最新推薦高考數學選擇題巧解專題

前言

例題與題組

一、數形結合畫出圖形或者圖象能夠使問題提供的信息更直觀地呈現，從而大大降低思維難度，是解決數學問題的有力策略，這種方法使用得非常之多。

【例題】、（07江蘇6）設函數定義在實數集上，它的圖象關于直線對稱，且當時，則有（）。

A、B、C、D．

【解析】、當時，的圖象關于直線對稱，則圖象如圖所示。

這個圖象是個示意圖，事實上，就算畫出的圖象代替它也可以。由圖知，符合要求的選項是B，【練習1】、若P（2，-1）為圓的弦AB的中點，則直線AB的方程是（）

A、B、C、D、（提示：畫出圓和過點P的直線，再看四條直線的斜率，即可知選A）

【練習2】、（07遼寧）已知變量、滿足約束條件，則的取值范圍是（）

A、B、C、D、（提示：把看作可行域內的點與原點所在直線的斜率，不難求得答案，選A。）

【練習3】、曲線

與直線有兩個公共點時，的取值范圍是（）

A、B、C、D、（提示：事實上不難看出，曲線方程的圖象為，表示以（1，0）為圓心，2為半徑的上半圓，如圖。直線過定點（2，4），那么斜率的范圍就清楚了，選D）]

【練習4】、函數在區間

A上是增函數，則區間A是（）

A、B、C、D、（提示：作出該函數的圖象如右，知應該選B）

【練習5】、曲線與直線

有兩個交點，則的取值范圍是（）

A、或

B、C、或

D、（提示：作出曲線的圖象如右，因為直線

與其有兩個交點，則或，選A）

【練習6】、（06湖南理8）設函數，集合，若，則實數的取值范圍是（）

A、B、C、D、（提示：數形結合，先畫出的圖象。當時，圖象如左；當時圖象如右。

由圖象知，當時函數在上遞增，同時的解集為的真子集，選C）

【練習7】、（06湖南理10）若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是（）

A、B、C、D、（提示：數形結合，先畫出圓的圖形。圓方程化為，由題意知，圓心到直線的距離應該滿足，在已知圓中畫一個半

徑為的同心圓，則過原點的直線與小圓有公共點，∴選B。）

【練習8】、（07浙江文10）若非零向量a，b滿足|a-b|=|

b

|，則（）

A、|2b|

＞

|

a-2b

|

B、|2b|

＜

|

a-2b

|

C、|2a|

＞

|

2a-b

|

D、|2a|

＜

|

2a-b

|

（提示：關鍵是要畫出向量a，b的關系圖，為此

先把條件進行等價轉換。|a-b|=|

b

||a-b|2=

|

b

|2

a2+b2-2a·b=

b2

a·（a-2b）=0

a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，|

a-2b

|，|2b|為邊長構成直角三角形，|2b|為斜邊，如上圖，∴|2b|

＞

|

a-2b

|，選A。

另外也可以這樣解：先構造等腰△OAB，使OB=AB，再構造R△OAC，如下圖，因為OC＞AC，所以選A。）

【練習9】、方程cosx=lgx的實根的個數是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

（提示：在同一坐標系中分別畫出函數cosx與lgx的圖象，如圖，由兩個函數圖象的交點的個數為3，知應選C）

【練習10】、(06江蘇7)若A、B、C為三個集合，則一定有（）

A、B、C、D、（提示：若，則

成立，排除C、D選項，作出Venn圖，可知A成立）

【練習11】、(07天津理7)在R上定義的函數是偶函數，且。若在區間[1，2]上是減函數，則（）

A、在區間[-2，-1]上是增函數，在區間[3，4]上是增函數

B、在區間[-2，-1]上是增函數，在區間[3，4]上是減函數

C、在區間[-2，-1]上是減函數，在區間[3，4]上是增函數

D、在區間[-2，-1]上是減函數，在區間[3，4]上是減函數

（提示：數形結合法，是抽象函數，因此畫出其簡單圖象即可得出結論，如下左圖知選B）

【練習12】、（07山東文11改編）方程的解的取值區間是（）

A、（0，1）

B、（1，2）

C、（2，3）

D、（3，4）

（提示：數形結合，在同一坐標系中作出函數的圖象，則立刻知選B，如上右圖）

二、特值代驗

包括選取符合題意的特殊數值、特殊位置和特殊圖形，代入或者比照選項來確定答案。這種方法叫做特值代驗法，是一種使用頻率很高的方法。

【例題】、（93年全國高考）在各項均為正數的等比數列中，若，則（）

A、12

B、10

C、8

D、【解析】、思路一（小題大做）：由條件有從而，所以原式=，選B。

思路二（小題小做）：由知原式=，選B。

思路三（小題巧做）：因為答案唯一，故取一個滿足條件的特殊數列即可，選B。

【練習1】、（07江西文8）若，則下列命題中正確的是（）

A、B、C、D、（提示：取驗證即可，選B）

【練習2】、（06北京理7）設，則（）

A、B、C、D、（提示：思路一：f（n）是以2為首項，8為公比的等比數列的前項的和，所以，選D。這屬于直接法。

思路2：令，則，對照選項，只有D成立。）

【練習3】、（06全國1理9）設平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3滿足|

bi|=2|

ai

|，且ai順時針旋轉以后與bi同向，其中i=1、2、3則（）

A、-b1+b2+b3=0

B、b1-b2+b3=0

C、b1+b2-b3=0

D、b1+b2+b3=0

（提示：因為a1+a2+a3=0，所以a1、a2、a3構成封閉三角形，不妨設其為正三角形，則bi實際上是將三角形順時針旋轉后再將其各邊延長2倍，仍為封閉三角形，故選D。）

