第一篇：高斯優化過渡態的經典總結

高斯優化過渡態的經典總結

一般地，優化所得駐點的性質（極小點還是過渡態）要靠頻率來確定；而對過渡態，要確定反應路徑（即到底是哪個反應的過渡態）必需要做IRC了，不然靠不住的（往往用QST找到的過渡態并不一定就是連接輸入反應物和產物的過渡態）。

在我們用QST2或QST3來優化過渡態時，需輸入反應物和產物，實際上反應物和產物的輸入順序是沒有關系的。就是說，先輸反應物后輸產物和先輸產物后輸反應物得到的是同樣的過渡態。這也好理解，QST2里對過渡態的初始猜測實際上是程序自動將輸入的反應物和產物的各變量取個平均，所以輸入順序是沒有關系的。對QST3和TS，需人為指定過渡態的初始猜測。

上面說的反應物和產物的輸入順序沒有關系，有個前提條件，就是反應物和產物的自旋多重度一致。對QST3，因為是人為指定過渡態的初始猜測，所以沒有影響；而對QST2，過渡態的自旋多重度默認和后面輸入的一致。如果反應物和產物的自旋多重度一致，那隨便先輸哪個都沒關系；而如果反應物和產物的自旋多重度不一致，這時該怎么辦？？？

當反應物基態多重度為1，產物基態多重度為3時，到底將過渡態的多重度定為1還是3？還是兩個都試，哪個能量低取哪個？假如取1，在下來做IRC驗證時，Reverse還好辦，Forward卻是按多重度為1做的，這樣怎么能和多重度為3的產物連接起來？

要將其關聯起來，需有一個為激發態，這樣才能在自旋多重度上保持一致?？蛇@種處理對嗎？還有更好的思想嗎？另外，我覺得IRC難用得很，很難控制，也不知自己鉆進了哪條死胡同！

一直對此很迷茫，希望各位大俠援助啊！

對于這點確實很迷茫，我覺得好像得用cas解決，有看過類似的文獻，上面有用cas得出過反應物基態經激發態再回到基態得出產物的反映路徑。我沒有試過，對于cas我很是頭疼，理論和實踐都一無所知。

作 IRC 能說明哪些問題？

irc做完，就說明我們完成了這個反應路徑地計算，在SUMMARY OF REACTION PATH FOLLOWING:，我們可以看到分子過渡態的鍵長鍵角與能量隨著反應坐標的變化而變化，如果你將反應坐標與能量作圖，就可以得到一條過渡態曲線，由于irc計算是結構沿著反應路徑的方向，在每個點進行優化的，所以如果你找的過渡態是正確且優化是成功的話，TS確實是連接兩個minimum的。

一般IRC的兩個終點并不恰好就是反應物和生成物，除非不斷加大Maxpoints。然而此時IRC又往往會出錯，或者并不能達到指定的Maxpoints，例如，我想正反兩個方向各算20各點，IRC計算正常完成，但結果中并沒有41個構型。如果這時作能量-反應坐標曲線，如何確定反應物和生成物的反應坐標？

如果你的過渡態確實做得漂亮，那么就一定可以成功地由過渡態找到與之對應的反應物、生成物?？蛇@只是理論上的東東，現實中，由于反應的勢能面實在太復雜，你千辛萬苦所得到的過渡態是很難天衣無縫地連接反應物、生成物的。不斷加大Maxpoints 簡直是Kill time。

一般地，我們可以將IRC最后得到的兩個結構的所有數據分別與你做QST時所用的兩個結構進行對比，只要結構數據的差別、能量差別比較小，就可以基本認定（因為反應的勢能面太復雜）你IRC是成功的了。

說得好！取點越多越好，但我發現往往作不到這一點，所以我也是將IRC最后得到的兩個結構的數據分別生產物態和產物態的兩個結構進行對比。

而且我發現，作IRC時頻率計算給出的訊息很重要，呵呵！

過渡態尋找小結

剛剛做了一段時間的過渡態，期間碰到了許多的困難。尋找過渡態不是一件容易的事（對于我和大多數剛涉及量化的人來說），因此我希望通過寫這個經驗小結能對大家有些幫助。1.首先遇到的問題是，用哪種方法來尋找過渡態？

GAUSSIAN提供的方法是QSTN和TSN方法。兩種方法各有優點和缺點。QSTN方法特別QST3方法要求輸入反應物，過渡態的猜測結構，產物這三者的結構。特別麻煩。但很管用，一般不會出現不收斂的情況。對于TSN（對應關鍵詞為OPT=TS）方法，只要求輸入過渡態的初始結構，但這個初始結構非常的關鍵，如果結構不好，則很容易出現不收斂的情況。所以我建議，如果是剛開始做過度態的話，用QSTN方法是好的選擇，等有了“感覺”之后，再用TSN方法。

2.怎么解決經常出現的錯誤？

在找過度態的時候，經常碰到的一些問題就是不收斂（1）.，有一個錯誤的本征值（錯誤信息為：there is a wrong sign eigenvalue in hessian matrix.....)（2），和LINK9999錯誤導致退出。（3）

對于不收斂的情況，可以分為兩類，比如提示信息里的CONVERGENCE FAILER 提醒收斂到了10（-5），而此時你設定的SCF循環次數也僅僅是64步，那么完全有希望通過加大SCF循環次數來達到收斂的目的。倘若只收斂到10（-3）或10（-2），此時加大循環次數可能就沒用了。結果還是CONVERGE FAILER。此時可采用SCF=QC，來達到強制收斂的目的。因為SCF=QC（LINK508）的計算量比默認的L502要大，所以不到萬不得以就不用它了。

出現第二個錯誤可以直接用 關鍵詞OPT=NOEIGEN 來實現。

LINK9999出錯是因為已經走完了默認的步數，但還未完成。系統會自動跳出。出現這種情況大多數就是因為優化步數和SCF步數超過了默認值?？捎肙PT（MAXCYCLE=100）和SCF（MAXCYCLE=300）來改錯。

3.怎么樣控制過渡態的優化，使得過渡態不至于收斂到其他的分子結構中去？ 我用GAUSS VIEW 可以解決這個問題，當剛開始運行GAUSSIAN時，你用GVIEW去打開輸出文件時，你可以看到你的過渡態的初始輸入結構，當一個循環過后（從上一個LINK502到下一個LINK502），你再打開輸出文件，你就可以清晰地看到優化一步后分子的構型，這樣就可以隨時監控過度態分子的結構，倘若已經有收斂到其他分子構型的趨勢時，你就可以把它給KILL了，而不至于需要等全部工作結束后，打開輸出文件才知道已經不是想要的過渡態了。如果收斂到其它的構型上去，可以考慮縮小OPT的步長.iop(1/8=2或3）即可。

4.還需要加其它的關鍵詞嗎？

建議在OPT中加入CALCFC。這樣可以加大找到過渡態的幾率。本人深有體會！

先寫這么多了，難免有錯誤和不恰當之處，還希望大家來指點和補充！

我找過渡態的經驗是：找過渡態的關鍵點，是如何根據反應體系的立體結構和反應過程化學鍵的斷裂和形成的軌道的空間形狀，提出一個合理初始的過渡態的結構，再進行優化。提出的初始過渡態結構越接近真實結構，就越容易找到，否則花一年時間也可能找不到一個過渡態。而找過渡態的QSTN方法、TSN方法的差別不是太大。

這幾個帖子都很好，我也找了十幾個簡單的過渡態，不是直接找到的，而是先用目標過渡態的四元環結構做，然后對四元環結構逐步“修飾”直到那個四元環就是我需要的四元環為止，這個方法來得一般比較簡單，但也有無法“修飾”到目標過渡態的情況，其他方法都是一樣的。

10（-5）表示十的-5次方。

每個循環都會列出SCF計算的結果，和收斂值啊?？梢哉业牡降?。

iop(1/8)=2 相當于在找過度態的時候，以2A（A為基本單位長度）為單位來尋找過渡態。

就象有一百個抽屜里只放了一個蘋果，當然是一個一個抽屜打開，找到蘋果的把握最大了。此時意味著iop(1/8)=1。

有虛頻說明結構處于不穩定狀態。過渡態的初始結構猜測應該根據已有的知識和經驗啊，哪種構型或構象最可能是過渡態，注意有時候猜測可能與計算結果完全相反。

反應坐標

勢能面是研究化學反應歷程的基礎。對一個勢能面來說，我們比較關心其關鍵點。勢能面上的關鍵點是指勢能的極值點，包括反應物(R)、產物(P)、中間體(I)與過渡態(TS)或鞍點（saddle point）等。連接反應物、過渡態和產物的反應途徑，是一條能量最低的路徑（minimum energy path），稱為反應坐標（reaction coordinate）。各關鍵點是通過反應坐標聯結起來的，過渡態是其上面的一級鞍點。

