第一篇：判別式法證明不等式

判別式法證明不等式

x^2+y^2+z^2>=2xycosc+2zxcosb+2yzcosa

等價于(x-cosc*y-cosb*z)^2+(sinc*y-sinb*z)^2>=0

對于分式函數y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)：

由于對任意一個實數y,它在函數f(x)的值域內的充要條件是關于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)有實數解，因此“求f(x)的值域。”這一問題可轉化為“已知關于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)有實數解，求y的取值范圍?！?/p>

把x作為未知量，y看作常量，將原式化成關于x的一元二次方程形式(*)，令這個方程有實數解，然后對二次項系數是否為零加以討論：

(1)當二次項系數為0時，將對應的y值代入方程(*)中進行檢驗以判斷y的這個取值是否符合x有實數解的要求，……

(2)當二次項系數不為0時，∵x∈R，∴Δ≥0，……

此時直接用判別式法是否有可能產生增根，關鍵在于對這個方程去分母這一步是不是同解變形。

原問題“求f(x)的值域。”進一步的等價轉換是“已知關于x的方程y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c至少有一個實數解使得dx^2+ex+f≠0，求y的取值范圍?！?/p>

【舉例說明】

1、當函數的定義域為實數集R時

例1求函數y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函數的定義域是R.去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移項整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.(*)

(1)當y≠1時，由△≥0得0≤y≤4;

(2)當y=1時，將其代入方程(*)中得x=0.綜上所述知原函數的值域為〔0，4〕.2、當函數的定義域不是實數集R時

例2求函數y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.解：由分母不為零知，函數的定義域A={x|x≠-2且x≠1}.去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移項整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0.(*)

(1)當y≠1時，由△≥0得y^2≥0?y∈R.檢驗：由△=0得y=0，將y=0代入原方程求得x=1，這與原函數定義域A相矛盾，所以y≠0.(2)當y=1時，將其代入方程(*)中得x=1，這與原函數定義域A相矛盾，?

所以y≠1.綜上所述知原函數的值域為{y|y≠0且y≠1}

對于分式函數y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：

由于對任意一個實數y,它在函數f(x)的值域內的充要條件是關于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實數解，把“求f(x)的值域”這問題可轉化為“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實數解，求y的取值范圍”把x當成未知量，y當成常量，化成一元二次方程，讓這個方程有根.先看二次項系數是否為零，再看不為零時只需看判別式大于等于零了.此時直接用判別式法是否有可能出問題，關鍵在于對這個方程取分母這一步是不是同解變形。

這個問題進一步的等價轉換是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一個實數解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范圍”

這種方法不好有很多局限情況，如：定義域是一個區間的.定義域是R的或定義域是R且不等于某個數的還可以用.過程用上面的就可以了.。

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

數學題目是無限的，但數學的思想和方法卻是有限的。我們只要學好了有關的基礎知識，掌握了必要的數學思想和方法，就能順利地應對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關鍵是你有沒有培養起良好的數學思維習慣，有沒有掌握正確的數學解題方法。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式，形成良性循環。

解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學習，才有希望攻克難關，迎來屬于自己的春天。

第三篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領導：年級組長：使用時間：

放縮法證明不等式

【教學目標】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡單的不等式。

【重點、難點】

重點：放縮法證明不等式。

難點：放縮法證明不等式。

【學法指導】

1.據學習目標，自學課本內容，限時獨立完成導學案；

2.紅筆勾出疑難點，提交小組討論；

3.預習p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時，有時可以通過縮?。ɑ颍┓质降姆帜福ɑ颍蛲ㄟ^放大（或縮?。┍粶p式（或）來證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項，即多項式加上一些正的值，多項式的值變大，或多項式減上一些正的值，多項式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分

式值增大。

如當(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數單調性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節小結：