【練習4】、若，則的圖象是（）

A、B、C、D、（提示：抓住特殊點2，所以對數函數是減函數，圖象往左移動一個單位得，必過原點，選A）

【練習5】、若函數是偶函數，則的對稱軸是（）

A、B、C、D、（提示：因為若函數是偶函數，作一個特殊函數，則變為，即知的對稱軸是，選C）

【練習6】、已知數列{an}的通項公式為an=2n-1，其前n和為Sn，那么

Cn1S1+

Cn2S2+…+

CnnSn=（）

A、2n-3n

B、3n

-2n

C、5n

-2n

D、3n

-4n

（提示：愚蠢的解法是：先根據通項公式an=2n-1求得和的公式Sn，再代入式子Cn1S1+

Cn2S2+…+

CnnSn，再利用二項式展開式的逆用裂項求和得解，有些書上就是這么做的！其實這既然是小題，就應該按照小題的解思路來求做：令n=2，代入式子，再對照選項，選B）

【練習7】、（06遼寧理10）直線與曲線（）的公共點的個數是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

（提示：取，原方程變為，這是兩個橢圓，與直線有4個公共點，選D）

【練習8】、如圖左，若D、E、F分別是

三棱錐S-ABC的側棱SA、SB、SC上的點，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平

面DEF截三棱錐S-ABC所得的上下兩部分的體積之比為（）

A、4：31

B、6：23

C、4：23

D、2：25

（提示：特殊化處理，不妨設三棱錐S-ABC是棱長為3的正三棱錐，K是FC的中點，分別表示上下兩部分的體積

則，選C）

【練習9】、△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則的取值是（）

A、-1

B、1

C、-2

D、2

（提示：特殊化處理，不妨設△ABC為直角三角形，則圓心O在斜邊中點處，此時有，選B。）

【練習10】、雙曲線方程為，則的取值范圍是（）

A、B、C、D、或

（提示：在選項中選一些特殊值例如代入驗證即可，選D）

三、篩選判斷

包括逐一驗證法——將選項逐一代入條件中進行驗證，或者邏輯排除法，即通過對四個選項之間的內在邏輯關系進行排除與確定。

【例題】、設集合A和B都屬于正整數集，映射f：把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，則在映射f下，像20的原像是（）

A、2

B、3

C、4

D、5

【解析】、經逐一驗證，在2、3、4、5中，只有4符合方程=20，選C。

【練習1】、（06安徽理6）將函數的圖象按向量a=平移以后的圖象如圖所示，則

平移以后的圖象所對應的函數解析式是（）

A、B、C、D、（提示：若選A或B，則周期為，與圖象所示周期不符；若選D，則與

“按向量a=平移”

不符，選C。此題屬于容易題）

【練習2】、（06重慶理9）如圖，單位圓中的長度為，表示與弦AB所圍成的弓形的面的2倍，則函數的圖象是（）

A、B、C、D、（提示：解法1

設，則，則S弓形=S扇形-

S△AOB=，當時，則，其圖象位于下方；當時，，其圖象位于上方。所以只有選D。這種方法屬于小題大作。

解法2

結合直覺法逐一驗證。顯然，面積不是弧長的一次函數，排除A；當從很小的值逐漸增大時，的增長不會太快，排除B；只要則必然有面積，排除C，選D。事實上，直覺好的學生完全可以直接選D）

【練習3】、（06天津文8）若橢圓的中心點為E（-1，0），它的一個焦點為F（-3，0），相應于焦點的準線方程是，則這個橢圓的方程是（）

A、B、C、D、（提示：橢圓中心為（-1，0），排除A、C，橢圓相當于向左平移了1個單位長度，故c=2，∴，選D）

【練習4】、不等式的解集是（）

A、B、C、D、（提示：如果直接解，差不多相當于一道大題！取，代入原不等式，成立，排除B、C；取，排除D，選A）

【練習5】、（06江西理12）某地一年內的氣溫

Q（t）（℃）與時間t（月份）之間的關系如右圖，已知該年的平均氣溫為10℃。令C（t）表示時間

段[0，t]的平均氣溫，C（t）與t之間的函數關系

如下圖，則正確的應該是（）

A、B、C、D、（提示：由圖可以發現，t=6時，C（t）=0，排除C；t=12時，C（t）=10，排除D；t＞6時的某一段氣溫超過10℃，排除B，選A。）

【練習6】、集合與集合之間的關系是（）

A、B、C、D、（提示：C、D是矛盾對立關系，必有一真，所以A、B均假；

表示全體奇數，也表示奇數，故且B假，只有C真，選C。此法扣住了概念之間矛盾對立的邏輯關系。

當然，此題用現場操作法來解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后觀察兩個集合的關系就知道答案了。）

【練習7】、當時，恒成立，則的一個可能的值是（）

A、5

B、C、D、（提示：若選項A正確，則B、C、D也正確；若選項B正確，則C、D也正確；若選項C正確，則D也正確。選D）

【練習8】、（01廣東河南10）對于拋物線上任意一點Q，點P（a，0）都滿足，則的取值范圍是（）

A、B、C、D、（提示：用邏輯排除法。畫出草圖，知a＜0符合條件，則排除C、D；又取，則P是焦點，記點Q到準線的距離為d，則由拋物線定義知道，此時a＜d＜|PQ|,即表明符合條件，排除A，選B。另外，很多資料上解此題是用的直接法，照錄如下，供“不放心”的讀者比較——

