第一篇：【高一數學】三角函數典型例題剖析與規律總結(共5頁)

三角函數典型例題剖析與規律總結

山東 田振民

一：函數的定義域問題 1.求函數y?分析：要求y?2sinx?1的定義域。

2sin?1的定義域，只需求滿足2sinx?1?0的x集合，即只需求出滿足1sinx??的x值集合，由于正弦函數具有周期性，只需先根據問題要求，求出在一個周2期上的適合條件的區間，然后兩邊加上2k??k?Z?即可。解：由題意知需2sinx?1?0，也即需sinx??1??3??①在一周期??,上符合①的角為?2?22??7????7????k?Z? ,由此可得到函數的定義域為?,2k??,2k??????6666????小結:確定三角函數的定義域的依據：（1）正、余弦函數、正切函數的定義域。（2）若函數是分式函數，則分母不能為零。（3）若函數是偶函數，則被開方式不能為負。（4）若函數是形如y?（5）當函數是有實際logf?x??a?0,a?1?的函數，則其定義域由f?x?確定。a問題確定時，其定義域不僅要使解析式有意義同時還要使實際問題有意義。二．函數值域及最大值，最小值（1）求函數的值域 例。求下列函數的值域

（1）y?3?2sin2x

（2）y?cosx2?2sinx?2

分析：利用cosx?1與sinx?1進行求解。解：（1）??1?sin2x?1?1?y?5?y??1,5?（2）

y?cosx?2sinx?2??sin2x?2sinx?1???sinx?1???1?sinx?1,?y???4,0?.22評注：一般函數的值域求法有：觀察法，配方法判別式法，反比例函數法等，而三角函數是函數的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結合三角函數本身的性質罷了。（2）函數的最大值與最小值。例。求下列函數的最大值與最小值（1）y?1?1???????sinx

（2）y?2sin?2x?????x??

6??66?2?（3）y?2cos2x?5sinx?4（4）y?3cos2x?4cosx?1x????2??,? ?33?分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解過程要注意自變量的去值范圍（3）（4）可利用二次函數f(x)?ax2?bx?c在閉區間?m,n?上求最值得方法。解(1)

：?162?1?sinx?0 ??2??1?sinx?1?當sinx??1時，ymax?;當sinx?1時ymin?22???1?sinx?1(2)??1?cos(2x?(3)?????)?1,?當cos?2x???1時，ymax?5；當cos(2x?)??1時，ymin?1.33?3?25?9?y?2cosx?5sinx?4??2sinx?5sinx?2??2?sinx???,sinx???1,1?，4?8?22?當sinx??1，即x??當sinx?1，即x?(4)

?2?2k?(k?Z）時，y有最小值?9；

?2?2k?(k?Z），y有最大值1。

211??2???11?y?3cos2x?4cosx?1?3(cosx?)2?,?x??,?,cosx???,?,從而cosx??,即332?33??22?2?151?1x?時，、ymax?當cosx?,即x?時，ymin??34234小結：求值域或最大值，最小值的問題，一般的依據是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切實數；（3）連續函數在閉區間上存在最大值和最小值。根據上面的原則，常常把給出的函數變成以下幾種形式；

（1）sin??x???一次形式（2）sinx?f(y)或cosx?f(y)的形式，通過f(y)?1來確定或其他變形來確定。三：函數的周期性

例

求下列函數的周期?1?f(x)?cos2x?2?f(x)?2sin(x??)26分析：該例的兩個函數都是復合函數，我們可以通過變量的替換，將它們歸結為基本三角函數去處理。

（1）把2x看成是一個新的變量u，那么cosu的最小正周期是2?，就是說，當u增加到u?2?且必須增加到u?2?時，函數cosu的值重復出現，而u?2??2x?2??2(x??),所以當自變量x增加到x??且必須增加到x??時，函數值重復出現，因此，y?sin2x的周期是?。

（2）?2sin(?x2??x???2?)?2sin???即6?26???x?x??12sin??x?4?????2sin(?)?f(x)?2sin(?)的周期是4?。

6?2626?2小結：由上面的例題我們看到函數周期的變化僅與自變量x的系數有關。一般地，函數y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)（其中A,?,?為常數，A?0,??0,x?R)的周期T?四．函數的奇偶性

例 判斷下列函數的奇偶性

2??。

1?sinx?cos2x(1)f(x)?xsin(??x)(2)f(x)?