＊不同類型的反應坐標

我們常說的反應坐標、最小能量路徑等用語，嚴格地說，是有一定區別的。

（1）最速下降路徑：也稱最小陡降路徑。從過渡態出發，體系會沿著最陡的斜坡向反應物深谷和產物深谷移動，移動路徑與等能量面正交，方向與勢能梯度相反。這條路徑的任何地方，其垂直方向有一極小點，就是垂直切割最速下降路徑的交點。

（2）內稟反應坐標：內稟反應坐標就是連接反應物、過渡態和產物的最速下降路徑。

（3）最小能量路徑（MEP）：通常選定一個反應坐標，使能量相對于其它坐標為最小。這樣的反應路徑，常常會引起彎曲甚至不連續，特別地與最速下降路徑偏離甚遠，而后者是真正的最小能量路徑。舉例來說，Relaxed Scan 的結果就是一條MEP。

（4）經典軌跡：上述路徑在勢能面上對應著一組原子無限緩慢地移動（零動量），而軌跡是通過在包括核最初動量的合適初始條件下求解反應物的運動方程得到的。動力學效應，例如離心力，將使分子沿著不同于最速下降的路徑移動。隨著分子象臺球一樣從勢能山脊上彈起又滑下山坡，軌跡可能十分繁長。

irc輸入和結果

%Chk=irc #p hf/sto-3g irc(forward,calcfc)guess=read geom=allcheck

****************************************** %nproc=2 %Chk=irc2 #p hf/sto-3g irc(reverse,calcfc)guess=read geom=allcheck scf(maxcyc=200)(results:)

SUMMARY OF REACTION PATH FOLLOWING: 與scan看結果一樣是看OPti上的那個orient。

如果是單獨作irc(forward)和irc(reverse)，取出最后opt結果上面的那個orient來看irc到底是個什么樣的過程。第一個是過渡態的orient了。

關于虛頻的一個簡單的理解 首先，什么是頻率。

中學的時候我們學過簡諧振動，對應的回復力是f=-kx,對應的能量曲線，是一個開口向上的二次函數E=kx^2/2.這樣的振動，對應的x=0的點是能量極小值點（簡單情況下也就是最小值點）。這時的振動頻率我們也會求：ω=2π sqrt(k/m)。顯然它是一個正的頻率，也就是通常意義下的振動頻率。

那么，一維情況下，如果能量曲線是一個開口向下的二次曲線呢？首先，從能量上看，這是個不穩定的點，中學的物理書上稱為“不穩平衡”。用現在的觀點看，就是這一點導數是零（受力為0），且是能量極大值。如果套用上面的公式，“回復力”f=-k'x（實際上已經不是回復，而是讓x越來越遠了），這里k'是個負數，ω=2π sqrt(k'/m)顯然就是一個虛數了，即所謂的虛頻。Gaussian里面給出一個負的頻率，就是對應這個虛頻的。

實際情況下，分子的能量是一個高維的勢能面，構型優化的時候，有時得到了極小值點，這樣這個點的任意方向上，都可以近似為開口向上的二次函數，這樣這里對應的振動頻率就都是正的。對于極大值點，在每個方向都是開口向下的二次函數，那么頻率就會都是負的——當然一般優化很少會遇到這樣的情況。對于頻率有正有負的情況，說明找到的點在某些方向上是極大值，有些方向上是極小值。如果要得到穩定的能量最低構型，顯然需要通過微調分子的構型，消去所有的虛頻。如何微調？要看虛頻的振動方向。想象著虛頻對應的就是開口向下的二次函數，顯然，把分子坐標按照振動的方向移動一點點，分子應該就可以順著勢能面找到新的穩定點，但是也不能太小。而所謂的過渡態，則是連接反應物和產物之間的最低能量路徑上的能量極大值。好比山谷中的A，B兩點，它們之間的一個小土丘，就是過渡態，從A到B的反應，需要越過的是這個小土丘，而不是兩邊的高山。這樣，過渡態就是在一個方向上是極大值，而在其它方向上都是極小值的點。因此，過渡態只有一個虛頻。

頻率分析只能在勢能面的穩定點進行，這樣，頻率分析就必須在已經優化好的結構上進行。頻率分析的另外一個用處是判斷穩定點的本質。穩定點表述的是在勢能面上力為零的點，它即可能是極小值，也可能是鞍點。極小值在勢能面的各個方向都是極小的。而鞍點則是在某些方向上是極小的，但在某一個方向上是極大的，因為鞍點是連接兩個極小值的點。有關鞍點的信息:

1.負的頻率2.頻率相應簡正振動的模式

當一個結構產生負的振動頻率時，可以表明在該振動方向可能存在著能量更低的結構。判斷所得鞍點是不是需要的鞍點的方法，就是察看它的簡正振動模式，分析是不是可以導向所需要的產物或反應物。進一步的，更好的辦法是通過IRC計算來判斷反應物，產物與得到的鞍點是否有關系。

向大家推薦一本書，翻譯成中文的（原文我沒有見過），可能是《化學反應中的電子》。

在尋找過渡態計算中opt=ts, 需要計算頻率，如果有一個虛頻就說明優化所得的構型是個 過渡態。有時在做部分限制優化opt=minimal時，也能得到一個虛頻（一般發生在frozen 部分的化學鍵上）。我想問一下，虛頻的數值大小本身具有什么物理意義。后一種情況是否也可以認定為過渡態。

我的理解： 虛頻就是在這個振動方向上力常數是負的

過渡態之所以有一個虛頻，是因為它是一個鞍點，鞍點上有一個負的梯度的方向分子沿這個方向振動時將轉化為反應物或產物。就象從山上掉下來，受到的力可以認為是負的。但并不是有一個虛頻就是過渡態，還要在這個虛頻的振動方向上分別指向反應物和產物 Gaussian 程序頻率計算中的幾個問題

在Gaussian計算中，為了確定優化得到的幾何結構是勢能面上的局域極小點還是鞍點，或者要得到相關的熱力學性質，經常需要對優化后的幾何結構進行振動分析。這里我們將討論幾個頻率計算中常見的一些問題。希望能對初學Gaussian的人有所幫助。首先，原則上說，振動頻率分析只對穩定結構有意義。這里所說的穩定結構包括是勢能面上的局域極小點和鞍點。如下圖1所示是一維自由度上的勢能面，A和B處在勢能面的局域極小點，而處在勢能面的鞍點上。他們在都處在平衡位置（原子核受力為零），不同的是，A和B來說離開平衡位置會受到指向平衡位置處的力，而C離開平衡位置會受到遠離平衡位置的力。因此A和B處在穩定平衡點，C處在不穩定平衡點。實際上，一個分子可以有很多的自由度，如果在所有自由度上分子都處在穩定平衡，就是穩定的分子。頻率分析得結果是所有頻率都是正的，表明這是一個局域的極小點。如果分子只在一個自由度上處于不穩定平衡位置，其他自由度上都處在穩定平衡位置，說明該結構是一階鞍點。分子在穩定自由度方向上的振動才是真實的振動，在不穩定自由度方向上的實際上是不會有振動的。不過我們可以對不穩定方向上的運動也按振動來做數學處理，會的到負的振動頻率，我們稱它為虛頻。虛頻的出現表明該結構為鞍點。圖1 勢能面上的局域極小點和鞍點

第二，Gaussian計算中，頻率的計算一定要在和分子結構優化相同的方法，基組下進行，否則計算的結果是沒有意義的。我們知道，任何理論水平下的計算，都是在一定的近似下進行的，不同的理論水平的近似程度是不同的。在一種理論水平A下優化的穩定結構Geom_A會和另一種理論水平B下優化的穩定結構Geom_B有差別，也就是說Geom_A不會是理論水平B下的穩定結構。根據前面我們所討論的，在理論水平B下對一個不穩定的結構進行頻率分析是沒有意義的。圖2示意說明了不同理論水平下穩定點結構的不同。

圖2 不同理論水平下優化的穩定結構是不同的

第三，頻率計算中可以考慮同位素效應（Freq=ReadIsotopes）。在波恩-奧本海默近似下，對于同一種元素采用不同的同位素對幾何優化和電子結構計算沒有影響，頻率計算所需的力常數矩陣（Hessian矩陣）也不會變化，變化的只是約化質量。容易理解，重的同位素會導致低的振動頻率。實際上，原子序數大的元素的同位素效應非常不明顯，一般只需考慮H原子的同位素效應。第四，各種方法計算的頻率和實驗結果之間存在系統誤差，需要乘以一個約化因子來進行校正（Scale=f）。一般來說，理論計算的頻率值會比實驗結果大。下面是一些理論水平下的約化因子。注意頻率和零點能的約化因子是可以不同的。更多水平下的約化因子需要查文獻獲得。