設點Q的坐標為，由，得，整理得，∵，∴，即恒成立，而的最小值是2，∴，選B）

【練習9】、（07全國卷Ⅰ理12）函數的一個單調增區間是（）

A、B、C、D、（提示：“標準”答案是用直接法通過求導數解不等式組，再結合圖象解得的，選A。建議你用代入驗證法進行篩選：因為函數是連續的，選項里面的各個端點值其實是可以取到的，由，顯然直接排除D，在A、B、C中只要計算兩個即可，因為B中代入會出現，所以最好只算A、C、現在就驗算A，有，符合，選A）

四、等價轉化

解題的本質就是轉化，能夠轉化下去就能夠解下去。至于怎樣轉化，要通過必要的訓練，達到見識足、技能熟的境界。在解有關排列組合的應用問題中這一點顯得尤其重要。

【例題】、（05遼寧12）一給定函數的圖象在下列圖中，并且對任意，由關系式得到的數列滿足，則該函數的圖象是（）

A、B、C、D、【解析】問題等價于對函數圖象上任一點都滿足，只能選A。

【練習1】、設，且sin3+

cos3，則的取值范圍是（）

A、[-，0）

B、[]

C、（-1，0）

]

D、（-，0）

（提示：因為sin3+

cos3=（sin+

cos）（sin2-

sincos+

cos2），而sin2-

sincos+

cos2＞0恒成立，故sin3+

cos3t＜0,選A。另解：由sin3+

cos3

知非銳角，而我們知道只有為銳角或者直角時，所以排除B、C、D，選A）

【練習2】、是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則的最大值是（）

A、4

B、5

C、1

D、2

（提示：設動點P的坐標是，由是橢圓的左、右焦點得，則，選D。這里利用橢圓的參數方程把問題等價轉化為三角函數求最值的問題。特別提醒：下列“簡捷”解法是掉進了命題人的“陷阱”的——）

【練習3】、若，則（）。

A、B、C、D、（提示：利用換底公式等價轉化。

∴，選B）

【練習4】、且，則（）

A、B、C、D、（提示：此題條件較多，又以符號語言出現，令人眼花繚亂。對策之一是“符號語言圖形化”，如圖，用線段代表立馬知道選C。當然

這也屬于數形結合方法。對策之二是“抽象語言具體化”，分別用數字1，4，2，3代表容易知道選C。也許你認為對策一的轉化并不等價，是的，但是作為選擇題，可以事先把條件“”收嚴一些變為“”。

【練習5】、已知若函數在上單調遞增，則的取值范圍是（）

A、B、C、D、（提示：

化簡得，∵在上遞增，∴，而在上單調遞增，又∴選B）

【練習6】、把10個相同的小球放入編號為1，2，3的三個不同盒子中，使盒子里球的個數不小于它的編號數，則不同的放法種數是（）

A、B、C、D、（提示：首先在編號為1，2，3的三個盒子中分別放入0，1，2個小球，則余下的7個球只要用隔板法分成3

堆即可，有種，選B；如果你認為難以想到在三個盒子中分別放入只0，1，2個小球，而更容易想到在三個盒子中分別放入只1，2，3個小球，那也好辦：你將余下的4個球加上虛擬的（或曰借來的）3個小球，在排成一列的7球6空中插入2塊隔板，也與本問題等價。）

【練習7】、方程的正整數解的組數是（）

A、24

B、72

C、144

D、165

（提示：問題等價于把12個相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11空中插入3塊隔板即可，答案為，選D）

【練習8】、從1，2，3，…，10中每次取出3個互不相鄰的數，共有的取法數是（）

A、35

B、56

C、84

D、120

（提示：逆向思維，問題可以等價地看作是將取出的三個數再插入余下的7個數的8個空中，那么問題轉化為求從8個空位中任意選3個的方法數，為，選B）

【練習9】、（理科）已知，則=

（）

A、4

B、-5

C、-4

D、5

（提示：逆向思維，分母（）一定是存在于分子的一個因式，那么一定有，∴必然有，且，∴∴，選B）

【練習10】、異面直線所成的角為，過空間一點O的直線與所成的角等于，則這樣的直線有（）條

A、1

B、2

C、3

D、4

（提示：把異面直線平移到過點O的位置，記他們所確定的平面為，則問題等價于過點O有多少條直線與所成的角等于，如圖，恰有3條，選C）

【練習11】、不等式的解集為，那么不等式的解集為（）

A、B、C、D、（提示：把不等式化為，其結構與原不等式相同，則只須令，得，選A）

五、巧用定義

定義是知識的生長點，因此回歸定義是解決問題的一種重要策略。

【例題】、某銷售公司完善管理機制以后，其銷售額每季度平均比上季度增長7%，那么經過季度增長到原來的倍，則函數的圖象大致是（）

A、B、C、D、【解析】、由題設知，∵，∴這是一個遞增的指數函數，其中，所以選D。

【練習1】、已知對于任意，都有，且，則是（）

A、奇函數

B、偶函數

C、奇函數且偶函數

D、非奇且非偶函數

（提示：令，則由得；又令，代入條件式可得，因此是偶函數，選B）

【練習2】、點M為圓P內不同于圓心的定點，過點M作圓Q與圓P相切，則圓心Q的軌跡是（）

A、圓

B、橢圓

C、圓或線段

D、線段

（提示：設⊙P的半徑為R，P、M為兩定點，那

么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常數，∴由橢圓定義知圓

心Q的軌跡是橢圓，選B）

【練習3】、若橢圓內有一點P（1，-1），F為右焦點，橢圓上有一點M，使|MP|+2|MF|最小，則點M為（）

A、B、C、D、（提示：在橢圓中，則，設點M到右準線的距離為|MN|，則由橢圓的第二定義知，從而，這樣，過點P作右準線的垂直射線與橢圓的交點即為所求M點，知易M，故選A）

【練習4】、設是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任意一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）

A、[2，3]

B、（1，3]

