第13講
常見全等輔助線
中考說明
內(nèi)容
A
B
C
全等三角形
了解全等三角形的概念,了解相似三角形與全等三角形之間的關(guān)系
掌握兩個(gè)三角形全等的條件和全等三角形的性質(zhì);會(huì)應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)問題
會(huì)運(yùn)用全等三角形的知識(shí)和方法解決有關(guān)問題
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖
前章回顧
1.全等三角形有什么性質(zhì)?
2.全等三角形有幾種判定方法?
13.1倍長(zhǎng)中線類全等
概念辨析
一.
見中點(diǎn)-------倍長(zhǎng)中線(倍長(zhǎng)類中線)
解讀:凡是與中點(diǎn)連線的線段都可看作是中線,都可以考慮倍長(zhǎng)中線,倍長(zhǎng)中線的目的可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線段,從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的,構(gòu)成8字全等.
例題精講
【例1】
已知:中,是中線.求證:.
【討論一下】在△中,則邊上的中線的長(zhǎng)的取值范圍是什么
【例2】
如圖,已知中,平分.是的中點(diǎn),交于,交延長(zhǎng)線于,.求證:.
【討論一下】如圖,已知中,.是的中點(diǎn),交于,交
延長(zhǎng)線于,.求證:平分.
【例3】
已知為的中線,的平分線分別交于、交于.求證:.
【討論一下】如圖所示,在的邊上取兩點(diǎn)、,使,連接、,求證:.
【例4】
如圖,已知在中,是邊上的中線,是上一點(diǎn),延長(zhǎng)交于,求證:.
【討論一下】如圖,已知在中,是邊上的中線,是上一點(diǎn),且,延長(zhǎng)于,與相等嗎?為什么?
【例5】
如圖,為線段的中點(diǎn),在上取異于的點(diǎn),分別以、為斜邊在同側(cè)作等腰直角三角形與,連結(jié)、、,求證:為等腰直角三角形.
【例6】
(2013年懷柔)已知:如圖1,在中,為中點(diǎn),為上一點(diǎn),為上一點(diǎn),聯(lián)結(jié).
求證:線段、、總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形;
【討論一下】如圖2,為中點(diǎn),為上一點(diǎn),為上一點(diǎn),聯(lián)結(jié),請(qǐng)你找出一個(gè)條件,使線段、、能構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,給出證明.
【例7】
如圖1,矩形中,為的中點(diǎn),連結(jié).請(qǐng)你判斷并寫出是的幾倍;
【例8】
已知分別是及延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且,連接交底于,求證.
【討論一下】如圖2,在平行四邊形中,為的中點(diǎn),連結(jié)、,請(qǐng)問:與是否也具有上題中的倍數(shù)關(guān)系?若有,請(qǐng)證明;若沒有,請(qǐng)說明理由.
13.2截長(zhǎng)補(bǔ)短類全等
概念辨析
一.見線段間數(shù)量關(guān)系---------截長(zhǎng)補(bǔ)短或旋轉(zhuǎn)
解讀:只要出現(xiàn)類似的線段關(guān)系,就可以采取截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法來做輔助線,注意這個(gè)方法可以說是四個(gè)方法,由于方向性的不同,所以截長(zhǎng)兩種,補(bǔ)短兩種;出現(xiàn)類似的線段關(guān)系時(shí),截長(zhǎng)補(bǔ)短就不行了,就得采取旋轉(zhuǎn)的方法來做輔助線.
例題精講
【例9】
(四中期中)如圖,和的平分線相交于,過的直線分別交、于、兩點(diǎn).求證:.
【討論一下】如圖所示,在中,,求證:.
【例10】
(2009年崇文一模)在等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)、,為外一點(diǎn),且,.探究:當(dāng)、分別在直線、上移動(dòng)時(shí),、、之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的關(guān)系.
如圖,當(dāng)點(diǎn)、邊、上,且時(shí),、、之間的數(shù)量關(guān)系是_______________;此時(shí)______________;寫出結(jié)論并證明.
【討論一下】如圖所示,點(diǎn)、邊、上,且當(dāng)時(shí),上題的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎?寫出你的猜想并加以證明;
13.3旋轉(zhuǎn)類全等
概念辨析
一.旋轉(zhuǎn)類全等模型:共頂點(diǎn)等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型——“手拉手”模型
證明全等的基本思想“”
例題精講
【例1】
(1)如圖1,點(diǎn)是線段的中點(diǎn),分別以和為邊在線段的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形,連結(jié)和,相交于點(diǎn),連結(jié).求的大小.
(2)如圖2,固定不動(dòng),保持的形狀和大小不變,將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),求的大小.
【討論一下】以的兩邊為邊向外作正方形,求證:,且.
【例11】
如圖,已知,,點(diǎn)為等腰直角內(nèi)一點(diǎn),為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且.
(1)求證:平分;
(2)若點(diǎn)在上,且,求證:.
【討論一下】如圖1,,.繞著邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn),分別交線段于點(diǎn),.
觀察:①如圖2、圖3,當(dāng)或時(shí),_______(填“”,“”或“”).
②如圖4,當(dāng)時(shí),_______(填“”,“”或“”).
(2)猜想:如圖1,當(dāng)時(shí),_______,證明你所得到的結(jié)論.
基礎(chǔ)演練
【練1】
已知,是的中線,求證:
【練2】
已知中,為的延長(zhǎng)線,且,為的邊上的中線.
求證:
【練3】
如圖所示,已知中,平分,、分別在、上.,.
求證:∥
【練4】
如圖所示,在中,,求證:.
【練5】
如圖,已知和都是等邊三角形,、、在一條直線上,試說明與相等的理由.
【練6】
已知:如圖,點(diǎn)是正方形的邊上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證:.
【練7】
如圖,已知中,,平分,求證:.【練8】
如圖所示.已知正方形中,為的中點(diǎn),為上一點(diǎn),且.求證:.
【練9】
如圖,,三點(diǎn)共線,且與是等邊三角形,連結(jié),分別交,于,點(diǎn).求證:.
能力提升
【練10】
已知:如圖,點(diǎn)為線段上一點(diǎn),、是等邊三角形.、分別是、的高.求證:.
【練11】
已知:如圖,、、都是等邊三角形,且、、共線,.求證:也是等邊三角形.
【練12】
如圖,正方形的邊長(zhǎng)為,、上各存一點(diǎn)、,若的周長(zhǎng)為,求的度數(shù).
【練13】
如圖,正方形中,.求證:.
巔峰突破
【練14】
(師大附中期中)
已知:等邊三角形
(1)如圖1,為等邊外一點(diǎn),且.試猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)如圖2,為等邊內(nèi)一點(diǎn),且.求證:.
【練15】
在中,,是的角平分線,于點(diǎn).
(1)如圖1,連接,求證:是等邊三角形;
(2)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)(不與點(diǎn),重合),以為一邊,在的下方作,交延長(zhǎng)線于點(diǎn).請(qǐng)你在圖2中畫出完整圖形,并直接寫出,與之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖3,點(diǎn)是線段上的一點(diǎn),以為一邊,在的下方作,交延長(zhǎng)線于點(diǎn).試探究,與數(shù)量之間的關(guān)系,并說明理由.
小結(jié)與復(fù)習(xí)
1.倍長(zhǎng)中線運(yùn)用了那個(gè)最常見的全等模型?
2.見到線段數(shù)量關(guān)系時(shí),最常見的輔助線方法是?