第三章
函數
反比例函數與一次函數結合鞏固集訓
(建議時間：40分鐘)
1.(2019太原一模)如圖，平面直角坐標系中，反比例函數y＝的圖象與一次函數y＝－x－2的圖象交于A(－6，m)，B(n，－3)兩點，點C與點B關于原點對稱，過點C作x軸的垂線交直線AB于點D，連接AC.(1)求反比例函數y＝的表達式及點C的坐標；
(2)求△ACD的面積．
第1題圖
2.如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝kx＋b(k≠0)與x軸相交于點A(2，0)，與y軸相交于點B，且OA＝2OB，直線AB與反比例函數y＝(m≠0)的圖象交于C，D兩點，點D的縱坐標為2，連接OC、OD.(1)求直線AB和反比例函數的表達式；
(2)求△COD的面積；
(3)觀察圖象，直接寫出kx＋b－>0的解集．
第2題圖
3.(2019貴陽)如圖，已知一次函數y＝－2x＋8的圖象與坐標軸交于A，B兩點，并與反比例函數y＝的圖象相切于點C.(1)切點C的坐標是________；
(2)若點M為線段BC的中點，將一次函數y＝－2x＋8的圖象向左平移m(m＞0)
個單位后，點C和點M平移后的對應點同時落在另一個反比例函數y＝的圖象上時，求k的值．
第3題圖
4.如圖，一次函數y＝－x－1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，與反比例函數y＝的圖象的一個交點為M(－2，m)．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)若點P是反比例函數y＝圖象上的點，且S△BOP＝4S△AOB，求點P的坐標．
第4題圖
5.(2019內江)如圖，一次函數y＝mx＋n(m≠0)的圖象與反比例函數y＝(k≠0)的圖象交于第二、四象限內的點A(a，4)和點B(8，b)．過點A作x軸的垂線，垂足為點C，△AOC的面積為4.(1)分別求出a和b的值；
(2)結合圖象直接寫出mx＋n<的解集；
(3)在x軸上取點P，使PA－PB取得最大值時，求出點P的坐標．
第5題圖
6.(2019泰安)已知一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數y＝的圖象交于點A，與x軸交于點B(5，0)，若OB＝AB，且S△OAB＝.(1)求反比例函數與一次函數的表達式；
(2)若點P為x軸上一點，△ABP是等腰三角形，求點P的坐標．
第6題圖
參考答案
反比例函數與一次函數結合鞏固集訓
1.解：(1)將B(n，－3)代入y＝－x－2，得－3＝－n－2，解得n＝2，∴點B的坐標為(2，－3)．
將B(2，－3)代入y＝，得－3＝，解得k＝－6.∴反比例函數y＝的表達式為y＝－.∵點C與點B關于原點對稱，∴C(－2，3)；
(2)將A(－6，m)代入y＝－x－2，得m＝－×(－6)－2＝1.∴A(－6，1)．
∵CD⊥x軸，點C的坐標為(－2，3)，∴點D的橫坐標為－2，將x＝－2代入y＝－x－2，得y＝－1，∴D(－2，－1)．
∴CD＝3－(－1)＝4.如解圖，過點A作AE⊥CD于點E，則AE＝－2－(－6)＝4，∴S△ACD＝CD·AE＝×4×4＝8.第1題解圖
2.解：(1)∵A(2，0)，∴OA＝2.∵OA＝2OB，∴OB＝1.∴B(0，1)．
將A(2，0)，B(0，1)代入y＝kx＋b得，解得
∴直線AB的表達式為y＝－x＋1.將yD＝2代入一次函數的表達式中，得xD＝－2，∴點D的坐標為(－2，2)．
將點D的坐標代入y＝中，得m＝－4，∴反比例函數的表達式為y＝－；
(2)聯立得，或
∴點C的坐標為(4，－1)，∴S△COD＝S△COB＋S△BOD
＝OB·|xC|＋OB·|xD|
＝OB·(|xC|＋|xD|)
＝×1×(4＋2)＝3；
(3)x<－2或0 【解法提示】聯立解得∴C(2，4)． (2)令y＝0，得－2x＋8＝0，解得x＝4，∴B(4，0)，∵M是BC的中點，∴M(3，2)，將一次函數y＝－2x＋8的圖象向左平移m(m>0)個單位，點C和點M平移后的對應點坐標分別為(2－m，4)和(3－m，2)，∵(2－m，4)和(3－m，2)兩點同時落在y＝的圖象上，∴解得 ∴k＝4.4.解：(1)∵M(－2，m)在一次函數y＝－x－1的圖象上，∴m＝－(－2)－1＝1.∴M(－2，1)． 又∵M(－2，1)在反比例函數y＝的圖象上，∴k＝－2×1＝－2.∴反比例函數的表達式是y＝－； (2)在一次函數y＝－x－1中，當x＝0時，y＝－1； 當y＝0時，0＝－x－1，解得x＝－1.∴A(－1，0)，B(0，－1)，即OA＝OB＝1.∴S△AOB＝OA·OB＝.∴S△BOP＝4S△AOB＝2.∵S△BOP＝OB·|xP|＝2，解得|xP|＝4，即點P的橫坐標為±4.把x＝4代入y＝－中，解得 y＝－.把x＝－4代入y＝－中，解得 y＝.∴點P的坐標是(4，－)或(－4，)． 5.解：(1)由第二象限的點A(a，4)及△AOC的面積為4，易得a＝－2.又∵A(－2，4)在反比例函數y＝的圖象上，∴k＝－8，∴反比例函數的解析式為y＝－，又∵B(8，b)在反比例函數y＝－的圖象上，∴b＝－1； (2)－2＜x＜0或x＞8； (3)作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B并延長交y軸于點P，此時|PA－PB|取得最大值，∵A(－2，4)，∴A′(－2，－4)，B(8，－1)，設直線A′B的表達式為y＝cx＋d，將A′，B的坐標代入得 解得 ∴直線A′B的表達式為y＝x－，令y＝0得，得x＝，即點P的坐標為(，0)． 6.解：(1)如解圖，過點A作AD⊥x軸于點D，∵S△OAB＝，∴·OB·AD＝×5·AD＝.∴AD＝3.∵B(5，0)，∴AB＝OB＝5.在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，∴OD＝9.∴A(9，3)． 第6題解圖 ∵函數y＝的圖象經過點A，∴3＝，∴m＝27.∴反比例函數的表達式為y＝.∵函數y＝kx＋b的圖象經過點A，點B，∴解得 ∴一次函數的表達式為y＝x－； (2)本題分三種情況： ①當以AB為腰，且點B為頂角頂點時，可得點P的坐標為P1(0，0)，P2(10，0)； ②當以AB為腰，且以點A為頂角頂點時，點B關于AD的對稱點即為所求的點P3(13，0)； ③當以AB為底時，如解圖，作線段AB的中垂線交x軸于點P4，交AB于點E，則點P4即為所求． 由(1)得，C(0，－)，在Rt△OBC中，BC＝＝＝，∵cos∠ABP4＝cos∠OBC，∴＝，∴＝，∴BP4＝，∴OP4＝＋5＝.∴P4(，0)． 綜上所述，點P的坐標為(0，0)或(10，0)或(13，0)或(，0)．
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