第四篇：不等式證明20法

不等式證明方法大全

1、比較法（作差法）

在比較兩個實數a和b的大小時，可借助a?b的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。

a?b?ab。例

1、已知：a?0，b?0，求證：

2a?ba?ba?b?2ab(a?b)2

?ab。證明：?ab???0，故得22222、分析法（逆推法）

從要證明的結論出發，一步一步地推導，最后達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。

例

2、求證：?7?1?。

證明：要證5?7?1?，即證12?2?16?2，即?2?，35?19?4，4?16，?4，15?16，由此逆推即得5?7?1?。

3、綜合法

證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。

ab例

3、已知：a，b同號，求證：??2。ba

證明：因為a，b同號，所以abababab?0，?0，則??2??2，即??2。babababa4、作商法（作比法）

在證題時，一般在a，b均為正數時，借助

商——變形——判斷（大于1或小于1）。

例

4、設a?b?0，求證：aabb?abba。

aaabb?a?證明：因為a?b?0，所以?1，a?b?0。而ba???bab?b?a?baa?1或?1來判斷其大小，步驟一般為：作bb?1，故aabb?abba。

5、反證法

先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性，達到證題的目的。

例

5、已知a?b?0，n是大于1的整數，求證：a?b。證明：假設a?，則bb?1，即?1，故b?a，這與已知矛盾，所以a?。aa6、迭合法（降元法）

把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。

例

6、已知：求證： a1b1?a2b2???anbn?1。a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1，證明：因為a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1，所以a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1。由柯西不等式

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an?b1?b2???bn?1?1?1，所以原不等

22222

2222222

式獲證。

7、放縮法（增減法、加強不等式法）

在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變?。ɑ蜃兇螅虬押停ɑ蚍e）里的各項換以較大（或較?。┑臄?，或在分式中擴大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福瑥亩_到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。

1359999

?0.01。例

7、求證：?????

***

證明：令p??????，則

24610000

***32999921

1p?2?2?2??????????，222

2246100002?14?110000?11000110000

所以p?0.01。

8、數學歸納法

對于含有n(n?N)的不等式，當n取第一個值時不等式成立，如果使不等式在n?k(n?N)時成立的假設下，還能證明不等式在n?k?1時也成立，那么肯定這個不等式對

n取第一個值以后的自然數都能成立。

例

8、已知：a,b?R?，n?N，n?1，求證：an?bn?an?1b?abn?1。證明：（1）當n?2時，a2?b2?ab?ab?2ab，不等式成立；（2）若n?k時，ak?bk?ak?1b?abk?1成立，則

ak?1?bk?1?a(ak?bk)?abk?bk?1?a(ak?1b?abk?1)?abk?bk?

1=akb?abk?(a2bk?1?2abk?bk?1)?akb?abk?bk?1(a?b)2?akb?abk，即ak?1?bk?1?akb?abk成立。

根據（1）、（2），an?bn?an?1b?abn?1對于大于1的自然數n都成立。

9、換元法

在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。

例

9、已知：a?b?c?1，求證：ab?bc?ca?。

1證明：設a??t，b??at(t?R)，則c??(1?a)t，33

3?1??1??1??1??1??1?

ab?bc?ca???t???at????at???(1?a)t????t???(1?a)t?

?3??3??3??3??3??3?11

?(1?a?a2)t2?（因為1?a?a2?0，t2?0），33

所以ab?bc?ca?。

?

10、三角代換法

借助三角變換，在證題中可使某些問題變易。

例

10、已知：a2?b2?1，x2?y2?1，求證：ax?by?1。證明：設a?sin?，則b?cos?；設x?sin?，則y?cos? 所以ax?by?sin?sin??cos?cos??cos(???)?1。

11、判別式法

通過構造一元二次方程，利用關于某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。

例

11、設x,y?R，且x2?y2?1，求證：y?ax??a2。證明：設m?y?ax，則y?ax?m

代入x2?y2?1中得x2?(ax?m)2?1，即(1?a2)x2?2amx?(m2?1)?0 因為x,y?R，1?a2?0，所以??0，即(2am)2?4(1?a2)(m2?1)?0，解得m??a2，故y?ax??a2。

12、標準化法

形如f(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn的函數，其中0?xi??，且

；當x1?x2???xn為常數，則當xi的值之間越接近時，f(x1,x2,?,xn)的值越大（或不變）

x1?x2???xn時，f(x1,x2,?,xn)取最大值，即

f(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn?sinn

x1?x2???xn。

n

A?B。

2標準化定理：當A+B為常數時，有sinA?sinB?sin2證明：記A+B=C，則

f(A)?sinA?sinB?sin2

A?BC

?sinAsin(C?A)?sin2，22

求導得f`(A)?sin(C?2A)，由f`(A)?0得C=2A，即A=B 又由f``(A)??cos(B?A)?0知f`(A)的極大值點必在A=B時取得 由于當A=B時，f`(A)?0，故得不等式。同理，可推廣到關于n個變元的情形。

ABC

1sinsin?。2228ABC11

證明：由標準化定理得，當A=B=C時，sin?sin?sin?，取最大值，故

22228

ABC1sinsinsin?。2228

例12、設A，B，C為三角形的三內角，求證：sin13、等式法

應用一些等式的結論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。例13（1956年波蘭數學競賽題）、a,b,c為?ABC的三邊長，求證：

2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4。

證明：由海倫公式S?ABC?其中p?