C、D、（提示：，當且僅當，即，時取等于號，又，得，∴，選B）

【練習5】、已知P為拋物線上任一動點，記點P到軸的距離為，對于給定點A（4，5），|PA|+d的最小值是（）

A、4

B、C、D、（提示：比P到準線的距離（即|PF|）少

1，∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A點在拋物線外，∴|PA|+d的最小值為|AF|-1=，選D）

【練習6】、函數的反函數，則的圖象（）。

A、關于點(2,3)對稱

B、關于點(-2,-3)對稱

C、關于直線y=3對稱

D、關于直線x

=

-2對稱

（提示：注意到的圖象是雙曲線，其對稱中心的橫坐標是-3，由反函數的定義，知圖象的對稱中心的縱坐標是-3，∴只能選B）

【練習7】、已知函數是R上的增函數，那么是的（）條件。

A、充分不必要

B、必要不充分

C、充要

D、不充分不必要

（提示：由條件以及函數單調性的定義，有，而這個過程并不可逆，因此選A）

【練習8】、點P是以為焦點的橢圓上的一點，過焦點作的外角平分線的垂線，垂足為M，則點M的軌跡是（）

A、圓

B、橢圓

C、雙曲線

D、拋物線

（提示：如圖，易知，M是的中點，∴OM是的中位線，∴，由橢圓的定義知，=定值，∴定值（橢圓的長半軸長a），∴選A）

【練習9】、在平面直角坐標系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的是雙曲線，則ｍ的取值范圍是（）

A、（0，1）

B、（1，）

C、（0，5）

D、（5，）

（提示：方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2可變形為，即得，∴，這表示雙曲線上一點到定點（0，-1）與定直線的距離之比為常數，又由，得到，∴選C。若用特值代驗，右邊展開式含有項，你無法判斷）

六、直覺判斷

數學思維包括邏輯思維和直覺思維兩種形式，邏輯思維嚴格遵守概念和邏輯規則，而直覺思維不受固定的邏輯規則約束，直接領悟事物本質，大大節約思考時間。邏輯思維在數學思維中始終占據著主導地位，而直覺思維又是思維中最活躍、最積極、最具有創造性的成分。兩者具有辨證互補的關系。因此，作為選拔人才的高考命題人，很自然要考慮對直覺思維的考查。

【例題】、已知，則的值為（）

A、B、或

C、D、【解析】、由題目中出現的數字3、4、5是勾股數以及的范圍，直接意識到，從而得到，選C。

【練習1】、如圖，已知一個正三角形內接于一個邊長為的正三角形中，問取什么值時，內接正三角形的面積最小（）

A、B、C、D、（提示：顯然小三角形的邊長等于大三角形的邊長之半時面積最小，選A。）

【練習2】、（課本題改編）測量某個零件直徑的尺寸，得到10個數據：如果用作為該零件直徑的近似值，當取什么值時，最小？（）

A、，因為第一次測量最可靠

B、，因為最后一次測量最可靠

C、，因為這兩次測量最可靠

D、（提示：若直覺好，直接選D。若直覺欠好，可以用退化策略，取兩個數嘗試便可以得到答案了。）

【練習3】、若，則（）

A、-1

B、1

C、0

D、（提示：直覺法，系數取絕對值以后，其和會相當大，選D。或者退化判斷法將7次改為1次；還有一個絕妙的主意：干脆把問題轉化為:已知，求，這與原問題完全等價，此時令得解。）

【練習4】、已知a、b是不相等的兩個正數，如果設，，那么數值最大的一個是（）

A、B、C、D、與a、b的值有關。

（提示：顯然p、q、r都趨向于正無窮大，無法比較大小，選D。要注意，這里似乎是考核均值不等式，其實根本不具備條件——缺乏定值條件！）

【練習5】、（98高考）向高為H的水瓶中注水，注滿為止。如果注水量V與水深h的函數關系如下列左圖，那么水瓶的形狀是（）。

O

A

B

C

D

（提示：抓住特殊位置進行直覺思維，可以取OH的中點，當高H為一半時，其體積過半，只有B符合，選B）

【練習6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自不同的愛好選擇了形狀不同、內空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖，盛滿酒好他們約定：先各自飲杯中酒的一半。設剩余酒的高度從左到右依次為則它們的大小關系正確的是（）

A、B、C、D、（提示：選A）

【練習7】、（01年高考）過點A（1，-1）、B（-1，1）且圓心在直線上的圓的方程是（）

A、B、C、D、（提示：顯然只有點（1，1）在直線上，選C）

【練習8】、（97全國理科）函數的最小正周期是（）

A、B、C、D、（提示：因為總有，所以函數的周期只與有關，這里，所以選B）

【練習9】、（97年高考）不等式組的解集是（）

A、B、C、D、（提示：直接解肯定是錯誤的策略；四個選項左端都是0，只有右端的值不同，在這四個值中會是哪一個呢？它必定是方程的根！，代入驗證：2不是，3不是，2.5也不是，所以選C）

【練習10】、△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（）

A、B、C、1

D、（提示：本題選自某一著名的數學期刊，作者提供了下列

“標準”解法，特抄錄如下供讀者比較：

設y=cosAcosBcosC，則2y=[cos（A+B）+

cos（A-B）]

cosC，∴cos2C-

cos（A-B）cosC+2y=0，構造一元二次方程x2-

cos（A-B）x+2y=0，則cosC是一元二次方程的根，由cosC是實數知：△=

cos2（A-B）-8y≥0，即8y≤cos2（A-B）≤1，∴，故應選B。

這就是“經典”的小題大作！事實上，由于三個角A、B、C的地位完全平等，直覺告訴我們：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B，這就是直覺法的威力，這也正是命題人的意圖所在。）

