第一篇：三角形中的常用輔助線方法總結

數學：三角形中的常用輔助線

典型例題

人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。

全等三角形輔助線 找全等三角形的方法：

（1）可以從結論出發，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： ①延長中線構造全等三角形； ②利用翻折，構造全等三角形； ③引平行線構造全等三角形； ④作連線構造等腰三角形。

常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

思路分析：

1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在添加輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯系，為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數學思想，它是解決問題的關鍵。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。

2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。

解答過程：

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解題后的思考：題目中如果出現了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）題意分析：本題考查角平分線定理的應用。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：

①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

小結：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的，體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形。

（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。

解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：

截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

1）對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。

2）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明。

小結：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

同步練習

（答題時間：90分鐘）

這幾道題一定要認真思考啊，都是要添加輔助線的，開動腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！

1、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。

2、已知，如圖2，∠1=∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，AB+BC=2BD。求證：∠BAP+∠BCP=180°。

3、已知，如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB=AC+CD。

試題答案

1、分析：因為平角等于180°，因而應考慮把兩個不在一起的角通過全等轉化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關鍵在于構造直角三角形，可通過“截長法或補短法”來實現。

證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DF⊥BC于點F，如圖1-2

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠DAE=∠DCF。

又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°

2、分析：與1相類似，證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補角，即證明∠BCP=∠EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構造。

證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖2-2

∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS)，∴∠PAE=∠PCD

又∵∠BAP+∠PAE=180°。∴∠BAP+∠BCP=180°

3、分析：從結論分析，“截長”或“補短”都可實現問題的轉化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。

證明：方法一（補短法）

延長AC到E，使DC=CE，則∠CDE＝∠CED，如圖3-2

∴△AFD≌△ACD（SAS），∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB。∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD。

4、證明：（方法一）

將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE； ① 在△BDM中，MB+MD>BD； ② 在△CEN中，CN+NE>CE； ③ 由①+②+③得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC（方法二：圖4-2）

延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF、△GFC和△GDE中有： AB+AF>BD+DG+GF

① GF+FC>GE+CE

② DG+GE>DE

③ 由①+②+③得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。

5、分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=CA（全等三角形對應邊相等）

∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC>2AD。

6、分析：欲證AC=BF，只需證AC、BF所在兩個三角形全等，顯然圖中沒有含有AC、BF的兩個全等三角形，而根據題目條件去構造兩個含有AC、BF的全等三角形也并不容易。這時我們想到在同一個三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉移到同一個三角形中，只要說明轉移到同一個三角形以后的這兩條線段，所對的角相等即可。

思路

一、以三角形ADC為基礎三角形，轉移線段AC，使AC、BF在三角形BFH中

方法一：延長AD到H，使得DH=AD，連結BH，證明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。

通過證明∠H=∠BFH，得到BF=BH。

∴ △ADC≌△HDB(SAS)

∴ AC=BH，∠H=∠HAC

∵ EA=EF

∴ ∠HAE=∠AFE

又∵ ∠BFH=∠AFE

∴BH=BF

∴BF=AC

方法二：過B點作BH平行AC，與AD的延長線相交于點H，證明△ADC和△HDB全等即可。

小結：對于含有中點的問題，通過“倍長中線” 可以得到兩個全等三角形。而過一點作已知直線的平行線，可以起到轉移角的作用，也起到了構造全等三角形的作用。

思路

二、以三角形BFD為基礎三角形。轉移線段BF，使AC、BF在兩個全等三角形中

方法三：延長FD至H，使得DH=FD，連接HC。證明△CDH和△BDF全等即可。

∴ △BFD≌△CHD(SAS)∴ ∠H=∠BFH ∵ AE=FE ∴ ∠HAC=∠AFE 又∵ ∠AFE=∠BFH ∴ ∠H=∠HAC ∴ CH=CA ∴ BF=AC 方法四：過C點作CH平行BF，與AD的延長線相交于點H，證明△CDH和△BDF全等即可。

第二篇：三角形中常用的輔助線作法舉例總結

《三角形中常用的輔助線作法舉例》總結

幾何是初中教學的一門重要課程，其基本思路是將復雜的問題轉化為較為熟悉的或已經掌握的問題，不少幾何問題都需要進行這種轉化，添加適當的輔助線就是實現這種轉化的一種重要手段。要系統地掌握添加輔助線的方法并非易事。梁永平老師從幾何學習的基礎三角形中有關輔助線講起，系統闡述了以下幾方面內容。

