第一篇：八歲的高斯發現了數學定理

八歲的高斯發現了數學定理

德國著名大科學家高斯(1777～1855)出生在一個貧窮的家庭。高斯在還不會講話就自己學計算，在三歲時有一天晚上他看著父親在算工錢時，還糾正父親計算的錯誤。

長大后他成為當代最杰出的天文學家、數學家。他在物理的電磁學方面有一些貢獻，現在電磁學的一個單位就是用他的名字命名。數學家們則稱呼他為“數學王子”。

他八歲時進入鄉村小學讀書。教數學的老師是一個從城里來的人，覺得在一個窮鄉僻壤教幾個小猢猻讀書，真是大材小用。而他又有些偏見：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書不必認真，如果有機會還應該處罰他們，使自己在這枯燥的生活里添一些樂趣。

這一天正是數學教師情緒低落的一天。同學們看到老師那抑郁的臉孔，心里畏縮起來，知道老師又會在今天捉這些學生處罰了。

“你們今天替我算從1加2加3一直到100的和。誰算不出來就罰他不能回家吃午飯。”老師講了這句話后就一言不發的拿起一本小說坐在椅子上看去了。

教室里的小朋友們拿起石板開始計算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一個數后就擦掉石板上的結果，再加下去，數越來越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗來。

還不到半個小時，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老師，答案是不是這樣？”

老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說：“去，回去再算！錯了。”他想不可能這么快就會有答案了。

可是高斯卻站著不動，把石板伸向老師面前：“老師！我想這個答案是對的。”

數學老師本來想怒吼起來，可是一看石板上整整齊齊寫了這樣的數：5050，他驚奇起來，因為他自己曾經算過，得到的數也是5050，這個8歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個數值呢？

高斯解釋他發現的一個方法，這個方法就是古時希臘人和中國人用來計算級數1+2+3+…+n的方法。高斯的發現使老師覺得羞愧，覺得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點是不對的。他以后也認真教起書來，并且還常從城里買些數學書自己進修并借給高斯看。在他的鼓勵下，高斯以后便在數學上作了一些重要的研究了。

為了中華民族的富強-------蘇步青的故事

蘇步青1902年9月出生在浙江省平陽縣的一個山村里。雖然家境清貧，可他父母省吃儉用，拼死拼活也要供他上學。他在讀初中時，對數學并不感興趣，覺得數學太簡單，一學就懂。可量，后來的一堂數學課影響了他一生的道路。

那是蘇步青上初三時，他就讀浙江省六十中來了一位剛從東京留學歸來的教數學課的楊老師。第一堂課楊老師沒有講數學，而是講故事。他說：“當今世界，弱肉強食，世界列強依仗船堅炮利，都想蠶食瓜分中國。中華亡國滅種的危險迫在眉睫，振興科學，發展實業，救亡圖存，在此一舉。?天下興亡，匹夫有責?，在座的每一位同學都有責任。”他旁征博引，講述了數學在現代科學技術發展中的巨大作用。這堂課的最后一句話是：“為了救亡圖存，必須振興科學。數學是科學的開路先鋒，為了發展科學，必須學好數學。”蘇步青一生不知聽過多少堂課，但這一堂課使他終身難忘。

楊老師的課深深地打動了他，給他的思想注入了新的興奮劑。讀書，不僅為了擺脫個人困境，而是要拯救中國廣大的苦難民眾；讀書，不僅是為了個人找出路，而是為中華民族求新生。當天晚上，蘇步青輾轉反側，徹夜難眠。在楊老師的影響下，蘇步青的興趣從文學轉向了數學，并從此立下了“讀書不忘救國，救國不忘讀書”的座右銘。一迷上數學，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，蘇步青只知道讀書、思考、解題、演算，4年中演算了上萬道數學習題。現在溫州一中（即當時省立十中）還珍藏著蘇步青一本幾何練習薄，用毛筆書寫，工工整整。中學畢業時，蘇步青門門功課都在90分以上。

