第一篇：全等三角形在初中數(shù)學中的應用論文

曲靖師范學院

本科生畢業(yè)論文

論文題目: 全等三角形的證明在初中數(shù)學中的應用

作者、學號：李發(fā)蝌 2011111233 學院、年級：數(shù)學與信息科學學院 2011級 學科、專業(yè)：數(shù)學

數(shù)學與應用數(shù)學 指 導 教 師：羅紅英

完 成 日 期：2015年5月20日

曲靖師范學院教務處 全等三角形的證明在初中數(shù)學中的應用

摘 要

“全等三角形的證明”是在初中數(shù)學平面幾何中占重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質的基礎，而且在近幾年的中考中都有出現(xiàn)，新課標的要求是“探索并掌握兩個三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運用方法對初中生來說至關重要。其證明方法繁多，技巧性強，有一定的通法，所以研究范圍極廣，難度極大．論文整理和歸納了全等三角形證明的步驟及其注意事項，分別列舉了幾種常用的全等三角形的證明方法，讓每一種方法兼有理論與實踐性．旨在使學生對全等三角形證明及其應用問題有一個較為深入的了解，進而在解決相關全等三角形問題時能融會貫通、舉一反三，達到事半功倍的效果，同時為從事教育的工作者提供參考．

關鍵詞：全等三角形；初中數(shù)學；方法；應用

Prove congruent triangles used in in junior high school

mathematics

Abstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous.The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality.Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference.Key word: Entire and so on triangles;Junior middle school mathematics;Method;Using

目 錄

1引言 ??????????????????????????????????1 2文獻綜述 ????????????????????????????????1 2.1國內(nèi)研究現(xiàn)狀 ?????????????????????????????1 2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀評價 ???????????????????????????2 2.3提出問題 ???????????????????????????????2 3證明全等三角形的知識梳理及注意事項 ???????????????????2 3.1全等三角形的知識梳理 ????????????????????????2 3.2證明全等三角形的步驟及注意事項????????????????????4 4證明全等三角形的構造法?????????????????????????4 4.1構造全等三角形的常用方法?????????????????????5 4.1.1截長補短法?????????????????????????????5 4.1.2平行線法??????????????????????????????6 4.1.3旋轉法?????????????????????????????6 4.1.4倍長中線法?????????????????????????????7 4.1.5翻折法?????????????????????????????8 4.2由角平分線構造全等三角形???????????????????????8 4.3添加輔助線構造全等三角形???????????????????????9 4.3.1直接證明線段（角）相等????????????????????????9 4.3.2轉移線段到一個三角形中證明線段相等?????????????????10 4.3.3轉移線段到一個三角形中證明線段不等關系???????????????13 5全等三角形的證明在初中數(shù)學中的應用???????????????????14 6總結??????????????????????????????????18 6.1主要發(fā)現(xiàn)???????????????????????????????19 6.2啟示?????????????????????????????????19 6.3局限性????????????????????????????????19 6.4努力方向???????????????????????????????19 參考文獻 ????????????????????????????????20

1引言

“全等三角形”是初中數(shù)學階段的“圖形與幾何”中的重要內(nèi)容之一，它不僅是研究平面幾何相關問題的重要工具,而且還是中學數(shù)學的基礎知識.然而，全等三角形的性質是推理線段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考題中都會有“全等三角形”的內(nèi)容,考試題目常以直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、特殊四邊形為背景,主要考查線段相等、角相等的證明、線段長度的計算、面積的計算等.常考的題型有填空題、選擇題和解答題.這部分試題的難度通常不大,多以中低檔題為主，約占總分值的4%至11%.《數(shù)學課程標準》對全等三角形的要求是讓學生掌握基本的推理技能，從圖形變換中建立空間觀念，嘗試用不同角度的方法來解決問題，發(fā)展幾何直覺，通過觀察、實踐、歸納、類比、推斷、驗證獲得數(shù)學思想，體驗數(shù)學活動的探索性和創(chuàng)造性，感受證明的抽象性和嚴謹性.對于全等三角形的研究，實際是平面幾何中對封閉的兩個圖形之間聯(lián)系研究的第一步，它是兩三角形間最簡單、最常見的關系.“全等三角形的證明”條件是學生在認識三角形的基礎上，在了解全等圖形和全等三角形以后進行學習的.它既是前面所學知識的延伸與拓展，又是后繼學習探索相似三角形的條件的基礎，并且是用以說明線段相等、兩角相等的重要依據(jù).因此，它具有承上啟下的作用,同時，人教版教材里敘述了證明全等三角形的四種方法，分別是“邊邊邊”、“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”，還有一種特殊的方法是在直角三角形中“斜邊和一條直角邊”，它們用特定的字母表示為“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要將“邊角邊”這一識別方法作為五個基本判定之一，對全等三角形證明的學習有基礎作用.2 文獻綜述

2．1國內(nèi)研究現(xiàn)狀

國內(nèi)許多專家、學者研究過全等三角形的證明方法.全等三角形的證明一直在初中數(shù)學平面幾何中占重要位置，然而，近幾年它獲得了廣大人民群眾的關注.劉建東在文[1]中編著了以構造全等三角形來探究不等式的證明，形象的寫出了全等三角形的作用及其應用.同年，好未來研發(fā)中心在文[2]研發(fā)了添加了輔助線的添加方法，全等三角形的用處多，并配合人教社教材八年級數(shù)學敘述了不僅要讓學生學會“邊角邊”這一全等三角形的識別方法，更主要地是要讓學生掌握研究問題的方法，初步領悟分類討論的數(shù)

學思想.同時，還要讓學生感受到數(shù)學來源于生活，又服務于生活的基本事實，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.楊曉軍在文[3]中精選了有關全等三角形的中考題進行解析，讓同學們找到中考復習方向，引領學生成功中考.林偉杰在文[4]全析了全等三角形的性質、判定及其應用.劉申強在文[5]中編著了全等三角形在生活中的應用，從生活中的不同角度研究了全等三角形，發(fā)現(xiàn)數(shù)學在現(xiàn)實生活中的美.黎強在文[6]提出了《全等三角形》的教學構想，指出了如何確定教學目標，教學重難點.喻俊鵬在文[7]中，編著了全等三角形的易錯題，并結合實例列舉了初中數(shù)學中全等三角形的若干案例，分析出了學生在有關全等三角形的證明解題過程中存在的各種問題.劉玉東、董云霞、查貴賓在文[8]、[9]、[10]中探討了構造全等三角形的方法與技巧.張文國在文[11]中總結了全等三角形的創(chuàng)新題，讓讀者以創(chuàng)新思維思考全等三角形的證明.保明華在文[12]中討論了全等三角形中考探索題，讓學生感受證明全等三角形的探索性和創(chuàng)新性，并且輔導學生掌握全等三角形的證明的方法.李懷奎在文[13]中指出如何對基本圖形的認識來找全等三角形，從基本的圖形認識開始發(fā)現(xiàn)全等三角形.解廣義在文[14]中進行了全等三角形的教學設計，生動形象的設計了全等三角形證明的教學過程.姜彰全,吳穎二人在文[15]中講解了如何巧證全等三角形，淋漓盡致地寫出了全等三角形的證明技巧.2．2國內(nèi)研究評價

從查到的國內(nèi)文獻來看，國內(nèi)研究者對全等三角形的證明方法介紹了很多，文獻[1-15]分別全等三角形的性質、不同證明方法及應用作了論述，文獻中闡述一種或幾種全等三角形的證明方法，一些文獻寫理論較多，一些文獻寫例子較多，理論很少，而且許多方法有名稱不一而本質一樣的情形，如構造法在形式上都是根據(jù)三角形的性質來進行分解求解的，但不同的圖形有不同的構造方法，所以，有必要重新整理和歸納全等三角形證明方法，讓每一種方法兼具理論與實踐性.2．3提出問題