1?sinx分析：可利用函數奇偶性定義予以判斷。解：（1）函數的定義域R關于原點對稱。

f(x)?xsin(??x)??xsinx,f(?x)?(?x)sin(??x)??xsinx?f(x)?f(x)是偶函數。（2函數應滿足1?sinx?0?函數的定義于為?xx?R，且x?2k?????3?,k?Z?.?函數的定義2?域不關于原點對稱。? 函數既不是奇函數又不是偶函數。

評注：判斷函數奇偶性時，必須先檢查定義域是否關于原點對稱的區間，如果是，再驗證f(?x)是否等于?f(x)或f(x)，進而判斷函數的奇偶性，如果不是，則該函數必為非奇非偶函數。五：函數的單調性 例：下列函數，在????,??上是增函數的是（）?2?y?cosx

Cy?sin2x

Dy?cos2x A.y?sinx

B分析：??2?x??,???2x?2?.可根據sinx與cosx在各象限的單調性作出判斷。

解：

?????x??，???2x?2?,y?sinx與y?cosx在?，??上都是減函數，?排除A,B，2?2?知y?sin2x在2x???,2??內不具有單調性，?又可排除C，?應選D。

小結：求形如y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)(其中A?0,??0)的函數的單調區間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：(1)把“?x??(??0)"視為一個整體；（2）A?0(A?0)時，所列不等式的方向與y?sinx(x?R),y?cosx(x?R)的單調區間對應的不等式的方向相同（反）。1的定義域為（）sinx

練習：1.函數y?A.RB.?x?Rx?k?,k?Z??C.??1,0???0,1?D.?xx?0?

2.函數y?cos(x????)，x??0,?的值域是（）6?2??13???,?22??C?3??,1??2?D?1??2,1? ??A.?31????2,2???B3.函數y?sin(?x??4)(??0)的周期為

2?，則?=------------.34.下列函數中是偶函數的是（）

A.y?sin2xBy??sinxCy?sinxDy?sinx?1

5.下列函數中，奇函數的個數為（）

（1）y?x2sinx（2）y?sinx,x??0,2??（3）y?sinx,x????,??（4）y?xcosx

A.1.B2C3D4

6.在區間?0,????上，下列函數為增函數的是（）2??By??1cosxCy??sinxDy??cosx A.y?1sinx7.函數y?sin2x的單調減區間是（）

AC3?????2k?,?2k??2?2?????2k?,3??2k???3???B?k??,k???44??????D?k??,k???44??

?k?Z?8.如果x??2，則函數y?cosx?sinx的最小值是—————— 49.函數y?tanx(?4?x3??且x?)的值域為（）42A??1,1?B???,?1???1,???C???,1?D??1,??? 答案：B B 3 C C D B 1?2 B 2

2．3 函數的單調性 學法導引

1．熟練掌握增減性的概念．要注意定義中對區間內，的任意性，而不是某兩個特殊值，． 2．掌握好證明函數單調性的方法(用定義)：取值——作差——定號——判斷． 3．熟悉幾種基本函數的單調性．

4．掌握好利用函數的單調性來比較數的大小的方法． 知識要點精講

1．增函數、減函數、單調性、單調區間的概念

(1)函數的單調性是函數在定義域內某一區間內的局部性質，而不是整體性質． 一是同屬于一個單調區間，二是任意性，切不可用兩個特殊值代替，三是規定了大小關系．要證明函數f(x)在區間[a，b]上是單調遞增(遞減)的，而要證f(x)在區間[a，b]上不是遞增(遞減)的，則只需舉出反例即可． 2．判斷函數單調性的方法

