《立體幾何》專題20-1

線線角、線面角、二面角（中下）

（4套，5頁，含答案）

知識點：

線線角、線面角、二面角的中下計算：

線線角：

求異面直線的夾角，一般把直線平移至相交。多用中位線平移，平行四邊形平移。平移之后如果不能直接看出夾角大小，可以構造三角形，利用余弦定理求解。

線面角：

求線面角，一般過直線上的一點，作該面的垂線，然后連接垂足和交點，構造出直角三角形。

二面角；

（1）

可以在二面角的棱上找一點，然后在兩個半平面上作該點的垂線；

（2）

可以在一個平面上找一點A，過這一點作另一個面的垂線，得垂足B點。然后過垂足B點，作交線的垂線，得交點C，最后連接點A和點C，即可構造出直角三角形。角ACB職位該二面角的平面角。

典型例題1：

1.如右圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點．

求異面直線BE與CD所成角的余弦值．（[分析]　根據異面直線所成角的定義，我們可以選擇適當的點，分別引BE與DC的平行線，換句話說，平移BE(或CD)．設想平移CD，沿著DA的方向，使D移向E，則C移向AC的中點F，這樣BE與CD所成的角即為∠BEF或其補角，解△EFB即可獲解．

[解析]　取AC的中點F，連接BF、EF，在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補角)．

在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.在等腰△EBF中，cos∠FEB＝＝＝，∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為.）

2.空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點，若CD＝2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為（[答案]　A；

[解析]　取AD的中點H，連FH、EH，在△EFH中

∠EFH＝90°，HE＝2HF，從而∠FEH＝30°，故選A.)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

3.已知平面α外兩點A、B到平面α的距離分別為1和2，A、B兩點在α內的射影之間距離為，求直線AB和平面α所成的角．

答案：解(1)如圖①，當A、B位于平面α同側時，由點A、B分別向平面α作垂線，垂足分別為A1、B1，則AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.過點A作AH⊥BB1于H，則AB和α所成角即為∠HAB.而tan∠BAH＝＝.∴∠BAH＝30°.(2)如圖②，當A、B位于平面α異側時，經A、B分別作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，則A1B1為AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1為AB與平面α所成的角．

∵△BCB1∽△ACA1，∴＝＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝，∴B1C＝.∴tan∠BCB1＝＝＝，∴∠BCB1＝60°.綜合(1)、(2)可知：AB與平面α所成的角為30°或60°.隨堂練習1：

1.空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小．（答案：解　取AC的中點G，連接EG、FG，則EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．

∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°．

由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；

當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°．

故EF與AB所成的角為15°或75°．）

2.空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點分別為P、Q、R，且AC＝4，BD＝2，PR＝3，則AC和BD所成的角為（[答案]　A；

[解析]　如圖，P、Q、R分別為AB、BC、CD中點，∴PQ∥AC，QR∥BD，∴∠PQR為AC和BD所成角

又PQ＝AC＝2，QR＝BD＝，RP＝3

∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°

即AC和BD所成的角為90°，故選A.)

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

3.如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，P為空間一點，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中點為M，則PM與平面ABC所成的角為_____

[答案]　45°；

[解析]　由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC為PM與平面ABC所成的角．

又∵M是AB的中點，∴CM＝AB＝5.又PC＝5，∴∠PMC＝45°.___．

典型例題2：

1.如圖所示，三棱錐P—ABC中，D是AC的中點，PA＝PB＝PC＝，AC＝2，AB＝，BC＝.(1)求證：PD⊥平面ABC；

(2)求二面角P—AB—C的正切值．

答案：(1)證明　連接BD，∵D是AC的中點，PA＝PC＝，∴PD⊥AC.∵AC＝2，AB＝，BC＝，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.∴BD＝AC＝＝AD.∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝，∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD.∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.(2)解　取AB的中點E，連接DE、PE，由E為AB的中點知DE∥BC，∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．

在△PED中，DE＝BC＝，PD＝，∠PDE＝90°，∴tan∠PED＝＝.∴二面角P—AB—C的正切值為.2.在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，則二面角α－l－β的平面角的大小為（[答案]　D；

[解析]　如圖，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，設平面ABC∩l＝D，則∠ADB為二面角α－l－β的平面角或補角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小為60°或120°.)

A．30°

B．60°

C．30°或150°

D．60°或120°

隨堂練習2：

1.在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿對角線AC折起，使折起后BD＝，則二面角B－AC－D的余弦值為（答案：B；

如圖所示，由二面角的定義知∠BOD即為二面角的平面角．

∵DO＝OB＝BD＝，∴∠BOD＝60°．)

A．

B．

C．

D．

2.如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝．(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．

答案：(1)證明　如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．

因為E是CD的中點，所以BE⊥CD．

又AB∥CD，所以BE⊥AB．

又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

(2)解　由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．

在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，則∠PBA＝60°．

故二面角A—BE—P的大小是60°．

《立體幾何》專題20-2

線線角、線面角、二面角（中下）

1.已知A是△BCD平面外的一點，E，F分別是BC，AD的中點，(1)求證：直線EF與BD是異面直線；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．

答案：(1)證明　假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內，這與A是△BCD平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．

(2)解　取CD的中點G，連接EG、FG，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.2.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論正確的是（[答案]　D；

[解析]　設AB長為1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六邊形，所以AD長也為2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD為直角三角形．

∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD與平面ABC所成的角為45°，故選D.)