全等三角形的證明問題，就其方法而言，沒有定法可套，有較大的靈活性和技巧性，而且全等三角形的證明歷來是中學特別是初中數(shù)學教學的一個重點和難點.因此，在前人研究全等三角形的證明方法的基礎上，試圖完整地整理出常用的幾類方法，使之系統(tǒng)化，并在此基礎上探尋新的證明方法.證明全等三角形的知識梳理及注意事項

3．1全等三角形知識梳理

定義：能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形（注：相似三角形的特殊情況是全等三角形）.當兩個三角形完全重合時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角.所以，可以得出：全等三角形的對應角相等，對應邊相等.(1)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；(2)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；(3)有公共邊的，公共邊一定是對應邊；(4)有公共角的，公共角一定是對應角；(5)有對頂角的，對頂角一定是對應角； 三角形全等的判定公理及推論

1、三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(簡稱“邊邊邊”或“SSS”)，這一條說明了三角形具有穩(wěn)定性.2、有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(“邊角邊” 或“SAS”).3、有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(“角邊角” 或“ASA”).4、有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(“角角邊” 或“AAS”).5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(“斜邊，直角邊” 或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，沒有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀.【A是英文角的縮寫(angle)，S是英文邊的縮寫(side)】

全等三角形的性質

1、全等三角形的對應角相等、對應邊相等.2、全等三角形的對應邊上的高對應相等.3、全等三角形的對應角平分線相等.4、全等三角形的對應中線相等.5、全等三角形面積相等.6、全等三角形周長相等 [1].3．2證明全等三角形的步驟及注意事項

如何學好全等三角形的證明呢？這就要小步走，勤思考，進行由易到難的訓練，實現(xiàn)由實（題目已有現(xiàn)成圖形）到虛（要自己畫圖形或需要添加輔助線）、由模仿證明到獨立推理的升華.具體可分為三步走： 第一步，學會解決只證一次全等的簡單問題，重在模仿.這期間要注意課本例題證明的模仿，使自己的證明語言準確，格式標準，過程簡練.證明兩個三角形全等，一定要寫出在哪兩個三角形，這既為以后在復雜圖形中有意識去尋找需要的全等三角形打下基礎，更方便批閱者；同時要注意頂點的對應，以防對應關系出錯；證全等所需的三個條件，條件不明顯的要先證明，最后用大括號括起來；每一步要填注理由，訓練思維的嚴密性.通過訓練一段時間，對證明方向明確、內(nèi)容變化少的題目，要能熟練地獨立思考證明，切實邁出堅實的第一步.第二步，能在一個題目中用兩次全等證明過渡性結論和最終結論，學會分析.在學習等腰三角形全等、直角三角形時逐步加深難度，學會一個題目中證兩次全等，特別要學會用分析法有條不紊地尋找證題途徑，分析法目的性強，條理清楚，結合綜合法，能有效解決較復雜的題目.同時，這時的題目一般都不只一種解法，要求一題多解，比較優(yōu)劣，總結規(guī)律.第三步，學會命題的證明，掌握添加輔助線的常用方法.命題的證明可全面培養(yǎng)數(shù)學語言（包括圖形語言）的運用能力，則在已知和未知間架起一座溝通的橋梁就要用到輔助線，這都有一定的難度，切勿前功盡棄，放松努力.同時要熟悉一些基本圖形的性質，如“角平分線＋垂直＝全等三角形”.證明全等不外乎要邊等、角等的條件，因此在平時學習中就要積累存在或可推出邊等（或線段等）、角等的情況.應用起來自然會得心應手.4 證明全等三角形的構造法

所謂構造法，就是指通過分析條件和結論充分細致，抓住問題的特征，恰當?shù)貥嬙燧o助元素，聯(lián)想熟知的數(shù)學模型，然后變換命題，以此架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決的數(shù)學思考方法.構造法本質上是化歸思想的運用，但它常常表現(xiàn)出精巧、簡捷、明快、新穎等特點，使數(shù)學解題突破常規(guī)，具有很強的創(chuàng)造性.4．1構造全等三角形的常用方法

截長補短法、平行線法（或平移法）、旋轉法、倍長中線法、翻折法.4．1．1 截長補短法（通常用來證明線段和差相等）

“截長法”即根據(jù)已知條件把結論中最大的線段分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法．“補短法”為把兩條線段中的一條接長成為一條長線段，然后證明接成的線段與較長的線段相等，或是把一條較短的線段加長，使它等于較長的一段，然后證明加長的那部分與另一較短的線段相等.例1 如圖（1）已知：正方形ABCD中，?BAC的平分線交BC于E，求證：

AB?BE?AC.簡析：圖中沒有直接給出與問題有關的全等三角形，所以要延長一條直線，構造出全等三角形，根據(jù)角相等證明出三角形是等腰三角形，然后利用轉換思想BE?BF，就可以證明出結果.證明:延長AB至F使AF?AC ∵AE是?CAB的平分線 ∴?FAE??CAE 在?FAE和?CAE中 ∵AF?AC ∵?FAE??CAE ∵AE?AE

∴?FAE??CAE(SAS)

∴?EFA??ECA?45? ∴?BFE是等腰直角三角形 ∴BE?BF

∴AF?AB?BF?AB?BE ∴AB?BE?AC

小結：線段的和差問題常常借助于全等三角形的對應邊相等，將不在一條直線的兩 5

條（或幾條）線段轉化到同一直線上．證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見的方法是：延長其中一條短線段，在上面上截取另一條短線段，再證明它們與長線段相等，這種方法叫“補短法”．在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短線段，這種方法叫“截長法”．證明兩條線段的和（差）等于另一條線段的常用方法就是這兩種．

4．1．2平行線法（或平移法）

若題目中含有中點可以試過中點作平行線或中位線（平行且等于第三邊的一半），對直角三角形,有時可作出斜邊的中線．

例2 如圖，在?ABC中，?BAC?60?，?C?40?,AP平分?BAC交BC于點P，BQ平分?ABC交AC于Q，求證:AB?BP?BQ?AQ

圖（3）

說明:(1)本題可以在AB截取AD?AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長補短法"．

(2)本題利用“平行線法”的解法較多，舉例如下：

① 如圖（2），過O作OD//BC交AC于D，則證明?ADO??ABO解決． ② 如圖（3），過O作DE//BC交AB于D，交AC于E，則證明?ADO??AQO和?ABO??AEO解決．

③ 如圖（4），過P作PD//BQ交AB的延長線于D，則需證明?APD??APC解決． ④ 如圖（5），過P作PD//BQ交AC于點D，則只需證明?ABP??ADP解決． 4．1．3旋轉法

對題目中出現(xiàn)相等的線段有一個公共端點時，可嘗試用旋轉法來構造全等三角形 例3 如圖，設點P為等邊三角形ABC內(nèi)任一點，試比較線段PA與PB?PC的大小．

圖（6）

簡析：題目雖然短，但涉及到的知識點很多．由于?ABC是等邊三角形，所以可以將?ABP繞點A旋轉60?到?ACP?的位置（用到等量代換），連結PP?，則?ACP???ABP(SAS)，所以AP??AP，CP??BP，則?APP?是等邊三角形，即PP??PA，在?CPP?中，因為PP??PC?P?C，所以PA?PB?PC．

說明：由于圖形旋轉的前后，只是變化了位置，而大小和形狀都沒有改變，所以對于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉的方法構造全等三角形解題． 4．1．4倍長中線法