(a?b?c)。

2兩邊平方，移項整理得

p(p?a)(p?b)(p?c)，16(S?ABC)2?2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 而S?ABC?0，所以2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4。

14、函數極值法

通過變換，把某些問題歸納為求函數的極值，達到證明不等式的目的。

例

14、設x?R，求證：?4?cos2x?3sinx?2。

83?1?

證明：f(x)?cos2x?3sinx?1?2sin2x?3sinx??2?sinx???

24?8?當sinx?

31時，f(x)取最大值2； 48

當sinx??1時，f(x)取最小值－4。

故?4?cos2x?3sinx?2。

815、單調函數法

當x屬于某區間，有f`(x)?0，則f(x)單調上升；若f`(x)?0，則f(x)單調下降。推廣之，若證f(x)?g(x)，只須證f(a)?g(a)及f`(x)?g`(x)即可，x?[a,b]。

例15、0?x?，求證：sinx?x?tanx。

2證明：當x?0時，sinx?x?tanx?0，而

?

(sinx)`?cosx?1?x`?sec2x?(tanx)` 故得sinx?x?tanx。

16、中值定理法

利用中值定理：f(x)是在區間[a,b]上有定義的連續函數，且可導，則存在?，a???b，滿足f(b)?f(a)?f`(?)(b?a)來證明某些不等式，達到簡便的目的。

例

16、求證：sinx?siny?x?y。

證明：設f(x)?sinx，則sinx?siny?(x?y)sin`??(x?y)cos? 故sinx?siny?(x?y)cos??x?y。

17、分解法

按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使復雜問題轉化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達到證明不等式的目的。

1例17、n?2，且n?N，求證：1??????n(n?1?1)。

23n

證明：因為1?

111?1??1??1?

?????n?(1?1)???1????1??????1? 23n?2??3??n?

?2?

所以1?

34n?134n?

1?????n?2??????n?n?1 23n23n

?????n(n?1?1)。23n18、構造法

在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數、恒等式、復數等，可以達到簡捷、明

快、以巧取勝的目的。

例

18、已知：x2?y2?1，a2?b2?2，求證：b(x2?y2)?2axy?2。證明：依題設，構造復數z1?x?yi，z2?a?bi，則z1?1，z2?2 所以z1?z2?(x?yi)2(a?bi)?[a(x2?y2)?2bxy]?[b(x2?y2)?2axy]i

b(x2?y2)?2axy?Imz1?z2?z1?z2?

2?

故b(x2?y2)?2axy?2。

19、排序法

利用排序不等式來證明某些不等式。

排序不等式：設a1?a2???an，b1?b2???bn，則有

其中t1,t2,?,tn是a1bn?a2bn?1???anb1?a1bt1?a2bt2???anbtn?a1b1?a2b2???anbn，1,2,?,n的一個排列。當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時取等號。

簡記作：反序和?亂序和?同序和。

例

19、求證：a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da。

證明：因為a,b,c,d?R有序，所以根據排序不等式同序和最大，即

a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da。

20、幾何法

借助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易。

a?ma

?。例20、已知：a,b,m?R?，且a?b，求證：

b?mb

證明：以b為斜邊，a為直角邊作Rt?ABC

延長AB至D，使BD?m，延長AC至E，使ED?AD，過C作AD的平行線交DE于F，則?ABC∽?ADE，令CE?n，aABa?m

?所以?

bACb?n

a?ma?ma

??。又CE?CF，即n?m，所以

b?mb?nb

E

另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對值不等式、貝努利（J.Bernoulli）不等式、赫爾德（O.H?lder）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，這里不再煩述了。