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直線BC∥平面PAE

D．直線PD與平面ABC所成的角為45°

3.如圖，在四面體ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且AB＝AC＝，BC＝2，求以BC為棱、以面BCD和面BCA為面的二面角的大小.參考答案與解析:解:取BC的中點E，連結AE、DE，

∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC.∴DE⊥BC.∴∠AED為二面角A-BC-D的平面角.又∵△ABC≌△DBC,且△ABC為以BC為底的等腰三角形，故△DBC也是以BC為底的等腰三角形，∴.又△ABD≌△BDC，∴AD＝BC＝2.在Rt△DEB中，BE＝1，∴,同理.在△AED中，∵AE＝DE＝,AD＝2,∴AD2＝AE2+DE2.∴∠AED＝90°.∴以面BCD和面BCA為面的二面角的大小為90°.主要考察知識點:空間直線和平面

4.四邊形ABCD是正方形，以BD為棱把它折成直二面角A－BD－C，E為CD的中點，則∠AED的大小為（[答案]　D；

[解析]　設BD中點為F，則AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.∵E、F分別為CD、BD的中點，∴EF∥BC，∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故選D.)

A．45°

B．30°

C．60°

D．90°

《立體幾何》專題20-3

線線角、線面角、二面角（中下）

1.如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點．

(1)求證：MN∥平面PAD；

(2)若MN＝BC＝4，PA＝4，求異面直線PA與MN所成的角的大小．

[解析](1)取PD的中點H，連接AH，NH，∵N是PC的中點，∴NH綊DC.由M是AB的中點，且DC綊AB，∴NH綊AM，即四邊形AMNH為平行四邊形．

∴MN∥AH.由MN?平面PAD，AH?平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)連接AC并取其中點O，連接OM、ON，∴OM綊BC，ON綊PA.∴∠ONM就是異面直線PA與MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2.∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，即異面直線PA與MN成30°的角．

2.如圖所示，P是菱形ABCD所在平面外的一點，且∠DAB＝60°，邊長為a.側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB與平面AC所成的角為θ，則θ＝___

[答案]　45°；

[解析]　如圖所示，取AD的中點G，連接PG，BG，BD.∵△PAD是等邊三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB與平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.___.3.如圖，P是二面角α-AB-β的棱AB上一點，分別在α、β上引射線PM、PN,截PM＝PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，則二面角α-AB-β的大小是_____

答案：90°；

參考答案與解析:解析：過M在α內作MO⊥AB于點O，連結NO，設PM＝PN＝a,又∠BPM＝∠BPN＝45°,∴△OPM≌△OPN.∴ON⊥AB.∴∠MON為所求二面角的平面角.連結MN，∵∠MPN＝60°,∴MN＝a.又,∴MO2+NO2＝MN2.∴∠MON＝90°.答案：90°

主要考察知識點:空間直線和平面

______.《立體幾何》專題20-4

線線角、線面角、二面角（中下）

1.如圖所示，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，D、E分別是VB、VC的中點，求異面直線DE與AB所成的角．

[解析]　由已知得BC⊥AC，又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分別為VB、VC中點，∴DE∥BC，∴DE與AB所成的角為∠ABC＝45°.2.在三棱錐P-ABC中，側面PAC與面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3．

（1）求證：AB⊥BC；

（2）設AB＝BC＝，求AC與平面PBC所成角的大小．

答案：證明：如圖（１）所示，取中點，連結，．，．

又平面平面，面．，．

可知

為的外接圓直徑．

．

圖（１）

（２）解：如圖（２），作于，連結，．，．

平面．

面面，交線為．

直線在平面內的射影為直線．

為與平面所成的角．

在中，．

在中，．

在中，．

在中，．

．

即與平面所成角為．

3.過正方形ABCD的頂點A作線段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數是___

答案：45°；

解析　可將圖形補成以AB、AP為棱的正方體，不難求出二面角的大小為45°．

_____．

4.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD.(1)證明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

答案：(1)證明　由題設知，三棱柱的側面為矩形．由于D為AA1的中點，故DC＝DC1.又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，CD∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.因為BC?平面BCD，所以DC1⊥BC.解　DC1⊥BC，CC1⊥BC?BC⊥平面ACC1A1?BC⊥AC，取A1B1的中點O，過點O作OH⊥BD于點H，連接C1O，C1H，A1C1＝B1C1?C1O⊥A1B1，面A1B1C1⊥面A1BD?C1O⊥面A1BD，又∵DB?面A1DB，∴C1O⊥BD，又∵OH⊥BD，∴BD⊥面C1OH，C1H?面C1OH，∴BD⊥C1H，得點H與點D重合，且∠C1DO是二面角A1－BD－C的平面角，設AC＝a，則C1O＝a，C1D＝a＝2C1O?∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小為30°.