第一篇：高代下試卷1

高代下試卷1

一、填空：（每空2分，計16分）

1、Fn中n個向量線性無關的充要條件是（）。

2、F3中，?1?(1,?1,0),?2?(?1,1,3),?3?(4,0,0),?4?(1,5,5)，W?L(?1,?,?4)，則dimW=（）。

3、設?是n維向量空間V的線性變換，且?1,?2,?,?n是V的基，則Im(?)=（）。

4、A是n階正交矩陣，則det(kA)=（）。

225、二次型q(x1,x2,x3)?x12?x2，慣性指標為（）。?2x3?2x1x2?4x2x3的秩為（）

Art6、設?1,?2,?,?n是n階矩陣A的全部特征根，則detA=（），=（）。

二、判斷：（每題2分，計14分）

1、若?1,?,?m與?1,?,?n均線性無關，則?1,?,?m，?1,?,?n線性無關。（）

2、同一向量在不同基下的坐標一定不同，不同向量在同一基下的坐標可能相同。（）

3、若??L(V)，則ker(?)?ker(?2)?ker(?3)??。（）

4、設?1,?2是線性變換?的兩個不同的本征值，而?1,?2是分別屬于?1,?2的本征向量，則?1??2是?的本征向量。（）

5、n(n?0)維的歐氏空間一定有規范正交基。（）

6、行列式大于零的實對稱矩陣必為正定矩陣。（）

7、保持兩個向量距離不變的線性變換是對稱變換。（）

三、解答與證明：（70分）

1、設?1?(1,?2,4,1),?2?(2,?3,9,?1)，?3?(1,0,5,?5),?4?(2,?5,7,5)，W1?L(?1,?2),W2?L(?3,?4)，求W1?W2的基和維數。（12分）

?5

?

2、設R上三維向量空間的線性變換?關于基?1,?2,?3的矩陣為A??0

?0?

03?2

0??

?2?，問?是否可以對角化，3??

若可以，給出相應的基。（12分）

3、證明：向量??0生成的子空間在?之下不變的充要條件是?為?的一個本征向量。（12分）

4、在歐氏空間Rn中，令?(?)?U?，其中U是一個n階正交矩陣，?是Rn中任意列向量。證明：?是Rn的正交變換。（12分）

2225、判定二次型q(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?4x2x3是否正定，并求其標準形及相應的線性變換。（12

分）

?06、證明：W?{??b

?

?

?|a,b?F}為F上的向量空間。（10分）a?b??a

第二篇：高代試題(下)

2008-2009 高等代數（II）期中試題

姓名班級學號

一、判斷題（正確的結論打“√”，否則打“×”。10個小題，每小題1分，共10分）

１、（）設A為n階正定矩陣，則A?1也是正定矩陣；２、（X）實二次型f(x1,?,xn)的正、負慣性指數的和等于n；

３、（X）設?是M?Z到M'?Z?的映射，?n?Z，?(n)?|n|?1，則?是單射；４、（）設V1,V2是線性空間V的兩個子空間，則V1?V2也是V的子空間；５、（）在R3中，?(x1,x2,x3)?(2x1,x2,x2?x3)是線性變換；

６、（）設A?Pn?n，?是A的特征值，則k?(k?P)是kA的特征值； ７、（）在n維歐氏空間中，?是正交變換的充要條件是：?保持向量的長度不變； ８、（）實對稱矩陣的特征值一定是實數； ９、（X）同一個雙線性函數在任何一組基下的度量矩陣都是相同的；

10、（X）L(V,P)的維數等于V的維數。

二、填空題（10個小題，每小題2分，共20分）

１、實二次型的矩陣都是矩陣； ２、如果實對稱矩陣A正定，則它主對角線上的元素； ３、子空間V1，V2的和V1?V2? ４、如果向量空間V的維數是n，那么，V中任意n?1個向量都是 線性相關； ５、線性空間V上的線性變換?的零度指的是； ６、屬于特征值?0的特征向量有個； ７、在歐氏空間中，長度為0的向量有個； ８、標準正交基的度量矩陣是； ９、線性空間V上的雙線性函數f(?,?)稱為非退化的是指：；

10、線性空間V也可看成V*的線性函數空間。

三、計算題（3個小題，每小題10分，共30分）

１、設?1?(1,2,1,0)，?2?(?1,1,1,1)；?1?(2,?1,0,1)，?2?(1,?1,3,7)，試求L(?1,?2)與L(?1,?2)交空間的基和維數。

２、已知線性變換在某一組基下的矩陣

66??3

??A??020?