【練習11】、（07浙江文8）甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則為“3局2勝”，即以先贏2局者為勝，根據以往經驗，每局比賽中甲獲勝的概率為0.6，則本次比賽中甲獲勝的概率為（）

A、0.216

B、0.36

C、0.432

D、0.648

（提示：先看“標準”解法——甲獲勝分兩種情況：①甲：乙=2：0，其概率為0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率為，所以甲獲勝的概率為0.36+0.288=0.648，選D。

現在再用直覺法來解：因為這種比賽沒有平局，2人獲勝的概率之和為1，而甲獲勝的概率比乙大，應該超過0.5，只有選D。）

【練習12】、，則（）

A、1

B、2

C、-1

D、-2

（提示：顯然，選B）

七、趨勢判斷

趨勢判斷法，包括極限判斷法，連同估值法，大致可以歸于直覺判斷法一類。具體來講，顧名思義，趨勢判斷法的要義是根據變化趨勢來發現結果，要求化靜為動，在運動中尋找規律，因此是一種較高層次的思維方法。

【例題】、（06年全國卷Ⅰ，11）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：cm）的5根細木棍圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為多少？

A、8

cm2

B、6

cm2

C、3

cm2

D、20

cm2

【解析】、此三角形的周長是定值20，當其高或底趨向于零時其形狀趨向于一條直線，其面積趨向于零，可知，只有當三角形的形狀趨向于最“飽滿”時也就是形狀接近于正三角形時面積最大，故三邊長應該為7、7、6，因此易知最大面積為cm2，選B。）

【練習1】、在正n棱錐中，相鄰兩側面所成二面角的平面角的取值范圍是（）

A、B、C、D、（提示：進行極限分析，當頂點無限趨近于底面正多邊形的中心時，相鄰兩側面所成二面角，且；當錐體且底面正多邊形相對固定不變時，正n棱錐形狀趨近于正n棱柱，且選A）

【練習2】、設四面體四個面的面積分別為它們的最大值為S，記，則一定滿足（）

A、B、C、D、（提示：進行極限分析，當某一頂點A無限趨近于對面時，S=S對面，不妨設S=S1，則S2+S3+S4那么，選項中只有A符合，選A。當然，我們也可以進行特殊化處理：當四面體四個面的面積相等時，憑直覺知道選A）

【練習3】、正四棱錐的相鄰兩側面所成二面角的平面角為，側面與底面

所成角為，則的值是（）

A、1

B、C、0

D、-1

（提示：進行極限分析，當四棱錐的高無限增大時，那么，選D）

【練習4】、在△ABC中，角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，若c-a等于AC邊上的高，那么的值是（）

A、1

B、C、D、-1

(提示：進行極限分析，時，點，此時高，那么，所以，選A。）

【練習5】、若則（）

A、B、C、D、（提示：進行極限分析，當時，；當時，從而，選A）

【練習6】、雙曲線的左焦點為F，點P為左支下半支異于頂點的任意一點，則直

線PF的斜率的變化范圍是（）

A、B、C、D、（提示：進行極限分析，當P時，PF的斜率；當時，斜率不存在，即或；當P在無窮遠處時，PF的斜率。選C。）

【練習7】、（06遼寧文11）與方程的曲線關于直線對稱的曲線方程為（）

A、B、C、D、（提示：用趨勢判斷法：顯然已知曲線方程可以化為，是個增函數。再令那么那么根據反函數的定義，在正確選項中當時應該有只有A符合。當然也可以用定義法解決，直接求出反函數與選項比較之。）

【練習8】、若，則對任意實數n，（）

A、1

B、區間（0，1）

C、D、不能確定

（提示：用估值法，由條件完全可以估計到中必定有一個的值是1，另一個等于0，則選A。另外，當n=1，2時，答案也是1）

【練習9】、已知，且，則之間的大小關系是（）

A、B、C、D、與c的值有關

（提示：此題解法較多，如分子有理化法，代值驗證法，單調性法，但是用趨勢判斷法也不錯：當時，；當時，可見函數遞減，∴選B）

八、估值判斷

有些問題，屬于比較大小或者確定位置的問題，我們只要對數值進行估算，或者對位置進行估計，就可以避免因為精確計算和嚴格推演而浪費時間。

【例題】、已知是方程的根，是方程的根，則（）

A、6

B、3

C、2

D、1

【解析】、我們首先可以用圖象法來解：如圖，在同一

坐標系中作出四個函數，，的圖象，設與的圖象交于點A，其

橫坐標為；與的圖象交于點C，其橫坐標

為；與的圖象交于點B，其橫坐標為。因為與為反函數，點A與點B關于直線對稱，所以2×=3，選B。

此屬于數形結合法，也算不錯，但非最好。現在用估計法來解它：因為是方程的根，所以是方程的根，所以所以選B。

【練習1】、用1、2、3、4、5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（）

A、24個

B、30個

C、40個

D、60個

（提示：如果用直接法可以分兩步：先排個位，在兩個偶數中任取一個有種方法；第二步在剩下的4個數字中任取兩個排在十位與百位有種，由乘法原理，共有=24個，選B。用估計法：五個數字可以組成個三位數，其中偶數不到一半，選B。）

【練習2】、農民收入由工資性收入和其它收入兩部分組成，2003年某地農民人均收入為3150元，其中工資性收入為1800元，其它收入1350元。預計該地區農民自2004年起工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元，根據以上數據，2008年該地區農民人均收入介于（）元

A、（4200，4400）

B、（4400，4600）C、（4600，4800）D、（4800，5000）

（提示：由條件知該地區農民工資性收入自2004年起構成以的等比數列，所以2008年工資性收入為元；其它收入構成以1350為首項，公差為160的等差數列，所以所以2008年其它收入為1350+160×5=2150元，所以2008年該地區農民人均收入約為2340+2150=4490元，選B。）