方法： 約化因子 約化因子

（頻率）（ZPE）

HF/3-21G 0.9085 0.9409 HF/6-31G(d)0.8929 0.9135 MP2(Full)/6-31G(d)0.9427 0.9646 MP2(FC)/6-31G(d)0.9434 0.9676 BLYP/6-31G(d)0.9940 1.0119 B3LYP/6-31G(d)0.9613 0.9804 SVWN/6-31G(d)0.9833 1.0079

第五，Gaussian的頻率計算有時會遇到下面的警告：

Warning--explicit consideration of 3 degrees of freedom as vibrations may cause significant error 這時一般有兩種可能：一種可能是，優化的幾何結構不夠精確，還沒有達到穩定點。對于這種情況，需要考慮用OPT=tight或OPT=VeryTight，結合Int=fine或者Int=VeryFine進行更加精確的優化。第二種可能是，在計算的振動模式中，有部分的低頻模式對應于內轉動模式，在熱力學分析中應該按自由轉子或受阻轉子模型處理，如果按諧振子模型處理會造成較大的誤差。采用受阻內轉子模型，可以用Freq=Hindered-Rotor計算或者自己手動計算這些振動模式對熱力學性質的貢獻。

第六，對于計算出的力常數較小的振動模式，其勢能面形狀可能不滿足諧振子模型的要求，力常數函數需要考慮非諧性的成分，這時可以用Freq=Anharmonic來進行非諧性處理。

第七，在頻率輸出前，會有這樣的輸出:

Low frequencies----0.0008 0.0003 0.0013 40.6275 59.3808 66.4408 Low frequencies---1799.1892 3809.4604 3943.3536 上面行的六個模式實際對應于平動（前三個）和轉動（后三個），理論上，這六個數都應該是零。如果是對過渡態進行的頻率計算，第一行會先輸出虛頻，然后才給出平動轉動的數值。一般來說，平動的三個數都是接近于零的。如果轉動的三個數不接近于零（一般解析頻率10個波數以內，數值頻率50個波數以內），說明需要進行OPT=Tight或OPT=VeryTight計算。第二行的幾個實頻率應該和隨后輸出中的相應頻率進行對比，如果基本一樣，說明頻率計算結果很好；如果差別較大，說明這些頻率受到的平動和轉動的污染較大。

第八，頻率計算后程序會進行一步優化計算，正常會得到四個判據都是YES的結果，這說明優化的結構很好。但是有時也會遇到四個判據不全是YES的情況，這時需要仔細分析，一般有三種情況：

1、Force和RMS Force都是收斂的，Displacement和RMS Displacement雖然是NO，但是都比較接近收斂判據；

2、如果Force和RMS Force都是收斂的，Displacement和RMS Displacement不收斂且數值遠大于收斂判據；

3、Force和RMS Force不收斂。對于第一種情況，我們可以不管它，仍然可以認為計算結果是可靠的。對于第二和第三種情況，一般說明優化過程中估算的Hessian是不準確的，優化的結構可能還沒有達到穩定點，需要重新優化。如果反復優化仍然無法解決這個問題，建議在優化過程中使用OPT=CalcAll。

第九，優化一個局域極小點，收斂后從力常數本征值看應該是局域極小點（沒有負的本征值），但是頻率計算中會出現虛頻和負的本征值。這種情況下虛頻一般是由轉動模式造成的，說明分子中兩個基團之間的相互位置不是很合適，需要繞轉動的鍵相對轉動到一個合適的位置，重新優化。繞某個鍵轉動兩個基團，有時可以很方便地用修改二面角的方法實現：OPT=Modredundant結合分子描述后輸入：* m n * [+=]value。其中m，n為連接兩個基團的鍵的頂端原子。有時，用OPT=CalcAll也可以解決這個問題。第十，Gaussian程序中，頻率計算是和溫度、壓力無關的。因為Gaussian所考慮的是原子核在一定核構型和電子運動狀態構成的勢場內振動，一般來說，溫度和壓力的變化不會影響分子的結構和電子運動狀態，所以振動的勢能函數是與溫度、壓力無關的。Freq=Isotopes關鍵詞要求輸入的溫度和壓力影響的只是平動，轉動和振動的平衡分布和它們對熱力學性質的貢獻。

分子激發態計算的理論方法一

1.激發態計算方法的分類

按照化學模型，目前計算激發態的方法可以分為： ____DFT(TDDFT, MC-DFT，DFT+CI...)Chemical____| Model |____Wave function____|~~~~Ab initio(MR-CI, CIS...)|____Semiempirical(Zindo/1，INDO/S，CNDO/S...)

這與基態計算方法的分類是一樣的，從中看不出激發態計算的特點。另一種分類是按照獲得激發能（或激發態能量）的方式，可以分為兩類：i)電子組態方法。選擇不同的電子組態的線性組合進行迭代，得到激發 態的絕對能量（有些程序經過簡單的后期處理也能給出相對能量）。分為多參考(MR)方法和單參考(SR)方法兩種。常見的多參考方法有：MCSCF(有CASSCF，RASSCF等多種形式)，MR-CISD，CASPT2等。標準的

MR的計算過程一般是三步：HF—〉MCSCF（常用CASSCF）—〉MRCISD或CASPT2...R是MR的特例，不需要中間的MCSCF步驟，計算中只需要對MR程序模塊指定一個參考組態即可，計算量大大減少，但是精度也會下降。對于一些無法用SR很好描述的體系（如鑭系化合物），計算是失敗的，這時就必須用MR方法。ii)線性響應理論(LRT)。基態用普通的理論方法求得，然后通過求解特殊 的線性響應方程，獲得激發態相對于基態的垂直激發能（相對能量）。

有的方法求解方程需要做迭代，有的則不需要。這一方法要求作為參考態的基態必須被很好地描述。常見的有TDDFT，CIS，CCSD-LRT等，共同點是基態都使用SR模型?；鶓B用MR模型的有MCLR(MCSCF-LRT)，MR-AQCC-LRT等方法，用于計算那些無法用SR模型很好描述基態的體系。

2.一些方法的特點及軟件

i)Zindo/1，INDO/S，CNDO/S 都屬于半經驗方法，可用于研究原子數在100左右的大分子體系。軟件：Zindo/1 Gaussian, Zindo。Zindo結合ZINDO-MN模塊可以用Zindo/1方法計算溶劑對激發態的影響。INDO/S，CNDO/S 商業MOPAC的MOS-F模塊。免費的MOPAC 6.0/7.0無此功能 ii)CIS 基態能量用Hartree-Fock方法得到，激發態精度也是HF級別的，得到半定量的結果。適于研究原子數在50左右的中等分子體系。此外還有精度

更高一些的CIS(D)，計算量當然更大。Gaussian 03的CIS還能考慮溶劑 環境對激發態影響。程序化的這些方法一般只能計算單重態和三重態。擴展CIS(XCIS)方法 還能計算雙重態和四重態。

軟件：CIS Gaussian, Q-Chem，CaChe，商業的MOPAC，TURBOMOLE，最新版MWChemCIS(D)Q-Chem，TURBOMOLEXCIS Q-Chem

iii)TD-DFT和TD-HF 目前比較流行的激發態計算方法，適用于十幾個原子構成的中小分子，小分子計算也能得到令人滿意的結果。TD-DFT目前的缺陷是無法研究多 電子激發和Rydberg態。TD-HF早期也叫RPA，是TD-DFT的特殊形式，精度

較差。Gaussian 03中TDHF/TDDFT的激發態計算還能考慮溶劑環境影響。程序化的TD-DFT一般只提供對單重態和三重態計算的正式支持。最新版

NMChem的TD-DFT除了計算閉殼層分子的單重態和三重態，還能計算開殼 層分子的雙重態和四重態。

軟件：

TD-HF Gaussian, ADF, NWChem, Q-Chem，DeMon，GAMESS-US，ACES II，TURBOMOLE

TD-DFT Gaussian, ADF, NWChem, Q-Chem。DeMon，TURBOMOLE，CADPAC，BDF。

一些計算晶體的程序也可以做分子的TD-DFT計算，但是由于使用平面波基組，結果不太好。

iv)CC-LRT CC-LRT包括CCS-LRT(等價于CIS)，CC2-LRT(對CCSD-LRT的近似)，CCSD-LRT，CC3-LRT(對CCSDT-LRT的近似)等不同激發級別的形式。最常用的是 CCSD-LRT，有很多種形式，如EOM-CCSD，VOOD-CCSD等。適用于中小分子 和小分子的計算，結果與TD-DFT相當，可能還略好一些。

