第一篇：幾何法證明不等式

幾何法證明不等式

用解析法證明不等式：

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈R，且a≠b)

設一個正方形的邊為C,有4個直角三角形拼成這個正方形,設三角形的一條直角邊為A,另一條直角邊為B,(B>A)A=B,剛好構成,若A不等于B時,側中間會出現一個小正方形,所以小正方形的面積為(B-A)^2,經化簡有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因為(A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因為A不等與B,所以不取等號

可以在直角三角形內解決該問題

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用幾何方法證明不等式，舉例一下。

比如證明SINx不大于x(x范圍是0到兀/2，閉區間)

做出一個單位圓，以O為頂點，x軸為角的一條邊

任取第一象限一個角x，它所對應的弧長就是1*x=x

那個角另一條邊與圓有一個交點

交點到x軸的距離就是SINx

因為點到直線，垂線段長度最小，所以SINx小于等于x，當且盡當x=0時，取等

已經有的方法：第一數學歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過渡到n);重復遞歸利用結論法;凸函數性質法;

能給出其他方法的就給分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一個是算術，一個是幾何。人類認認識算術才有幾何，人類吃飽了就去研究細微的東西，所以明顯有后者小于前者的結論，這么簡單都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑歸搞笑，我覺得可以這樣做，題目結論相當于證

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)這時n看做固定的。我們討論f的極值，它是一個n元函數，它是沒有最大值的(這個顯然)

我們考慮各元偏導都等于0，得到方程組，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，從而f≥0，里面的具體步驟私下聊，寫太麻煩了。

要的是數學法證明也就是代數法不是用向量等幾何法證明.....有沒有哪位狠人幫我解決下

【柯西不等式的證明】二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立。

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立

令A=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2

當a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知A>0

構造二次函數f(x)=Ax^2+2Bx+C，展開得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2-4AC≤0，移項得AC≥B，欲證不等式已得證。

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學習不等式時，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關鍵所在。現例析如下，供大家討論。例1：設a、b、c是三角形的邊長，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對稱性，不妨設a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無法放縮。所以在運用放

c?a?b[評析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因為2c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無法判斷符號，因此縮法時要注意放縮能否實現及放縮的跨度。

例2：設a、b、c是三角形的邊長，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對稱性，不防設a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運用放縮法前先要觀察目標式子的符號。

例3：設a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對稱性可得[評析]：本題運用了排序不等式進行放縮，后用對稱性。

39例4：設a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設a≤b≤c，則a≤1?又∵(44。∴a??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評析]：本題運用對稱性確定符號，在使用基本不等式可以避開討論。

例5：設a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因為左邊???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(或多個)中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。

第三篇：賦值法證明不等式

賦值法證明不等式的有關問題

1、已知函數f(x)=lnx

（1）、求函數g(x)?(x?1)f(x)?2x?2(x?1)的最小值；

（2）、當0

222a(b?a).a2?b22、已知函數f(x)=xlnx, g(x)= ax?x(a?R)

(1)求函數f(x)的單調區間和極值點；

(2)求使f(x)?g(x)恒成立的實數a的取值范圍；

(3)求證：不等式ln(e?1)?n?n1(n?N?)恒成立 ne3、設函數f(x)?axn(1?x)?b(x?0),n為正整數,a,b為常數.曲線y?f(x)在(1,f(1))處 的切線方程為x?y?1.(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)求函數f(x)的最大值;

(Ⅲ)證明:f(x)?1 ne4、已知函數f(x)=lnx-x+

1（1）、求函數f(x)的最大值；

111??????ln(1?n),n??.23n

2?x5、已知函數f(x)=?aln?x?1?, x?1（2）、求證： 1?

（1）、若函數f(x)在單調遞增，求實數a的取值范圍；

1?2ln?x?1??2x?4,?x?2?;x?

111111（3）、求證：????lnn?1???(n?N?,n?2).462n2n?1（2）、當a=2時，求證：1?

