專題4：受力平衡

參考答案

一、平衡問題的分析

1.如圖所示，一條細繩跨過定滑輪連接物體A、B，A懸掛起來，B穿在一根豎直桿上，兩物體均保持靜止，不計繩與滑輪、B與豎直桿間的摩擦，已知繩與豎直桿間的夾角θ，則物體A、B的質量之比mA∶mB等于()

A．cosθ∶1

B．1∶cosθ

C．tanθ∶1

D．1∶sinθ

解析：B物受力如圖所示，B處于平衡態，由圖可知

＝cos

θ，所以，B正確．

答案：B

2.如圖所示，ACB是一光滑的、足夠長的、固定在豎直平面內的“∧”形框架，其中CA、CB邊與豎直方向的夾角均為θ.P、Q兩個輕質小環分別套在CA、CB上，兩根細繩的一端分別系在P、Q環上，另一端和一繩套系在一起，結點為O.將質量為m的鉤碼掛在繩套上，OP、OQ兩根細繩拉直后的長度分別用l1、l2表示，若l1∶l2＝2∶3，則兩繩受到的拉力之比F1∶F2等于()

A．1∶1

B．2∶3

C．3∶2

D．4∶9

解析：系統最終將處于平衡狀態，兩個輕質小環P、Q分別受到兩個力作用，一是框架對它們的支持力，垂直AC、BC邊向外，二是細繩拉力，這兩個力是平衡力．根據等腰三角形知識可知兩細繩與水平方向的夾角相等，對結點O受力分析，其水平方向的合力為零，可得出兩細繩受到的拉力相等，即F1∶F2等于1∶1，本題選A.注意題目中提到的“輕質小環”可以不計重力，繩子的長短并不能代表力的大小，要與力的平行四邊形定則中的邊長區別開來，力的平行四邊形定則中邊長的長與短代表著力的大小．

答案：A

3.一光滑圓環固定在豎直平面內,圓環上套著兩個小球A和B(中央有孔),A、B間由細繩連接著,它們處于如圖所示位置時恰好都保持靜止狀態.此情況下,B球與環中心O處于同一水平面上,A、B間的細繩呈伸直狀態,與水平線成30○夾角.已知B球的質量為3kg,求細繩對B球的拉力和A球的質量取10

m/s.【解析】

對B球,受力分析如圖,B球處于平衡狀態有T

解得10

N=60

N

對A球,受力分析如圖,物體A處于平衡狀態,有在水平方向:T′,T′=T

在豎直方向:

由上兩式解得

kg.【答案】

N

kg

4.如圖所示，物體A、B用細繩連接后跨過定滑輪．A靜止在傾角為30°的斜面上，B被懸掛著．已知質量mA＝2mB，不計滑輪摩擦，現將斜面傾角由30°增大到50°，但物體仍保持靜止，那么下列說法中正確的是()

A．繩子的張力將增大

B．物體A對斜面的壓力將減小

C．物體A受到的靜摩擦力將先增大后減小

D．滑輪受到的繩的作用力不變

解析：由于B物體的質量保持不變，且B物體靜止，所以繩的張力保持不變，A項錯誤；以A物體為研究對象，在垂直于斜面的方向上有mAgcos

θ＝N，沿斜面方向有2mBgsin

θ－mBg＝f，當斜面的傾角為30°時，摩擦力恰好為0，當斜面的傾角增大時，支持力減小，靜摩擦力增大，B項正確，C項錯誤；在斜面傾角增大的過程中，繩子的張力不變，但是夾角減小，所以合力增大，因此D項錯誤．

答案：B

5如圖所示,墻上有兩個釘子a和b,它們的連線與水平方向的夾角為45,兩者的高度差為l.一條不可伸長的輕質細繩一端固定于a點,另一端跨過光滑釘子b懸掛一質量為的重物.在繩子距a端的c點有一固定繩圈.若繩圈上懸掛質量為的鉤碼,平衡后繩的ac段正好水平,則重物和鉤碼的質量比為（）