17歲時，蘇步青赴日留學，并以第一名的成績考取東京高等工業學校，在那里他如饑似渴地學習著。為國爭光的信念驅使蘇步青較早地進入了數學的研究領域，在完成學業的同時，寫了30多篇論文，在微分幾何方面取得令人矚目的成果，并于1931年獲得理學博士學位。獲得博士之前，蘇步青已在日本帝國大學數學系當講師，正當日本一個大學準備聘他去任待遇優厚的副教授時，蘇步青卻決定回國，回到撫育他成長的祖任教。回到浙大任教授的蘇步青，生活十分艱苦。面對困境，蘇步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因為我選擇了一條正確的道路，這是一條愛國的光明之路啊！”

這就是老一輩數學家那顆愛國的赤子之心。

從小立志 科學救國------熊慶來的故事

熊慶來（1893-1969）是云南彌勒縣人，中國現代數學的先驅，為中國數學事業的發展做出了杰出貢獻。

熊慶來的父親熊國棟，精通儒學，但更喜歡新學，思想很開明，對熊慶來的影響很大。少年時的熊慶來從他父親那里常聽到有關孫中山民主革命的事情，這在幼年熊慶來的心田播下了愛國的種子。

1907年，熊慶來考入昆明的云南方言學堂，不久又升入云南高等學堂。當時滿清王朝已日薄西山，各地的反清斗爭風起云涌，抗捐、抗稅、罷課、罷市、兵變遍及全國，清政府陷入于風雨飄搖之中。熊慶來由于參加了“收回礦山開采權”的抗法反清的示威游行而遭到學校的記過處分。現實的生活與斗爭命命名熊慶來認識到：要使國家富強，必須掌握科學，科學能強國富民。

1913年，熊慶來赴歐留學。1914年，第一次世界大戰爆發，他從比利時經荷蘭、英國，輾轉到了法國巴黎。8年間先后獲得高等數學、力學及天文學等多科證書，并獲得理學碩士學位。1921年，28歲的熊慶來學成歸國，一心想學以致用，救民于水火。1949年6月，國民黨反動政府趁熊慶來去巴黎參加國際會議的機會，解散了熊慶來苦心經營12年的云南大學。年近花甲的熊慶來懷著“壯志難酬，報國無門”的心情，決定滯留在法國繼續從事函數論的研究。

“……祖國歡迎你，人民歡迎你！歡迎你回來參加社會主義建設的偉大事業……”1957年4月，周總理給熊慶來寫信，動員他回國。同年6月，熊慶來在完成了函數論專著稿后，毅然啟程，回到了祖國的懷抱。他表示，愿在社會主義的光芒中鞠躬盡瘁于祖國的學術建設事業。在回國后的7年中，他在國內外學術雜志上發表了近20篇具有世界水平的數學論文。還培養了楊樂、張廣厚等一批數學人才，為祖國贏得了榮譽，表現了這位七旬老人熱愛祖國的赤子之心。

1969年，一代宗師、著名數學家熊慶來先生與世長辭。臨終之前他還表示為人民鞠躬盡瘁，死而后已。

第二篇：八歲的高斯發現了數學定理

八歲的高斯發現了數學定理

高斯出生在一個貧窮的家庭。他八歲時進入鄉村小學讀書。教數學的老師是一個從城里來的人，覺得在一個窮鄉僻壤教幾個小猢猻讀書，真是大材小用。而他又有些偏見：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書不必認真，如果有機會還應該處罰他們，使自己在這枯燥的生活里添一些樂趣。