最基本的方法是依據函數單調性的定義來證明，其步驟如下：

并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變化；

第三步：定號，即確定差的符號，當符號不確定時，可進行分區間討論；

第四步：判斷，即根據定義確定是增函數還是減函數．

也可根據函數簡單的運算性質和復合函數的性質來確定函數的單調性． 3．函數單調性的應用

單調性是函數的重要性質，它在研究函數時具有重要的作用．具體表現在：

(1)利用函數的單調性，可以把比較函數值的大小問題，轉化為比較自變量的大小問題，也是我們解不等式的依據．

(2)確定函數的值域或求函數的最值．

對于函數f(x)，如果它在區間[a，b]上是增函數，那么它的值域是[f(a)，f(b)]，如果它在區間[a，b]上是減函數，那么它的值域是[f(b)，f(a)]，如果它在區間[a，c]上是增(減)函數，在[c，b]上是減(增)函數，那么它的最大(小)值是f(c)． 4．常用函數的單調性

(1)一次函數y＝kx＋b，當k＞0時，函數在R上為單調遞增函數；當k＜0時，函數在R上為單調遞減函數． 思維整合

【重點】本節重點是函數單調性的概念以及函數單調性的判定、函數單調性的應用． 【難點】利用函數單調性的概念來證明或判斷函數的單調性． 【易錯點】1．復合函數的單調性只注意復合關系，不注意范圍； 精典例題再現 【解析重點】

例 求下列函數的單調區間．

［解析］求函數單調區間有多種方法，可以利用定義法，可以利用基本的初等函數的單調性，也可以用圖象的直觀性．

作出函數的圖象，如圖2－3－1所示：

在(－∞，－1]和[0，1]上，函數f(x)是增函數，在[－1，0]和[1，＋∞)上，函數是減函數．故其單調遞增區間為(－∞，－1]和[0，1]；其單調遞減區間為[－1，0]和[1，＋∞)． 點撥 對于(2)中求復合函數單調區間的問題，一般有以下結論：設y＝f(u)，u＝g(x)，x∈[a，b]，u∈[m，n]，若f(u)是[m，n]上的增函數，則f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相同；如果f(u)是[m，n]上的減函數，則f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相反，此種問題特別要注意考慮函數的定義域．

第二篇：三角函數典型例題剖析與規律總結

三角函數典型例題剖析與規律總結

一：函數的定義域問題 1.求函數y?分析：要求y?sinx??122sinx?1的定義域。

2sin?1的定義域，只需求滿足2sinx?1?0的x集合，即只需求出滿足的x值集合，由于正弦函數具有周期性，只需先根據問題要求，求出在一個周期上的適合條件的區間，然后兩邊加上2k??k?Z?即可。

12解：由題意知需2sinx?1?0，也即需sinx??①在一周期?????3??2,2??上符合①的角為

?7????7???,由此可得到函數的定義域為?k?Z? ?,2k??,2k???66???66????小結:確定三角函數的定義域的依據：（1）正、余弦函數、正切函數的定義域。（2）若函數是分式函數，則分母不能為零。（3）若函數是偶函數，則被開方式不能為負。（4）若函數是形如y?logaf?x??a?0,a?1?的函數，則其定義域由f?x?確定。（5）當函數是有實際問題確定時，其定義域不僅要使解析式有意義同時還要使實際問題有意義。二．函數值域及最大值，最小值（1）求函數的值域 例。求下列函數的值域

（1）y?3?2sin2x

（2）y?cosx2?2sinx?2

分析：利用cosx?1與sinx?1進行求解。解：（1）??1?sin2x?1?1?y?5?y??1,5?（2）

y?cos2x?2sinx?2??sin2x?2sinx?1???sinx?1???1?sinx?1,?y???4,0?.2評注：一般函數的值域求法有：觀察法，配方法判別式法，反比例函數法等，而三角函數是函數的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結合三角函數本身的性質罷了。（2）函數的最大值與最小值。例。求下列函數的最大值與最小值（1）y?1?1???????sinx

（2）y?2sin?2x?????x?? 26??66??2（3）y?2cosx?5sinx?4（4）y?3cos2x?4cosx?1??2?? x??,??33?分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解過程要注意自變量的去值范圍（3）（4）可利用二次函數f(x)?ax2?bx?c在閉區間?m,n?上求最值得方法。解(1)1?62?1?sinx?0 ????1?sinx?1?當sinx??1時，ymax?;當sinx?1時ymin?222??1?sinx?1?：(2)??1?cos(2x??????)?1,?當cos?2x???1時，ymax?5；當cos(2x?)??1時，ymin?1.33?3?(3)