軟件：

CC-LRT DALTON。CCSD-LRT的其他形式可在ACES II，Q-Chem，PSI，MOLPRO中找到。TURBOMOLE可做CC2-LRT計算。

v)SAC-CI。

精度略高于TD-DFT的方法，適于研究十幾個原子構成的有機分子，還可 以包含多電子激發的影響。

軟件：SAC-CI Gaussian 03 vi)DFT+CI混合方法。

結合了DFT和CI的優點，適用于中小分子激發態計算。軟件： DFT+CI TURBOMOLE

vii)MCSCF(有CASSCF，RASSCF等)。

做（電子組態方法）多參考計算的基礎。適用于中小分子激發態計算。常用電子組態形式的CASSCF。線性響應理論形式(MCLR)用的較少。

軟件：

MCSCF GAMESS-US, GAMESS-UK, Gaussian, DALTON, MOLPRO, MOLCAS, COLUMBUS，NWChem

MCLR DALTON，GAMESS-UK

viii)MR-CI及其變體 MR-CISD是計算（幾個原子構成的）小分子激發態的標準方法。由于這 一方法存在著大小一致性問題，因而又發展了很多變體。比較簡單的是 對MR-CISD做事后修正(+Q)，主要有Davidson修正和Pople修正兩種。復雜一些的有MR-ACPF、MR-AQCC、MR-CEPA等，其中表現最好的是MR-AQCC，以及后來發展的虛軌道修正MR-AQCC(MR-AQCC-V)。有的程序還允許對MR-CI做激發級別的修正，得到MR-CIS，MR-CISD(T)等。

軟件： MR-CISD GAMESS-US, GAMESS-UK, DALTON, MOLPRO, MOLCAS, DIRAC，MOLFDIR，COLUMBUS

變體： MOLPRO, MOLCAS，COLUMBUS。COLUMBUS還能做MR-AQCC-LRT 計算，此方法綜合了MR-AQCC與線性響應理論的特點。

MOLPRO對MR-CI及其變體使用了內部收縮，速度更快。

ix)MR-MPn 多參考微擾理論。目前主要有二階微擾和三階微擾。在程序作了優化的前提下，它們比相同級別的MR-CI計算速度快（例如在MOLPRO中，CASPT2比MR-CISD快），但是精度略低。目前應用的難題是入侵態問題。有些程序通過與MR-CI混合可以部分地解決這一問題。

軟件： CASPT2 MOLPRO, MOLCAS，COLUMBUS，GAMESS-UK。GAMESS-US的MC-QDPT方法和Gaussian的CASSCF+MP2也屬于MR-MP2。

CASPT3 MOLPRO，GAMESS-UK

x)MR-CC和FCI MR-CI的理論極限是完全組態相互作用(FCI)，常用的MR-CISD是把FCI在 CI空間的展開截斷到二級的形式。

鑒于耦合簇CC能獲得比CI更好的結果，而且不會有大小一致性的問題，如果把FCI展開到CC空間并在一定的級別截斷，就得到MR-CC。

由于FCI計算量相當大，所以目前也只能計算較輕原子構成的雙原子分子。從理論上講，MR-CCSD是小分子激發態計算最實用、最精確的方法。但目

前還有入侵態的問題沒有解決。公開發布的程序中目前還沒有此方法。xi)MC-DFT，CAS-DFT： 多參考的DFT，尚在研究中。MOLCAS聲稱將在6.0版包含此方法。

xii)MR-Gn 多參考的Gaussian-n理論，可想而知是相當昂貴的方法。目前只有GAMESS-US小組的一篇文章研究過這一理論。將來能否用于激發態計算并獲得高精度結果還未知。

3.方法的選擇

構成分子的原子數：

2.....10.......20........50..........100..........|_____________________| |______________| 半經驗

CIS |_____________________| MCSCF(注1)|______________| TD-DFT(注2), CCSD-LRT |_____| MR-CI及其變體，MR-MPn(注2)| FCI 可見，越往下精度越高，適用分子越小。

注1：CASSCF的計算量和活性空間大小2A和活性電子數E有關。C(2A,E)=(2A)!/[(2A-E)!*E!]。C(2A,E)越大則計算量越大。RASSCF由于對組態進行了篩選，能適當減少計算量。對于小分子，MCSCF一般只作為高級MR計算（MR-CI，MR-MPn）的中間步驟。

注2：對于含有重元素的小分子激發態計算，還要考慮自旋軌道耦合(SO)造成的電子態分裂。例如AtBr的3Pi會分裂為0-，0+，1，2四個態。能夠在激發態計

算中包含SO的程序有MR-CISD及其變體 + SO: COLUMBUS，MOLPRO，GAMESS-US MR-MPn + SO: MOLPRO，GAMESS-US

MCSCF + SO: COLUMBUS，MOLPRO，GAMESS-US, MOLCAS，TD-DFT + SO: ADF 2002，尚在測試中，目前只能對原子獲得較好的激發能

完全相對論MR-CISD: DIRAC, MOLFDIR

完全相對論TD-DFT: BDF，尚在測試中

如果是用Gaussian或者GAMESS-US，我的理解是： 1.先用AM1進行幾何優化。2.用優化的結構進行Hartree-Fock計算。3.用第二步的分子軌道進行CIS計算（Gaussian使用Guess=Read讀入第二步的checkpoint文件；GAMESS使用guess=moread，并把第二步的MO復制到$VEC中）。Gaussian的CIS自動給出激發能和諧振強度，GAMESS只給出激發能，計算諧振強度需要另外的計算步驟。4.Gaussian中的Zindo和CIS使用方法相同，速度更快，但適用的原子有限，如果計算量不是太大的話，還可以用TD，結果更好。另外Gaussian的CIS只能算單態、三態，其它的像雙態、四重態、五重態可能也會給出結果，但是分析很麻煩。用GAMESS進行CIS計算可以定義任意多重度，比較直觀。

第二篇：高斯錯誤修改總結

A list of error messages and possible solutionsand possible solutions不收斂錯誤 Errors in solvent calculations

ERROR MESSAGES IN OUTPUT FILES-Syntax and similar errors:End of file in ZSymb.-

Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/l101.exeSolution: The blank line after the coordinate section in the.inp file is missing.(輸入文件空行丟失)

Unrecognized layer “X”.-（不識別層X）

Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/l101.exeSolution: Error due to syntax error(s)in coordinate section(check carefully).If error is “^M”, it is caused by DOS end-of-line characters(e.g.if coordinates were written under Windows).Remove ^M from line ends using e.g.emacs.To process.inp files from command line, use sed-i 's/^M//' File.inp(Important: command does not work if ^M is written as charactersRdChkP: Unable to locate IRWF=0 Number= 522.-

Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/l401.exe or-FileIO operation on non-existent file.-[...] Error termination in NtrErr:-

NtrErr Called from FileIO.Solution: Operation on.chk file was specified(e.g.geom=check, opt=restart), but.chk was not found.Check that:-%chk= was specifed in.inp-.chk has the same name as.inp-.chk is in the same directory as.inpThe combination of multiplicity N and M electrons is impossible.-（多重性）Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/l301.exeSolution: Either the charge or the multiplicity of the molecule was not specified correctly in.inp.-（電荷和多重性指定錯誤）Memory and similar errors: Out-of-memory error in routine RdGeom-1(IEnd= 1200001 MxCore= 2500)-Use %mem=N MW to provide the minimum amount of memory required to complete this step-Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/l101.exe or-Not enough memory to run CalDSu, short by 1000000 words.-

Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/l401.exe or-

[...] allocation failure:-（表示配分失敗）

Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/l1502.exeSolution: Specify more memory in.inp(%mem=Nmb).Possibly, also increase pvmem value in run script.Especially solvent calculations can exhibit allocation failures and explicit amounts of memory should be specified.-galloc: could not allocate memory.-（無法分配內存）

Solution: The %mem value in.inp is higher than pvmem value in run script.Increase pvmem or decrease %mem.Convergence problems: Density matrix is not changing but DIIS error= 1.32D-06 CofLast= 1.18D-02.-（收斂問題）The SCF is confused.Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/linda-exe/l502.exelSolution: Problem with DIIS.Turn it off completely, e.g.using SCF=qc, or partly by using SCF=(maxconventionalcycles=N,xqc), where N is the number of steps DIIS should be used(see SCF keyword).[...] Convergence failure--run terminated.Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/linda-exe/l502.exeSolution: One SCF cycle has a default of maximum 128 steps, and this was exceeded without convergence achieved.Possible solution: In the route section of input file, specify SCF=(MaxCycle=N), where N is the number of steps per SCF cycles.Alternatively, turn of DIIS(e.g.by SCF=qc)(see SCF keyword).-

Optimization stopped.--Number of steps exceeded, NStep= N-[..] Error termination request processed by link 9999.-