這一天正是數學教師情緒低落的一天。同學們看到老師那抑郁的臉孔，心里畏縮起來，知道老師又會在今天抓這些學生處罰了。

“你們今天替我算從1加2加3一直到100的和。誰算不出來就罰他不能回家吃午飯。”老師講了這句話后就一言不發的拿起一本小說坐在椅子上看去了。

教室里的小朋友們拿起石板開始計算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一個數后就擦掉石板上的結果，再加下去，數越來越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗來。還不到半個小時，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老師，答案是不是這樣？”老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說：“去，回去再算！錯了。”他想不可能這么快就會有答案了。可是高斯卻站著不動，把石板伸向老師面前：“老師！我想這個答案是對的。”數學老師本來想怒吼起來，可是一看石板上整整齊齊寫了這樣的數：5050，他驚奇起來，因為他自己曾經算過，得到的數也是5050，這個8歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個數值呢？

高斯解釋他發現的一個方法，這個方法就是古時希臘人和中國人用來計算級數的方法。高斯的發現使老師覺得羞愧，覺得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點是不對的。他以后也認真教起書來，并且還常從城里買些數學書自己進修并借給高斯看。在他的鼓勵下，高斯以后便在數學上作了一些重要的研究。長大后，高斯成為了德國最杰出的科學家、天文學家、數學家。數學家們則稱呼他為“數學王子”。

第三篇：數學學家高斯

數學學家高斯

高斯(Gauss,1777—1855)，著名的德國數學家。1777年4月30日出生在德國的布倫茲維克。父親是一個砌磚工人,沒有什么文化。

還在少年時代，高斯就顯示出了他的數學才能。據說，一天晚上,父親在計算工薪賬目，高斯在旁邊指出了其中的錯誤，令父親大吃一驚。10歲那年，有一次老師讓學生將1，2，3，…連續相加，一直加到100，即1+2+3+…+100。高斯沒有像其他同學那樣急著相加，而是仔細觀察、思考，結果發現：

1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101一共有50個101，于是立刻得到：

1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050

老師看著小高斯的答卷，驚訝得說不出話。其他學生過了很長時間才交卷，而且沒有一個是算對的。從此，小高斯“神童”的美名不脛而走。村里一位伯爵知道后，慷慨出錢資助高斯，將他送入附近的最好的學校進行培養。

中學畢業后，高斯進入了德國的哥廷根大學學習。剛進入大學時，還沒立志專攻數學。后來聽了數學教授卡斯特納的講課之后，決定研究數學。卡斯特納本人并沒有多少數學業績，但他培養高斯的成功，足以說明一名好教師的重要作用。

從哥廷根大學畢業后，高斯一直堅持研究數學。1807年成為該校的數學教授和天文臺臺長，并保留這個職位一直到他逝世。

高斯18歲時就發明了最小二乘法，19歲時發現了正17邊形的尺規作圖法，并給出可用尺規作出正多邊形的條件，解決了這個歐幾里得以來一直懸而未決的問題。為了這個發現，在他逝世后，哥廷根大學為他建立了一個底座為17邊形棱柱的紀念像。

對代數學，高斯是嚴格證明代數基本定理的第一人。他的《算術研究》奠定了近代數論的基礎，該書不僅在數論上是劃時代之作，就是在數學史上也是不可多得的經典著作之一。高斯還研究了復數，提出所有復數都可以用平面上的點來表示，所以后人將“復平面”稱為高斯平面，高斯還利用平面向量與復數之間的一一對應關系，闡述了復數的幾何加法與乘法，為向量代數學奠定了基礎。1828年高斯出版《關于曲面的一般研究》，全面系統地闡述了空間曲面的微分幾何學。并提出了內蘊曲面理論。高斯的數學研究幾乎遍及當時的所有數學領域，而且在不少方面的研究走在了時代的前列。他在數學歷史上的影響可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列。

高斯一生共有155篇論文。他治學嚴謹，把直觀的概念作為入門的向導，然后試圖在完整的邏輯體系上建立其數學的理論。他為人謹慎，他的許多數學思想與結果從不輕易發表，而且，他的論文很少詳細寫明思路。所以有的人說：“這個人，像狐貍似的，把沙土上留下的足跡，用尾巴全部掃掉。”