A.B.2

C.D.【解析】

掛上鉤碼平衡后,繩的bc段與豎直方向成的角度.繩圈受力如圖所示,cos又cos.聯立以上兩式解得:.故C正確.【答案】

C

6.(2010·山西省實驗中學模擬)如圖所示，A、B兩物體的質量分別為mA、mB，且mA>mB，整個系統處于靜止狀態，滑輪的質量和一切摩擦均不計，如果繩一端由Q點緩慢地向左移到P點，整個系統重新平衡后，物體A的高度和兩滑輪間繩與水平方向的夾角θ變化情況是()

A．物體A的高度升高，θ角變大

B．物體A的高度降低，θ角變小

C．物體A的高度升高，θ角不變

D．物體A的高度不變，θ角變小

解析：最終平衡時，繩的拉力F大小仍為mAg，由二力平衡可得2Fsin

θ＝mBg，故θ角不變，但因懸點由Q到P，左側部分繩子變長，故A應升高，所以C正確．

答案：C

題型2：整體法與隔離法

以題說法

(1)研究對象的選擇方法：整體法與隔離法

(2)整體法與隔離法的比較

整體法

隔離法

概念

將加速度相同的幾個物體作為一個整體來分析的方法

將研究對象與周圍物體分隔開的方法

選用原則

研究系統外的物體對系統整體的作用力或系統整體的加速度

研究系統內物體之間的相互作用力

注意問題

受力分析時不要再考慮系統內物體間的相互作用

一般隔離受力較少的物體

7.如圖所示，質量為m的正方體和質量為M的正方體放在兩豎直墻和水平面間，處于靜止狀態．m與M相接觸邊與豎直方向的夾角為α，若不計一切摩擦，求：

(1)水平面對正方體M的彈力大小；

(2)墻面對正方體m的彈力大小．

解析：(1)以兩個正方體整體為研究對象整體豎直方向上受到向上的支持力和向下的重力，處于靜止狀態，所以水平面對正方體M的彈力大小為(M＋m)g

(2)對正方體m進行受力分析如圖所示，把FN2沿水平方向和豎直方向分解有

解得

.答案：(1)(M＋m)g(2)mgcot

α

試求墻面對M的彈力的大小．

解析：取M和m為一整體，受力分析如圖其中為墻對M的彈力．

由物體的平衡條件可得

.答案：mgcot

α

8.如圖所示，水平橫桿上套有兩個質量均為m的鐵環，在鐵環上系有等長的細繩，共同拴著質量為M的小球．兩鐵環與小球均保持靜止，現使兩鐵環間距離增大少許，系統仍保持靜止，則水平橫桿對鐵環的支持力N和摩擦力f將()

A．N增大

B．f增大

C．N減小

D．f減小

解析：本題考查受力分析及整體法和隔離體法．以兩環和小球整體為研究對象，在豎直方向始終有N＝Mg＋2mg不變，選項C對A錯；設繩子與水平橫桿間的夾角為θ，設繩子拉力為T，以小球為研究對象，豎直方向有，2Tsin

θ＝Mg，以小環為研究對象，水平方向有，f＝Tcos

θ，由以上兩式聯立解得f＝Mgcot

θ，當兩環間距離增大時，θ角變小，則f增大，選項B對D錯．

答案：B

9.(2010·阜陽期中)如圖所示，物體m通過定滑輪牽引另一水平面上的物體沿斜面勻速下滑，此過程中斜面仍靜止，斜面質量為M，則水平地面對斜面體()

A．無摩擦力

B．有水平向左的摩擦力

C．支持力為(M＋m)g

D．支持力小于(M＋m)g

解析：設斜面夾角為θ，對M、m整體分析受力可得平衡方程：

Tcosθ＝F靜，Tsinθ＋N＝(M＋m)g，F靜的方向應向右，故只有D正確．

答案：D

10.如圖所示，用繩OA、OB和OC吊著重物P處于靜止狀態，其中繩OA水平，繩OB與水平方向成θ角．現用水平向右的力F緩慢地將重物P拉起，用FA和FB分別表示繩OA和繩OB的張力，則()