Error termination via Lnk1e in /global/apps/gaussian/g03.e01/g03/l9999.exe Solution: Maximum number of optimization steps is twice the number of variables to be optimized.Try increasing the value by specifying OPT=(MaxCycle=N)in.inp file, where N is the number of optimization steps(see OPT keyword).Alternatively, try to start optimization from different geometry.-

Hydrogen X has 2 bounds.Keep it explicit at all point on the-

potential energy surface to get meaningful results.Solution: In UAO cavity model, spheres are placed on groups of atoms, with hydrogens assigned to the heavy atom, they are bound to.If assignment fails(e.g.because heavy atom-H bond is elongated), cavity building fails.Possible solutions: a)use cavity model that also assigns spheres to hydrogens(e.g.RADII=UFF)or b)Assign a sphere explicity on problematic H atom(use SPHEREONH=N, see SCRF keyword)-

cp: cannot stat $JOB.inp: No such file or directory Solution: The.inp file is not in the directory from where the job was submitted(or its name was misspelled during submission.If error reads: cp: cannot stat $JOB.inp.inp, the.inp file was submitted with extension).-ntsnet: unable to schedule the minimum N workers Solution: The value of %N proc Linda=N in the.inp file is higher than the number of nodes asked for during submission.Make sure these values match.Connection refused [...] died without ever signing in-

Sign in timed out after 0 worker connections.Did not reach minimum(N), shutting downSolution: Error appears if you run parallel calculations but did not add this file to your $HOME directory:.tsnet.config containing only the line: Tsnet.Node.lindarsharg: ssh(see also guidelines for submission).Suggested solutions 1/ Change the SCF converger to either SD, Quadratic or Fermi 2/-lower the symmetry of optimize with and optimize with the “nosymm” keyword I solved the problem using a variation on the first suggestion.Normally the scf took less than 80 cycles to converge.So i used scf=(Maxconventionalcycles=100,xqc)which resulted in a good compromise between using scf=qc and optimisation speed.In the case of the DIIS error the scf always took more than 100 cycles before the error, so by adding scf=(Maxconventionalcycles=100,xqc)the scf switched to qc after 100 cycles in the standard DIIS mode.l9999錯誤是優化圈數不夠，把out文件保存成gjf，修改后接著優化。這樣比較省事?；蛘咴谠瓉磔斎胛募pt中加入maxcyc=500,把優化圈數加大到500 L1002錯誤贋勢基組不對，換基組，或者用guess=Indo L9999 Optimization stopped.--Wrong number of Negative eigenvalues: Desired= 1 Actual= 3--Flag reset to prevent archiving.這是你原來貼的出錯信息。

顯然，gaussian檢測了虛頻個數，發現是3個而非1個——過渡態有且只有一個虛頻，從而終止，顯示出錯。

加上noeigentest的意思是在優化過程中不必每步都去檢測虛頻個數，而是按照最可能的方式繼續尋找下去，到跑完為止，所以如果你對過渡態的初始構型不是非常有把握的情況下，加上noeigen是比較不錯的選擇。

但你現在繼續出狀況，卻沒有貼新的出錯信息，我沒法猜這次是什么問題。。同時你那個命令行# b3lyp/6-31++g(d,p)opt=(ts,calcfc,noeigen)freq test 改成#p b3lyp/6-31++g(d,p)opt=(ts,calcfc,noeigen)freq 也就是任何時候#后面都要加一個p，結尾那個test不要寫，被人笑話的。

Inaccurate quadrature in CalDSu 錯誤解決方法

已有 3175 次閱讀 2012-7-4 16:27 |個人分類:Gaussian|系統分類:科研筆記

Inaccurate quadrature in CalDSu 錯誤解決方法

g09/g03 輸出文件最后幾行大致如下： Spurious integrated density or basis function: NE= 149 NElCor= 0 El error=2.83D-03 rel=1.89D-05 Tolerance=1.00D-03 Shell 67 absolute error=2.30D-02 Tolerance=1.20D-02 Shell 67 signed error=2.30D-02 Tolerance=1.00D-01 Inaccurate quadrature in CalDSu.Error termination via Lnk1e in /home/soft/g03/l502.exe at Mon Feb 23 09:42:55 2009.Job cpu time: 0 days 0 hours 0 minutes 3.1 seconds.File lengths(MBytes): RWF= 13 Int= 0 D2E= 0 Chk= 13 Scr= 1 解決方法

1.對某些分子，可以設置guess=indo。(Guess=indo的意思是：使用Gaussian98的默認初始猜測：對第一行元素是INDO，第二行元素是CNDO，第三行及以后的元素是Huckel。如果不寫Guess=indo，則使用Gaussian03的默認初始猜測：全部使用Huckel初始猜測。Guess=indo的用處：使比較差的初始構型，能比較順利地通過初始猜測。)2.對于對稱分子，設置scf(dsymm)強制使用密度對稱。3.對于對稱分子，設置全局nosymm，降低對稱性。4.使用scf(novaracc)也可能會產生或消除這個錯誤。

5.加上int(untrafine)，不過這個改變了積分網格，這個計算出的能量不能與同類計算直接比較。

6.最佳解決方法：加關鍵詞int(NoXCTest)網格問題(G09默認的精度檢測方法不適用,加上Int=NoXCTest), Skip tests of numerical accuracy of XC quadrature(g09手冊)。需要檢測結果波函數是否正確?？赏瑫r加guess=indo。

Error in internal coordinate system.可在opt中加入cartesian 例如：

%chk=TS3-D-itm3-eoc-4.chk %mem=45000MB %NProcShared=8 #B3LYP/6-31G** iop(5/13=1)iop(2/11=1)#scf=(maxcycle=200)#opt=(cartesian,TS,calcfc,noeigen,maxcycle=200)freq #geom=allcheck

Error in internal coordinates

created: 2009-07-31 14:38:48

This topic covers how to solve the “Error in internal coordinates” problem.Some times Gaussian quits at the Berny optimization stage with the “Error in internal coordinates” message.This happens as Berny optimization by default uses redundant internal coordinates.Cartesian coords are easy to define and use but can be strongly coupled to one another.Interal coords describe molecular properties(bond lengths, angle...)naturally and thus involve less coupling.There are a few types of redundant internal coords which can accelerate opt process.But when a molecule has flat geometry, it could be hard to calculate the reverse matrix of redundant internal coords.Therefore, it is better to switch back to Cartesian(opt=(...,Cartesian,...))or use “nosymm”.GradGradGradGradGradGradGradGradGradGradGradGradGradGradGradGradGradGrad Berny optimization.NTrRot=-1 NTRed= 29 NAtoms= 10 NSkip= 5 IsLin=F Error in internal coordinate system.Error termination via Lnk1e in /home/cast/program/g09/l103.exe at Tue Nov 23 13:44:47 2010.本人計算時出現如上錯誤，哪位達人知道是怎么回事？我覺得我的結構應該沒問題 加上關鍵詞OPT=Cartesian！

第三篇：高斯_數學論文

高斯（C.F.Gauss,1777.4.30～1855.2.23）是德國數學家、物理學家和天文學家，出生于德國布倫茲維克的一個貧苦家庭。父親格爾恰爾德·迪德里赫先后當過護堤工、泥瓦匠和園丁，第一個妻子和他生活了10多年后因病去世，沒有為他留下孩子。迪德里赫后來娶了羅捷雅，第二年他們的孩子高斯出生了，這是他們唯一的孩子。父親對高斯要求極為嚴厲，甚至有些過份，常常喜歡憑自己的經驗為年幼的高斯規劃人生。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠實、謹慎的性格。1806年迪德里赫逝世，此時高斯已經做出了許多劃時代的成就。

在成長過程中，幼年的高斯主要是力于母親和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30歲那年死于肺結核，留下了兩個孩子：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干投身于紡織貿易頗有成就。他發現姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對他成才之重要，他想到舅舅多產的思想，不無傷感地說，舅舅去世使“我們失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼識英才，經常勸導姐夫讓孩子向學者方面發展，才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。

在數學史上，很少有人象高斯一樣很幸運地有一位鼎力支持他成才的母親。羅捷雅直到34歲才出嫁，生下高斯時已有35歲了。他性格堅強、聰明賢慧、富有幽默感。高斯一生下來，就對一切現象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出，這已經超出了一個孩子能被許可的范圍。當丈夫為此訓斥孩子時，他總是支持高斯，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。

羅捷雅真誠地希望兒子能干出一番偉大的事業，對高斯的才華極為珍視。然而，他也不敢輕易地讓兒子投入當時尚不能養家糊口的數學研究中。在高斯19歲那年，盡管他已做出了許多偉大的數學成就，但她仍向數學界的朋友Ｗ.波爾約（W.Bolyai,非歐幾何創立者之一J.波爾約之父）問道：高斯將來會有出息嗎？Ｗ.波爾約說她的兒子將是“歐洲最偉大的數學家”，為此她激動得熱淚盈眶。