5?9?y?2cosx?5sinx?4??2sinx?5sinx?2??2?sinx???,?sinx???1,1?，4?8?222?當sinx??1，即x???2?2k?(k?Z）時，y有最小值?9；

當sinx?1，即x?(4)y?3cosx?2?32?2?2k?(k?Z），y有最大值1。

x?4cosx?1?3(cosx?154當cosx?2312)?21??2??,?x??，cosx??3?33?1?11??，從而cosx??,即?22?2??時，、ymax?,即x??3時，ymin??14小結：求值域或最大值，最小值的問題，一般的依據是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切實數；（3）連續函數在閉區間上存在最大值和最小值。根據上面的原則，常常把給出的函數變成以下幾種形式；

（1）sin??x???一次形式（2）sinx?f(y)或cosx?f(y)的形式，通過f(y)?1來確定或其他變形來確定。三：函數的周期性

例

求下列函數的周期?1?f(x)?cos2x?2?f(x)?2sin(x2??6)

分析：該例的兩個函數都是復合函數，我們可以通過變量的替換，將它們歸結為基本三角函數去處理。

（1）把2x看成是一個新的變量u，那么cosu的最小正周期是2?，就是說，當u增加到u?2?且必須增加到u?2?時，函數cosu的值重復出現，而u?2??2x?2??2(x??),所以當自變量x增加到x??且必須增加到x??時，函數值重復出現，因此，y?sin2x的周期是?。（2）?2sin(x2???x???2?)?2sin???即66??2??x?x??12sin??x?4?????2sin(?)?f(x)?2sin(?)的周期是4?。

6?2626?2小結：由上面的例題我們看到函數周期的變化僅與自變量x的系數有關。一般地，函數y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)（其中A,?,?為常數，A?0,??0,x?R)的周期T?2??。

四．函數的奇偶性 例 判斷下列函數的奇偶性(1)f(x)?xsin(??x)(2)f(x)?1?sinx?cos1?sinx2x

分析：可利用函數奇偶性定義予以判斷。

解：（1）函數的定義域R關于原點對稱。f(x)?xsin(??x)??xsinx,f(?x)?(?x)sin(??x)??xsinx?f(x)?f(x)是偶函數。

??3?,k?Z?.?函數的定義?xx?R，且x?2k??2??（2函數應滿足1?sinx?0?函數的定義于為域不關于原點對稱。? 函數既不是奇函數又不是偶函數。

評注：判斷函數奇偶性時，必須先檢查定義域是否關于原點對稱的區間，如果是，再驗證f(?x)是否等于?f(x)或f(x)，進而判斷函數的奇偶性，如果不是，則該函數必為非奇非偶函數。五：函數的單調性 例：下列函數，在?A.???,??上是增函數的是（）?2?y?cosx

Cy?sin2x

Dy?cos2x y?sinx

B分析：??2?x??,???2x?2?.可根據sinx與cosx在各象限的單調性作出判斷。

??????x??，解：?y?sinx與y?cosx在?，??上都是減函數，排除，A,B???2x?2?,??2?2知y?sin2x在2x???,2??內不具有單調性，?又可排除C，?應選D。

小結：求形如y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)(其中A?0,??0)的函數的單調區間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：(1)把“?x??(??0)"視為一個整體；（2）A?0(A?0)時，所列不等式的方向式的方向相同（反）。與y?sinx(x?R),y?cosx(x?R)的單調區間對應的不等

練習：1.函數y?A.RB.1sinx的定義域為（）

C.?x?Rx?k?,k?Z??6)，??1,0???0,1?D.?xx?0?

