全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法(有答案)

總論：全等三角形問(wèn)題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等

【三角形輔助線做法】

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

1.等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題

2.倍長(zhǎng)中線：倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形

3.角平分線在三種添輔助線

4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端

5.用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”：

遇到有二條線段長(zhǎng)之和等于第三條線段的長(zhǎng)，6.圖形補(bǔ)全法：有一個(gè)角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形

7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個(gè)角為30度或60度，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。

8.計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。

常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。

1)

遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”法構(gòu)造全等三角形．

2)

遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”

法構(gòu)造全等三角形．

3)

遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．（2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。

4)

過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

5)

截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目．

6)

已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。

特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答．

一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.應(yīng)用：

1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①

當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．

二、截長(zhǎng)補(bǔ)短

1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2、如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;AB＝AD+BC。

3、如圖，已知在內(nèi)，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：

5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC

應(yīng)用：

三、平移變換

例1

AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)記為，△EBC周長(zhǎng)記為.求證＞.例2

如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等

1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).應(yīng)用：

1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

(第23題圖)

O

P

A

M

N

E

B

C

D

F

A

C

E

F

B

D

圖①

圖②

圖③

（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

五、旋轉(zhuǎn)

例1

正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).例2

D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。

（1）

當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。

（2）

若AB=2，求四邊形DECF的面積。

例3

如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為；

應(yīng)用：

1、已知四邊形中，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于．

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

（圖1）

（圖2）

（圖3）

2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);

(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且，BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．

圖1

圖2

圖3

（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；

此時(shí)；

（II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；

（III）

如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q=

（用、L表示）．

參考答案與提示

一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.解：延長(zhǎng)AD至E使AE＝2AD，連BE，由三角形性質(zhì)知

AB-BE

<2AD

故AD的取值范圍是1

例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍長(zhǎng)中線,等腰三角形“三線合一”法)延長(zhǎng)FD至G使FG＝2EF，連BG，EG,顯然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三線合一知

EG＝EF

在△BEG中，由三角形性質(zhì)知

EG

故：EF

例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.解：延長(zhǎng)AE至G使AG＝2AE，連BG，DG,顯然DG＝AC，∠GDC=∠ACD

由于DC=AC，故

∠ADC=∠DAC

在△ADB與△ADG中，BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE

應(yīng)用：

1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①

當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．

解：（1），；

證明：延長(zhǎng)AM到G，使，連BG，則ABGC是平行四邊形

G

C

H

A

B

D

M

N

E

∴，又∵

∴

再證：

∴，延長(zhǎng)MN交DE于H

∵

∴

∴

（2）結(jié)論仍然成立．

證明：如圖，延長(zhǎng)CA至F，使，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BF

∵，∴

F

C

P

A

B

D

M

N

E

∵在和中

∴（SAS）

∴，∴

∴

又∵，∴，且

∴，二、截長(zhǎng)補(bǔ)短

1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC

解：（截長(zhǎng)法）在AB上取中點(diǎn)F，連FD

△ADB是等腰三角形，F(xiàn)是底AB中點(diǎn)，由三線合一知

DF⊥AB，故∠AFD＝90°

△ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC2、如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;AB＝AD+BC

解：（截長(zhǎng)法）在AB上取點(diǎn)F，使AF＝AD，連FE

△ADE≌△AFE（SAS）

∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180°

∠AFE+∠BFE＝180°

故∠ECB＝∠EFB

△FBE≌△CBE（AAS）

故有BF＝BC

從而;AB＝AD+BC3、如圖，已知在△ABC內(nèi)，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP

解：（補(bǔ)短法,計(jì)算數(shù)值法）延長(zhǎng)AB至D，使BD＝BP，連DP

在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°

從而∠BDP＝40°＝∠ACP

△ADP≌△ACP（ASA）

故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝∠QCB

故

BQ＝QC

BD＝BP

從而B(niǎo)Q+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：

解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)BA至F，使BF＝BC，連FD

△BDF≌△BDC（SAS）

故∠DFB＝∠DCB，F(xiàn)D＝DC

又AD＝CD

故在等腰△BFD中

∠DFB＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD＝180°

5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC

解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至F，使AF＝AB，連PD

△ABP≌△AFP（SAS）

故BP＝PF

由三角形性質(zhì)知

PB－PC＝PF－PC

CF＝AF－AC＝AB－AC

應(yīng)用：

分析：此題連接AC，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問(wèn)題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過(guò)證明三角形全等解決它們的問(wèn)題。

解：有

D

E

A

C

B

F

連接AC，過(guò)E作并AC于F點(diǎn)

則可證為等邊三角形

即，∴

又∵，∴

D

E

A

C

B

又∵

∴

在與中，∴

∴

∴

點(diǎn)評(píng)：此題的解法比較新穎，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問(wèn)題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。

三、平移變換

例1

AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)記為，△EBC周長(zhǎng)記為.求證＞.解：（鏡面反射法）延長(zhǎng)BA至F，使AF＝AC，連FE

AD為△ABC的角平分線,MN⊥AD

知∠FAE＝∠CAE

故有

△FAE≌△CAE（SAS）

故EF＝CE

在△BEF中有：

BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC

從而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA

例2

如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點(diǎn)M,連AM并延長(zhǎng)至N,使MN=AM,連BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延長(zhǎng)ND交AB于P,則BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分線造全等

1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD，DC+AE

=AC

證明L(角平分線在三種添輔助線,計(jì)算數(shù)值法)∠B=60度,則∠BAC+∠BCA=120度;