題目中若條件有中線，可將其延長一倍，以構造新的全等三角形，從而使分散條件集中在一個三角形內(nèi)．

例4 如圖，在?ABC中，AD是它的中線，作BE交AD于點F，使AE?EF． 說明線段AC與BF相等的理由．

圖（7）

簡析： 由于AD是?ABC中線，于是可延長中線AD到G，使DG?AD，連結BG，則 在?ACD和?GBD中，AD?GD，?ADC??GDB，所以?ACD??GBD(SAS)，則AC?GB，?BFG??G，而AE?EF，所以?CAD??AFE，又因為?AFE??BFG，所以?BFG??G，BF?BG，即AC?BF．

說明 ：要說明線段或角相等，通常的思路是說明它們所在的兩個三角形全等，而 7

遇到中線時又通常通過延長中線來構造全等三角形． 4．1．5翻折法

若題設中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對稱性質，沿軸翻轉圖形來構造全等三角形．

例5 如圖，已知：在?ABC中，?A?45?，AD?BC，如果BD?4，DC?3，求?ABC的面積．

圖（8）

解：以AB為軸將?ABD翻轉180o，得到與它全等的?ABE，以AC為軸將?ADC翻轉180o，得到 與它全等的?AFC，EB、FC延長線交于G，易證四邊形AEGF是正方

t?BGC形，設它的邊長為?，則BG???4，CG???3，在R中，(??4)2?(??3)2?52,解得??8，則AD?6，所以S?ABC?5?8?20． 2說明：當從題目已知中不能直接明確的求出問題時，我們可以從一般圖形通過翻轉轉變?yōu)樘厥獾膱D形，用簡便的方法求解，變換可以有一步或幾步．

4．2由角平分線構造全等三角形

不管是兩個圖形軸對稱還是軸對稱圖形，我們都不難發(fā)現(xiàn)軸上一點（此點作為頂點）與對應點組成的角被軸平分，方便我們在做題中如果遇到角平分線我們就會聯(lián)想到，以角平分線為軸構造對稱（全等），從而把線段、角轉移達到解題目的．

例6 如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC，?DBC?45?，翻折梯形ABCD，使點B與點D重合，折痕分別交AB、BC于點F、E．若AD?4，BC?10．求BE的長．

圖（9）

圖（10）

解：由題意得

根據(jù)翻折重合，得?BFE??DFE，∴ DE?BE

在?BDE中，DE?EB，且?EBD?45?∴ ?EDB??EBD?45?

∴ ?BED?90?，即BC?DE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，過A作BC?AG，交BC于G，如圖（10），四邊形AGED是矩形∴ GE?AD?

4在Rt?ABG和RtRt?DCE中，DC?AB，DE?AG

∴Rt?ABG?Rt?DCE(HL)，∴ BG?CG∴CE?∴BE?6．

說明：由角平分線構造全等三角形，這類題是很簡單的，可以根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等，就構造出直角三角形，進而對稱軸就是公共邊，就可以用HL證明全等三角形.1?BC?AD??4 24．3添加輔助線構造全等三角形

在證明幾何圖形題目的過程中，通常需要先通過證明全等三角形來研究轉移線段或角，或者兩條線段或角的相等關系。但有些時候，這樣要證明的全等三角形在題設中，并不是十分明顯。針對這樣的題型我們需要通過添加輔助線，構造出全等三角形，進而就可以證明所需的結論.在這里，我嘗試通過幾個典型例題讓大家了解添加輔助線構造全等三角形的方法.當然這些例題體現(xiàn)了添加輔助線的方法是從簡單到復雜，從特殊到一般，研究線段的長短關系是體現(xiàn)了從不相等到相等的遞進關系[2].注意：添加的輔助線都是用虛線表示.4．3．1直接證明線段（角）相等

例7 如圖，已知AB?AD，CB?CD，(1)求證：?B??D；(2)若AE?AF，試猜想CE與CF的大小關系.如圖（11）

簡析：第（1）小問考慮到在沒有學習等腰三角形的時候，要證明兩個角相等，經(jīng)常需要證明它們所在的兩個三角形全等。本題要證明?B??D．在題目的已知條件中明顯缺少全等的三角形，我們就要想到添加輔助線連結AC后，以AC作為公共邊，根據(jù)題目的已知條件可以看出?ABC??ADC，進而就證明?B??D.如果在學習等腰三角形的知識后還可以連結BD，通過說明等邊對等角，再用角的等量代換關系得到?B??D更加簡單.第（2）小問猜想CF?CE，在連結AC證明?ABC??ADC后，得到?CAE??CAF，再證明?CAE??CAF，進而證明EC?FC.如何添加輔助線：方法1添加輔助線，連結AC，證明?ABC??ADC，進而?B??D.BD??CDB方法2添加輔助線連接BD，因為AB?AD，所以，?ABD??ADB．即?C，?ABD??CBD??ADB??CDB，即?B??D.又因為BE?DF，CB?CD,故?BCE??CDF，進而CE?CF.小結：通過例7我們初步體會添加輔助線的必要性，例7的兩個小問的簡析，從添加輔助線證明一次全等三角形得角相等，然后到添加輔助線證明二次全等三角形得線段相等，我們可以感覺到問題層次的遞進.特別是例7(1)中如果B、C、D共線的時候可以得到等邊對等角的結論，為第（2）問做鋪墊.4．3．2轉移線段到一個三角形中證明線段相等

例8 如圖，已知AD是?ABC的中線，且BE交AC于點E，交AD于點F，且EA?EF.求證：AC?BF.圖（12）

簡析：要證AC?BF，我們可以把線段AC、BF轉移到它們所在的三角形中，然后證明這兩個三角形全等，顯然圖中沒有直觀的給出含有AC、BF的兩個全等三角形圖形，但我們可以根據(jù)題目條件的去構造兩個含有AC、BF的全等三角形也并不是太容易，這時我們就要重新思考一條出路，想到在同一個三角形中等角對等邊，這時能夠把兩條線段轉移到同一個三角形中，我們只要說明轉移在同一個三角形后的這兩條線段

所對的角相等就可以了.BF，簡析：思路1 以?ACD為基礎三角形，來轉移線段AC、使這兩條線段在?BFH中.法一：延長AD到H，使HD?AD，連結BH，再證明?ACD和?HBD全等，可得AC?BH.通過證明?DHB??HFB，就可得到BF?BH.圖（13）

證明：添加輔助線延長AD到H，使HD?AD，連結BH

∵ D是BC中點

∴ BD?CD

在△?ACD和?BDH中

?DH?AD???B DH

??ADC?BD?CD?

∴ ?ACD??BDH(SAS)

∴ AC?BH，?DHB??HFB

∵ AE?EF

∴ ?EAH??EFA

又∵?BFH??AFE

∴ BH?BF

∴ AC?BF

法二：可以過點B作BH平行AC與AD的延長線相交于點H，證明?ACD和?BDH全等.小結：對于含有中線的全等三角形問題，可以通過“倍長中線”法得到兩個全等三 11

角形.但是過一點作己知直線的平行線，可起到轉移角的作用，也起到構造全等三角形的作用.思路2 以?BFD為基礎三角形，轉移線段AC，使AC、BF在兩個全等三角形中.法三：添加輔助線延長FD至H，使HD?FD，然后連結HC，證明?HDC和?FDB全等.圖（14）

證明：延長FD至H，使HD?FD，連結HC

∵D是BC中點

∴ BD?CD

在?HDC和?FDB中

?FD?HD???ADB??HDC ?BD?CD?

