第一篇：怎樣用換元法證明不等式

怎樣用換元法證明不等式

陸世永

我們知道,無(wú)論在中學(xué),還是在大學(xué),不等式的證明都是一個(gè)難點(diǎn)。人們?cè)谧C明不等式時(shí)創(chuàng)造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。

所謂“換元法”就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,從而化繁為簡(jiǎn),或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化,以便證題。其換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,變得容易處理。

一、利用對(duì)稱性換元,化繁為簡(jiǎn)

例1設(shè)a,b,c?R?,求證:abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.分析:經(jīng)過(guò)觀察,我們發(fā)現(xiàn),把a(bǔ),b,c中的兩個(gè)互換,不等式不變,說(shuō)明這是一個(gè)對(duì)稱不等式,如果我們令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則原不等式可化為:

?x?y???y?z???z?x??8xyz.這是一個(gè)較簡(jiǎn)單而且容易與已知不等式聯(lián)系的不等式,因而可以按上述換元證明不等式。

證明:令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則

a?

?12?y?z?,b?12?x?z?,c?12?x?y?.?a,b,c?R,?當(dāng)xyz?0時(shí),有

?x?y???y?z???z?x??8xyz；

當(dāng)xyz?0時(shí),有x,y,z?R?(否則x,y,z中必有兩個(gè)不為正值,不妨設(shè)x?0, y?0,則c?0,這與c?0矛盾), 因此

yz?0,z?x?2zx?0, x?y?2xy?0,y?z?

2?x?y???y?z???z?x??8xyz,綜上所述,恒有

?x?y???y?z???z?x??8xyz,把x,y,z代入上式得:

abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.例2設(shè)a,b,c?R,求證:

?a

?b?c

?a??

?b?c

?

??ab?bc?ca?

??

?a?b?c?2?a2

?b?c??ab?bc?ca?.?

分析:類似于例1,我們不難發(fā)現(xiàn),這也是一個(gè)對(duì)稱不等式,因此可考慮令

x?a?b?c,y?a?b?c,z?ab?bc?ca,則原不等式可化為2?y?z?z2?0.這是一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式,由已知條件可證該不等式,因此我們可按上述換元證明原不等式。

證明:令x?a?b?c,y?a2?b2?c2,z?ab?bc?ca,則

x

?y?2z,y?z?

??a?b?

??b?c???c?a?

??0,原不等式可化為:

yy?z

?

??

x

?y?z?2,將x2?y?2z,代入上式得:

yy?z

?

???y?2z???y?z?,?y?z??y2

?yz??y?2z??y?z??0,?

2?y?z?z?0,又由已知條件可知,2?y?z?z2?0成立,而上述過(guò)程可逆,因此原不等式成立。對(duì)于類似于例1與例2的對(duì)稱不等式，可以結(jié)合不等式的具體形式換元，簡(jiǎn)化不等式的結(jié)構(gòu)，使得不等式容易證明。

二、借助幾何圖形換元

例3已知a,b,c是?ABC三邊的長(zhǎng)，求證：

ab?bc?ca?ab?bc?ca

.分析:(如圖)作?ABC的內(nèi)切圓,設(shè)D,E,F為切點(diǎn),令x?BD,y?CD,z?AE,(其中x,y,z?R?

則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2????z?z????

?z2?

???x?x????

?x2?

??

?y?y??2x?2y?2z.??

利用重要不等式:a?b?2ab可證該不等式,因此可以通過(guò)上述換元證明原不等式。

證明:設(shè)D,E,F為切點(diǎn),令x?BD,y?CD,z?AE,則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2?

????z?z???

?z2?

????x?x???

?x2?

???2x?2y?2z.???1? ?y?y???

又因?yàn)閤,y,z?R?,則有

y

z

?z?2y,z

x

?x?2z,x

y

?y?2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。

從例3可以看出，在證明不等式時(shí)，我們可以根據(jù)題意結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析、換元，從而借助幾何圖形的性質(zhì)來(lái)證明不等式。

三、借助三角函數(shù)的性質(zhì)換元

例4已知:a?1,b?0,a?b?1,求證:0?

1???a?

a?

1??1???b??????1.a??b?