數學家華羅庚

華羅庚，中國現代數學家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。1985年6月12日在日本東京逝世。華羅庚1924年初中畢業之后，在上海中華職業學校學習不到一年，因家貧輟學，他刻苦自修數學，1930年在《科學》上發表了關于代數方程式解法的文章，受到專家重視，被邀到清華大學工作，開始了數論的研究，1934年成為中華教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯合大學教授。1946年應蘇聯普林斯頓高等研究所邀請任研究員，并在普林斯頓大學執教。1948年始，他為伊利諾伊大學教授。

1950年回國，先后任清華大學教授、中國科技大學數學系主任、副校長，中國科學院數學研究所所長、中國科學院應用數學研究所所長、中國科學院副院長等。華羅庚還是第一、二、三、四、五屆全國人大常委會委員和政協第六屆全國委員會副主席。

華羅庚是國際上享有盛譽的數學家，他在解析數論、矩陣幾何學、多復變函數論、偏微分方程等廣泛數學領域中都做出卓越貢獻，由于他的貢獻，有許多定理、引理、不等式與方法都用他的名字命名。為了推廣優選法，華羅庚親自帶領小分隊去二十七個省普及應用數學方法達二十余年之久，取得了明顯的經濟效益和社會效益，為我國經濟建設做出了重大貢獻。

青山碧水

學校在暑假里組織老師們集體游覽風景名勝，回來以后，老師們很高興，暢談游覽印象。

語文老師說，我的印象可以概括成一句話：

青山、碧水，勁松、千峰秀。

外語老師說，受你的啟發，我的印象也可以概括成一句話：

秀峰、千松勁，水碧、山青。

外語老師受到的啟發真不小，把語文老師那句贊美詞整個兒倒過來讀，就成了外語老師的贊美詞。當然這也是一種絕妙的創造，因為不是任何一句話都能倒過來讀的。

數學老師說，受你們兩位的啟發，我的印象同樣可以概括成一句話：

864197532。

“這是什么話！”語文老師和外語老師大為驚訝，異口同聲，喊了起來。

數學老師笑著說，“不明白我的意思？寫下來就知道。”

只見數學老師不慌不忙，在紙上把三句話寫出來，再畫一道橫線，添一個加號，成為一道加法算式：

外語老師往數學老師肩上拍一掌，說：“還是算式謎？”

語文老師搶過筆來，一面研究算式，一面問道：“還是每個漢字表示一個數字，不同漢字表示不同數字？”

數學老師說，“對，老規矩。不過今天這道式子格外精巧，每一行的九位數里都是從1到9，一個數字不漏。”

答案很快求了出來，是：

123456789+864197532=987654321。

游覽秀麗山川，令人心曠神怡，領略生活的自然美。

好詩、好詞、好文章，來自生活，精心提煉加工以后，高于生活，可以從中體會語言美。

數字、圖形和數學題，同樣來自生活，通過科學的抽象概括，揭示生活中的內在規律，蘊涵一種和諧的數學美。

渡河難題

春秋戰國時期，楚國和晉國由于連年打仗，傷亡慘重，結下了冤仇，弄得 量過人民相互之間也都不信任了。在歷次戰爭中，楚國失敗的次數較多，所以，一般晉國人都害怕楚國人報復。

有一次，三個楚國商人和三個晉國商人一起到齊國去經商。齊國的主顧要 求六個人同時到達，說是這樣才好接待拍板成交，少了任何一個都不答應。因 此，他們只好結伴同行，一路上勾心斗角。

一天傍晚，他們來到了大河邊，河水很深，他們又都不會游泳，河上也沒 有橋梁，幸好岸邊有一只小船，可是船太小了，一次最多只能渡過兩個人，這 些商人，人人都會劃船，為了防止發生意外，無論在河的這一岸還是那一岸，或者在船上，都不允許楚國的商人數超過晉國商人數。