∴ ?HDC??CHD(SAS)

∴ ?H??CAH

∵ AE?FE

∴ ?HAC??AFE

又∵?AFE??BFH

∴ ?H??HAC

∴ CH?CA

∴ AC?BF

法四：過點C作CH平行FB與AD的延長線相交于點H，證明△?HDC和△FDB全等.小結：通過添加輔助線的方法一題多解，我們可以體會到添加輔助線目的在于構造 12

全等三角形.而從不同途徑來可以有不同的添加方法，實際是實現(xiàn)線段的轉移體會構造全等三角形在線段轉移中的地位.從變換的觀念可以看到，不論是作平行線法還是倍長中線法，實質都是一個以中點為旋轉中心的三角形旋轉變換構造了全等.熟悉法

一、法三“倍長中線”法的輔助線所用到的基本圖形“八字型”和“倍長中線”兩種基本添加輔助線方法，倍長中線，或者倍長過中點的一條線段以后的對于解決含有過中點線段的證明全等三角形的方法有技巧可尋.圖（15）

4．3．3轉移線段到一個三角形中證明線段不等關系

例9如圖，已知AD是?ABC的中線，求證：AB?AC?2AD.簡析：用例8的輔助線的添加方法，學會識別基本圖形，并利用它們?nèi)ソ鉀Q不等關系的問題.AB、AC、2AD不在同一個三角形中，如果能將中線倍長，轉移AC就可在同一個三角形找出與AB、AC、2AD相關的線段，再利用三角形兩邊之和大于第三邊可以很簡單的解決。

圖（16）

證明：添加輔助線延長AD至E，使ED?AD，連接BE．

∵ AD是?ABC的中線，在?ACD和?EBD中，?AD?ED?

∵??ADC??EDB

?CD?BD? 13

∴ ?ACD??EBD（SAS）

∴ AC?BE

在?ABE中，AB?BE?AE，∴ AB?AC?2AD.5全等三角形的證明在初中數(shù)學中的應用

例10（2014年云南省中考題）如圖，在?ABC和?ABD中，AC與BD相交于點E，AD?BC，?BAD??ABC，求證：AC?BD．

圖（17）

簡析:可以根據(jù)“SAS”證明三角形ABD和三角形BCA全等，這里要用到化歸思想，要證明線段相等可以化歸為證明三角形全等，由全等三角形的性質可證明AC?BD． 證明：在?ABD和?BCA中，?AD?BC???BAD??ABC ?AB?BA?∴?ADB??BAC（SAS）∴AC?BD

說明：本題考查了證線段相等化歸為證全等三角形，而全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．

例 11（2014年曲靖市中考題)如圖，?ACD?90?，AC?BC，AD?CE于點D，BE?CE于點E.（1）求證：?ACD??CBE；（2）已知AD?6，DE?2，求EF的長.圖（18）

簡析：第（1）問在?ACD和?CBE中，已知有AC?BC，還有一組直角相等，現(xiàn)在我們可以找一條對應邊用“SAS”證明全等三角形或者是找一個對應角用“AAS”證明，這時就要根據(jù)已知條件去找，哪個方便就用哪個，由已知條件可以根據(jù)同角的余角相等來證明.證明：如圖，∵AD?CE

∴?2??3?90?

又∵?1??2?90?

∴?1??3

又∵AD?CE，BE?CE

∴?E??ADC?90?

在?ACD和?CBE中

??E??ADC? ??1??3

?AC?BC? ∴?ACD??CBE（AAS）

簡析：第（2）問本題求的長，從直觀上看不能用簡便的方法求，可以把放到兩個相似的三角形中，可以通過證兩個相似三角形來求.解：∵?ACD??CBE

∴CE?AD?6

∴CD?CE?ED?6?2?

4∵?E??ADF，?BFE??AFD

∴?BEF~?ADF

∴BEEF? ADDF 設EF??，則DF?2??

∴4?? 62??4 515 ∴??

即EF?4 5說明：這個題把全等三角形和相似三角形有機的結合在一起考學生，對學生有意識的進行選拔，也對學生高要求，它著重強調全等三角形和相似三角形的相同點和不同點，讓學生能區(qū)分開，這類題型在中考中也算是中難度的題了.例 12（2013年上海市中考題）如圖，在△ABC中，?ACD?90?，?B??A，點D為邊AB的中點，DE∥BC交AC于點E，CF∥AB交DE的延長線于點F．求證：

ADE?EF.B

DEFC圖（19）

簡析：要證DE?EF，從題目中我們不能直觀的證明它們相等，要先轉化證明平行四邊形再證全等三角形，通過兩對邊分別平行的性質證明四邊形BCFD是平行四邊形BCFD，然后把邊DE和EF放在?CED和?CEF中，證明這兩個三角形全等，進而就可以證明DE?EF.證明：∵DE∥BC，CF∥AB

∴四邊形BCFD是平行四邊形BCFD ∴BD?CF,DF?AC ∴?CED和?CEF是直角三角形

又∵?ABC是直角三角形，且D為AB的中點 ∴CD?BD ∴CD?CF

在Rt?CED和Rt?CEF中

?CE?CE ??CF?CD 16

∴Rt?CED?Rt?CEF(HL)∴DE?EF

說明：幾何圖形之間線段與角的關系是有聯(lián)系的，但是要對每個圖形的性質掌握，才能搭起橋梁，建立關系.例13(2012年云南省中考題)如圖，在?ABC中，?C?90?，點D是AB邊上的一點，DM?AB，且DM?AC，過點M作ME//BC交AB于點E.求證?ABC??MED.圖（20）

簡析：題目中給得每個已知條件都是關鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒有明確給出斜邊AB?ME，所以我們要另謀出路，根據(jù)ME//BC，?MED??ABC，用“AAS”來證明?ABC??MED.證明：∵DM?AB

∴?MDE??C?90? 又∵ME//BC ∴?CBA??DEM 在?ABC和?MED中

??C??MDE???ABC??MED ?MD?AC?∴?ABC??MED(AAS)說明：證明全等三角形的方法有多種，關鍵是要根據(jù)已知條件去找邊與邊、角與角之間的對應關系.例 14（2011福建福州中考題）如圖，AB?BD于點B,ED?BD于點D,AE交BD

于點C,且BC?DC.求證AB?ED.ABCD

E

圖（21）

簡析：題目中給得每個已知條件都是關鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒有明確給出斜邊AC?EC，題目中還有一個隱含的條件對頂角?ACB??ECD,所以我們可以選擇用“ASA”來證明?ABC和?EDC全等.證明:∵AD?BD，ED?BD

∴?ABC??D?90 在?ABC和?EDC中

??ABC??D? ?BC?DC??ACB??ECD?∴?ABC??EDB(ASA)∴AB?ED

說明：在做幾何圖形的題目時，即要抓住它給的每個已知條件，又要從題目或圖形中挖掘出隱含的條件，這鍛煉我們的發(fā)現(xiàn)思維和綜合應用能力.6 結論

6．1主要發(fā)現(xiàn)

全等三角形的證明問題，就其方法而言，沒有定法可套，有較大的靈活性和技巧性．而且全等三角形證明歷來是中學、特別是初中數(shù)學教學的一個重點和難點．本文系統(tǒng)地歸納整理了幾類全等三角形的證明方法．如若學生在掌握全等三角形的基礎知識以后，能夠靈活應用文中幾類方法和思想，以其為指導，全等三角形問題將能夠迎刃而解，使得解決全等三角形問題時思路清晰，運算簡便．尤其是應用構造法，架起一座連接條件和結論的橋梁，在解決一些全等三角形問題時作用很大．

6．2 啟示

從文中可以看出在處理全等三角形問題時，若能靈活運用這些思想與方法，則會取得事半功倍的效果．教師在講解具體數(shù)學內(nèi)容和方法時，應該高度重視全等三角形方法的挖掘和滲透，重視理論和實踐的結合，讓學生切實領悟其價值，滋生應用的意識．同時學生在解題和學習的過程中也應認真思考，發(fā)現(xiàn)和歸納證明全等三角形的數(shù)學思想方法．