??3?12?6???可以對角化，試寫出相應的基變換的過度矩陣T，并驗算T?1AT。３、在R[x]4中定義內積為(f(x),g(x))?

?

?1

f(x)g(x)dx，求R[x]4的一組正交基。

四、證明題（４個小題，每小題10分，共４0分）

１、設A?C，A?A'，證明：存在B?C，使A?B'B。

２、把復數域C看成是實數域R上的線性空間，試用兩種方法證明C與R2同構。

３、證明：在線性空間V中，如果線性變換?以V中每一個非零向量作為它的特征向量，則?是數乘變換。

４、證明：歐氏空間中的任意正交向量組都是線性無關的。

n?n

n?n

--

第三篇：高代提綱

(一)實數集與函數

1、實數：實數的概念；實數的性質；絕對值不等式。

2、函數：函數的概念；函數的定義域和值域；復合函數；反函數。

3、函數的幾何特性：單調性；奇偶性；周期性。

要求：理解和掌握絕對值不等式的性質，會求解絕對值不等式；掌握函數的概念和表示方法，會求函數的定義域和值域，會證明具體函數的幾何特性。

(二)數列極限

1、數列極限的概念（??N定義）。

2、數列極限的性質：唯一性；有界性；保號性。

3、數列極限存在的條件：單調有界準則；兩邊夾法則。

要求：理解和掌握數列極限的概念，會使用??N語言證明數列的極限；掌握數列極限的基本性質、運算法則以及數列極限的存在條件(單調有界原理和兩邊夾法則)，并能運用它們求數列極限；了解無窮小量和無窮大量的概念性質和運算法則，會比較無窮小量與無窮大量的階。(三)函數極限

1、函數極限的概念（???定義、??X定義）；單側極限的概念。

2、函數極限的性質：唯一性；局部有界性；局部保號性。

3、函數極限與數列極限的聯系。

4、兩個重要極限。

要求：理解和掌握函數極限的概念，會使用???語言以及??X語言證明函數的極限；掌握函數極限的基本性質、運算法則，會使用海涅歸結原理證明函數極限不存在；掌握兩個重要極限并能利用它們來求極限；了解單側極限的概念以及求法。

(四)函數連續

1、函數連續的概念：一點連續的定義；區間連續的定義；單側連續的定義；間斷點的分類。

2、連續函數的性質：局部性質及運算；閉區間上連續函數的性質（最值性、有界性、介值性、一致連續性）；復合函數的連續性；反函數的連續性。

3、初等函數的連續性。

要求：理解與掌握函數連續性、一致連續性的定義以及它們的區別和聯系，會證明具體函數的連續以及一致連續性；理解與掌握函數間斷點的分類；能正確敘述并簡單應用閉區間上連續函數的性質；了解反函數、復合函數以及初等函數的連續性。

（五）實數系六大基本定理及應用

1、實數系六大基本定理：確界存在定理；單調有界定理；閉區間套定理；致密性定理；柯西收斂準則；有限覆蓋定理。

2、閉區間上連續函數性質的證明：有界性定理的證明；最值性定理的證明；介值性定理的證明；一致連續性定理的證明。

要求：理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數集的上、下確界；理解和掌握閉區間上連續函數性質及其證明；能正確敘述實數系六大基本定理的內容及其證明思想，會使用開覆蓋以及二分法構造區間套進行簡單證明。