7歲那年，高斯第一次上學了。頭兩年沒有什么特殊的事情。1787年高斯10歲，他進入了學習數學的班次，這是一個首次創辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術這么一門課程。數學教師是布特納（Buttner），他對高斯的成長也起了一定作用。

在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案。不過，這很可能是一個不真實的傳說。據對高斯素有研究的著名數學史家E·T·貝爾（E.T.Bell）考證，布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+?+100899。

當然，這也是一個等差數列的求和問題（公差為198，項數為100）。當布特納剛一寫完時，高斯也算完并把寫有答案的小石板交了上去。E·T·貝爾寫道，高斯晚年經常喜歡向人們談論這件事，說當時只有他寫的答案是正確的，而其他的孩子們都錯了。高斯沒有明確地講過，他是用什么方法那么快就解決了這個問題。數學史家們傾向于認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。貝爾根據高斯本人晚年的說法而敘述的史實，應該是比較可信的。而且，這更能反映高斯從小就注意把握更本質的數學方法這一特點。

高斯的計算能力，更主要地是高斯獨到的數學方法、非同一般的創造力，使布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術書送給高斯，說：“你已經超過了我，我沒有什么東西可以教你了?！苯又咚古c布特納的助手巴特爾斯(J.M.Bartels)建立了真誠的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學習，互相幫助，高斯由此開始了真正的數學研究。

1788年，11歲的高斯進入了文科學校，他在新的學校里，所有的功課都極好，特別是古典文學、數學尤為突出。經過巴特爾斯等人的引薦，布倫茲維克公爵召見了14歲的高斯。這位樸實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的資助人，讓他繼續學習。

布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實際上反映了歐洲近代科學發展的一種模式，表明在科學研究社會化以前，私人的資助是科學發展的重要推動因素之一。高斯正處于私人資助科學研究與科學研究社會化的轉變時期。

1792年，高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學院繼續學習。1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入德國著名的哥丁根大學，這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學習和開始進行創造性的研究。1799年，高斯完成了博士論文，回到家鄉布倫茲維克，正當他為自己的前途、生計擔憂而病倒時----雖然他的博士論文順利通過了，已被授予博士學位，同時獲得了講師職位，但他沒有能成功地吸引學生，因此只能回老家，又是公爵伸手救援他。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費用，送給他一幢公寓，又為他印刷了《算術研究》，使該書得以在1801年問世；還負擔了高斯的所有生活費用。所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和《算術研究》中，寫下了情真意切的獻詞：“獻給大公”，“你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究”。

1806年，公爵在抵抗拿破侖統帥的法軍時不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來了經濟上的拮據，德國處于法軍奴役下的不幸，以及第一個妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位剛強的漢子，從不向他人透露自己的窘況，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀整理他的未公布于眾的數學手稿時才得知他那時的心態。在一篇討論橢圓函數的手搞中，突然插入了一段細微的鉛筆字：“對我來說，死去也比這樣的生活更好受些。”

慷慨、仁慈的資助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計。由于高斯在天文學、數學方面的杰出工作，他的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。彼得堡科學院不斷暗示他，自從1783年歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學院的位置一直在等待著象高斯這樣的天才。公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國，他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺?，F在，高斯又在他的生活中面臨著新的選擇。

為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學者洪堡（B.A.Von Humboldt）聯合其他學者和政界人物，為高斯爭取到了享有特權的哥丁根大學數學和天文學教授，以及哥丁根天文臺臺長的職位。1807年，高斯赴哥丁根就職，全家遷居于此。從這時起，除了一次到柏林去參加科學會議以外，他一直住在哥丁根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環境，高斯本人可以充分發揮其天才，而且為哥丁根數學學派的創立、德國成為世界科學中心和數學中心創造了條件。同時，這也標志著科學研究社會化的一個良好開端。

高斯的學術地位，歷來為人們推崇得很高。他有“數學王子”、“數學家之王”的美稱、被認為是人類有史以來“最偉大的三位（或四位）數學家之一”（阿基米德、牛頓、高斯或加上歐拉）。人們還稱贊高斯是“人類的驕傲”。天才、早熟、高產、創造力不衰、??，人類智力領域的幾乎所有褒獎之詞，對于高斯都不過份。

高斯的研究領域，遍及純粹數學和應用數學的各個領域，并且開辟了許多新的數學領域，從最抽象的代數數論到內蘊幾何學，都留下了他的足跡。從研究風格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是18----19世紀之交的中堅人物。如果我們把18世紀的數學家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數學家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。

雖然數學研究、科學工作在18世紀末仍然沒有成為令人羨慕的職業，但高斯依然生逢其時，因為在他快步入而立之年之際，歐洲資本主義的發展，使各國政府都開始重視科學研究。隨著拿破侖對法國科學家、科學研究的重視，俄國的沙皇以及歐洲的許多君主也開始對科學家、科學研究刮目相看，科學研究的社會化進程不斷加快，科學的地位不斷提高。作為當時最偉大的科學家，高斯獲得了不少的榮譽，許多世界著名的科學泰斗都把高斯當作自己的老師。

1802年，高斯被俄國彼得堡科學院選為通訊院士、喀山大學教授；1877年，丹麥政府任命他為科學顧問，這一年，德國漢諾威政府也聘請他擔任政府科學顧問。

高斯的一生，是典型的學者的一生。他始終保持著農家的儉樸，使人難以想象他是一位大教授，世界上最偉大的數學家。他先后結過兩次婚，幾個孩子曾使他頗為惱火。不過，這些對他的科學創造影響不太大。在獲得崇高聲譽、德國數學開始主宰世界之時，一代天驕走完了生命旅程。

第四篇：數學史講稿——高斯

偉大的數學家——高斯

高斯（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。高斯被認為是最重要的數學家，有數學王子的美譽，并被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓、歐拉并列，同享盛名?！旧脚c貢獻】

高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育。1795～1798年在格丁根大學學習1798年轉入黑爾姆施泰特大學，翌年因證明代數基本定理獲博士學位。從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世。

高斯的成就遍及數學的各個領域，在數論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級數、復變函數論以及橢圓函數論等方面均有開創性貢獻。他十分注重數學的應用，并且在對天文學、大地測量學和磁學的研究中也偏重于用數學方法進行研究。

1784年，18歲的高斯發現了質數分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數據的處理后，可以得到一個新的、概率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計算，并成功得到高斯鐘形曲線(正態分布曲線)。其函數被命名為標準正態分布（或高斯分布），并在概率計算中大量使用。

1785年，在高斯19歲時，僅用尺規便構造出了17邊形。并為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自古希臘時代以來的第一次重要補充。1799年，高斯完成里他的博士論文，這篇論文給出了一個重要的代數定理：任意一個多項式都有（復數）根。這結果稱為“代數學基本定理”。事實上在高斯之前有許多數學家認為已給出了這個結果的證明，可是沒有一個證明是嚴密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來，然后提出自己的見解，他一生中一共給出了四個不同的證明。

1801年，高斯的《算術研究》一書發表。本書總結了高斯的數論研究，奠定了近代數論的基礎，它不僅是數論方面的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典著作之一。這本書除了第七章介紹代數基本定理外，其余都是數論，可以說是數論第一本有系統的著作，高斯第一次介紹同余的概念，二次互反律也在其中。1801年，意大利的天文學家Piazzi，發現在火星和木星間有一顆新星。它被命名為谷神星?，F在我們知道它是火星和木星的小行星帶中的一個，但當時天文學界爭論不休，有人說這是行星，有人說這是彗星。必須繼續觀察才能判決，但是Piazzi只能觀察到它8度的軌道，再來，它便隱身到太陽后面去了。因此無法知道它的軌道，也無法判定它是行星或彗星。高斯這時對這個問是產生興趣，他決定解決這個捉摸不到的星體軌跡的問題。高斯自己獨創了只要三次觀察，就可以來計算星球軌道的方法。他可以極準確地預測行星的位置。果然，谷神星準確無誤的在高斯預測的地方出現。這個方法他當時沒有公布——就是最小二乘法。

1809年他寫了《天體運動理論》二冊，第一冊包含了微分方程、圓椎截痕和橢圓軌道，第二冊他展示了如何估計行星的軌道。高斯在天文學上的貢獻大多在1817年以前，但他仍一直做著觀察的工作到他七十歲為止。雖然做著天文臺的工作，他仍抽空做其他研究。為了用積分解天體運動的微分力程，他考慮無窮級數，并研究級數的收斂問題，在1812年，他研究了超幾何級數，并且把研究結果寫成專題論文，呈給哥廷根皇家科學院。

