科目：數(shù)學(xué)

期末復(fù)習(xí)大禮包

模塊一：圓

一．垂徑定理

1.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧。

注意：①條件中的“弦”可以是直徑；

②結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對(duì)的劣弧、優(yōu)弧。

2.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，且平分弦所對(duì)的弧．

垂徑定理的實(shí)質(zhì)可以理解為：

（1）直徑；

（2）垂直于弦；

（3）平分弦；

知二得三

（4）平分弦所對(duì)的劣弧；

（5）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧．

二．

圓周角定理

1.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半

2.直徑所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑；

三．圓的內(nèi)接四邊形及性質(zhì)

1.在圓內(nèi)，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形；

2.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；

3.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）

4.三角形外接圓的圓心是三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，直角三角形外接圓圓心在斜邊的中點(diǎn)；

5.三角形的內(nèi)切圓的圓心是三條角平分線的交點(diǎn)

四．與圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

若的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，那么：

（1）點(diǎn)在圓內(nèi)：

（2）點(diǎn)在圓上：

（3）點(diǎn)在圓外：

判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系通過點(diǎn)到圓心的距離與半徑去進(jìn)行比較

2.直線與圓的位置關(guān)系的判定

如果的半徑為，圓心到直線的距離為，那么

直線與相交

直線與相切

直線與相離

判斷直線與圓的位置關(guān)系通過圓心到直線的距離與半徑去進(jìn)行比較

3.切線的性質(zhì):

(1)

切線與圓有惟一的公共點(diǎn)；

(2)圓心到切線的距離等于半徑；

(3)切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.4.切線長定理

1.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.五．與圓相關(guān)的計(jì)算

1.弧長計(jì)算公式：

2．扇形面積計(jì)算公式：

3.圓錐與側(cè)面展開扇形的關(guān)系：、扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線，弧長是圓錐底面圓的周長，圓錐體側(cè)面積公式：．

實(shí)戰(zhàn)演習(xí)：

1.如圖，⊙沿凸多邊形的外側(cè)（圓與邊相切）作無滑動(dòng)的滾動(dòng)．假設(shè)⊙的周長是凸多邊形的周長的一半，那么當(dāng)⊙回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，它自身滾動(dòng)的圈數(shù)為（）

A．

B．

C．

D．

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心、為半徑的⊙上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_________.3.如圖，點(diǎn)在⊙上，半徑于點(diǎn)，，則圖中陰影部分的面積等于

．（結(jié)果保留）

4.如圖，為半圓的直徑，交圓于，為延長線上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，交半徑于，連．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）為定值．其中正確結(jié)論是

．

5.如圖，為⊙的直徑，點(diǎn)在⊙上，于，現(xiàn)將沿翻折得到，交⊙于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

（1）求證：與⊙相切；

（2）若，連接，求長．

6.如圖，正方形中，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接．

（1）求證：；

（2）若三點(diǎn)共線，連接，求線段的長．

（3）求線段長的最小值．

模塊二：相似

1.斜A型，斜X型

1）常見的斜型有如下三種情形，如下圖，已知，則由公共角得，∽；

斜型

斜型

有公共邊的斜型

斜型同一直線上的邊滿足公式：;（共直線的線段乘積相等）

有公共邊的斜A型：△ACD∽△ABC，則；

結(jié)論：，即公共邊的平方等于公共角鄰邊之積；

2）常見的斜型如下：已知，則由對(duì)頂角得，∽，．

2.射影定理：

在有公共邊斜A型中，當(dāng)CD⊥AB時(shí)：△ACD∽△ABC∽△CBD

則：；；．

口訣：

“柱子的平方等于影子的乘積”

3.一線三等角相似模型：

∽

∽

∽

（等角為銳角）

（等角為直角）

（等角為鈍角）

一條直線上有3個(gè)相等的角，其中兩個(gè)角有公共邊且另一角的頂點(diǎn)落在公共邊上．

實(shí)戰(zhàn)演習(xí)：

1.如圖，中，于，于，連接，若，則的長為（）

A．

B．

C．

D．

2.如圖，在正方形中，是對(duì)角線與的交點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），與交于點(diǎn)，連接．下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，則的最小值是，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．

