2020屆市一中一診考試

理科數學

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1.已知集合，則

（A）

（B）

（C）

（D）

2.設為虛數單位，若復數滿足，則的共軛復數為

（A）

（B）

（C）

（D）

3.若等邊的邊長為4，則

（A）

（B）

（C）

（D）

4.在的展開式中的系數為

（A）

（B）

（C）

（D）

5.若等比數列滿足：，則該數列的公比為

（A）

（B）

（C）

（D）

6.若實數滿足，則

（A）

（B）

（C）（D）

7.在正四棱柱中，點分別為棱上兩點，且，則

（A），且直線異面

（B），且直線相交

（C），且直線異面

（D），且直線相交

8.設函數，若在點的切線與軸平行，且在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

9.國際羽毛球比賽規則從2006年5月開始，正式決定實行21分的比賽規則和每球得分制，并且每次得分者發球，所有單項的每局獲勝分至少是21分，最高不超過30分，即先到21

分的獲勝一方贏得該局比賽，如果雙方比分為20：20時，獲勝的一方需超過對方2分才算取勝，直至雙方比分打成29：29時，那么先到第30分的一方獲勝.在一局比賽中，甲發球贏球的概率為，甲接發球贏球的概率為，則在比分為20：20，且甲發球的情況下，甲以23：21贏下比賽的概率為

（A）

（B）

（C）

（D）

10.函數的圖象大致為

（A）

（B）

（C）

（D）

11.設圓C：，若等邊的一邊為圓的一條弦，則線段長度的最大值為

（A）

（B）

（C）

（D）

12.設函數，下述四個結論：

是偶函數；的最小正周期為；的最小值為；

在上有3個零點.其中所有正確結論的編號是

（A）（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．

13.若等差數列滿足：，則

．

14.今年由于豬肉漲價太多，更多市民選擇購買雞肉、鴨肉、魚肉等其它肉類.某天在市場中隨機抽出100名市民調查，其中不買豬肉的人有30位，買了肉的人有90位，買豬肉且買其它肉的人共30位，則這一天該市只買豬肉的人數與全市人數的比值的估計值為

．

15.已知雙曲線的左，右焦點分別為，過的直線分別與兩條漸進線交于兩點，若，則

．

16.若函數恰有2個零點，則實數的取值范圍是

．

三、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17.（12分）某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按元/次收費,并注冊成為會員,對會員逐次消費給予相應優惠，標準如下：

消費次第第次

第次

第次

第次

次

收費比率

該公司注冊的會員中沒有消費超過5次的，從注冊的會員中,隨機抽取了位進行統計,得到統計數據如下:

消費次數

次

次

次

次

次

人數

假設汽車美容一次,公司成本為元,根據所給數據,解答下列問題:

（Ⅰ）某會員僅消費兩次,求這兩次消費中,公司獲得的平均利潤；

（Ⅱ）以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率,設該公司為一位會員服務的平均利潤為元,求的分布列和數學期望.18.（12分）的內角的對邊分別為，設．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若的周長為8，求的面積的取值范圍.19.（12分）如圖，在四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，且，.（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.20.（12分）設橢圓，過點的直線分別交于不同的兩點，直線恒過點．

（Ⅰ）證明：直線的斜率之和為定值；

（Ⅱ）直線分別與軸相交于兩點,在軸上是否存在定點,使得為定值？若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由．

21.（12分）設函數，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．

22．（10分）【選修4-4：坐標系與參數方程】

在直角坐標系中，直線（為參數）與曲線（為參數）相交于不同的兩點．

（Ⅰ）當時,求直線與曲線的普通方程；

（Ⅱ）若,其中,求直線的傾斜角．

23．（10分）【選修4-5：不等式選講】

已知函數.（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）當時，不等式成立，證明：.