6．3局限性

本文把理論和實踐相結合，歸納了幾類全等三角形證明的方法在解題中的應用，其中主要工作屬歸結概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知識體系間尋求“交匯”跨度大、難度高，不易發(fā)現(xiàn)其中的本質聯(lián)系；二是由于本文整理歸納了較多全等三角形的證明方法和數(shù)學思想，多則不精，廣而不深．

6．4努力方向

全等三角形的證明方法種類繁多，不同知識體系間的跨度大、難度高．在教學實踐中，并不是短時間可以全部學習掌握的，需要長期學習并積累，而對于全等三角形的證明方法新的研究與發(fā)展，則要在大量的實踐中不斷摸索．

參考文獻

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致

謝

路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索，是我的勵志名言.轉言眼間，我的大學生涯就結束了，我已經(jīng)在美麗的師院度嘗到各種酸甜苦辣，有喜有悲，但我從不后悔選擇來這里上學.四年里，這是我人生中非常重要的時光，我有幸能夠接觸到這些不僅傳授我知識、學問，而且使我堅定人生的方向，獲得了追求的動力，留下了大學生活的美好回憶.在此，我真誠地向我尊敬的老師們和母校表達我深深的謝意.本篇論文是在我的導師羅紅英老師的多次指導下完成的.從論文的選題到結構安排，都凝聚了她大量的心血.在這篇論文的寫作過程中，羅紅英老師不辭辛勞，多次與我就論文中許多核心問題作深入細致地探討，給我提出切實可行的指導性建議，并細心全面地修改了我的論文.羅老師這種一絲不茍的負責精神，使我深受感動.更重要的是羅老師扎實的學術功底和嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度對我將來的人生道路產(chǎn)生了深遠的影響.21

第二篇：初中數(shù)學證明三角形全等找角

初中數(shù)學證明三角形全等找角、邊相等的方法

【摘要】“全等三角形的證明”是初中平面幾何的重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質的基礎，而且在近幾年的中考中時有出現(xiàn)，新課標的要求是“探索并掌握兩個三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運用方法對初中生來說至關重要。證明三角形全等找角、邊相等是最關鍵的步驟。如何找對應角、對應邊相等，做如下總結。

【關鍵詞】全等三角形相等角相等邊

我們在初中課本上學過的三角形全等的證明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，對于直角三角形還有“HL”。在做題的過程中我們時常發(fā)現(xiàn)，全等的條件往往隱藏在復雜的圖形中，要找的條件就是相等的角、相等的邊，初中階段找相等的角、相等的邊有以下幾種情況。

一、相等的角

1、利用平行直線性質

兩直線平行的性質定理：1.兩直線平行，同位角相等

2.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

例、如圖一所示，直線AD、BE相交于點C，AB∥DE，AB=DE

求證：△ABC≌△DBC

此題知道AB∥DE，根據(jù)平行線的性質可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

由ASA可證全等。圖一

2、巧用公共角

要點：在證兩三角形全等時首先看兩個三角形是不是有公共交點，如果有公共交點，在看他們是否存在公共角。

例、如圖二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求證：△ABE≌△ADC

此題∠A是公共角，利用ASA可證全等。

3、利用等邊對等角圖二 要點：注意相等的兩條邊一定要在同一個三角形內(nèi)才能利

用等邊對等角

例.、如圖三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中線

求證：△ABD≌△ACD

此題已知AB=AC，由等邊對等角可得

∠B=∠C.4、利用對頂角相等圖三 例、已知：如圖四，四邊形ABCD中, AC、BD交于O點,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分別為A , C．

求證：AB=CD圖四 此題利用對頂角相當可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根據(jù)全等三角形對應邊相等得到

AB=CD5、利用等量代換關系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如圖五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求證：△EAD≌△CAB．

由圖形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC圖五

利用SAS可證△EAD≌△CAB

例

2、已知:如圖六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求證:BD=CE

由圖形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可證△BAD≌△CAE圖六

(2)同角（等角）的補角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如圖,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直線BF上．

求證:∠A=∠D

由圖形可知：圖七 B

由等角的補角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如圖八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過C作

B圖八 ECF⊥AE, 垂足為F,過B作BD⊥BC交CF的延長線于

D.求證:AE=CD;

由圖形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、結合旋轉和對稱圖形的性質。

例1．如圖九，把一張矩形的紙ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD?交于點F．圖九

求證：△ABF≌△EDF；

根據(jù)對稱的性質我們可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以證明△ABF≌△EDF。

二、相等的邊

1、利用等角對等邊 ADAC

3CB

（注意：必須在同一個三角形中才能考慮）

例、如圖十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AB=CD

已知∠3=∠4，根據(jù)等角對等邊可得OB=OC

利用AAS證明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共邊相等圖十 A

（若果要證明的兩個全等三角形有兩個相同的對應點，那么可么馬上得出它們具有公共邊）

D例、如圖十一，已知AB=AC，DB=DC，求證：∠BAD=∠CAD CB由圖形可知AD是△ABD和△ACD的公共邊，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代換

圖十一 F

AB+公共邊=DE+公共邊

例，如圖十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：∠B=∠C

E圖中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可證△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用線段中點或三角形中線定理，或者等邊三角形的性質

例、如圖十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

圖十二

分別為E、F，M是BC的中點。求證：ME=MF

M是BC的中點，則可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例題、如圖十四，△ABE和△ACF是等邊三角形，求證：CE=BF圖十三 F △ABE和△ACF是等邊三角形，則AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.則∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,則可得CE=BF

C

圖十四

5、利用三角形角平分線定理

（三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

注意、必須是角平分線上的點

例題、如圖十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分別為E、F。求證：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,則根據(jù)角平分線

性質可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

則可得到AE=AF

圖十五 例題、已知：如圖十六，BD為∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD

于M，?PN⊥CD于N，判斷PM與PN的關系．

A由題意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分線，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分線的性質

可得PM=PN

全等三角形的證明是初中數(shù)學幾何證明中最重要的一部分，是證明線段相等和角相等最常用的方法。結合全等三角形的判定，全等的條件一般隱藏在已知當中，以上是證明全等隱藏條件的方法總結。

第三篇：初二數(shù)學全等三角形證明

初二數(shù)學全等三角形證明

班別_______姓名_______學號_______2007-5-1

51.如圖,AB=CD,AD、BC相交于點O，(1)要使△ABO≌△DCO,應添加的條件為.(添加一個條件即可)

(2)添加條件后,證明△

ABO≌△DCO

2.已知：如圖，AB//DE，且AB=DE.(l）請你只添加一個條件，使△ABC≌△DEF,你添加的條件是.(2）添加條件后，證明△ABC≌△DEF.3、如圖，點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。

所添條件為，你得到的一對全等三角形是???