【練習3】、已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（）

A、B、C、D、（提示：用估計法，設球半徑R，△ABC外接圓半徑為，則S球=，選D）

【練習4】、如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF與平面ABCD的距離為2，則

該多面體的體積為（）

A、B、5

C、6

D、（提示：該多面體的體積比較難求，可連接BE、CF，問題轉化為四棱錐E-ABCD與三棱錐E-BCF的體積之和，而=6，所以只能選D）

【練習5】、在直角坐標平面上，已知A（-1，0）、B（3，0），點C在直線上，若∠ACB

＞，則點C的縱坐標的取值范圍是（）

A、B、C、D、（提示：如圖，M、N在直線上，且∠AMB=∠ANB=，要使∠ACB

＞，點C應該在M、N之間，故點C的縱坐標應該屬于某一開區間，而點C的縱坐標是可以為負值的，選D）

【練習6】、已知三棱錐P-ABC的側面與底面所成二面角都是，底面三角形三邊長分別是7、8、9，則此三棱錐的側面面積為（）

A、B、C、D、（提示：你可以先求出的面積為，再利用射影面積公式求出側面面積為；你也可以先求出的面積為，之后求出P在底面的射影到個側面的距離，都是三棱錐P-ABC的高的一半，再利用等體積法求得結果，但好象都不如用估值法：假設底面三角形三邊長都是8，則面積為，這個面積當然比原來大了一點點，再利用射影面積公式求出側面面積為，四個選項中只有與之最接近，選B）

【練習7】、（07海南、寧夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中個射箭20次，三人測試成績如下表

甲的成績

環數

頻數

乙的成績

環數

頻數

丙的成績

環數

頻數

分別表示三名運動員這次測試成績的標準差，則有（）

A、B、C、D、（提示：固然可以用直接法算出答案來，標準答案正是這樣做的，但是顯然時間會花得多。你可以用估計法：他們的期望值相同，離開期望值比較近的數據越多，則方差——等價于標準差會越小！所以選B。這當然也可以看作是直覺法）

【練習8】、（07全國Ⅱ理

12）設F為拋物線的焦點，A、B、C為該拋物線上的三點，若，則等于（）

A、9

B、6

C、4

D、3

（提示：很明顯（直覺）三點A、B、C在該拋物線上的圖

形完全可能如右邊所示（數形結合），可以估計（估值法）

到，稍大于（通徑，長為4），∴，選B。

當然也可以用定義法：由可知，由拋物線定義有，所以=6）

【練習9】、（07福建理12）如圖，三行三列的方陣中有9個數，從中任取三個數，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是（）

A、B、C、D、（提示：用估值法，至少有兩個數位于同行或同列的反面是三個數既不同行也不同列，這種情況僅有6種，在總共種取法數中所占比例很小，∴選D）

【練習10】（07湖北理9）連續投擲兩次骰子的點數為，記向量b=（m，n）

與向量a=（1，-1）的夾角為，則的概率是（）

A、B、C、D、（提示：用估值法，畫個草圖，立刻發現在范圍內（含在OB上）的向量b的個數

超過一半些許，選C，完全沒有必要計算）

【練習11】（05年四川）若，則（）

A、B、C、D、（提示：注意到，可知不能夠用單調性法去判斷。問題等價于的時候比較a、b、c的大小，∵lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg5=0.6990，∴

a=0.1505，b=0.1590，c=0.1398，選B。

當然，直接用作差比較法也是可以的。）

九、直接解答

并不是所有的選擇題都要用間接法求解，一般來講，高考卷的前5、6道選擇題本身就屬于容易題，用直接法求解往往更容易；另外，有些選擇題也許沒有間接解答的方法，你別無選擇；或者雖然存在間接解法，但你一下子找不到，那么就必須果斷地用直接解答的方法，以免欲速不達。當然要記得一個原則，用直接法也要盡可能的優化你的思路，力爭小題不大作。

【例題】、（07重慶文12）已知以為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（）

A、B、C、D、【解析】、設長軸長為，則橢圓方程為，與直線方程聯立消去得，由條件知，即，得（舍），（舍），∴，選C。

【練習1】、函數的部分圖象如右，則=（）

A、0

B、C、2+

D、2-

（提示：直接法。由圖知，A=2，，∴，由圖象關于點（4，0）以及直線對稱知：，由2009=251×8+1知，=0+=，選B）

【練習3】、正方體中，E為棱AB的中點，則二面角C-

-B的正切值為（）

A、B、C、D、2

（提示：用直接法。取的中點F，連接AF、CF、CE。過點B做A1E的延長線的垂線于M，連接CM，由CB面ABB1A1，得CMAE，所以就是二面角C-A1E-B的平面角，現在設CB=2，則，在Rt△CMB中，選B）