B．

C．

D．

3.如圖，在中，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上，已知，則正方形的邊長等于

．

4.如圖，在矩形中，為邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：

①；

②；

③；

④點(diǎn)為的外心．

其中正確的有____________

5.如圖，正方形的邊長為，對(duì)角線相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長為

．

6.如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，若（），那么的大小是____________

7.如圖，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和的最小值為_____________

8.如圖，中，是邊上的點(diǎn)，在邊上，交于，則___________.9.如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．

（1）求證：∽；

（2）若，求的長．

10.【圖形定義】

用一條直線去截一個(gè)多邊形，如果截得的一個(gè)圖形與原多邊形相似，那么稱這條直線是這個(gè)多邊形的特征線．

【概念理解】

如圖1，在中，過點(diǎn)作一條直線交于點(diǎn)，若直線是的特征線，求的度數(shù)；

【問題探究】

如圖2，在矩形中，是對(duì)角線，作，垂足為，的延長線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，垂足為，則直線是矩形的特征線嗎？請(qǐng)說明你的理由．

11.如圖，中，為斜邊上的高，為邊上一點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作交于，連接交于點(diǎn)．

（1）求證：∽；

（2）若，試用含的式子表示；

（3）在（2）的條件下，若為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出的長．

12.已知，如圖，是⊙的直徑，是弦，是弧的中點(diǎn)，連接并延長與的延長線相交于點(diǎn)，垂足為，交與點(diǎn)，垂足為，．

求（1）和的長；（2）的值．

13.如圖，等腰內(nèi)接于⊙，弦平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線分別交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，求的值．

14.如圖，已知是⊙的直徑，是⊙上一點(diǎn)，的平分線交⊙于點(diǎn)，交⊙的切線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．

（1）求證：是⊙的切線；

（2）若，求的值．

15.如圖，是⊙的直徑，平分，交⊙于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線，垂足為，為半徑上一點(diǎn)，點(diǎn)分別在矩形的邊和上．

（1）求證：直線是⊙的切線；

（2）若，求的值．

16.如圖，在中，以為直徑的⊙交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）若，求弧的長；

（2）判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）求證：．

17.如圖1，以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交軸于兩點(diǎn)，交軸于兩點(diǎn)，點(diǎn)為弧上的一動(dòng)點(diǎn)，延長交軸于點(diǎn)；連接，交于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長；

（2）求的值；

（3）如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問的值是否保持不變；若不變，試證明，求出它的值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．

18.如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，是⊙的直徑，和相交于點(diǎn)，且．

（1）求證：；

（2）分別延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，若，求的長．

模塊三：反比例函數(shù)

1．反比例函數(shù)定義：一般地，形如（k是常數(shù)，且）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)．

2．解析式：，變形：，；

3．圖象：，圖象在第一、第三象限；，圖象在第二、第四象限；

4．增減性：，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；

5．對(duì)稱性：函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．

1.如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，在軸上，若四邊形為平行四邊形，則它的面積為（）

A．

B．

C．

D．

2.如圖，已知點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，作射線，再將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

．

3.已知直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)（）的圖象交于兩點(diǎn)，若，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

4.如圖，等腰三角形的底邊在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限，延長交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，雙曲線（）的圖象過點(diǎn)．若的面積為，則的值為_________

5.正方形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)分別在軸、軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形，頂點(diǎn)在反比函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)在軸的正半軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.模塊四：銳角三角函數(shù)

1．直角三角形中：

角的關(guān)系：兩個(gè)銳角互余

邊的關(guān)系：

角與邊的關(guān)系：三角函數(shù)

2.三角函數(shù)的定義：

對(duì)邊

鄰邊

正弦(對(duì)/斜)

余弦(鄰/斜)

正切(對(duì)/鄰)