請問怎樣才能將這六個人全部渡過河去？需要多少次？

【11次．

渡河過程；

1、先去兩個楚國人

2、回來一個楚國人

3、再去兩個楚國人

4、回來一個楚國人

5、去兩個晉國人

6、回來一個晉國人和一個楚國人

7、去兩個晉國人

8、回來一個楚國人

9、去兩個楚國人

10、回來一個楚國人

11、兩個楚國人一起渡河】

一壺酒

在元代數學家朱世杰著的數學書《四元玉鑒》中，有這樣一首詩：我有一 壺酒，攜著春游走。遇店添一倍，逢友飲一斗。店友經三處，沒了壺中酒。借 問此壺中，當原多少酒？

詩的大意是：我帶著壺酒春游，途中每逢酒店必定掏錢，把壺中的酒就增 添一倍，每逢遇見朋友必定倒酒小就酌，喝掉1斗。一路上，共有三次遇酒店，見朋友，結果壺中的酒全都沒有了。請問，這壺里原來有多少酒呢？

【答案：7 8斗。

老

壽

星

兩百多年前，清代乾隆皇帝五十年的時候，他在乾清宮中擺下了千叟晏3900多位老人應邀參加宴會。其中有一位老人的年紀特別大，這位老壽星有多大歲數呢？

乾隆皇帝說了，但不是明說，而是出了一道對聯，這幅對聯的上聯：花甲重開，外加三七歲月。

大臣紀昀在一旁湊熱鬧，也說了一說這位老壽星的歲數，當然也不是明說，而是對出了下聯：古稀雙慶，又多一個春秋。

你知道對聯里講些什么嗎？老者到底有多大？

阿拉伯數字是怎樣來的

阿拉伯數字1、2、3、4、5、6、7、8、9。0是國際上通用的數碼。這種數字的創制并非阿拉伯人，但也不能抹掉阿拉伯人的功勞。

阿拉伯數字最初出自印度人之手，也是他們的祖先在生產實踐中逐步創造出來的。

公元前3000年，印度河流域居民的數字就已經比較進步，并采用了十進位制的計算法。到吠陀時代（公元前1400－公元前543年），雅利安人已意識到數碼在生產活動和日常生活中的作用，創造了一些簡單的、不完全的數字。公元前3世紀，印度出現了整套的數字，但各地的寫法不一，其中典型的是婆羅門式，它的獨到之處就是從1～9每個數都有專用符號，現代數字就是從它們中脫胎而來的。當時，“0”還沒有出現。到了笈多時代（300－500年）才有了“0”，叫“舜若”（shunya），表示方式是一個黑點“●”，后來衍變成“0”。這樣，一套完整的數字便產生了。這就是古代印度人民對世界文化的巨大貢獻。

印度數字首先傳到斯里蘭卡、緬甸、柬埔寨等國。7－8世紀，隨著地跨亞、非、歐三洲的阿拉伯帝國的崛起，阿拉伯人如饑似渴地吸取古希臘、羅馬、印度等國的先進文化，大量翻譯其科學著作。771年，印度天文學家、旅行家毛卡訪問阿拉伯帝國阿撥斯王朝（750－1258年）的首都巴格達，將隨身攜帶的一部印度天文學著作《西德罕塔》獻給了當時的哈里發曼蘇爾（757－775），曼蘇爾令翻譯成阿拉伯文，取名為《信德欣德》。此書中有大量的數字，因此稱“印度數字”，原意即為“從印度來的”。

阿拉伯數學家花拉子密（約780－850）和海伯什等首先接受了印度數字，并在天文表中運用。他們放棄了自己的28個字母，在實踐中加以修改完善，并毫無保留地把它介紹給西方。9世紀初，花拉子密發表《印度計數算法》，闡述了印度數字及應用方法。

