x1，x2，那么(x1?1)(x2?1)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分別以方程x?2x?1=0兩根的平方為根的方程是（）

（A）y2?6y?1?0（B）y2?6y?1?0

（C）y2?6y?1?0（D）y2?6y?1?0

第四篇：韋達定理推廣的證明

證明：

當Δ＝b^2-4ac≥0時,方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有兩個實根,設為x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 則：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.綜上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數根

若b^2-4ac<0 則方程沒有實數解

韋達定理的推廣

韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑AiX^i=0

它的根記作X1,X2…,Xn

我們有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

如果一元二次方程

在復數集中的根是，那么

由代數基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在復數集中必有根。因此，該方程的左端可以在復數范圍內分解成一次因式的乘積：

其中是該方程的個根。兩端比較系數即得韋達定理。

法國數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間有這種關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。

(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項系數為1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三項式的因式分解(公式法)

在分解二次三項式ax^2+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外這與射影定理是初中必須

射影定理圖

掌握的.韋達定理推廣的證明

設x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。

則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）

通過系數對比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

有關韋達定理的經典例題

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整數根．

(’94祖沖之杯數學邀請賽試題)

解：設方程的兩整數根為x1、x2，不妨設x1≤x2．由韋達定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均為整數，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知關于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的兩個根都是正整數，求m的值．

解：設方程的兩個正整數根為x1、x2，且不妨設x1≤x2．由韋達定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2為正整數，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求實數k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整數．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，設二次方程的兩個整數根為x1、x2，由韋達定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因為x1－

1、x2－1均為整數，所以

例4 已知二次函數y＝－x2＋px＋q的圖像與x軸交于(α，0)、(β，0)兩點，且α＞1＞β，求證：p＋q＞1．

(’97四川省初中數學競賽試題)

證明：由題意，可知方程－x2＋px＋q＝0的兩根為α、β．由韋達定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理

正玄定理與余弦定理

第五篇：廣東省徐聞縣梅溪中學2013屆中考數學第二輪復習專題 判別式與韋達定理

廣東省徐聞縣梅溪中學2013屆中考數學第二輪復習專題 判別式與韋

達定理

〖知識點〗

一元二次方程根的判別式、判別式與根的個數關系、判別式與根、韋達定理及其逆定理 〖大綱要求〗

1.掌握一元二次方程根的判別式，會判斷常數系數一元二次方程根的情況。對含有字母系數的由一元二次方程，會根據字母的取值范圍判斷根的情況，也會根據根的情況確定字母的取值范圍；

2.掌握韋達定理及其簡單的應用；

3.會在實數范圍內把二次三項式分解因式；

4.會應用一元二次方程的根的判別式和韋達定理分析解決一些簡單的綜合性問題。內容分析

1.一元二次方程的根的判別式

22一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△＝b-4ac

當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；

當△＝0時，方程有兩個相等的實數根，當△＜0時，方程沒有實數根．

2.一元二次方程的根與系數的關系

2(1)如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1，x2，那么x1?x2??b，x1x2?c aa

(2)如果方程x+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q

x1x2=q

(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項系數為1)是x-(x1+x2)x+x1x2=0．

2x-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三項式的因式分解(公式法)

22在分解二次三項式ax+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程ax+bx+c=0的兩個根是

2x1,x2，那么ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重點與常見題型〗

1.利用根的判別式判別一元二次方程根的情況，有關試題出現在選擇題或填空題中，如：

2關于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情況是（）

（A）有兩個相等的實數根（B）有兩個不相等的實數根

（C）沒有實數根（D）不能確定

2.利用一元二次方程的根與系數的關系求有關兩根的代數式的值，有關問題在中考試題中出現的頻率非常高，多為選擇題或填空題，如：

222設x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的兩根，則x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．在中考試題中常出現有關根的判別式、根與系數關系的綜合解答題。在近三年試題中又出現了有關的開放探索型試題，考查了考生分析問題、解決問題的能力。

考查題型

21．關于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情況是（）22

（A）有兩個相等的實數根（B）有兩個不相等的實數根

（C）沒有實數根（D）不能確定

2222．設x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的兩根，則x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．下列方程中，有兩個相等的實數根的是（）

（A）2y+5=6y（B）x+5=25 x（C）3 x－2 x+2=0（D）3x－26 x+1=0

4．以方程x＋2x－3＝0的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是（）

2222（A）y+5y－6=0（B）y+5y＋6=0（C）y－5y＋6=0（D）y－5y－6=0

225．如果x1，x2是兩個不相等實數，且滿足x1－2x1＝1，x2－2x2＝1，那么x1·x2等于（）

（A）2（B）－2（C）1（D）－1

226．如果一元二次方程x＋4x＋k＝0有兩個相等的實數根，那么k＝

227．如果關于x的方程2x－(4k+1)x＋2 k－1＝0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍

是

228．已知x1，x2是方程2x－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）

＝

229．若關于x的方程(m－2)x－(m－2)x＋1＝0的兩個根互為倒數，則m＝

二、考點訓練：

1、不解方程，判別下列方程根的情況：

（1）x－x=5(2)9x－62 +2=0(3)x－x+2=02、當m=時，方程x+mx+4=0有兩個相等的實數根；

2當m=時，方程mx+4x+1=0有兩個不相等的實數根；

23、已知關于x的方程10x－(m+3)x+m－7=0，若有一個根為0，則m=，這時方程的另

3一個根是；若兩根之和為－，則m=，這時方程的兩個根為.54、已知3－2 是方程x+mx+7=0的一個根，求另一個根及m的值。

5、求證：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=0沒有實數根。

6、求作一個一元二次方程使它的兩根分別是1－5 和1+5。

7、設x1,x2是方程2x+4x－3=0的兩根，利用根與系數關系求下列各式的值：

x2x12(1)(x1+1)(x2+1)（3）x1+ x1x2+2 x1 x1x2

解題指導

221、如果x－2(m+1)x+m+5是一個完全平方式，則m=;

22、方程2x(mx－4)=x－6沒有實數根，則最小的整數m=;

3、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)兩根的和與兩根的積相等，則m=;

24、設關于x的方程x－6x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為;

25、設方程4x－7x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值:

1222(1)x1+x2(2)x1－x2（3ｘ1 ｘ2＊（4）x1x2＋ x1 2

22＊6.實數ｓ、ｔ分別滿足方程19ｓ＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ＝0求代數式2222222222222

2ｓｔ＋4ｓ＋1的值。ｔ

122227.已知a是實數，且方程x+2ax+1=0有兩個不相等的實根，試判別方程x+2ax+1x－2

2a－1)=0有無實根？

28.求證：不論k為何實數，關于x的式子(x－1)(x－2)－k都可以分解成兩個一次因式的積。

29．實數K在什么范圍取值時，方程ｋｘ＋2（ｋ－1）ｘ－（K－1）＝0有實數正根？

獨立訓練

（一）1、不解方程，請判別下列方程根的情況；

22(1)2t+3t－4=0,;(2)16x+9=24x,;

2(3)5(u+1)－7u=0,;

222、若方程x－(2m－1)x+m+1=0有實數根，則m的取值范圍是;

3、一元二次方程x+px+q=0兩個根分別是2+3 和23，則p=,q=;

4、已知方程3x－19x+m=0的一個根是1，那么它的另一個根是，m=;

25、若方程x+mx－1=0的兩個實數根互為相反數，那么m的值是;

22n6、m,n是關于x 的方程x-(2m-1)x+m+1=0的兩個實數根，則代數式m=。

27、已知關于x的方程x－(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求k的值;

28、如果α和β是方程2x+3x－1=0的兩個根，利用根與系數關系，求作一個一元二次方程，11使它的兩個根分別等于α+ 和β+;β α

22229、已知a,b,c是三角形的三邊長，且方程(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0有兩個相等的實數根，求證：這個三角形是正三角形

2210.取什么實數時，二次三項式2x－(4k+1)x+2k－1可因式分解.12211.已知關于X的一元二次方程ｍｘ＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的兩實數根為α,β，若ｓ＝ α

1＋，求ｓ的取值范圍。β

獨立訓練

（二）21、已知方程x－3x+1=0的兩個根為α,β，則α+β=, αβ=;

222、如果關于x的方程x－4x+m=0與x－x－2m=0有一個根相同，則m的值為;

123、已知方程2x－3x+k=0的兩根之差為2，則k=;2

224、若方程x+(a－2)x－3=0的兩根是1和－3，則a=;

25、方程4x－2(a-b)x－ab=0的根的判別式的值是;

226、若關于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有兩個實數根，且這兩個根互為倒數，那么m的值

為;

27、已知p<0,q<0，則一元二次方程x+px+q=0的根的情況是;

28、以方程x－3x－1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是;

29、設x1,x2是方程2x－6x+3=0的兩個根，求下列各式的值：

1122(1)x1x2+x1x2(2)－x1x2

2210．m取什么值時，方程2x－(4m+1)x+2m－1=0

（1）有兩個不相等的實數根，（2）有兩個相等的實數根，（3）沒有實數根；

211．設方程x+px+q=0兩根之比為1:2，根的判別式Δ=1，求p,q的值。22

x12212．是否存在實數ｋ，使關于ｘ的方程9x－(4ｋ－7)x－6ｋ=0的兩個實根x1,x2，滿足｜｜ x2

3＝，如果存在，試求出所有滿足條件的ｋ的值，如果不存在，請說明理由。2