6、已知函數f(x)?e?ax?1(a?0)

（1）求f(x)得最小值；

（2）若f(x)?0對任意的x?R恒成立，求a的取值范圍； x

e?1??2??n?1??n??（3）在（2）的條件下，證明：????????（其中n?N）?????nnnne?1????????

8、已知函數f(x)=e?ax?a, xnnnn

（1）、若a?0,f(x)?0對一切實數x都成立，求實數a的取值范圍。

（2）、設g(x)?f(x)?a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)是曲線y?g(x)上任意兩點，xe

若對于任意的a??1，直線AB的斜率恒大于常數m，求實數m的取值范圍。

(3)、求證：1?3?5??(2n?1)?

2、已知函數f(x)?(x?a)?7blnx?1,其中a，b是常數，且a?0，（1）若b?1時，f(x)在區間上單調遞增，求a的取值范圍； 2nnnn(2n)n(n?N?).e?

14a

2（2）當b?時，討論f(x)的單調性； 7

（3）設n是正整數，證明ln(1?n)?(1?

5、已知函數f(x)=xlnx-ax?x(a?R)

(1)若函數f(x)在處取得極值，求a的值；

(2)若函數f(x)的圖像在直線的圖像的下方，求a的取值范圍；

(3)求證：ln(2?3?4??n)?n?1(n?N?).。

解:(Ⅰ)因為f(1)?b,由點(1,b)在x?y?1上,可得1?b?1,即b?0.因為f?(x)?anxn?1?a(n?1)xn,所以f?(1)??a.又因為切線x?y?1的斜率為?1,所以?a??1,即a?1.故a?1,b?0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)?xn(1?x)?xn?xn?1,f?(x)?(n?1)xn?1（令f?(x)?0,解得x?

在(0,n?x).n?12n27111111????)?7(1?????).22223n23nnn,即f?(x)在(0,??)上有唯一零點x0?.n?1n?1n)上,f?(x)?0,故f(x)單調遞增;n?1

n,??)上,f?(x)?0,f(x)單調遞減.n?1而在（nnnnnn

故f(x)在(0,??)上的最大值為f(.)?()(1?)?n?1n?1n?1(n?1)n?1

111t?1(t?0),則??(t)??2=2(t?0).tttt

在(0,1)上,??(t)?0,故?(t)單調遞減;

而在(1,??)上??(t)?0,?(t)單調遞增.(Ⅲ)令?(t)?lnt?1+

故?(t)在(0,??)上的最小值為?(1)?0.所以?(t)?0(t?1),1即lnt?1?(t?1).t

令t?1?1n?11n?1n?1,得ln,即ln(?)?lne,nnn?1n

nn1n?1n?1所以(.?)?e,即(n?1)n?1nen

nn1由(Ⅱ)知,f(x)?,故所證不等式成立.?(n?1)n?1ne

已知函數f(x)?alnx?ax?3.(a?R)

（1）討論函數f(x)的單調性；

（2）若函數f(x)在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為450，且方程f(x)?m至少有一個實根，求實數m的取值范圍；

（3）求證：ln2ln3lnn1????(n?2,n?N?).23nn

第四篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

數學題目是無限的，但數學的思想和方法卻是有限的。我們只要學好了有關的基礎知識，掌握了必要的數學思想和方法，就能順利地應對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關鍵是你有沒有培養起良好的數學思維習慣，有沒有掌握正確的數學解題方法。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式，形成良性循環。

解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學習，才有希望攻克難關，迎來屬于自己的春天。

第五篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領導：年級組長：使用時間：

放縮法證明不等式

【教學目標】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡單的不等式。

【重點、難點】

重點：放縮法證明不等式。

難點：放縮法證明不等式。

【學法指導】

1.據學習目標，自學課本內容，限時獨立完成導學案；

2.紅筆勾出疑難點，提交小組討論；

3.預習p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時，有時可以通過縮小（或）分式的分母（或），或通過放大（或縮小）被減式（或）來證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項，即多項式加上一些正的值，多項式的值變大，或多項式減上一些正的值，多項式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分

式值增大。

如當(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數單調性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

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