第13講

常見(jiàn)全等輔助線(xiàn)

中考說(shuō)明

內(nèi)容

A

B

C

全等三角形

了解全等三角形的概念，了解相似三角形與全等三角形之間的關(guān)系

掌握兩個(gè)三角形全等的條件和全等三角形的性質(zhì)；會(huì)應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)問(wèn)題

會(huì)運(yùn)用全等三角形的知識(shí)和方法解決有關(guān)問(wèn)題

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖

前章回顧

1．全等三角形有什么性質(zhì)？

2．全等三角形有幾種判定方法？

13.1倍長(zhǎng)中線(xiàn)類(lèi)全等

概念辨析

一．

見(jiàn)中點(diǎn)-------倍長(zhǎng)中線(xiàn)（倍長(zhǎng)類(lèi)中線(xiàn)）

解讀：凡是與中點(diǎn)連線(xiàn)的線(xiàn)段都可看作是中線(xiàn)，都可以考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)的目的可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線(xiàn)段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的，構(gòu)成8字全等．

例題精講

【例1】

已知：中，是中線(xiàn)．求證：．

【討論一下】在△中，則邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)的取值范圍是什么

【例2】

如圖，已知中，平分．是的中點(diǎn)，交于，交延長(zhǎng)線(xiàn)于，．求證：．

【討論一下】如圖，已知中，．是的中點(diǎn)，交于，交

延長(zhǎng)線(xiàn)于，．求證：平分．

【例3】

已知為的中線(xiàn)，的平分線(xiàn)分別交于、交于．求證：．

【討論一下】如圖所示，在的邊上取兩點(diǎn)、，使，連接、，求證：．

【例4】

如圖，已知在中，是邊上的中線(xiàn)，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，求證：．

【討論一下】如圖，已知在中，是邊上的中線(xiàn)，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)于，與相等嗎？為什么？

【例5】

如圖，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，在上取異于的點(diǎn)，分別以、為斜邊在同側(cè)作等腰直角三角形與，連結(jié)、、，求證：為等腰直角三角形．

【例6】

（2013年懷柔）已知：如圖1，在中，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．

求證：線(xiàn)段、、總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形；

【討論一下】如圖2，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線(xiàn)段、、能構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，給出證明．

【例7】

如圖1，矩形中，為的中點(diǎn)，連結(jié)．請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出是的幾倍；

【例8】

已知分別是及延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，連接交底于，求證．

【討論一下】如圖2，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，連結(jié)、，請(qǐng)問(wèn)：與是否也具有上題中的倍數(shù)關(guān)系？若有，請(qǐng)證明；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

13.2截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)全等

概念辨析

一.見(jiàn)線(xiàn)段間數(shù)量關(guān)系---------截長(zhǎng)補(bǔ)短或旋轉(zhuǎn)

解讀：只要出現(xiàn)類(lèi)似的線(xiàn)段關(guān)系，就可以采取截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法來(lái)做輔助線(xiàn)，注意這個(gè)方法可以說(shuō)是四個(gè)方法，由于方向性的不同，所以截長(zhǎng)兩種，補(bǔ)短兩種；出現(xiàn)類(lèi)似的線(xiàn)段關(guān)系時(shí)，截長(zhǎng)補(bǔ)短就不行了，就得采取旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)做輔助線(xiàn)．

例題精講

【例9】

（四中期中）如圖，和的平分線(xiàn)相交于，過(guò)的直線(xiàn)分別交、于、兩點(diǎn)．求證：．

【討論一下】如圖所示，在中，，求證：．

【例10】

（2009年崇文一模）在等邊的兩邊、所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)、，為外一點(diǎn)，且，．探究：當(dāng)、分別在直線(xiàn)、上移動(dòng)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的關(guān)系．

如圖，當(dāng)點(diǎn)、邊、上，且時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系是_______________；此時(shí)______________；寫(xiě)出結(jié)論并證明．

【討論一下】如圖所示，點(diǎn)、邊、上，且當(dāng)時(shí)，上題的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；

13.3旋轉(zhuǎn)類(lèi)全等

概念辨析

一.旋轉(zhuǎn)類(lèi)全等模型：共頂點(diǎn)等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型——“手拉手”模型

證明全等的基本思想“”

例題精講

【例1】

（1）如圖1，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，分別以和為邊在線(xiàn)段的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，連結(jié)和，相交于點(diǎn)，連結(jié)．求的大小．

（2）如圖2，固定不動(dòng)，保持的形狀和大小不變，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求的大小．

【討論一下】以的兩邊為邊向外作正方形，求證：，且．

【例11】

如圖，已知，，點(diǎn)為等腰直角內(nèi)一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且．

（1）求證：平分；

（2）若點(diǎn)在上，且，求證：．

【討論一下】如圖1，，．繞著邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，分別交線(xiàn)段于點(diǎn)，．

觀察：①如圖2、圖3，當(dāng)或時(shí)，_______（填“”，“”或“”）．

②如圖4，當(dāng)時(shí)，_______（填“”，“”或“”）．

（2）猜想：如圖1，當(dāng)時(shí)，_______，證明你所得到的結(jié)論．

基礎(chǔ)演練

【練1】

已知，是的中線(xiàn)，求證：

【練2】

已知中，為的延長(zhǎng)線(xiàn)，且，為的邊上的中線(xiàn)．

求證：

【練3】

如圖所示，已知中，平分，、分別在、上．，．

求證：∥

【練4】

如圖所示，在中，，求證：．

【練5】

如圖，已知和都是等邊三角形，、、在一條直線(xiàn)上，試說(shuō)明與相等的理由．

【練6】

已知：如圖，點(diǎn)是正方形的邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．求證：．

【練7】

如圖，已知中，，平分，求證：.【練8】

如圖所示．已知正方形中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．求證：．

【練9】

如圖，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且與是等邊三角形，連結(jié)，分別交，于，點(diǎn)．求證：．

能力提升

【練10】

已知：如圖，點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，、是等邊三角形．、分別是、的高．求證：．

【練11】

已知：如圖，、、都是等邊三角形，且、、共線(xiàn)，．求證：也是等邊三角形．

【練12】

如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，、上各存一點(diǎn)、，若的周長(zhǎng)為，求的度數(shù)．

【練13】

如圖，正方形中，．求證：．

巔峰突破

【練14】

（師大附中期中）

已知：等邊三角形

（1）如圖1，為等邊外一點(diǎn)，且．試猜想線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）如圖2，為等邊內(nèi)一點(diǎn)，且．求證：．

【練15】

在中，，是的角平分線(xiàn)，于點(diǎn)．

（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；

（2）點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出完整圖形，并直接寫(xiě)出，與之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．試探究，與數(shù)量之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

小結(jié)與復(fù)習(xí)

1．倍長(zhǎng)中線(xiàn)運(yùn)用了那個(gè)最常見(jiàn)的全等模型？

2．見(jiàn)到線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系時(shí)，最常見(jiàn)的輔助線(xiàn)方法是？