證明：ABOCD(第12題)

4、如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點，過D點分別作DE∥AB交AC于點E，DF∥AC交AB于點F.（1）證明：△BDF≌△DCE ；AFE

BC D

(第4 題圖)

5．如圖9，已知∠1 = ∠2，AB = AC．求證：BD = CDBDA

圖 9

6．如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：AC＝BD．

A

B7、如圖，在ABCD中，BE?AC于點E，DF?AC于點Ｆ．

求證：AE?CF；AD

BC8、如圖,已知點M、N分別是平行四邊形ABCD的邊AB、、DC的中點,求證: ∠DAN=∠BCM.9．如圖，AC和BD相交于點E，AB∥CD，BE=DE。求證：AB=CD

A

B E

第9題圖

10、已知：如圖10，在△ABC中，AB=AC，點D，E在邊BC上，且BD=CE．

求證：AD=AE．

_B

_C

_ M

_N

_A

_D

D

C

圖10

C12、如圖（4），在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：○

1AB=AC○2AD=AE○31=∠2○4BD=CE.請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題（要求寫出已知，求證及證明過程）

第四篇：八年級數(shù)學全等三角形證明題

中考網(wǎng)

第十三章全等三角形測試卷

（測試時間：90分鐘總分：100分）

班級姓名得分

一、選擇題（本大題共10題；每小題2分，共20分）

1． 對于△ABC與△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，則下列條件①AB=DE；②AC=DF；

③BC=DF；④AB=EF中，能判定它們?nèi)鹊挠校ǎ?/p>

A．①②B．①③C．②③D．③④

2． 下列說法正確的是()

A．面積相等的兩個三角形全等

B．周長相等的兩個三角形全等

C．三個角對應相等的兩個三角形全等

D．能夠完全重合的兩個三角形全等

3． 下列數(shù)據(jù)能確定形狀和大小的是（）

A．AB=4，BC=5，∠C=60°B．AB=6，∠C=60°，∠B=70°

C．AB=4，BC=5，CA=10D．∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°

4． 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB = DE，添加下列哪一個條件，依然不能證明△

ABC≌△DEF()

A．AC = DFB．BC = EFC．∠B=∠ED．∠C=∠F

5． OP是∠AOB的平分線，則下列說法正確的是（）

A．射線OP上的點與OA，OB上任意一點的距離相等

B．射線OP上的點與邊OA，OB的距離相等

C．射線OP上的點與OA上各點的距離相等

D．射線OP上的點與OB上各點的距離相等 D 6． 如圖，∠1=∠2，∠E=∠A，EC=DA，則△ABD≌△EBC

時，運用的判定定理是（）A．SSS

C B．ASA B C．AAS

（第6題）D．SAS

7． 如圖，若線段AB，CD交于點O，且AB、CD互相平分，則下列結論錯誤的是（）D A．AD=BC

B．∠C=∠D

C．AD∥BC

D．OB=OC

8． 如圖，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB = CD，AE = CF，則圖中全等三角形共有()

A．1對

B．2對

C．3對

D．4對 B（第7題）（第8題）D中考網(wǎng)

9． 如圖，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF與BE交于點D．有下列結論：①△

ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點D在∠BAC的平分線上．以上結論正確的()

A．只有①

B．只有②

C．只有③

D．有①和②和③

B 10．如圖，DE⊥BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，（第9題）則△ABD的周長為（）

A．

21B．18C．1

3C E D．9

（第10題）

二、填空題（本大題共6小題；每小題2分，共12分）

11．如圖，除公共邊AB外，根據(jù)下列括號內(nèi)三角形全等的條件，在橫線上添加適當?shù)臈l件，使△ABC與△ABD全等：

（1），(ASA)；（2），∠3=∠4(AAS)． 12．如圖，AD是△ABC的中線，延長AD到E，使DE=AD，連結BE，則有

△ACD≌△。

13．如圖，△ABC≌△ADE，此時∠．

A CBC B ED A（第11題）

（第13題）（第12題）

14．如圖，AB⊥AC，垂足為A，CD⊥AC，垂足為C，DE⊥BC，且AB=CE，若BC=5cm，則DE的長為cm． 15．如圖，AD=BD，AD⊥BC，垂足為D，BF⊥AC，垂足為F，BC=6cm，DC=2cm，則AE=cm．B

C C A C E（第15題）（第14題）（第16題）

16．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列論斷：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④

BD=CE．請以其中三個論斷作為條件，另一個論斷作為結論，寫出一個真命題：。

三、解答題（本大題5小題；共68分）17．如圖，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB．∠MON＝50°，∠OPC＝30°．

求∠PCA的度數(shù)．

A

B

18．已知：如圖，AB與CD相交于點O，∠ACO=∠BDO，OC=OD，CE是△ACO的角平分

線，請你先作△ODB的角平分線DF（保留痕跡）再證明CE=DF．

19．如圖，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求證BM＝CN．

MB

D

N

20．已知：如圖，在△ABC中，D為BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，并交AB于點E，連結EG．（1）求證BG=CF；

（2）試猜想BE+CF與EF的大小關系，并加以證明．

21．如圖，圖（1）中等腰△ABC與等腰△DEC共點于C，且∠BCA＝∠ECD，連結BE，AD，若BC＝AC，EC＝DC．求證BE＝AD；若將等腰△EDC繞點C旋轉至圖（2）（3）（4）情況時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么?

A

DB

A

A

E

E

B

（1）

D

DC

B

D

（2）（3）

（4）

八年級（上）《全等三角形》試卷講評課教案

九華初級中學李海燕

教學目標：

1.通過講評，進一步鞏固全等三角形的相關知識點。

2.通過對典型錯誤的剖析、矯正、幫助學生掌握正確的思考方法和解題策略。教學重點：

第16，19，20題的錯因剖析與矯正。教學過程：

一、考試情況分析：

班級均分：82.1 分最高分：100 分 100分的同學，全班公示，鼓掌祝賀。分發(fā)試卷。

二、學生小組總結試卷填空和選擇兩塊解題中錯誤原因和解題感受，看看哪些小組總結得比較好。

學生用投影展示自己的所思所想。

三、重點評講解答題的19、20題

1、學生小組交流

2、學生據(jù)黑板圖形講解

3、教師點評

四、學生自我完善考卷

五、總結課堂，教師質疑

六、學生課堂訓練

教案說明：

本張試卷學生考試情況較好，典型錯誤不多，且書寫態(tài)度端正，思維過程表達清晰，可以看出學生對全等三角形的性質、判定掌握到位，如17、19有的學生能靈活運用角平分線性質及垂直平分線性質進行解答，方法比較簡便。針對考試情況，我在進行教學設計時讓學生發(fā)現(xiàn)自己在解題中的失誤或錯誤，重點評講了試題中的3、19、20等題。本課主要采用由學生說題的方法進行評講，心理學研究表明，人在學習活動過程中，聽懂不一定做的出，語

言表述則是思維活動的最高境界，語言更能訓練思維的邏輯性和嚴密性。學生對解題過程或者思維過程口頭能表達清楚才是真的理解這道題。總之，“學生說題”能轉變學生的學習方式，建設開放而有活力的課堂，符合有效課堂的特征，是高參與的課堂、高認知的課堂、高情意的課堂。課堂練習是針對學生在考卷中表現(xiàn)出的薄弱之處設計的，在學生對考卷進行評講后進行練習，能有效幫助學生進一步掌握解題方法。

課堂針對性練習

班級姓名組別

1、如圖，在△AEB和△AFC中，有下列論斷：①∠EAC=∠FAB；②AB=AC；③BE=CF；④AE=AF.請以其中三個論斷作為條件，另一個論斷作為結論，寫出一個真命題.2、（1）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線AF交BC于F，BD⊥AF于

D，CE⊥AF于E.求證：DE=BD-EC

（2）對于（1）中的條件改為：直線AF在△ABC形外，與BC的延長線相交于F，其他條件不變，上述結論仍成立嗎？(請畫出圖形)若成立，請證明；若不成立，請寫出正確的等式，并證明.