注：

①是的縮寫，是的縮寫，是的縮寫；

②一個(gè)角的三角函數(shù)是一個(gè)比值，沒有單位；

③三角函數(shù)值是一個(gè)角內(nèi)在的屬性，和角在什么地方無關(guān)；只是在直角三角形中，這個(gè)角的三角函數(shù)值得到外顯；

④，都是一個(gè)完整的符號(hào)，單獨(dú)的“”沒有意義．其中前面的“”一般省略不寫．

1.如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，沿旗桿正前方米處的點(diǎn)出發(fā)，沿斜面坡度的斜坡前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)處安置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂部的仰角為，量得儀器的高為米．已知在同一平面內(nèi)，．求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：．計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

2.臺(tái)風(fēng)是形成于熱帶海洋上的強(qiáng)大而深厚的熱帶氣旋，主要發(fā)生在至月，我市也是遭受臺(tái)風(fēng)自然災(zāi)害較為頻繁的地區(qū)．山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，一場(chǎng)臺(tái)風(fēng)過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面（如圖所示）．已知山坡的坡角，量得樹干傾斜角，大樹被折斷部分和坡面所成的角，．

（1）求的度數(shù)；

（2）求這棵大樹折點(diǎn)到坡面的距離．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：）

模塊五：二次函數(shù)

1.對(duì)于拋物線，系數(shù)a、b、c的影響:

(1)對(duì)稱軸：左同右異。a、b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；a、b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).(2)

拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)：，圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；，圖象與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；，圖象與x軸沒有交點(diǎn).a、c異號(hào)，拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn),且分別在y軸的兩側(cè)。

2．平移規(guī)律：“上+下，左+右”．

3.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換

二次函數(shù)圖象對(duì)稱一般有三種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

1．關(guān)于軸對(duì)稱

關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；

關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；

2．關(guān)于軸對(duì)稱

關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；

關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；

3．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是．

4.二次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系

1．二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程的根．

①當(dāng)時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)，其中的,是一元二次方程的兩根；

②當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn)；

2．直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解；

①利用數(shù)形結(jié)合判斷方程解的個(gè)數(shù)；

②利用聯(lián)立方程求解交點(diǎn)坐標(biāo)；

3．直線、拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是方程的解．

5.二次函數(shù)與幾何綜合1．三角形面積：

；圖中PE為鉛垂高，OB為水平寬；

2．求面積相等或成倍分關(guān)系：

相等：做雙軌平行線，注意共有兩條平行線；

倍分關(guān)系：根據(jù)截距找對(duì)應(yīng)的平行線和交點(diǎn)，一般為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)；

實(shí)戰(zhàn)演習(xí)：

1.已知拋物線具有如下性質(zhì)：該拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到軸的距離始終相等，如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

2.若拋物線與直線的兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，則代數(shù)式的值為

3.平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線為常數(shù)．

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；

（2）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且，求的取值范圍；

（3）若將拋物線向右平移個(gè)單位長度得到新拋物線，當(dāng)時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值，求的值．

4.已知，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線，為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸點(diǎn)的上方，且．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求證：直線是外接圓的切線；

（3）在直線上方的拋物線上找一點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

5.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．點(diǎn)在函數(shù)圖象上，軸，且，直線是拋物線的對(duì)稱軸，是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）如圖①，連接，線段上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在線段上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作軸的垂線分別與交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)．試問：拋物線上是否存在點(diǎn)，使得與的面積相等，且線段的長度最小？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將該拋物線位于軸上方曲線記作，將該拋物線位于軸下方部分沿軸翻折，翻折后所得曲線記作，曲線交軸于點(diǎn)C，連接．

（1）求曲線所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求外接圓的半徑；

（3）點(diǎn)為曲線或曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

7.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）連接，在（2）的結(jié)論下，求與的數(shù)量關(guān)系．

8.如圖1，四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）當(dāng)與相似時(shí)，求的值；

（3）當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出所有滿足條件的的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．