AD,CE均為角平分線,則∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;

∠AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF

.則⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;

∠AOF=∠AOE=60度.則∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;

又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接BD，DC

DG垂直平分BC，故BD＝DC

由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有

ED＝DF

故RT△DBE≌RT△DFC（HL）

故有BE＝CF。

AB+AC＝2AE

AE＝（a+b）/2

BE=(a-b)/2

應(yīng)用：

1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

(第23題圖)

O

P

A

M

N

E

B

C

D

F

A

C

E

F

B

D

圖①

圖②

圖③

（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為

（2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。

證法一：如圖1，在AC上截取，連結(jié)FG

∵，AF為公共邊，∴

∴，F(xiàn)

B

E

A

C

D

圖

G

∵，AD、CE分別是、的平分線

∴

∴

∴

∵及FC為公共邊

∴

∴

∴

證法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)F分別作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H

F

B

E

A

C

D

圖

H

G

∵，AD、CE分別是、的平分線

∴可得，F(xiàn)是的內(nèi)心

∴，又∵

∴

∴可證

∴

五、旋轉(zhuǎn)

例1

正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).證明：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG

則GE=GB+BE=DF+BE=EF

又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG

所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF

又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90

所以∠EAF=45度

例2

D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。

(1)當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。

(2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。

解：(計(jì)算數(shù)值法)（1）連接DC，D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，故有CD⊥AB，CD＝DA

CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°

由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°

由于

CD⊥AB，有∠CDA＝90°

從而∠CDE＝∠FDA＝

故有△CDE≌△ADF（ASA）

故有DE=DF

（2）S△ABC=2,S四DECF=

S△ACD=1

例3

如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為；

解：(圖形補(bǔ)全法,“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”,計(jì)算數(shù)值法)

AC的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，在線段CF上取點(diǎn)E，使CE＝BM

∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，DM=DE

∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN

∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE

∵在△DMA和△DEF中，DM=DE

∠MDA=60°-∠MDB=60°-∠CDE=∠EDF

(∠CDE=∠BDM)

∠DAM=∠DFE=30°

∴△DMN≌△DEN

(AAS)，∴MA=FE的周長(zhǎng)為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6

應(yīng)用：

1、已知四邊形中，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于．

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

（圖1）

（圖2）

（圖3）

解：（1）∵，，∴（SAS）；

∴，∵，∴，為等邊三角形

∴，∴

（2）圖2成立，圖3不成立。

證明圖2，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使，連接BK

K

A

B

C

D

E

F

M

N

圖

則

∴，∵，∴

∴

∴

∴

∴

∴

即

圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是

2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);

(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.分析：（1）作輔助線，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，在中，已知，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，求PD長(zhǎng)即為求的長(zhǎng)，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長(zhǎng)，進(jìn)而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；

（2）將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，PD的最大值即為的最大值，故當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此時(shí)．

E

P

A

D

C

B

解：（1）①如圖，作于點(diǎn)E

∵中，∴

∵

∴

在中，∴

P′

P

A

C

B

D

E

②解法一：如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，∴，∴，∴；

解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，設(shè)DA的延長(zhǎng)線交PB于G．

G

F

P

A

C

B

D

E

在中，可得，在中，可得，在中，可得

（2）如圖所示，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到，PD的最大值，即為的最大值

∵中，，且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)

∴當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值（如圖）

P′

P

A

C

B

D

P′

P

A

C

B

D

此時(shí)，即的最大值為6

此時(shí)

3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且，BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．

圖1

圖2

圖3

（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；

此時(shí)；

（II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；

（III）

如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q=

（用、L表示）．

分析：（1）如果，因?yàn)椋敲矗簿陀校苯侨切蜯BD、NCD中，因?yàn)椋鶕?jù)HL定理，兩三角形全等。那么，三角形NCD中，，在三角形DNM中，，因此三角形DMN是個(gè)等邊三角形，因此，三角形AMN的周長(zhǎng)，三角形ABC的周長(zhǎng)，因此．

（2）如果，我們可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長(zhǎng)AC至E，使，連接DE．（1）中我們已經(jīng)得出，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，，因此兩三角形全等，那么，．三角形MDN和EDN中，有，有一條公共邊，因此兩三角形全等，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因?yàn)椋虼耍甉與L的關(guān)系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的。

（3）我們可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過(guò)D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的，我們做的角，因此兩三角形全等（ASA）．那么，三角形MDN和NDH中，已知的條件有，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道，因?yàn)椋虼耍驗(yàn)椋敲矗虼耍@樣就構(gòu)成了兩三角形全等的條件．三角形MDN和DNH就全等了．那么，三角形AMN的周長(zhǎng)

．因?yàn)椋虼巳切蜛MN的周長(zhǎng)．

解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系：；此時(shí)．

圖

N

M

A

D

C

B

（2）猜想：結(jié)論仍然成立．

證明：如圖2，延長(zhǎng)AC至E，使，連接DE

∵，且

∴

又是等邊三角形

E

圖

N

M

A

D

C

B

∴

在與中

H

圖

N

M

A

D

C

B

∴（SAS）

∴，∴

在與中

∴（SAS）

∴

故的周長(zhǎng)

而等邊的周長(zhǎng)

∴

（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，則（用x、L表示）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)題中沒(méi)有明顯的全等三角形時(shí)，我們要根據(jù)條件通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形。