第五篇：論文《淺談多媒體在初中數(shù)學教學中的應用》

淺談多媒體在初中數(shù)學教學中的應用

摘 要：為了讓學生更直觀、更全面地獲取知識，充分發(fā)揮學生在教學過程中的主體地位，多媒體輔助教學是初中數(shù)學發(fā)展的必然趨勢，是初中數(shù)學教學改革的必然結果。將多媒體信息技術融于課堂教學，有利于激發(fā)學生興趣，提高課堂教學效果；有助于學生對基礎知識的理解，培養(yǎng)學生的解題能力；還可以增大課堂教學密度，貫徹因材施教的原則，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。利用多媒體信息技術圖文并茂、聲像并舉、形象直觀的特點為學生創(chuàng)設各種情境，可激起學生的各種感官的參與，調動學生強烈的學習欲望，從而達到提高學生學習積極性的目的。

關鍵詞：課堂教學 初中初中數(shù)學

多媒體

在現(xiàn)代中學數(shù)學教學中，學生往往會遇到一些抽象比較難以理解的數(shù)學問題。在這時，我們可以利用多媒體來幫助學生解決問題。隨著多媒體教學深入教育教學領域，投影儀、錄像機、錄音機、大屏幕、計算機等教學設備參與教學，使課堂教學更加直觀性、多樣性、演示性，并賦予課堂教學一股時代氣息，不僅能更好地吸引學生的注意力，而且能激活學生思維，化解學生學習的障礙，使學生思路更清晰，不至于產(chǎn)生對新知認識上的誤區(qū)。本文旨在就多媒體技術在初中初中數(shù)學教學中的應用進行一些簡要的闡述和分析。

一、傳統(tǒng)教學的弊端與局限性。

傳統(tǒng)的教法比較單一，教師講得多，學生參與少，既缺乏充分的圖形支持，又缺乏供學生發(fā)現(xiàn)探索的良好環(huán)境，學生處于被動聽講的態(tài)勢中。比如教師在講解比較抽象的知識時對教師和學生的能力都提出了較高的要求，這樣對一部分的學生來說學習起來比較的吃力，往往達不到老師預期的效果。比如學生由平面到空間的轉變，由簡單到復雜的轉變等。教師靠“一張嘴，一支筆”，學生“兩只耳朵一支筆”，整個的教學過程顯得枯燥乏味沉悶。教師講得“苦”，學生學得“累”。不利于學生對知識的吸收和能力素質的培養(yǎng)。在實施素質教育的今天，迫切需要探索出能真正培養(yǎng)學生初中數(shù)學能力的教法。而多媒體技術的飛速發(fā)展并迅速應用到教學，恰好很好的解決了這些的問題。

二、多媒體技術在初中數(shù)學教學的優(yōu)勢

1、以靜制動，激發(fā)學習興趣

動態(tài)的事物比靜態(tài)的事物更能刺激學生的視覺感官，吸引學生的眼球，傳統(tǒng)教學中，學生面對靜態(tài)呆板的板書和教材，難免覺得枯燥乏味，多媒體多媒體的應用克服了這一缺陷，它為教學創(chuàng)設一個生動有趣的教學情境，化無聲為有聲，化靜為動，激活了學生的學習思維，提高了學生的學習積極性。

2、寓教于樂，優(yōu)化教學過程

多媒體多媒體把學生帶入了寬松愉快的學習氛圍，讓學生主動探索，積極進取，使學生會學，愿學和樂學，例如:在教授九年級上冊《圓》中有關車輪為什么做成圓形的有關內(nèi)容時，我利用FLASH創(chuàng)設了一個“動物趣味運動會”的情景，畫面是小雞、大象和河馬分別騎著圓形車輪、方形車輪和三角形車輪的賽車進行比賽，并配上運動會的背景音樂，這個場景一出現(xiàn)在課堂上，問題就自然引出來，車輪為什么要做成圓形的呢?當然效果就不言而喻了。面對情境教學，學生思維敏捷，精神集中，積極參與教學活動，課堂氣氛變得輕松活躍，伴隨著悅耳的音 樂，學生的學習積極性被充分地調動起來，使他們在快樂中獲得了知識，提高了學習能力。

3、突破難點，提高課堂效率

傳統(tǒng)教學中由于條件所限，教師在課堂上要花費很多時間和精力來完成畫圖、繪制圖表和處理數(shù)據(jù)等工作，不僅浪費了大量的精力，也浪費的大量的時間，且難以突破難點，若采用多媒體技術來完成這些工作，可節(jié)省教學時間，突破難點，增加課堂容量，提高課堂效率。例如：九年級上冊《概率的意義》中的擲硬幣的實驗，由于實驗條件及次數(shù)的限制，最后正面向上的頻率可能跟我們所期待的結果有一定的出入，但若用多媒體課件演示這個游戲，不但節(jié)約了時間，效果會更直觀。像上述課件起到了縮短教學時間，化靜態(tài)為動態(tài)，直觀、形象、清晰地展示圖象變化的規(guī)律和性質的功效，學生能在積極參與探索知識的過程中，實現(xiàn)對初中數(shù)學知識的再建構，提高課堂效率。

三、初中數(shù)學教學中如何更好地應用多媒體。多媒體輔助教學主要是通過利用課件來實現(xiàn)的。利用課件的目的是為了更好地搞好教師的教和促進學生的學。下面具體談談多媒體在初中初中數(shù)學教學中的應用。

1、用多媒體進行課堂演示 通過精心設計的動畫、插圖和音頻等，可以使抽象深奧的初中數(shù)學知識以直觀的形式出現(xiàn)，更好地幫助學生思考知識間的聯(lián)系，促進新的認知結構的形成。多媒體的動態(tài)變化可以將形與數(shù)有機結合起來，使學生由形象的認識提高為抽象的概括，這對于培養(yǎng)學生良好的思維習慣會起到很好的效果。課堂教學時，利用這種模式進行課堂教學，在較短的時間內(nèi)，使學生多種感官并用，加深對知識的理解，因而可以做到更高密度的知識傳授，大大提高課堂利用率。

2、利用多媒體進行小組合作學習

問題是初中數(shù)學發(fā)展的動力，現(xiàn)代初中數(shù)學教育更是強調要進行“問題解決”，在解決問題過程中鍛煉思維、提高應用能力。

在條件允許的前提下開展初中數(shù)學實驗課中，可考慮把學生分成2-3人一個小組，每組共用一臺多媒體。教師提供問題，學生利用多媒體提供的環(huán)境，積極思考、討論，動手演算，解答這個問題。在這種小組合作學習的模式下，教師在教室里的角色更象學生的輔導者或幫助者，他們設置環(huán)境，幫助學生提出問題并進行探索，刺激學生解答問題，并為學生提供他們需要使用的工具與資源，以便學生能夠建構知識。

3、利用多媒體練習、復習

練習是課堂教學中必不可少的活動，猶如工業(yè)生產(chǎn)的“產(chǎn)后服務”。利用計算機信息容量大的特點，做成一些智能題庫，課后鞏固和熟練某些已經(jīng)學會的知識和技能。這種智能題庫不僅提供文字、圖形、動畫視頻圖象，還有語音解說和效果音響，文、圖并茂，具有很好的視聽效果。教學內(nèi)容的組織多按章節(jié)劃分知識點模塊，學習者可以根據(jù)需要自取進度，個別系統(tǒng)逐步深入地學習，復習已經(jīng)學過的知識內(nèi)容，補充課堂學習的內(nèi)容和加強概念的學習。

在這種模式下，學生可以自主地選擇教學內(nèi)容進行練習，并能及時得到指導。教師在設計課堂練習時，可以充分發(fā)揮教學軟件圖文并茂的優(yōu)勢，設計多層次的習題，讓每一個學生都能在輕松愉快的情境中練習。在設計習題時，要照顧全體學生，就要把習題分成多層。教師也可以利用智能題庫隨意生成程度不同、內(nèi)容不同的電子試卷，對學生進行多方位的考察。