A．FA、FB、F均增大

B．FA增大，FB不變，F增大

C．FA不變，FB減小，F增大

D．FA增大，FB減小，F減小

解析：把OA、OB和OC三根繩和重物P看作一個整體，整體受到重力mg，A點的拉力FA，方向沿著OA繩水平向左，B點的拉力FB，方向沿著OB繩斜向右上方，水平向右的拉力F而處于平衡狀態，有：FA＝F＋FBcos

θ，FBsin

θ＝mg，因為θ不變，所以FB不變．再以O點進行研究，O點受到OA繩的拉力，方向不變，沿著OA繩水平向左，OB繩的拉力，大小和方向都不變，OC繩的拉力，大小和方向都可以變化，O點處于平衡狀態，因此這三個力構成一個封閉的矢量三角形(如圖)，剛開始FC由豎直方向逆時針旋轉到圖中的虛線位置，因此FA和FC同時增大，又FA＝F＋FBcos

θ，FB不變，所以F增大，所以B正確．

答案：B

11.如圖所示，光滑水平地面上放有截面為圓周的柱狀物體A，A與墻面之間放一光滑的圓柱形物體B，對A施加一水平向左的力F，整個裝置保持靜止．若將A的位置向左移動稍許，整個裝置仍保持平衡，則()

A．水平外力F增大

B．墻對B的作用力增大

C．地面對A的支持力減小

D．B對A的作用力減小

解析：受力分析如圖所示，A的位置左移，θ角減小，N1＝Gtan

θ，N1減小，B項錯誤；N＝G/cos

θ，N減小，D項正確；以AB為一個整體受力分析，N1＝F，所以水平外力減小，A項錯誤；地面對A的作用力等于兩個物體的重力，所以該力不變，C項錯誤．本題難度中等．

答案：

D

12.如圖所示，質量M＝2

kg的木塊套在水平桿上，并用輕繩與質量m＝

kg的小球相連．今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝10

N拉著球帶動木塊一起向右勻速運動，運動中M、m的相對位置保持不變，g＝10

m/s2，求運動過程中輕繩與水平方向的夾角θ及木塊M與水平桿間的動摩擦因數．

解析：以M、m整體為研究對象．由平衡條件得：

水平方向：Fcos

30°－μN

＝0

①

豎直方向：N＋Fsin

30°－Mg－mg

＝0

②

由①②得：μ＝

以m為研究對象，由平衡條件得Fcos

30°－FTcos

θ

＝0

③

Fsin

30°＋FTsin

θ－mg

＝0

④

由③④得：θ＝30°

答案：30°

題型3：用圖解法分析動態問題

“動態平衡”是指平衡問題中的一部分力是變力，是動態力，力的大小和方向均要發生變化，所以叫動態平衡，這是力平衡問題中的一類難題．解決這類問題的一般思路是：把“動”化為“靜”，“靜”中求“動”．

13.如圖所示，用一根長為l的細繩一端固定在O點，另一端懸掛質

量為m的小球A，為使細繩與豎直方向夾30°角且繃緊，小球A處于靜止，對小球施加的最小的力是

()

A.mg　　　　　　　　B.mg

C.mg　　　　　　　　D.mg

解析：將mg在沿繩方向與垂直于繩方向分解，如圖所示．

所以施加的力與F1等大反向即可使小球靜止，故Fmin＝mgsin30°＝mg，故選C.答案：C

14．如圖所示是用來粉刷墻壁的涂料滾的示意圖．使用時，用撐竿推著涂料滾沿墻壁上下滾動，把涂料均勻地

粉刷到墻壁上．撐竿的重量和墻壁的摩擦均不計，而且撐竿足夠長．粉刷工人站在離墻壁某一距離處緩緩上推涂料滾，使撐竿與墻壁間的夾角越來越小．該過程中撐竿對涂料滾的推力為F1，墻壁對涂料滾的支持力為F2，下列說法正確的是

()