分析:由于a?1,b?0,a?b?1,并且不等式中有a,b,因此我們聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系:sec2??tan2??1.經(jīng)過(guò)對(duì)比,發(fā)現(xiàn)a相當(dāng)于sec2?，b相當(dāng)于

tan?，因而可令：a?sec2?,b?tan2??0???

?

??

?

??

?.2?

證明:令a?sec2?,b?tan2??0???

1???a?

1??????a??

??

?, 則 2?

a?b?

1??? b?

sec??1tan??

1???

2sec?tan?sec?

?sin??1，可見(jiàn)原不等式成立。

例5若x2?y2?1,求證:x2?2xy?y2?

.分析:由x2?y2?1,知點(diǎn)?x,y?在圓x2?y2?1的內(nèi)部或邊界上,因此可以考慮變換:x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??.證明:設(shè)x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??, 則

x?2xy?y

?rcos2??sin2?

?

???2

2rcos?2???

4??2r?

?

2.從例4，例5可以看出，證明不等式時(shí)，我們可以結(jié)合已知條件或不等式的結(jié)構(gòu)與三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，利用三角函數(shù)換元，從而借助三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式。

四、借助均值不等式換元

例6n個(gè)正數(shù)x1,x2,?xn,它們的和是1,求證:

xn?1xn?1?xn

x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

?

xn

xn?x1

?

.分析:就這個(gè)不等式而言,我們?nèi)菀紫氲骄挡坏仁?，但是直接用均值不?/p>

式卻難以證明這個(gè)不等式，因此我們把分子變?yōu)閮身?xiàng)，可令x1?

x2?x3

xn?x1

n

x1?x2

?m1,x2?

?m2,?,xn?

?mn（其中?mi?0）.i?1

證明:令x1?

n

x1?x2

?m1,x2?

x2?x3

?m2,?,xn?

xn?x1

?mn,則

?m

i?1

i

?0.x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

xn?1xn?1?xn

?

xn

xn?x1

?1?

??x?x?m1n??2n??

xn?x1

?

?1?

??x?x?m21??21??

x1?x2

?

?1?

??x?x?m32??22??

x2?x3

???

?

x1?x2

?

x2?x3

4mn

???

xn?x1

??m1?m2???mn??

m1

x1?x2

?

m2

x2?x3

???

xn?x1

?

2?x1?x2???xn?

?，因而原不等式成立。

例6說(shuō)明，在證明不等式時(shí)，可以從不等式的形式出發(fā)，借助均值不等式進(jìn)行換元。

第二篇：不等式證明四(換元法)

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：不等式證明四（換元法）

目的：增強(qiáng)學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問(wèn)題。

過(guò)程：

一、提出課題：（換元法）

二、三角換元：

證一：證二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可設(shè)x?

則2sin?,2y?cos2? 1121????2(1?cot2?)?(1?tan2?)22xysin?cos?

?3?(2cot2??tan2?)?3?2

2例三：若x2?y2?1，求證：|x2?2xy?y2|?2

證：設(shè)x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)，1則|x2?2xy?y2|?|r2cos2??2r2cos?sin??r2sin2?|

????r2|cos2??sin2?|?2r2cos?2????2r2?2 4??

例四：若x > 1，y > 1，求證：xy?1?(x?1)(y?1)

證：設(shè)x?sec2?,?y?sec2?,(0??,??)2?)2

小結(jié) 若x2?y2?1，則可令x = sec?, y = tan?(0???2?)。

?)。2

??若x?R，則可令x = tan?(????)。22若x≥1，則可令x = sec?(0???

三、代數(shù)換元：

例六：證明：若a > 0，則a2?11?2?a??2 2aa

1證：設(shè)x?a?,ay?a2?

21,(a?0,x?2,y?2)2a21??21?則x2?y2??a?a?2??2 ??????a??a??

x?y?a?11?a2?2?2?2（當(dāng)a = 1時(shí)取“=”）

aa

四、小結(jié)：

五、作業(yè)：

1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3

第三篇：換元法證明不等式

換元法證明不等式

已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù),且滿足a^2+b^2=1,c^2+d^2=4,求證:|ac+bd|≤

2a=cosA,b=sinA

c=2cosB,d=2sinB

|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB}=2|cos(A-B)|

<=2

得證

若x+y+z=1，試用換元法證明x2+y2+z2≥1/

3解法一：(換元法)