四、多媒體技術在初中數(shù)學教學要注意的幾個問題

1、充分發(fā)揮多媒體教學手段的輔助作用。

多媒體課件的選用是為教學服務的。那么課件選用多少，選用什么內(nèi)容，何時出示都必須先考慮它對教學的促進作用。針對目前多媒體在使用時資料過多過濫過于亮麗導致影響學生思維，干擾教者思路這一現(xiàn)狀，我認為這課件設計的資料以少而精為好。精心設計課件，不搞大而全，只求少而精。教者在教學設計時，先應拋開課件使用這一想法，而先去挖掘教材內(nèi)容。而當確實需要補充資料，以彌補課文留白或突破教學重難點時，才去考慮課件的設計和使用。

2、讓多媒體技術時常陪伴在初中數(shù)學教學左右。

恰當選用多媒體教學手段對初中數(shù)學教學的促進作用是毋庸置疑的。可在我們平時教學中，我們雖然也有心采用多媒體課件，卻苦于不易找到合適的課件，合適的材料。廣大教師制作課件的水平也有限，在教學、備課、批閱作業(yè)的間隙也無暇去精心設計每一個課件，而教學卻是每天都在進行的，合適的課件若能貫徹到每一節(jié)課的學習，對教者、學生來說，無疑會創(chuàng)設更好的學習氛圍。

3、不要忽視與學生的互動和情感交流

把傳統(tǒng)課堂上板書的內(nèi)容全部搬到了電腦屏幕上，再用投影儀設備投射到大屏幕上來代替黑板，老師眼不離顯示器，手不離鼠標、鍵盤，成為無章法的機械式教學模式。教學本身就是一個雙向的活動，是需要學生和老師融為一體的，是需要雙方感情投入的，一些課件的使用使這種雙向交流變得很少，有的學生只看屏幕，不看老師，使雙邊的活動很少。有人撰文稱信息技術與課程整合為“優(yōu)勢有目共睹，模式不再單調，案例不乏精彩，推廣卻不理想”。

4、避免完全電腦式灌輸 在多媒體課堂教學中，使用最多的是powerpoint制作的演示課件，它起到的作用成了替代板書。實踐證明，課堂教學不能“滿堂灌”，不能講得天衣無縫，要使學生有自學、思考的空間。而有些教師只管低頭盯著電腦屏幕“念”或者操控電腦演示多媒體課件或者引用大量信息，大屏幕成了信息海洋，不管學生能否來得及閱讀和消化。

5、忽視揭示問題過程和能力的培養(yǎng)

在使用多媒體的同時，往往注重演示過程，而沒有指出初中數(shù)學方法、貫穿初中數(shù)學思想，導致學生只會模仿做題。初中數(shù)學是一門實踐性很強的學科，很多知識和問題不是光靠看和聽就能理解和掌握的，更多的是靠思考和練習，通過自己的實踐和探索掌握知識的來龍去脈，這樣對知識的學習才能更深入，理解才能更廣泛，應用的才能更靈活。

6、要合理使用多媒體技術

雖然多媒體技術能給初中初中數(shù)學的教學帶來優(yōu)勢，但不能過分夸大其作用，更不能過分依賴于多媒體技術，杜絕一堂課多媒體一用到底的現(xiàn)象。教學媒體各有各的優(yōu)勢，我們應該充分認識和了解各媒體的特征，根據(jù)教學目標和需要，選擇最適合學生學習的教學媒體。

7、要加強自身的學習

在信息化時代里，知識更新一日千里，特別是多媒體技術。任何一種教學手段都是服務于教學的，在多年實踐中，我們感到多媒體適當、適度、適時的采用，對教學的促進作用極其顯著。正沖擊著傳統(tǒng)的教學，如果墨守成規(guī)不思進取，就將很快落后時代。

五、多媒體技術在初中數(shù)學教學中的應用舉例

1、初中數(shù)學中有許多較為抽象的概念，如角的教學，就可以利用了Flash制作出的運動效果（終邊運動），使銳角、直角、鈍角、平角、周角以直觀形式呈現(xiàn)在學生的眼前，符合初一學生的認知特點，有利于知識的內(nèi)化。在多媒體動畫的演示過程中，使學生的眼、口、手、腦等多種器官協(xié)調活動，這樣，加深了對角的認識，同時也掌握了五種角之間的大小關系。

2、如行程問題的教學，就把現(xiàn)實生活中的自行車、摩托車、汽車、人等“搬”進了電腦，利用Flash使他們運動起來，大大提高了學生的學習興趣，公路、學校跑道刺激著學生的視覺神經(jīng)，使學生形成表象，進而使感性認識上升為理性認識，從而挖掘事物運動的本質聯(lián)系，把實際問題轉化為初中數(shù)學問題，真正意義上地提高了其初中數(shù)學修養(yǎng)。在此例中突出了初中數(shù)學中的數(shù)形結合思想。

3、如分割等腰三角形問題：已知△ABC是等腰三角形，過△ABC的一個頂點的一條直線m，把△ABC分成兩個小三角形，如果這兩個小三角形也是等腰三角形，問△ABC的各內(nèi)角度數(shù)可能是多少度？

就可以這樣設計教學過程：先由學生聯(lián)想特殊的等腰三角形（等邊三角形、等腰直角三角形），排除等邊三角形，以等腰直角三角形為切入口結合多媒體輔助教學：先出現(xiàn)一個等腰直角三角形，頂角平分線所在直線即m，接著此等腰直角三角形變形為等腰鈍角三角形，學生探討m的位置時電腦同步配合，使m運動到學生所述位置，這一運動過程直觀呈現(xiàn)，這樣學生就在觀察、猜想、討論、計算等一系列活動中獲得了知識，體會了初中數(shù)學中的分類方法，并且印象深刻。（等腰銳角三角形的探討類似）

4、例如，對于三角形“三線合一”的教學，傳統(tǒng)教學因較難展現(xiàn)其發(fā)現(xiàn)過程，從而造成學生對其不好理解。利用多媒體，可以在屏幕上作出斜三角形ABC及其角A的平分線、BC邊的垂直平分線和中線，之后用鼠標在屏幕上隨意拖動點A，利用軟件功能，此時三角形ABC和“三線”在保持依存關系的前提下隨之發(fā)生變化。在移動的過程中，學生會直觀地發(fā)現(xiàn)存在這樣的點A，使得角平分線、垂直平分線和中線三線重合。再如，對于圓周率的概念的教學，利用CAI，可以對圓周進行展開，同時跟蹤測量圓周長和圓半徑，引導學生發(fā)現(xiàn)圓周長與圓半徑的比是一個定值。由于實驗中圓可以隨意變化，學生很容易接受π的存在。

綜上所述，在初中數(shù)學教學中恰當運用現(xiàn)代信息技術手段，是現(xiàn)代化教學的需要，是素質教育的需要，是培養(yǎng)二十一世紀合格人才的需要；同時，恰當?shù)剡\用現(xiàn)代信息技術手段能使初中數(shù)學課堂教學形象、具體、生動、直觀，能激發(fā)起學生學習的興趣，理清概念，化難為易，化靜為動，化繁為簡，使具體的畫面與抽象的初中數(shù)學內(nèi)容緊密聯(lián)系，突破傳統(tǒng)的教學方法，挖掘教材的內(nèi)在潛能，使學生正確形成完整的初中數(shù)學體系和空間觀念，讓學生充分感受、理解知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，開拓學生視野，有利于學生創(chuàng)新意識和能力的培養(yǎng)，就能提高課堂教學效率。

參考文獻

1、季正義：《淺談多媒體教學在初中初中數(shù)學教學中的應用》，《中小學電教》，2006年 10期

2、徐建漢：《多媒體與初中數(shù)學在情境創(chuàng)設中的整合運用》，《寧波教育學院學報》，2006年 03期