一、輔助線的涵義

1、為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫做輔助線。

2、輔助線在幾何題中的三個作用：

（1）輔助線能巧妙地連接起已知條件與未知條件，是解題的橋梁。

（2）輔助線能夠把分散的條件集中起來，構成基本圖形，便于利用圖形性質去解題。

（3）輔助線能使隱蔽的條件明朗化，為順利解幾何題創造條件。

二、添加輔助線的基本思路

由于證明幾何題有兩種基本方法—綜合法和分析法。因此，做輔助線有兩條基本思路：一是從綜合法的需要出發做輔助線。用綜合法證題，從已知推證結論受阻時，可以從圖形的特征入手，根據添加輔助線的規律，巧設輔助線，利用圖形的性質繼續推證；二是從分析法的需要做輔助線。用分析法證題，當從結論出發，尋找使結論成立的條件，難以進行下去時，可以添加輔助線，使追溯過程進行下去。三、三角形中的輔助線

添加輔助線的目的是將分散的元素集中，是使隱蔽的條件顯現，把復雜的問題化簡。梁永平老師從全等三角形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形等方面淺析三角形中輔助線的添法。3.1、三角形中的不等關系

（1）利用三角形的三邊關系（2）利用三角形外角定理

3.2、全等三角形的輔助線作法

1、找全等三角形的方法：

2、三角形中常見輔助線的作法：（1）連接構全等

（2）倍長中線（線段）造全等（3）截長補短法（4）軸對稱變換（5）平行變換

（6）借助角平分線造全等 3.3、等腰三角形輔助線的作法

（1）利用三線合一作輔助線（2）作平行線構造等腰三角形（3）運用角平分線作垂線

（4）依據角平分線+垂線構造等腰三角形；（5）用“截長補短法” 構造等腰三角形（6）依據2倍角關系構造等腰三角形（7）等腰三角形轉化等邊三角形解題

3.4、直角三角形常用的輔助線

（1）運用勾股定理及其逆定理求解（2）利用給定的特殊角求解

（3）利用等腰直角三角形的性質求解（4）利用斜邊上中線的性質求解（5）逆用特殊角的三角函數定義求解（6）綜合運用

3.5、相似三角形常用的輔助線

1、相似三角形一些常用的方法

2、相似三角形中的輔助線（1）作平行線（2）作延長線（3）作中線（4）作高

3、中考綜合題型

講座中梁老師把三角形輔助線問題分門別類的總結，結合這些年中考試題細心的講解，思路清晰。與會的老師積極討論、研究、做好自己的筆記，收益良多。希望各位老師在今后教學中勤于思考，勤于總結，帶著收獲，帶著感悟，帶著滿腔熱情投身與課堂教學中，創造出屬于自己的一片天地。

最后謝謝各位老師的積極參與，謝謝梁老師精心的講解。

肇源縣教師進修學校 高寒竹

2017年8月23日

第三篇：初二三角形常見輔助線做法總結及相關試題_周末

數學專題——三角形中的常用輔助線

常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：

①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求證：CD=AD+BC。

2）解題思路：結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。小結：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

第四篇：初二三角形常見輔助線做法總結及相關試題 周末

數學專題——三角形中的常用輔助線

找全等三角形的方法：

（1）可以從結論出發，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：

①延長中線構造全等三角形；②利用翻折，構造全等三角形； ③引平行線構造全等三角形；④作連線構造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

思路分析：

1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在添加輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯系，為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數學思想，它是解決問題的關鍵。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。

2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。

解答過程：

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解題后的思考：題目中如果出現了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）題意分析：本題考查角平分線定理的應用。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：

①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

小結：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的，體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形。

（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。

解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：

截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

1）對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。

2）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明。

小結：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

第五篇：初中數學輔助線總結

初中數學幾何做輔助線的口訣-----作輔助線的方法和技巧

題中有角平分線，可向兩邊作垂線。

線段垂直平分線，可向兩端把線連。

三角形中兩中點，連結則成中位線。

三角形中有中線，延長中線同樣長。

成比例，正相似，經常要作平行線。

圓外若有一切線，切點圓心把線連。

如果兩圓內外切，經過切點作切線。

兩圓相交于兩點，一般作它公共弦。

是直徑，成半圓，想做直角把線連。

作等角，添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內接圓，內角平分線夢圓