印度數字取代了冗長笨拙的羅馬數字，在歐洲傳播，遭到一些基督教徒的反對，但實踐證明優于羅馬數字。1202年意大利雷俄那多所發行的《計算之書》，標志著歐洲使用印度數字的開始。該書共15章，開章說：“印度九個數字是：?9、8、7、6、5、4、3、2、1?，用這九個數字及阿拉伯人稱作sifr（零）的記號?0?，任何數都可以表示出來。”

14世紀時中國的印刷術傳到歐洲，更加速了印度數字在歐洲的推廣應用，逐漸為歐洲人所采用。

西方人接受了經阿拉伯人傳來的印度數字，但忘卻了其創始祖，稱之為阿拉伯數字。

在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899。說完高斯也算完并把寫有答案的小石板交了上去，當時只有他寫的答案是正確的。數學史家們傾向于認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。高斯的學術地位，歷來被人們推崇得很高。他有“數學王子”、“數學家之王”的美稱。

第四篇：初中數學相關定理

1,三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°

2, 推論1直角三角形的兩個銳角互余

3, 推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

4,推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角

5, 全等三角形的對應邊、對應角相等

6, 邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等7, 角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等8 推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等9, 邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

10, 斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上13 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）15 推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合17 推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對 的邊也相等（等角對等邊）推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上25 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合26 定理 1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形定理 2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線定理 3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那 么交點在對稱軸上逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，

第五篇：數學定理證明

一．基本定理： 1．（極限或連續）局部保號性定理（進而證明保序性定理）2．局部有界性定理． 3．拉格朗日中值定理．

4．可微的一元函數取得極值的必要條件． 5．可積函數的變上限積分函數的連續性． 6．牛頓——萊布尼茨公式．

7．多元函數可微的必要條件（連續，可導）． 8．可微的二元函數取得極值的必要條件． 9．格林定理．

10．正項級數收斂的充要條件：其部分和數列有界． 11．冪級數絕對收斂性的阿貝爾定理． 12．（數學三、四）利潤取得最大值的必要條件是邊際成本與邊際收入相等． 二．基本方法：

1．等價無窮小替換：若x?a時，有?(x)~?(x)，試證明lim?(x)f(x)?lim?(x)f(x)。

x?a

x?a

2．微元法：若f(x)是區間[a,b]（a?0）上非負連續函數，試證明曲邊梯形D??(x,y)a?x?b,0?y?f(x)? 繞 軸旋轉，所得的體積為V?2?

?

ba

xf(x)dx。

3．常數變易法：若P(x)和Q(x)是連續函數，試證明微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解為

?P(x)dx?y?e?C?

??

?

?Q(x)e

P(x)dx

?dx。??

三．一些反例也是很重要的：

1．函數的導函數不一定是連續函數。反例是：函數點不連續。

2．f?(a)?0，但不一定存在x?a點某個鄰域使函數f(x)在該鄰域內單調增加。反例是：函數

1?

?x?100x2sin,f(x)??x

?0,?

x?0, x?0,1?2

?xsin,f(x)??x

?0,?

x?0,在x?0點可導，但f?(x)x?0,在x?0

3．多元函數可（偏）導點處不一定連續。反例是：函數

xy?,?2

f(x,y)??x?y2

?0,?

(x,y)?(0,0),(x,y)?(0,0),4．多元函數在不可（偏）導點處，方向導數不一定不存在。反例是：函數 f(x,y)?處兩個一階偏導數都不存在，但是函數在在(0,0)點處沿任一方向的方向導數都存在。

an?1an

?

x?y

在(0,0)點

?

5．?1，既不是正項級數?an收斂的充分條件，也不是它收斂的必要條件。反例一，正項級數?

n?1

n?1

?

n

1n

滿

足

an?1an

?1但不收斂。反例二，正項級數?

n?1

5?3(?1)

n

不滿足

an?1an

?a2n?

?，但是它是收斂的。?2?1?1? ?a?

?2n?1?