A．F1、F2均減小

B.F1、F2均增大

C．F1減小，F2增大

D．F1增大，F2減小

解析：在緩緩上推過程中涂料滾受力如圖所示．

由平衡條件可知：

F1sinθ－F2＝0

F1cosθ－G＝0

解得F1＝

F2＝Gtanθ

由于θ減小，所以F1減小，F2減小，故正確答案為A.答案：A

題型4：利用三角形相似求解平衡問題

15.一輕桿BO，其O端用光滑鉸鏈固定在豎直輕桿AO上，B端掛一重物，且系一細繩，細繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力F拉住，如圖2－4－4所示．現將細繩緩慢往左拉，使桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減小，則在此過程中，拉力F及桿BO所受壓力N的大小變化情況是()

A．N先減小，后增大

B．N始終不變

C．F先減小，后增大

D．F始終不變

解析：取BO桿的B端為研究對象，受到繩子拉力(大小為F)、BO桿的支持力N和懸掛重物的繩子的拉力(大小為G)的作用，將N與G合成，其合力與F等值反向，如圖所示，得到一個力的三角形(如圖中畫斜線部分)，此力的三角形與幾何三角形OBA相似，可利用相似三角形對應邊成比例來解．

如圖所示，力的三角形與幾何三角形OBA相似，設AO高為H，BO長為L，繩長為l，則由對應邊成比例可得，N＝

G，F＝

G

式中G、H、L均不變，l逐漸變小，所以可知N不變，F逐漸變小．

答案：B

16.如圖所示，兩球A、B用勁度系數為k1的輕彈簧相連，球B用長為L的細繩懸于O點，球A固定在O點正下方，且點O、A之間的距離恰為L，系統平衡時繩子所受的拉力為F1.現把A、B間的彈簧換成勁度系數為k2的輕彈簧，仍使系統平衡，此時繩子所受的拉力為F2，則F1與F2的大小之間的關系為()

A．F1>F2

B．F1＝F2

C．F1

D．無法確定

解析：兩球間放勁度系數為k1的彈簧靜止時，小球B受力如右圖所示，彈簧的彈力F與小球的重力G的合力與繩的拉力F1等大反向，根據力的三角形與幾何三角形相似得，由于OA、OB均恒為L，因此F1大小恒定，與彈簧的勁度系數無關，因此換用勁度系數為k2的彈簧后繩的拉力F2＝F1，B正確．

答案：B

17.表面光滑、半徑為R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′處有一無摩擦的定滑輪，輕質細繩兩端各系一個小球掛在定滑輪上，如圖2－4－11所示，兩小球平衡時，若滑輪兩側細繩的長度分別為L1＝2.4R和L2＝2.5R，則這兩個小球的質量之比m1∶m2為(不計球的大小)()

A．24∶1

B．25∶1

C．24∶25

D．25∶24

解析：對小球2進行受力分析，如右圖所示，顯然△O′OP與△PBQ相似．

設OO′＝H，OP＝R，O′P＝L2，由相似三角形的性質有m2g/H＝N/R＝F2/L2，則m2＝F2H/(gL2)，同理可得m1＝F1H/(gL1)

而F1＝F2，于是m1/m2＝L2/L1＝25∶24.答案：D

題型5：正交分解法

18.如圖所示，輕質光滑滑輪兩側用細繩連著兩個物體A與B，物體B放在水平地面上，A、B均靜止．已知A和B的質量分別為mA、mB，繩與水平方向的夾角為θ，則

()

A．物體B受到的摩擦力可能為0

B．物體B受到的摩擦力為mAgsinθ

C．物體B對地面的壓力可能為0

D．物體B對地面的壓力為mBg－mAgsinθ

解析：對B受力分析如右圖所示，則

水平方向上：f＝T·cosθ

由于T＝mAg

所以f＝mAgcosθ，故A、B錯；

豎直方向上：NB＋Tsinθ＝mBg

所以NB＝mBg－Tsinθ＝mBg－mAgsinθ，故C錯D對．

答案：D

19.如圖所示,跨過定滑輪的輕繩兩端分別系著物體A和B,物體A放在傾角為的斜面上.已知物體A的質量為m,物體A與斜面間的動摩擦因數為

tan取最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,滑輪的摩擦不計,要使物體A靜止在斜面上,求物體B的質量的取值范圍.