1816年左右, 高斯得到非歐幾何的原理。他還深入研究復變函數，建立了一些基本概念發現了著名的柯西積分定理。他還發現橢圓函數的雙周期性，但這些工作在他生前都沒發表出來。1820到1830年間，高斯為了測繪汗諾華公國(高斯住的地方)的地圖，開始做測地的工作，他寫了關于測地學的書，由于測地上的需要，他發明了日觀測儀。為了要對地球表面作研究，他開始對一些曲面的幾何性質作研究。

1827年高斯出版了《關于曲面的一般研究》，全面系統地闡述了空間曲面的微分幾何學，并提出內蘊曲面理論。高斯的曲面理論后來由黎曼發展。在1830到1840年間，高斯和一個比他小廿七歲的年輕物理學家-韋伯一起從事磁的研究，他們的合作是很理想的：韋伯作實驗，高斯研究理論，韋伯引起高斯對物理問題的興趣，而高斯用數學工具處理物理問題，影響韋伯的思考工作方法。1833年高斯從他的天文臺拉了一條長八千尺的電線，跨過許多人家的屋頂，一直到韋伯的實驗室，以伏特電池為電源，構造了世界第一個電報機。1835年高斯在天文臺里設立磁觀測站，并且組織磁協會發表研究結果，引起世界廣大地區對地磁作研究和測量。1840年他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置。1841年美國科學家證實了高斯的理論，找到了磁南極和磁北極的確實位置?！編讉€故事】

幼年聰慧

很多偉大的數學家在少年時就表現出數學方面的特別才能，然而高斯的早慧確是令人驚訝的。高斯是一對普通夫婦的兒子。他的母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似于文盲。在她成為高斯父親的第二個妻子之前，她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個小保險公司的評估師。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學會計算。能夠在頭腦中進行復雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。高斯用很短的時間計算出了小學老師布置的任務：對自然數從1到100的求和。他所使用的方法是：對50對構造成和101的數列求和（1＋100，2＋99，3＋98??），同時得到結果：5050。這一年，高斯只有9歲。

非歐幾何

公元前3世紀，歐幾里得從一些被認為是不證自明的事實出發，通過邏輯演繹，建立第一個幾何學公理體系－歐幾里得幾何學。這個理論受到后世數學家的普遍稱頌，被公認為數學嚴格性的典范，但人們感到歐氏幾何中仍存在某種瑕疵，其中最使數學家們關注的是歐氏公理系統中的所謂“第五公設”（即平行公理）。大家普遍認為，這條公理所說明的事實(通過直線外一點能且僅能作一條平行直線）并不像歐幾里得的其他公理那樣顯而易見，它似乎缺少作為一條公理的自明性。因此，盡管人們并不懷疑平行公理本身，但卻懷疑它作為公理的資格。

人們試圖用其他公設來證明第五公設，但都以失敗告終。到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題，用它來代替第五公設，然后與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統，展開一系列的推理。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾，就等于證明了第五公設。人們知道，這其實就是數學中的反證法。但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。例如，在這種幾何里，三角形的內角和小于180度。最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：第一，第五公設不能被證明。第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。羅巴切夫斯基的新思想不僅是對歐幾里得幾何學2000年權威的沖擊，而且是對常識的挑戰，其所導致的思想解放對現代數學和現代科學有著極為重要的意義。他生前并沒有得到他的當代人的贊賞，相反遭到嘲弄。直到他去世后，由于高斯對他的學說予以肯定，他的思想才得到普遍的理解和承認。

其實，最早產生非歐幾何基本思想的是德國數學家高斯。高斯早在15歲時就開始考慮第五公設問題，并親自做了實地測量，來討論我們生存的空間存在非歐幾何性質的可能性。然而高斯深知傳統思想的頑固，為了避免受人的攻擊和恥笑，一直將自己的發現秘而不宣。他對待新思想的這種保守立場使他在有生之年未能給予非歐幾何以根本的推動。幾乎與羅巴切夫斯基同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在并將他的結果呈給高斯。但高斯說：“我不能贊揚你，因為贊揚你就是贊揚我自己”。這使鮑耶感到非常氣憤和沮喪，甚至懷疑高斯剽竊了他的成果。

高斯的謹慎是他一貫的風格。高斯一生共發表155篇論文，他對待學問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發表出來。他自己曾說：“寧可發表少，但發表的東西是成熟的成果”。據說他發表的成果是他寫出來的十分之一，而他寫出來的成果是他想到的十分之一。他的想法實在多到來不及記錄下來了！

高斯的墓

高斯的墓碑上刻著一個十七角星的幾何圖案。這個起因于高斯在大學二年級發現正17邊形的尺規作圖成果。高斯在古典語文和數學方面都具有極高天賦，當時他正徘徊在選擇文學還是數學作為終身職業的人生選擇路口上。在這個關鍵的時刻，他發現了用直尺和圓規作出正17邊形的方法，用代數的方法解決二千多年來的幾何難題。而且他還得出了更漂亮的結果，給出了能用直尺和圓規作出來的正多邊形的邊數公式。正是這個發現讓他最終選擇了數學作為自己的終身職業。他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來?！練v史的評價】

高斯和阿基米德、牛頓一樣是人類歷史上最偉大的數學家之一，被人們尊敬為“數學王子”。美國的著名數學家貝爾，在他著的《數學工作者》一書里曾經這樣批評高斯：“在高斯死后，人們才知道他早就預見一些十九世的數學，而且在1800年之前已經期待它們的出現。如果他能把他所知道的一些東西泄漏，很可能現在數學早比目前還要先進半個世紀或更多的時間。阿貝爾和雅可比可以從高斯所停留的地方開始工作，而不是把他們最好的努力花在發現高斯早在他們出生時就知道的東西。而那些非歐幾何學的創造者，可以把他們的天才用到其他力面去?！?這種批評何嘗不是對高斯才華的至高贊揚！

高斯一生勤奮好學，多才多藝，喜歡音樂和詩歌，懂多國文字。62歲時學習俄文并在極短時間內達到可以用俄文寫作的程度。晚年他還一度學習梵文。在慕尼黑博物館的高斯畫像上有這樣一首題詩：

他的思想深入數學，空間，大自然的奧秘，他測量了星星的路徑，地球的形狀和自然力。

高斯是一個偉大的人

第五篇：數學學家高斯

數學學家高斯

高斯(Gauss,1777—1855)，著名的德國數學家。1777年4月30日出生在德國的布倫茲維克。父親是一個砌磚工人,沒有什么文化。

還在少年時代，高斯就顯示出了他的數學才能。據說，一天晚上,父親在計算工薪賬目，高斯在旁邊指出了其中的錯誤，令父親大吃一驚。10歲那年，有一次老師讓學生將1，2，3，…連續相加，一直加到100，即1+2+3+…+100。高斯沒有像其他同學那樣急著相加，而是仔細觀察、思考，結果發現：

1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101一共有50個101，于是立刻得到：

1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050

老師看著小高斯的答卷，驚訝得說不出話。其他學生過了很長時間才交卷，而且沒有一個是算對的。從此，小高斯“神童”的美名不脛而走。村里一位伯爵知道后，慷慨出錢資助高斯，將他送入附近的最好的學校進行培養。

中學畢業后，高斯進入了德國的哥廷根大學學習。剛進入大學時，還沒立志專攻數學。后來聽了數學教授卡斯特納的講課之后，決定研究數學。卡斯特納本人并沒有多少數學業績，但他培養高斯的成功，足以說明一名好教師的重要作用。

從哥廷根大學畢業后，高斯一直堅持研究數學。1807年成為該校的數學教授和天文臺臺長，并保留這個職位一直到他逝世。

高斯18歲時就發明了最小二乘法，19歲時發現了正17邊形的尺規作圖法，并給出可用尺規作出正多邊形的條件，解決了這個歐幾里得以來一直懸而未決的問題。為了這個發現，在他逝世后，哥廷根大學為他建立了一個底座為17邊形棱柱的紀念像。

對代數學，高斯是嚴格證明代數基本定理的第一人。他的《算術研究》奠定了近代數論的基礎，該書不僅在數論上是劃時代之作，就是在數學史上也是不可多得的經典著作之一。高斯還研究了復數，提出所有復數都可以用平面上的點來表示，所以后人將“復平面”稱為高斯平面，高斯還利用平面向量與復數之間的一一對應關系，闡述了復數的幾何加法與乘法，為向量代數學奠定了基礎。1828年高斯出版《關于曲面的一般研究》，全面系統地闡述了空間曲面的微分幾何學。并提出了內蘊曲面理論。高斯的數學研究幾乎遍及當時的所有數學領域，而且在不少方面的研究走在了時代的前列。他在數學歷史上的影響可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列。