（六）導數與微分

1、導數概念：導數的定義；單側導數；導數的幾何意義。

2、求導法則：初等函數的求導；反函數的求導；復合函數的求導；隱函數的求導；參數方程的求導；導數的運算(四則運算)。

3、微分：微分的定義；微分的運算法則；微分的應用。

4、高階導數與高階微分。

要求：能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求具體函數的（高階）導數和微分；理解和掌握可導與可微、可導與連續的概念及其相互關系；掌握左、右導數的概念以及分段函數求導方法，了解導函數的介值定理。

（七）微分學基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。

2、泰勒公式。

要求：理解和掌握中值定理的內容、證明及其應用；了解泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠把某些函數按泰勒公式展開

（八）導數的應用

1、函數的單調性與極值。

2、函數凹凸性與拐點。

3、幾種特殊類型的未定式極限與洛必達法則。

要求：理解和掌握函數的單調性和凹凸性，會使用這些性質求函數的極值點以及拐點；能根據函數的單調性、凹凸性、拐點、漸近線等進行作圖；能熟練地運用洛必達法則求未定式的極限。

（九）不定積分

1、不定積分概念。

2、換元積分法與分部積分法。

3、有理函數的積分。

要求：理解和掌握原函數和不定積分概念以及它們的關系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數、有理函數、三角函數的不定積分。

（十）定積分

1、定積分的概念；定積分的幾何意義。

2、定積分存在的條件：可積的必要條件和充要條件；達布上和與達布下和；可積函數類(連續函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)。

3、定積分的性質：四則運算；絕對值性質；區間可加性；不等式性質；積分中值定理。

4、定積分的計算：變上限積分函數；牛頓-萊布尼茲公式；換元公式；分部積分公式。要求：理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數類；熟練掌握和運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。

（十一）定積分的應用

1、定積分的幾何應用：微元法；求平面圖形的面積；求平面曲線的弧長；求已知截面面積的立體或者旋轉體的體積；求旋轉曲面的面積。

2、定積分的物理應用：求質心；求功；求液體壓力。

要求：理解和掌握“微元法”；掌握定積分的幾何應用；了解定積分的物理應用。十二）數項級數

1、預備知識：上、下極限；無窮級數收斂、發散的概念；收斂級數的基本性質；柯西收斂原理。

2、正項級數：比較判別法；達朗貝爾判別法；柯西判別法；積分判別法。

3、任意項級數：絕對收斂與條件收斂的概念及其性質；交錯級數與萊布尼茲判別法；

阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握正項級數的收斂判別法以及交錯級數的萊布尼茲判別法；掌握一般項級數的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解上、下極限的概念和性質以及絕對收斂和條件收斂的概念和性質。

（十三）反常積分

1、無窮限的反常積分：無窮限的反常積分的概念；無窮限的反常積分的斂散性判別法。

2、無界函數的反常積分：無界函數的反常積分的概念；無界函數的反常積分的斂散性判別法。

要求：理解和掌握反常積分的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準則，會判斷某些反常積分的斂散性。

（十四）函數項級數

1、一致收斂的概念。

2、一致收斂的性質：連續性定理；可積性定理；可導性定理。

3、一致收斂的判別法；M-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握一致收斂的概念、性質及其證明；能夠熟練地運用M-判別法判斷一些函數項級數的一致收斂性。

（十五）冪級數

1、冪級數的概念以及冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域。

2、冪級數的性質。

3、函數展開成冪級數。

要求：理解和掌握冪級數的概念，會求冪級數的和函數以及它的收斂半徑、收斂區間、收斂域；掌握冪級數的性質以及兩種將函數展開成冪級數的方法，會把一些函數直接或者間接展開成冪級數。

十六）傅里葉級數

1、傅里葉級數：三角函數系的正交性；傅里葉系數。

2、以2?為周期的函數的傅里葉級數。

3、以2L為周期的傅里葉級數。

4、收斂定理的證明。

5、傅里葉變換。

要求：理解和掌握三角函數系的正交性與傅里葉級數的概念；掌握傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數；了解收斂定理的證明以及傅里葉變換的概念和性質。十七）多元函數極限與連續