證明：因?yàn)?/p>

(x-1/3)^2+(y-1/3)^2+(z-1/3)^2≥0

展開，得

x^2+y^2+z^2-2/3*(x+y+z)+3*1/9≥0

x^2+y^2+z^2-2/3+1/3≥0

x^2+y^2+z^2≥1/3。

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1/3時(shí)成立

解法二：

因?yàn)?x+y+z=

1所以:(x+y+z)2=1

化解為:x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1

又因?yàn)椋?/p>

x2+y2≥2xy;

x2+z2≥2xz;

y2+z2≥2yz;

所以x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1<=3(x2+y2+z2)

固x2+y2+z2≥1/3

例1：已知a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3

證明：令a=m+1/3，b=n+1/3，c=t+1/3，則m+n+t=0

∴a2+b2+c2=(m+1/3)2+(n+1/3)2+(t+1/3)2

=m2+n2+t2+2(m+n+t)/3+1/3

=m2+n2+t2+1/3

∵m2+n2+t2≥0，∴a2+b2+c2≥1/3得證。

換元的目的：轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)已知條件，使已知條件更易于使用。

例2：已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)

證明：令x=a-b，y=b-c，則a-c=x+y且x>0，y>0

∴原不等式轉(zhuǎn)化為：1/x+1/y≥4/(x+y)

因此，只要證明：(x+y)/x+(x+y)/y≥

4只要證：1+y/x+1+x/y≥4

只要證：y/x+x/y≥2，而y/x+x/y≥2恒成立。

∴1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)得證。

換元的目的：

化簡(jiǎn)、化熟命題，把復(fù)雜的、不熟悉的命題化為簡(jiǎn)單的、熟悉的命題。

例3：已知(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0，求證：(3-√5)/2≤x2+y2≤(3+√5)/

2證明：令x2+y2=t

由(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0整理得：

(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2

∴(x2+y2)2-3(x2+y2)+1≤0

∴t2-3t+1≤0，解之得：(3-√5)/2≤t≤(3+√5)/2

∴(3-√5)/2≤x2+y2≤(3+√5)/2得證。

換元的目的：轉(zhuǎn)化條件，建立條件與結(jié)論間的聯(lián)系。

例4：已知x-1=(y+1)/2=(z-2)/3，求證：x2+y2+z2≥59/1

4證明：設(shè)x-1=(y+1)/2=(z-2)/3=k，則x=k+1，y=2k-1，z=3k+2

∴x2+y2+z2=(k+1)2+(2k-1)2+(3k+2)2

=14k2+10k+6

=14(k2+5k/7)+6

=14(k+5/14)2+59/14≥59/14

∴x2+y2+z2≥59/14得證。

換元的目的：減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，直接利用已知條件。

例5：已知a>0，求證：(a+(a+(a+(a+…+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5

證明：設(shè)t1=a0.5，t2=(a+a0.5)0.5，……，tn=(a+(a+(a+(a+…+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5tn=(a+tn-1)0.5

tn2=a+tn-1，且tn>0，而tn>tn-

1∴tn20

∴tn

換元的目的：轉(zhuǎn)換、化簡(jiǎn)命題

例6：已知a≥c>0，b≥c，求證：√c(a-c)+√c(b-c)≤√ab

證明：要證明原不等式，只要證明：

√c(a-c)/ab+√c(b-c)/ab≤

1只要證明：√(c/b)(1-c/a)+√c/a(1-c/b)≤1

令sinα=√c/b，sinβ=√c/a，且α、β∈(0，π]

只要證明：sinαcosβ+cosαsinβ≤

1只要證明：sin(α+β)≤1，而sin(α+β)≤1顯然成立

∴原不等式得證。

換元的目的：利用兩個(gè)正數(shù)的和等于1進(jìn)行三角換元，可以將原問(wèn)題得到極大

程度的化簡(jiǎn)，在各種命題的解題中有著廣泛的應(yīng)用。

例7：已知a2+b2=c2，且a、b、c均為正數(shù)，求證：an+bn2且n∈N

證明：設(shè)a=csinα，b=ccosα。α∈(0，π/2)

則：an+bn=cnsinnα+cncosnα=cn(sinnα+cosnα)

∵0

第四篇：換元法證明不等式09

換元法證明不等式

教學(xué)目標(biāo)：

增強(qiáng)學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：三角換元 教學(xué)過(guò)程：

一、提出課題：（換元法）

對(duì)所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作、適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的，這種方法叫換元法。

二、三角換元：

例

一、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：

1x?1y

?3?