2.函數y?cos(x????x??0,?的值域是()

?2??3?,1???2?2?3A.?31???,??22??B?13??,??22??CD?1? ?2,1???3.函數y?sin(?x??4)(??0)的周期為，則?=------------.4.下列函數中是偶函數的是（）

A.y?sin2xBy??sinxCy?sinxDy?sinx?1

5.下列函數中，奇函數的個數為（）

（1）y?x2sinx（2）y?sinx,x??0,2??（3）y?sinx,x????,??（4）y?xcosx

A.1.B2C3D4

6.在區間?0,?1sinx????上，下列函數為增函數的是（）

2?By??1cosxCy??sinxDy??cosx A.y?7.函數y?sin2x的單調減區間是（）

AC3?????2k?,?2k??2?2???3???B?k??,k??44???D??k??4,k??4???2???2k?,3??2k?????

?k?Z?8.如果x??4，則函數?4y?cos3?4x?sin的最小值是——————

9.函數y?tanx(?x且x??2)的值域為（）

A??1,1?B???,?1???1,???C???,1?D??1,??? 答案：B B 3 C C D B 1?22 B

例1 已知，且，則可以表示（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

分析 由題意求，不僅要看選擇支給出的四個角中哪一個角在區間內，還要看哪一個角的正弦值為

依據誘導公式，有，由此排除了B和D．

又因此本題應選C．，故，點評 反三角函數的記號既然表示一個特定區間上的角，就可以此為基礎表示其他指定范圍內的角．

例2

（1）若，則等于（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）已知，那么的值是（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

分析（1）方法1

因為

（注意）.（注意由有）.于是原式，故選.方法 2 利用，，又，，故選（A）.（2）本題是的條件下，求兩角和的值，只要求出這兩個角和的正切值，并確定其取值范圍即可．

設，由，有，，故，并且，.由此可知，故選.點評 本題是利用反三角函數的概念，通過設輔助角，把反三角函數的運算轉化為三角函數的問題來解決，這是常用的處理方法，同時，揭示了反三角函數和三角函數的內在聯系．

例3 的值=

．

分析 本題實質上是求角的大小，可以先求它的某種三角函數值，再估計其取值范圍而確定．

設，則，且

又設，則，且，故．

∴

又由，可得

∴，即．

例4 函數的定義域為

，值域為

．

分析 所求函數定義域應該由下列條件確定：

解得為，故所求定義域為

．

又由，則，∴，即所求值域為

點評 求值域時既要認識給定函數是復合函數，又要注意定義域的制約作用．

例5 函數的單調遞增區間是

．

分析 由

由于函數，得函數的定義域為

由函數

和

復合而成，而函數在其定義域內是減函數，故只要求出函數的單調遞減區間，為

因此，已知函數的遞增敬意是

點評 這里不僅要正確運用復合函數單調性的規律，而且要注意函數的單調區間定是其定義域的子區間．

例6 滿足的的取值范圍是

；

滿足的的取值范圍是

．

分析 此類題既要用到函數的單調性，還要注意相應式有意義對的限制條件．

例7

若是（）．

（A），則在上滿足的的取值范圍

（B）

（C）

（D）

分析 這是一道既要運用三角函數的性質，又要運用以反三角函數表示一定范圍內的角的題目．如下圖，滿足已知條件的的取值范圍是，其中

同樣 滿足：，因此本題應選B．，故，

第三篇：三角函數典型例題剖析與規律總結

三角函數典型例題剖析與規律總結

山東 田振民

一：函數的定義域問題 1.求函數y?分析：要求y?sinx??122sinx?1的定義域。

2sin?1的定義域，只需求滿足2sinx?1?0的x集合，即只需求出滿足的x值集合，由于正弦函數具有周期性，只需先根據問題要求，求出在一個周期上的適合條件的區間，然后兩邊加上2k??k?Z?即可。

12??解：由題意知需2sinx?1?0，也即需sinx??①在一周期???3??2,上符合①的角為?2??7????7???,由此可得到函數的定義域為?,2k??,2k???66????k?Z? 66????小結:確定三角函數的定義域的依據：（1）正、余弦函數、正切函數的定義域。（2）若函數是分式函數，則分母不能為零。（3）若函數是偶函數，則被開方式不能為負。（4）若函數是形如y?loga（5）當函數是有實際f?x??a?0,a?1?的函數，則其定義域由f?x?確定。問題確定時，其定義域不僅要使解析式有意義同時還要使實際問題有意義。二．函數值域及最大值，最小值（1）求函數的值域 例。求下列函數的值域