1、平面點集與多元函數的概念。

2、二元函數的二重極限、二次極限。

3、二元函數的連續性。

要求：理解和掌握二元函數的二重極限、二次極限的概念以及它們之間的關系，會計算一些簡單的二元函數的二重極限和二次極限；掌握平面點集、聚點的概念；了解平面點集的幾個基本定理以及閉區域上多元連續函數的性質。

（十八）多元函數的微分學

1、偏導數與全微分：偏導數與全微分的概念；可微與可偏導、可微與連續、可偏導與連續的關系。

2、復合函數求偏導數以及隱函數求偏導數。

3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。

4、方向導數與梯度。

5、多元函數的泰勒公式。

6、極值和條件極值

要求：理解和掌握偏導數、全微分、方向導數、梯度的概念及其計算；掌握多元函數可微、可偏導和連續之間的關系；會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數的極值、最值；了解多元泰勒公式。（十九）隱函數存在定理、函數相關

1、隱函數：隱函數存在定理；反函數存在定理；雅克比行列式。

2、函數相關。

要求：了解隱函數的概念及隱函數存在定理，會求隱函數的導數；了解函數行列式的性質以及函數相關。

（二十）含參變量積分以及反常積分

1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導交換次序；兩個積分號交換次序。

2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致收斂的判別法；歐拉積分、?函數、?函數。

要求：理解和掌握積分號下求導的方法；掌握?函數、?函數的性質及其相互關系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

（二十一）重積分

1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質。

2、二重積分的計算：用直角坐標計算二重積分；用極坐標計算二重積分；用一般變換計算二重積分。

3、三重積分計算：用直角坐標計算三重積分；用柱面坐標計算三重積分；用球面坐標計算三重積分。

4、重積分應用：求物體的質心、轉動慣量；求立體體積，曲面的面積；求引力。要求：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點，會選擇最合適的方法進行積分；掌握并合理運用重積分的對稱性簡化計算；了解柱面坐標和球面坐標積分元素的推導。（二十二）曲線積分與曲面積分

1、第一類曲線積分：第一類曲線積分的概念、性質與計算；第一類曲線積分的對稱性。

2、第二類曲線積分：第二類曲線積分的概念、性質與計算；兩類曲線積分的聯系。

3、第一類曲面積分：第一類曲面積分的概念、性質與計算；第一類曲面積分的對稱性。

4、第二類曲面積分：曲面的側；第二類曲面積分的概念、性質與計算；兩類曲面積分的聯系。

5、格林公式：曲線積分與路徑的無關的四種等價敘述。

6、高斯公式。

7、斯托克斯公式。

8、場論初步：梯度；散度；旋度。

要求：理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質與計算，會使用對稱性簡化第一類曲線以及曲面積分；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區別和聯系；了解斯托克斯公式和場論初步。

《高等代數》復習參考提綱

（一）多項式

數域，整除的概念與性質，最大公因式，因式分解，重因式，多項式函數，有理系數多項式，多元多項式，對稱多項式。

（二）行列式

排列，n階行列式的概念，n階行列式的性質，行列式的計算，行列式按一行（列）展開，拉普拉斯（Lap lace）定理，克蘭姆法則。

(三)線性方程組

消元法，矩陣，矩陣的秩，線性方程組的初等變換等概念及性質，線性方程組有解判別定理。n維向量的概念及運算；向量組的線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念；向量組的線性相關性的判定；兩個向量組的等價；向量組的極大無關組、秩的概念及性質；向量組的秩與矩陣的秩的關系。線性方程組解的結構。

(四)矩陣

矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊矩陣的初等變換及應用。

(五)二次型

二次型的矩陣表示，標準形，唯一性，慣性定律，正定二次型。

（六）線性空間

線性空間的概念與性質，維數，基，坐標，基變換，坐標變換，子空間，子空間的和與交，子空間的直和，線性空間的同構。

（七）線性變換

線性變換的概念與性質，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，矩陣相似對角矩陣的各種條件，線性變換的值域和核，不變子空間，Jordan標準形，最小多項式。