【解析】

對B受力分析,繩中拉力;

(2分)

當取最大值時,物體具有沿斜面向下的最大靜摩擦力;

(2分)

對A受力分析并正交分解得:

N-mgcos;-mgsin;

(3分)

聯立以上各式,解得:sincos

(2分)

當取最小值時,物體具有沿斜面向上的最大靜摩擦力;

(2分)

對A受力分析并正交分解得:

N-mgcos;

-mgsin;

(3分)

聯立以上各式,解得sincos

(2分)

所以的范圍是:

m(sincossincos.(2分)

【答案】

m(sincossincos

題型4：平衡物體中的臨界與極值問題

臨界問題

某種物理現象變化為另一種物理現象或物體從某種特性變化為另一種特性時，發生質的飛躍的轉折狀態為臨界狀態，臨界狀態也可理解為“恰好出現”或“恰好不出現”某種現象的狀態，平衡物體的臨界狀態是指物體所處平衡狀態將要變化的狀態，涉及臨界狀態的問題叫臨界問題，解決這類問題一定要注意“恰好出現”或“恰好不出現”的條件．

20.如圖所示，一球A夾在豎直墻與三角劈B的斜面之間，三角形劈的重力為G，劈的底部與水平地面間的動摩擦因數為μ，劈的斜面與豎直墻面是光滑的，問欲使三角劈靜止不動，球的重力不能超過多大？(設劈的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)

解析：本題兩物體均處于靜止狀態，故需分析好受力圖示，列出平衡方程求解．

用正交分解法，對球和三角劈分別進行受力分析，如圖甲、乙所示．

由于三角劈靜止，故其受地面的靜摩擦力．

F≤Fmax＝μNB.由平衡條件有：

對球有：GA＝Ncos

45°①

NA＝Nsin

45°②

對三角劈有　NB＝G＋N′sin

45°③

F＝N′cos

45°④

F≤μNB，⑤

∵N＝N′⑥

由①～⑥式解得：GA≤G.答案：球的重力不得超過

G

以題說法

處理平衡物理中的臨界問題和極值問題，首先仍要正確受力分析，搞清臨界條件并且要利用好臨界條件，列出平衡方程，對于分析極值問題，要善于選擇物理方法和數學方法，做到數理的巧妙結合．

21.如圖所示，兩個質量均為m的小環套在一水平放置的粗糙長桿上，兩根長度均為l的輕繩一端系在小環上，另一端系在質量為M的木塊上，兩個小環之間的距離也為l，小環保持靜止．試求：

(1)小環對桿的壓力；

(2)小環與桿之間的動摩擦因數μ至少為多大？

解析：(1)整體法分析有：2N＝(M＋2m)g，即N＝

Mg＋mg

由牛頓第三定律得：小環對桿的壓力N′＝

Mg＋mg.(2)研究M得2Tcos

30°＝Mg

臨界狀態，此時小環受到的靜摩擦力達到最大值，則有Tsin

30°＝μN′

解得：動摩擦因數μ至少為μ＝

答案：(1)

Mg＋mg(2)

22.如圖所示，一根彈性細繩原長為l，勁度系數為k，將其一端穿過一個光滑小孔O(其在水平地面上的投影點為O′)，系在一個質量為m的滑塊A上，A放在水平地面上．小孔O離繩固定端的豎直距離為l，離水平地面高度為h(h

(1)當滑塊與O′點距離為r時，彈性細繩對滑塊A的拉力為多大？

(2)滑塊處于怎樣的區域內時可以保持靜止狀態？

解析：(1)當滑塊與O′點的距離為r時，彈性細繩的伸長量為Δx＝

.由胡克定律知，彈性繩的拉力F＝kΔx＝k

(2)設OA與水平面的夾角為α，分析物體受力如圖所示，由平衡條件得：

N＋Fsin

α＝mg

Fcos

α＝f.而F＝k，fm＝μN

所以有：k·cos

α＝f≤fm＝μ(mg－Fsin

α)＝μ(mg－kh)

其中cos

α＝r，故r≤

答案：(1)k

(2)以O′為圓心，以為半徑的圓內的任何位置