（1）y?3?2sin2x

（2）y?cosx2?2sinx?2

分析：利用cosx?1與sinx?1進行求解。解：（1）??1?sin2x?1?1?y?5?y??1,5?（2）

y?cos2x?2sinx?2??sin2x?2sinx?1???sinx?1???1?sinx?1,?y???4,0?.2評注：一般函數的值域求法有：觀察法，配方法判別式法，反比例函數法等，而三角函數是函數的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結合三角函數本身的性質罷了。（2）函數的最大值與最小值。例。求下列函數的最大值與最小值（1）y?1?1???????sinx

（2）y?2sin?2x?????x?? 2666????（3）y?2cos2x?5sinx?4（4）y?3cos2x?4cosx?1??2?? x??,??33?分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解過程要注意自變量的去值范圍（3）（4）可利用二次函數f(x)?ax2?bx?c在閉區間?m,n?上求最值得方法。解(1)

：1?1?sinx?062? ????1?sinx?1?當sinx??1時，y?;當sinx?1時y?2maxmin22??1?sinx?1?(2)??1?cos(2x??????)?1,?當cos?2x???1時，ymax?5；當cos(2x?)??1時，ymin?1.33?3?(3)

5?9?y?2cosx?5sinx?4??2sinx?5sinx?2??2?sinx???,?sinx???1,1?，4?8?222?當sinx??1，即x???2?2k?(k?Z）時，y有最小值?9；

當sinx?1，即x?(4)y?3cosx?2?32?2?2k?(k?Z），y有最大值1。

x?4cosx?1?3(cosx?154當cosx?2312)?21??2?,?x??,3?33??,cosx??141?11??，從而cosx??,即?22?2??時，、ymax?,即x??3時，ymin??小結：求值域或最大值，最小值的問題，一般的依據是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切實數；（3）連續函數在閉區間上存在最大值和最小值。根據上面的原則，常常把給出的函數變成以下幾種形式；

（1）sin??x???一次形式（2）sinx?f(y)或cosx?f(y)的形式，通過f(y)?1來確定或其他變形來確定。三：函數的周期性

例

求下列函數的周期?1?f(x)?cos2x?2?f(x)?2sin(x2??6)

分析：該例的兩個函數都是復合函數，我們可以通過變量的替換，將它們歸結為基本三角函數去處理。

（1）把2x看成是一個新的變量u，那么cosu的最小正周期是2?，就是說，當u增加到u?2?且必須增加到u?2?時，函數cosu的值重復出現，而u?2??2x?2??2(x??),所以當自變量x增加到x??且必須增加到x??時，函數值重復出現，因此，y?sin2x的周期是?。

x2（2）?2sin(???x???2?)?2sin???即66??2??x?x??12sin??x?4?????2sin(?)?f(x)?2sin(?)的周期是4?。

262626??小結：由上面的例題我們看到函數周期的變化僅與自變量x的系數有關。一般地，函數y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)（其中A,?,?為常數，A?0,??0,x?R)的周期T?2??。

四．函數的奇偶性

例 判斷下列函數的奇偶性

(1)f(x)?xsin(??x)(2)f(x)?1?sinx?cos1?sinx2x

分析：可利用函數奇偶性定義予以判斷。解：（1）函數的定義域R關于原點對稱。f(x)?xsin(??x)??xsinx,f(?x)?(?x)sin(??x)??xsinx?f(x)?f(x)是偶函數。

??3?,k?Z?.?函數的定義?xx?R，且x?2k??2??（2函數應滿足1?sinx?0?函數的定義于為域不關于原點對稱。? 函數既不是奇函數又不是偶函數。

評注：判斷函數奇偶性時，必須先檢查定義域是否關于原點對稱的區間，如果是，再驗證f(?x)是否等于?f(x)或f(x)，進而判斷函數的奇偶性，如果不是，則該函數必為非奇非偶函數。五：函數的單調性 例：下列函數，在?A.???,??上是增函數的是（）?2?y?cosx