（八）?-矩陣

?-矩陣的標準形，行列式因子，不變因子，初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的有理標準形。

（九）歐幾里得空間

歐幾里得空間的概念與性質，標準正交基，歐幾里得空間的子空間與同構，正交變換與對稱變換，Schimidt正交化方法，實對稱矩陣的標準形，最小二乘法，酉空間。

（十）雙線性函數

線性函數，對偶空間，雙線性函數。

第四篇：高代考研大綱[定稿]

《高等代數》復習參考提綱

課程考試內容

（一）多項式

數域，整除的概念與性質，最大公因式，因式分解，重因式，多項式函數，有理系數多項式，多元多項式，對稱多項式。

（二）行列式

排列，n階行列式的概念，n階行列式的性質，行列式的計算，行列式按一行（列）展開，拉普拉斯（Lap lace）定理，克蘭姆法則。

(三)線性方程組

消元法，矩陣，矩陣的秩，線性方程組的初等變換等概念及性質，線性方程組有解判別定理。n維向量的概念及運算；向量組的線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念；向量組的線性相關性的判定；兩個向量組的等價；向量組的極大無關組、秩的概念及性質；向量組的秩與矩陣的秩的關系。線性方程組解的結構。

(四)矩陣

矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊矩陣的初等變換及應用。

(五)二次型

二次型的矩陣表示，標準形，唯一性，慣性定律，正定二次型。

（六）線性空間

線性空間的概念與性質，維數，基，坐標，基變換，坐標變換，子空間，子空間的和與交，子空間的直和，線性空間的同構。

（七）線性變換

線性變換的概念與性質，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，矩陣相似對角矩陣的各種條件，線性變換的值域和核，不變子空間，Jordan標準形，最小多項式。

（八）?-矩陣

?-矩陣的標準形，行列式因子，不變因子，初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的有理標準形。

（九）歐幾里得空間

歐幾里得空間的概念與性質，標準正交基，歐幾里得空間的子空間與同構，正交變換與對稱變換，Schimidt正交化方法，實對稱矩陣的標準形，最小二乘法，酉空間。

（十）雙線性函數

線性函數，對偶空間，雙線性函數。

考試形式與試題結構

1、試卷分值：150分

2、考試時間：180分鐘

3、考試形式：閉卷

4、題型結構：填空題，計算題，證明題。

參考書目

1、北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，《高等代數》（第三版），北京，高等教育出版社。

2、張禾瑞，郝鈵新，《高等代數》（第四版），北京，高等教育出版社。

3、李師正等，《高等代數解題方法與技巧》，北京，高等教育出版社。

第五篇：高代習題

1、在P2?2?10?中，令W?{B?P2?2|AB?BA}，其中A??.??32?

（1）證明：W是P2?2的一個子空間；

（2）求W的維數及一組基。

2、設n階實方陣A滿足矩陣方程：A?4A?3E?0.證明：B?(2E?A)T(2E?A)2

是正定矩陣。

3、設n階實方陣A是可逆的，試證明：A的逆矩陣A?1與伴隨矩陣A*都可表示為A的多項式。

4、已知?1,?2,?3是線性空間V3的一組基，線性變換?在該組基下的矩陣為：

?122??A??212??，??221??

且?1??1??2??3,?2???1??2,?3???2??3.（1）證明：?1,?2,?3也是V3的一組基；

（2）求?在基?1,?2,?3下的矩陣。

?32?1???

5、設3階方陣A???2?22?.（1）證明：A可對角化；（2）試求兩個可逆

??36?1??

?1?1,PP?PPAP?P矩陣P且，使得1212112AP2??為對角形矩陣。

6、設3階方陣A的三個特征值分別為0，1，－1，其對應的特征向量依次為：

?0??1??2??,X??1?,X??4?X1??1??2??3??,????2????1???0??

試求A100.