高斯一生共有155篇論文。他治學嚴謹，把直觀的概念作為入門的向導，然后試圖在完整的邏輯體系上建立其數學的理論。他為人謹慎，他的許多數學思想與結果從不輕易發表，而且，他的論文很少詳細寫明思路。所以有的人說：“這個人，像狐貍似的，把沙土上留下的足跡，用尾巴全部掃掉。”

數學家華羅庚

華羅庚，中國現代數學家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。1985年6月12日在日本東京逝世。華羅庚1924年初中畢業之后，在上海中華職業學校學習不到一年，因家貧輟學，他刻苦自修數學，1930年在《科學》上發表了關于代數方程式解法的文章，受到專家重視，被邀到清華大學工作，開始了數論的研究，1934年成為中華教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯合大學教授。1946年應蘇聯普林斯頓高等研究所邀請任研究員，并在普林斯頓大學執教。1948年始，他為伊利諾伊大學教授。

1950年回國，先后任清華大學教授、中國科技大學數學系主任、副校長，中國科學院數學研究所所長、中國科學院應用數學研究所所長、中國科學院副院長等。華羅庚還是第一、二、三、四、五屆全國人大常委會委員和政協第六屆全國委員會副主席。

華羅庚是國際上享有盛譽的數學家，他在解析數論、矩陣幾何學、多復變函數論、偏微分方程等廣泛數學領域中都做出卓越貢獻，由于他的貢獻，有許多定理、引理、不等式與方法都用他的名字命名。為了推廣優選法，華羅庚親自帶領小分隊去二十七個省普及應用數學方法達二十余年之久，取得了明顯的經濟效益和社會效益，為我國經濟建設做出了重大貢獻。

青山碧水

學校在暑假里組織老師們集體游覽風景名勝，回來以后，老師們很高興，暢談游覽印象。

語文老師說，我的印象可以概括成一句話：

青山、碧水，勁松、千峰秀。

外語老師說，受你的啟發，我的印象也可以概括成一句話：

秀峰、千松勁，水碧、山青。

外語老師受到的啟發真不小，把語文老師那句贊美詞整個兒倒過來讀，就成了外語老師的贊美詞。當然這也是一種絕妙的創造，因為不是任何一句話都能倒過來讀的。

數學老師說，受你們兩位的啟發，我的印象同樣可以概括成一句話：

864197532。

“這是什么話！”語文老師和外語老師大為驚訝，異口同聲，喊了起來。

數學老師笑著說，“不明白我的意思？寫下來就知道?！?/p>

只見數學老師不慌不忙，在紙上把三句話寫出來，再畫一道橫線，添一個加號，成為一道加法算式：

外語老師往數學老師肩上拍一掌，說：“還是算式謎？”

語文老師搶過筆來，一面研究算式，一面問道：“還是每個漢字表示一個數字，不同漢字表示不同數字？”

數學老師說，“對，老規矩。不過今天這道式子格外精巧，每一行的九位數里都是從1到9，一個數字不漏?！?/p>

答案很快求了出來，是：

123456789+864197532=987654321。

游覽秀麗山川，令人心曠神怡，領略生活的自然美。

好詩、好詞、好文章，來自生活，精心提煉加工以后，高于生活，可以從中體會語言美。

數字、圖形和數學題，同樣來自生活，通過科學的抽象概括，揭示生活中的內在規律，蘊涵一種和諧的數學美。

渡河難題

春秋戰國時期，楚國和晉國由于連年打仗，傷亡慘重，結下了冤仇，弄得 量過人民相互之間也都不信任了。在歷次戰爭中，楚國失敗的次數較多，所以，一般晉國人都害怕楚國人報復。

有一次，三個楚國商人和三個晉國商人一起到齊國去經商。齊國的主顧要 求六個人同時到達，說是這樣才好接待拍板成交，少了任何一個都不答應。因 此，他們只好結伴同行，一路上勾心斗角。

一天傍晚，他們來到了大河邊，河水很深，他們又都不會游泳，河上也沒 有橋梁，幸好岸邊有一只小船，可是船太小了，一次最多只能渡過兩個人，這 些商人，人人都會劃船，為了防止發生意外，無論在河的這一岸還是那一岸，或者在船上，都不允許楚國的商人數超過晉國商人數。

請問怎樣才能將這六個人全部渡過河去？需要多少次？

【11次．

渡河過程；

1、先去兩個楚國人

2、回來一個楚國人

3、再去兩個楚國人

4、回來一個楚國人

5、去兩個晉國人

6、回來一個晉國人和一個楚國人

7、去兩個晉國人

8、回來一個楚國人

9、去兩個楚國人

10、回來一個楚國人

11、兩個楚國人一起渡河】

一壺酒

在元代數學家朱世杰著的數學書《四元玉鑒》中，有這樣一首詩：我有一 壺酒，攜著春游走。遇店添一倍，逢友飲一斗。店友經三處，沒了壺中酒。借 問此壺中，當原多少酒？

詩的大意是：我帶著壺酒春游，途中每逢酒店必定掏錢，把壺中的酒就增 添一倍，每逢遇見朋友必定倒酒小就酌，喝掉1斗。一路上，共有三次遇酒店，見朋友，結果壺中的酒全都沒有了。請問，這壺里原來有多少酒呢？

【答案：7 8斗。

老

壽

星

兩百多年前，清代乾隆皇帝五十年的時候，他在乾清宮中擺下了千叟晏3900多位老人應邀參加宴會。其中有一位老人的年紀特別大，這位老壽星有多大歲數呢？

乾隆皇帝說了，但不是明說，而是出了一道對聯，這幅對聯的上聯：花甲重開，外加三七歲月。

大臣紀昀在一旁湊熱鬧，也說了一說這位老壽星的歲數，當然也不是明說，而是對出了下聯：古稀雙慶，又多一個春秋。

你知道對聯里講些什么嗎？老者到底有多大？

阿拉伯數字是怎樣來的

阿拉伯數字1、2、3、4、5、6、7、8、9。0是國際上通用的數碼。這種數字的創制并非阿拉伯人，但也不能抹掉阿拉伯人的功勞。

阿拉伯數字最初出自印度人之手，也是他們的祖先在生產實踐中逐步創造出來的。

公元前3000年，印度河流域居民的數字就已經比較進步，并采用了十進位制的計算法。到吠陀時代（公元前1400－公元前543年），雅利安人已意識到數碼在生產活動和日常生活中的作用，創造了一些簡單的、不完全的數字。公元前3世紀，印度出現了整套的數字，但各地的寫法不一，其中典型的是婆羅門式，它的獨到之處就是從1～9每個數都有專用符號，現代數字就是從它們中脫胎而來的。當時，“0”還沒有出現。到了笈多時代（300－500年）才有了“0”，叫“舜若”（shunya），表示方式是一個黑點“●”，后來衍變成“0”。這樣，一套完整的數字便產生了。這就是古代印度人民對世界文化的巨大貢獻。

印度數字首先傳到斯里蘭卡、緬甸、柬埔寨等國。7－8世紀，隨著地跨亞、非、歐三洲的阿拉伯帝國的崛起，阿拉伯人如饑似渴地吸取古希臘、羅馬、印度等國的先進文化，大量翻譯其科學著作。771年，印度天文學家、旅行家毛卡訪問阿拉伯帝國阿撥斯王朝（750－1258年）的首都巴格達，將隨身攜帶的一部印度天文學著作《西德罕塔》獻給了當時的哈里發曼蘇爾（757－775），曼蘇爾令翻譯成阿拉伯文，取名為《信德欣德》。此書中有大量的數字，因此稱“印度數字”，原意即為“從印度來的”。

阿拉伯數學家花拉子密（約780－850）和海伯什等首先接受了印度數字，并在天文表中運用。他們放棄了自己的28個字母，在實踐中加以修改完善，并毫無保留地把它介紹給西方。9世紀初，花拉子密發表《印度計數算法》，闡述了印度數字及應用方法。

印度數字取代了冗長笨拙的羅馬數字，在歐洲傳播，遭到一些基督教徒的反對，但實踐證明優于羅馬數字。1202年意大利雷俄那多所發行的《計算之書》，標志著歐洲使用印度數字的開始。該書共15章，開章說：“印度九個數字是：?9、8、7、6、5、4、3、2、1?，用這九個數字及阿拉伯人稱作sifr（零）的記號?0?，任何數都可以表示出來。”

14世紀時中國的印刷術傳到歐洲，更加速了印度數字在歐洲的推廣應用，逐漸為歐洲人所采用。

西方人接受了經阿拉伯人傳來的印度數字，但忘卻了其創始祖，稱之為阿拉伯數字。

在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899。說完高斯也算完并把寫有答案的小石板交了上去，當時只有他寫的答案是正確的。數學史家們傾向于認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。高斯的學術地位，歷來被人們推崇得很高。他有“數學王子”、“數學家之王”的美稱。