Cy?sin2x

Dy?cos2x y?sinx

B分析：??2?x??,???2x?2?.可根據sinx與cosx在各象限的單調性作出??判斷。

?y?sinx與y?cosx在解：????排除A,B，??x??，???2x?2?,，??上都是減函數，22??知y?sin2x在2x???,2??內不具有單調性，?又可排除C，?應選D。

小結：求形如y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)(其中A?0,??0)的函數的單調區間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：(1)把“?x??(??0)"視為一個整體；（2）A?0(A?0)時，所列不等式的方向式的方向相同（反）。與y?sinx(x?R),y?cosx(x?R)的單調區間對應的不等

練習：1.函數y?A.RB.1sinx的定義域為（）

C.?x?Rx?k?,k?Z??6)，??x??0,?2??1,0???0,1?D.?xx?0?

2.函數y?cos(x???的值域是（）??3?,1??2???1??2,1? ??A.?31???,??22??B?13???,?22??CD3.函數y?sin(?x??4)(??0)的周期為

2?3，則?=------------.4.下列函數中是偶函數的是（）

A.y?sin2xBy??sinxCy?sinxDy?sinx?1

5.下列函數中，奇函數的個數為（）

2（1）y?xsinx（2）y?sinx,x??0,2??（3）y?sinx,x????,??（4）y?xcosx

A.1.B2C3D4

6.在區間?0,?????上，下列函數為增函數的是（）2?A.y?1sinxBy??1cosxCy??sinxDy??cosx

7.函數y?sin2x的單調減區間是（）

A3?????2k?,?2k??2?2???3???B?k??,k??44???D??k??4,k??4???2C???2k?,3??2k?????

?k?Z?8.如果x??4，則函數?4y?cos3?4x?sin的最小值是——————

9.函數y?tanx(?x且x??2)的值域為（）

A??1,1?B???,?1???1,???C???,1?D??1,??? 答案：B B 3 C C D B 1?22 B

第四篇：機械能守恒定律典型例題剖析

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機械能守恒定律典型例題剖析

例

1、如圖示，長為l 的輕質硬棒的底端和中點各固定一個質量為m的小球，為使輕質硬棒能繞轉軸O轉到最高點，則底端小球在如圖示位置應具有的最小速度v=。解：系統的機械能守恒，ΔEP +ΔEK=0

因為小球轉到最高點的最小速度可以為0，所以，11?v?mv2?m???mg?l?mg?2l22?2?

24gl?52?v?

4.8gl

例 2.如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角θ=30°，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一柔軟的細線跨過定滑輪，兩端分別與物塊A和B連結，A的質量為4m，B的質量為m，開始時將B按在地面上不動，然后放開手，讓A沿斜面下滑而B上升。物塊A與斜面間無摩擦。設當A沿斜面下滑S 距離后，細線突然斷了。求物塊B上升離地的最大高度H.解：對系統由機械能守恒定律

4mgSsinθ – mgS = 1/2× 5 mv

2∴v2=2gS/

5細線斷后，B做豎直上拋運動，由機械能守恒定律

mgH= mgS+1/2× mv2∴H = 1.2 S

例 3.如圖所示，半徑為R、圓心為O的大圓環固定在豎直平面內，兩個輕質小圓環套在大圓環上．一根輕質長繩穿過兩個小圓環，它的兩端都系上質量為m的重物，忽略小圓環的大小。

（1）將兩個小圓環固定在大圓環豎直對稱軸的兩側θ=30°的位置上(如圖)．在 兩個小圓環間繩子的中點C處，掛上一個質量M= m的重

環間的繩子水平，然后無初速釋放重物M．設繩

子

與大、小圓環間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離．

（2）若不掛重物M．小圓環可以在大圓環上自

由移動，且繩子與大、小圓環間及大、小圓環之2物，使兩個小圓

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高考資源網（），您身邊的高考專家 間的摩擦均可以忽略，問兩個小圓環分別在哪些位置時，系統可處于平衡狀態?