在實際證明中，以上方法往往相互結合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結合起來加以證明。

第五篇：賦值法證明不等式

賦值法證明不等式的有關問題

1、已知函數f(x)=lnx

（1）、求函數g(x)?(x?1)f(x)?2x?2(x?1)的最小值；

（2）、當0

222a(b?a).a2?b22、已知函數f(x)=xlnx, g(x)= ax?x(a?R)

(1)求函數f(x)的單調區間和極值點；

(2)求使f(x)?g(x)恒成立的實數a的取值范圍；

(3)求證：不等式ln(e?1)?n?n1(n?N?)恒成立 ne3、設函數f(x)?axn(1?x)?b(x?0),n為正整數,a,b為常數.曲線y?f(x)在(1,f(1))處 的切線方程為x?y?1.(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)求函數f(x)的最大值;

(Ⅲ)證明:f(x)?1 ne4、已知函數f(x)=lnx-x+

1（1）、求函數f(x)的最大值；

111??????ln(1?n),n??.23n

2?x5、已知函數f(x)=?aln?x?1?, x?1（2）、求證： 1?

（1）、若函數f(x)在單調遞增，求實數a的取值范圍；

1?2ln?x?1??2x?4,?x?2?;x?

111111（3）、求證：????lnn?1???(n?N?,n?2).462n2n?1（2）、當a=2時，求證：1?

6、已知函數f(x)?e?ax?1(a?0)

（1）求f(x)得最小值；

（2）若f(x)?0對任意的x?R恒成立，求a的取值范圍； x

e?1??2??n?1??n??（3）在（2）的條件下，證明：????????（其中n?N）?????nnnne?1????????

8、已知函數f(x)=e?ax?a, xnnnn

（1）、若a?0,f(x)?0對一切實數x都成立，求實數a的取值范圍。

（2）、設g(x)?f(x)?a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)是曲線y?g(x)上任意兩點，xe

若對于任意的a??1，直線AB的斜率恒大于常數m，求實數m的取值范圍。

(3)、求證：1?3?5??(2n?1)?

2、已知函數f(x)?(x?a)?7blnx?1,其中a，b是常數，且a?0，（1）若b?1時，f(x)在區間上單調遞增，求a的取值范圍； 2nnnn(2n)n(n?N?).e?

14a

2（2）當b?時，討論f(x)的單調性； 7

（3）設n是正整數，證明ln(1?n)?(1?

5、已知函數f(x)=xlnx-ax?x(a?R)

(1)若函數f(x)在處取得極值，求a的值；

(2)若函數f(x)的圖像在直線的圖像的下方，求a的取值范圍；

(3)求證：ln(2?3?4??n)?n?1(n?N?).。

解:(Ⅰ)因為f(1)?b,由點(1,b)在x?y?1上,可得1?b?1,即b?0.因為f?(x)?anxn?1?a(n?1)xn,所以f?(1)??a.又因為切線x?y?1的斜率為?1,所以?a??1,即a?1.故a?1,b?0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)?xn(1?x)?xn?xn?1,f?(x)?(n?1)xn?1（令f?(x)?0,解得x?

在(0,n?x).n?12n27111111????)?7(1?????).22223n23nnn,即f?(x)在(0,??)上有唯一零點x0?.n?1n?1n)上,f?(x)?0,故f(x)單調遞增;n?1

n,??)上,f?(x)?0,f(x)單調遞減.n?1而在（nnnnnn

故f(x)在(0,??)上的最大值為f(.)?()(1?)?n?1n?1n?1(n?1)n?1

111t?1(t?0),則??(t)??2=2(t?0).tttt

在(0,1)上,??(t)?0,故?(t)單調遞減;

而在(1,??)上??(t)?0,?(t)單調遞增.(Ⅲ)令?(t)?lnt?1+

故?(t)在(0,??)上的最小值為?(1)?0.所以?(t)?0(t?1),1即lnt?1?(t?1).t

令t?1?1n?11n?1n?1,得ln,即ln(?)?lne,nnn?1n

nn1n?1n?1所以(.?)?e,即(n?1)n?1nen

nn1由(Ⅱ)知,f(x)?,故所證不等式成立.?(n?1)n?1ne

已知函數f(x)?alnx?ax?3.(a?R)

（1）討論函數f(x)的單調性；

（2）若函數f(x)在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為450，且方程f(x)?m至少有一個實根，求實數m的取值范圍；

（3）求證：ln2ln3lnn1????(n?2,n?N?).23nn