【練習4】、設是橢圓的兩個焦點，以為圓心，且過橢圓中心的圓與

橢圓的一個交點為M，若直線與圓相切，則該橢圓的離心率是（）

A、B、C、D、（提示：用直接法。由已知可得，又，∴，又直線與圓相切，∴，∴，即，解得，∵，∴，選B）

【練習5】、函數的圖象關于原點成中心對稱，則在[-4，4]上的單調性是（）

A、增函數

B、在[-4，0]上是增函數，[0，4]上是減函數

C、減函數

D、在[-4，0]上是減函數，[0，4]上是增函數

（提示：的圖象關于原點成中心對稱，為奇函數，∴，∴，易知上，∴遞減，選B）

【練習6】、，則=（）

A、-3

B、3

C、2

D、-2

（提示：令得，令可得，選A）

【練習7】、（06重慶文10）若，，則（）

A、B、C、D、（提示：∵，∴，∴；同理，∴（舍）或，所以選B）

【練習8】、（06全國Ⅰ理8）拋物線上的點到直線的距離的最小值是（）

A、B、C、D、3

（提示：設直線與相切，則聯立方程知，令，有，∴兩平行線之間的距離，選A）

【練習9】、（06山東理8）設則p是q的（）

A、充分不必要條件

B、必要不充分條件

C、充要條件

D、既不充分也不必要條件

（提示：分別解出p：或；q：或或，則顯然p是q的充分不必要條件，選A。另外，建議解出p以后不要再解q，以p中的特殊值代入即可作出判斷）

【練習10】、（廣東05理10）已知數列滿足，，若，則=（）

A、B、3

C、4

D、5

（提示：由條件有，∴，累加得，代入得，兩邊同取極限得，即，選B）

十、現場操作

又叫做原始操作法，有別于直接法，一

是指通過現場可以利用的實物如三角板、鉛筆、紙張、手指等進行操作或者利用紙上模型進行演算演繹得到答案的方法；二是指根據題目提供的規則演算最初的幾個步驟，從而發現規律，歸納出答案的方法。

【例題】、（據93年全國高考題改編）如圖ABCD

是正方形，E是AB的中點，將△DAE和△CBE分別

沿虛線DE和CE折起，使AE和BE重合于P，則面

PCD和面ECD所成的二面角為（）度。

A、15

B、30

C、45

D、60

【解析】、你當然可以用三垂線定理來解，但不如現場操作更快：用正方形紙片折疊出三棱錐E-PCD，不難看出PE⊥面PCD，設二面角大小為，則由射影面積公式有，選B。

【練習1】已知，則的值（）

A、必為奇數

B、必為偶數

C、與的奇偶性相反

D、與的奇偶性相同

（提示：原始操作：令n=1、2，再結合邏輯排除法，知選A；也可以展開看）

【練習2】如果的定義域為R，且，則=（）

A、1

B、-1

C、D、-lg3-lg5

（提示：2008是個很大的數，所以立即意識到這應該是一個周期函數的問題！關鍵是求出周期值。現在進行現場操作：f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，f（3）=f（2）-f（1）=…=1，f（4）=

f（3）-f（2）=…lg2-lg3，f（5）=

f（4）-

f（3）=…-lg5-lg3，f（6）=f（5）-

f（4）=…-1，f（7）=f（6）-

f（5）=…lg3-lg2=

f（1），所以周期是6。=f（334×6+4）=

f（4）=

lg2-lg3，選C。當然你如果演算能力好，可以這樣做：

==，所以周期是6。其實凡屬于抽象函數、抽象數列、抽象不等式問題，解題訣竅都不過是不斷利用題目所給的規則而已）

【練習3】、如圖所示是某城市的網格狀道路，中

間是公園，公園四周有路，園內無公路。某人駕車從

城市的西南角的A處要到達東北角的A處，最短的路徑有多少條？（據加拿大數學競賽題改編）

A、210

B、110

C、24

D、206

（提示：原始操作：先假設已經到達了與B共線的各交叉點，標注上此時的走法數（都是1）；再退回至離B最近的對角頂點處，標注上此時的走法數是2；……，這樣步步回退，直到A處，就知道答案了！這有點類似于楊暉三角的規律。當然也可以用公式法：先求出沒有公園時的走法數，再求出經過公園中心的走法數，所以答案是-=110，選B）

【練習4】、如上圖所示是一個長方體

骨架，一只螞蟻在點M處得到信息：N處

有糖！為了盡快沿著骨架爬行到N處，該

螞蟻可走的最短路徑有（）

A、10

條

B、20

C、30

D、40

（提示：原始操作：假設從點N處逆著

往點M方向退回來，則在所經過的交點處的走法數都容易寫出，如圖。所以從點M處出

發時一共有4+4+12=20種走法。選B）

【練習5】、有編號為1、2、3、4的四個小球放入有同樣編號的四個盒子中，每盒一球，則任意一球的編號與盒的編號不同的放法種數共有（）

A、9

B、16

C、25

D、36

（提示：這道高考題是典型錯位排列問題，思維清晰的時候，你可能這樣考慮：完成這件事情即每個盒子都按要求放入小球，應該用乘法原理，1號盒可以選2、3、4號球，有3種選擇；2號盒可以選1、3、4號球，也有3種選擇；此時3、4號盒都只有唯一選擇，3×3×1×1=9，因此答案是9。也可用現場操作之法破解，如圖，每一列對應一種放法，一共有9種，選A）

球的編號

1號盒

2號盒

3號盒

4號盒

【練習6】、如圖A、B、C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上有三個大小不同的圓片，下面的直徑總比上面的大，現將三個圓片移動到B柱上，要求每次只移動一片（叫移動一次），被移動的圓片只能放入A、B、C三個柱子之一，且大圓片不能疊在小圓片的上面，那么完成這件事情至少要移動的次數是（）

A、3

B、5

C、7

D、9

（提示：現場操作，選C）

【練習7】、如左圖，正方體容器中，棱長為1，E，F分別是所在棱的中點，G是面的中心，在E、F、G三處各開有一小孔，則最大盛水量是（）

A、B、C、D、（提示：你可以看著圖現場想象一下，怎樣才能使盛水量最大呢？你首先難免考慮由E、F、G確定一個水平面，如中圖，經計算發現盛水量是，此時DD/著地；難道不考慮只有點D著地的情形嗎？…使水平面如右圖那樣呢？計算得盛水量是，原來點F并不在水平面內！選D）