22證一：?

?

?1?x

?

1?2xy?(2x?y)?3???3?2?y?yx

?

即：

1x

?

1y

?3?22

證二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可設(shè)x則

1x?1y?

2sin

sin?,y?cos

?

?

?

1cos

?

?2(1?cot?)?(1?tan

?)

?3?(2cot??tan

?)?3?2

例二：若x2證：設(shè)x則|

x

?y

?1，求證：|x

?2xy?y|?

?rsin?,2

y?rcos?,2

(0?r?1)

2，2

?2xy?y|?|rcos??2rcos?sin??rsin

?|

?r

|cos2??sin2?|?2r

???

cos?2????

4??

???

?2

2r

?2

小結(jié)：若0≤x≤1，則可令x = sin?(0(?

?2???

?2)或x = sin2?)。

?y

若x2若x2

?1，則可令?1，則可令

x = cos? , y = sin?(0x = sec?, y = tan?(0

????2

?2

???2?)。???2?)。

?y

若x≥1，則可令x = sec?(0若x?R，則可令x = tan?(?)。

?2

???)。

三、小結(jié)：

還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法，有興趣的課后還可進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

四、作業(yè)：

1．若a

2?b

?1，求證：asinx?bcosx?

1n

n

n

2． 若|x|≤1，求證：(1?x)?(1?x)?2 3． 已知a＋b=1，求證：a4?b4?

1a

1b

4． 若正數(shù)a、b滿足a＋b=1，求證：

?

?4

第五篇：比較法、分析法、綜合法、換元法證明不等式

2a ?b?? ??1?1a?b

2??a2 ?b2?2ab?? ??a2 ?b?1(a?b)2

2??2 2??a?b????整式形

式 ab??????2?? 22?a?b? ab???2? ??? ???a? b??ab???2 根式形式??22 b?a?2(a?b)??? ???b a分式形??2(a,b同號(hào)）? ab?1? ?0?a??2?a??a 倒數(shù)形式??1 ?a?0?a???2?a??

1.比較法、分析法、換元法

一.比較法（作差比較或作商比較）

1）作差比較法：要證不等式a?b?a?b?，只需證a?b?0?a?b?0?即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號(hào)（正或負(fù)）、得出結(jié)論。

2）作商比較法：若b?0，要證不等式a?b，只需證

作商、變形、判斷與1的大小、得出結(jié)論。

222222例1.設(shè)a?b?c，求證：bc?ca?ab?bc?ca?ab aa?1，欲證a?b，需證?1。其步驟為：bb

22例2（1）證明不等式a?b?ab?a?b?

1abba（2）若a>b>0，求證：ab?ab

b?a

2??a?bb（3）若a>b>0，求證：a

二.分析法

a3?b3a?b3?()22例2已知a>0，b>0，求證：

2222證法二由(a?b)?0，得a?2ab?b?0，a?ab?b?ab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)，33223322∴a?b?ab?ab，3a?3b?3ab?3ab 22

∴4a?4b?a?3ab?3ab?b?(a?b)，333223

3a3?b3(a?b)3

?28∴，a3?b3a?b3?()22∴。

2?a?b?練習(xí)．1.已知a?b?0，求證：8a?a?b? a?b??ab?28b2

2.求證

a2?b2a?a?

均值不等式

例3已知a、b、c?R，且a+b+c=1。?

111(?1)?(?1)?(?1)?8bc求證：（1）a

（2）a?b?c?

例4設(shè)a、b、c、d?R，令?s?abcd???a?d?bb?c?ac?d?bd?a?c，求證：1

114??例5已知a>b>c，求證：a?bb?ca?c

2.均值換元法：

使用均值換元法能達(dá)到減元的目的，使證明更加簡(jiǎn)捷直觀有效。例2.已知a，b?R且a?b?1，求證：?a?2???b?2??

2225 2

例3.設(shè)a，b，c為三角形三邊，求證：

4.增量換元法： abc???3 b?c?aa?c?ba?b?c

例4.已知a?2，b?2，求證：a?b?ab