解：(1)重物向下先做加速運動，后做減速運動，當重物速度

為零時，下降的距離最大．設下降的最大距離為h，由機械能守恒定律得

解得

Mgh?2mg?h2?Rsinθ?Rsinθ?????h

?2R（另解h=0舍去）

(2)系統處于平衡狀態時，兩小環的可能位置為

a． 兩小環同時位于大圓環的底端．

b．兩小環同時位于大圓環的頂端．

c．兩小環一個位于大圓環的頂端，另一個位于大圓環的底端．

d．除上述三種情況外，根據對稱性可知，系統如能平衡，則兩小圓環的位置一定關于大圓環豎直對稱軸對稱．設平衡時，兩小圓環在大圓環豎直對稱

軸兩側α角的位置上(如圖所示)．

對于重物，受繩子拉力與重力作用，有T=mg

對于小圓環，受到三個力的作用，水平繩的拉力T、豎直繩子的拉力T、大圓環的支持力N.兩繩子的拉力沿大圓環切向的分力大小相等，方向相反

得α=α′, 而α+α′=90°，所以α=45 °

例 4.如圖質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于

靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都牌伸直狀態，A上方的一段沿豎直方向。現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C上升。

若將C換成另一個質量為(m1+m3)物體D，仍從上述初始位置

由靜止狀態釋放，則這次B則離地時D的速度的大小是多少？

已知重力加速度為g。

解:開始時，B靜止平衡，設彈簧的壓縮量為x1,kx1?m1g

掛C后，當B剛要離地時，設彈簧伸長量為x2，有

kx2?m2g 歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。

高考資源網（），您身邊的高考專家 此時，A和C速度均為零。從掛C到此時，根據機械能守恒定律彈簧彈性勢能的改變量為

?E?m3g(x1?x2)?m1g(x1?x2)

將C換成D后，有

1?E?(m1?m3?m1)v2?(m1?m3)g(x1?x2)?m1g(x1?x2)2

2m1(m1?m2)g2

k(2m1?m3)聯立以上各式可以解得

v?

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第五篇：勻變速直線運動規律典型例題應用

勻變速直線運動規律典型例題應用

1．勻變速直線運動中，加速度a、初速度VO、末速度Vt、時間t、位移x之間關

系正確的是()

A．x?v0t?12atB．x=V0t2

C．x?1

2atD．x=（V0+Vt）t/2

222．汽車在平直的公路上以20m／s的速度行駛，當汽車以5m／s的加速度剎車時，剎車2s內與剎車6S內的位移之比為()

A．1：lB．3：4C．3：lD．4：3

3．一個作勻加速直線運動的物體，其位移和時間的關系是s=18t-6t2，則它的速度為零的時刻為()

A．1．5sB．3sC．6sD．18s

4．初速度為零的勻變速直線運動，第一秒、第二秒、第三秒的位移之比為()

A．1：2：3B．1：2：4C．1：3：5D．1：4：9

5．以下敘述正確的是（）

A．勻加速直線運動中，加速度一定與速度同向

B．勻減速直線運動中，加速度一定與速度反向

C．勻加速直線運動的加速度一定大于勻減速直線運動加速度

D．-5m/s2一定大于+3 m/s2

6．由靜止開始作勻變速直線運動的物體，笫4s內平均速度為14m/s，則它 在第3s內的位移是_________m，第4s末的速度是_______m/s，它通過第三個2m所需時間為__________s。

7．某飛機的起飛速度是60m/s，在跑道上可能產生的最大加速度為4 m/s2，該飛機從靜止到起飛成功需要跑道的最小長度為___________。

8．某市規定：卡車在市區內行駛速度不得超過40km／h，一次一輛市區路面緊急剎車后，經1．5s停止，量得剎車痕跡S=9m，問這車是否違章行駛?

9．一輛汽車，以36km／h的速度勻速行駛lOs，然后以lm／s2的加速度勻加速行駛10s，汽車在這20s內的位移是多大?平均速度是多大?汽車在加速的10s內平均速度是多大?

10．做勻加速直線運動的物體，速度從v增加到2v時通過的距離是30m，則當速度從3v增加到4v時，求物體通過的距離是多大?