【練習8】、一個正四棱錐的底面邊長與側棱長都是a，現用一張正方形的包裝紙將其完成包住（不能裁剪但可以折疊），那么包裝紙的邊長最小應該是（）

P1

P4

P3

P2

A、B、C、D、（提示：現場用紙做一個正四棱錐，先如圖放樣，其實不待你做成就知

道思路了——這已經相當于把正四

棱錐展開了，那么包裝紙的邊長就是正方形的邊長，選B）

【練習9】、一直線與直二面角的兩個面所成的角分別是和，則的范圍是（）

A、B、C、D、（提示：你可以拿一本書豎立在桌面上，拿一支筆代表直線去比劃，會發現當中有一個角等于的時候，另一個角等于0，可以取到；當直線與二面角的棱重合時，可以取到0，所以選C）

【練習10】、（05全國）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有（）個。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先畫一個三棱錐，然后想象用一個平面以各種方式置于四個頂點之間，發現四個頂點有被平面分成2+2或者1+3兩類情形，分別有3，4種可能，如圖。選D）

【練習11】、（高考模擬）若一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3

＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：進行原始操作以發現規律：第二位數字不可能為1，若為2，則左邊有1，右邊有0、1可選，此時有1×2個凸數；若為3，則左邊有1、2，右邊有0、1、2可選，此時有2×3個凸數；若為4，則左邊有1、2、3，右邊有0、1、2、3可選，此時有3×4個凸數；……若為9，則……此時有8×9個凸數，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240個凸數，選A）

結

語

以上就10類方法對如何快速正確解答選擇題給予了簡要論述，凡所選用之115道例題和習題，基本上是近年高考真題或者高考模擬題中靈活性相對較大者，意在解放思想，開闊視野，提高能力，服務讀者。需要說明的是，以上各種方法其實有時是互相交織難以難以截然分開的，因此分類方面也只能是相對合理，不能窮究。事實上，在分別熟悉以上方法以后，學生要學會聯合采用多種方法協同作戰，以期收到最大實效。下面以一首小詩總結全文——

人生選擇，選擇人生，用兵之道，奇正相生，數學解題，其理相同。迂回曲徑，直搗黃龍，審時度勢，天佑功成。

B、C、D、（提示：你可以拿一本書豎立在桌面上，拿一支筆代表直線去比劃，會發現當中有一個角等于的時候，另一個角等于0，可以取到；當直線與二面角的棱重合時，可以取到0，所以選C）

【練習10】、（05全國）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有（）個。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先畫一個三棱錐，然后想象用一個平面以各種方式置于四個頂點之間，發現四個頂點有被平面分成2+2或者1+3兩類情形，分別有3，4種可能，如圖。選D）

【練習11】、（高考模擬）若一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3

＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：進行原始操作以發現規律：第二位數字不可能為1，若為2，則左邊有1，右邊有0、1可選，此時有1×2個凸數；若為3，則左邊有1、2，右邊有0、1、2可選，此時有2×3個凸數；若為4，則左邊有1、2、3，右邊有0、1、2、3可選，此時有3×4個凸數；……若為9，則……此時有8×9個凸數，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240個凸數，選A）

結

語

以上就10類方法對如何快速正確解答選擇題給予了簡要論述，凡所選用之115道例題和習題，基本上是近年高考真題或者高考模擬題中靈活性相對較大者，意在解放思想，開闊視野，提高能力，服務讀者。需要說明的是，以上各種方法其實有時是互相交織難以難以截然分開的，因此分類方面也只能是相對合理，不能窮究。事實上，在B、C、D、（提示：你可以拿一本書豎立在桌面上，拿一支筆代表直線去比劃，會發現當中有一個角等于的時候，另一個角等于0，可以取到；當直線與二面角的棱重合時，可以取到0，所以選C）

【練習10】、（05全國）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有（）個。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先畫一個三棱錐，然后想象用一個平面以各種方式置于四個頂點之間，發現四個頂點有被平面分成2+2或者1+3兩類情形，分別有3，4種可能，如圖。選D）

B、C、D、（提示：你可以拿一本書豎立在桌面上，拿一支筆代表直線去比劃，會發現當中有一個角等于的時候，另一個角等于0，可以取到；當直線與二面角的棱重合時，可以取到0，所以選C）

【練習10】、（05全國）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有（）個。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先畫一個三棱錐，然后想象用一個平面以各種方式置于四個頂點之間，發現四個頂點有被平面分成2+2或者1+3兩類情形，分別有3，4種可能，如圖。選D）

【練習11】、（高考模擬）若一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3

＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：進行原始操作以發現規律：第二位數字不可能為1，若為2，則左邊有1，右邊有0、1可選，此時有1×2個凸數；若為3，則左邊有1、2，右邊有0、1、2可選，此時有2×3個凸數；若為4，則左邊有1、2、3，右邊有0、1、2、3可選，此時有3×4個凸數；……若為9，則……此時有8×9個凸數，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240個凸數，選A）

結

語

以上就10類方法對如何快速正確解答選擇題給予了簡要論述，凡所選用之115道例題和習題，基本上是近年高考真題或者高考模擬題中靈活性相對較大者，意在解放思想，開闊視野，提高能力，服務讀者。需要說明的是，以上各種方法其實有時是互相交織難以難以截然分開的，因此分類方面也只能是相對合理，不能窮究。事實上，在分別熟悉以上方法以后，B、C、D、（提示：你可以拿一本書豎立在桌面上，拿一支筆代表直線去比劃，會發現當中有一個角等于的時候，另一個角等于0，可以取到；當直線與二面角的棱重合時，可以取到0，所以選C）

【練習10】、（05全國）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有（）個。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先畫一個三棱錐，然后想象用一個平面以各種方式置于四個頂點之間，發現四個頂點有被平面分成2+2或者1+3兩類情形，分別有3，4種可能，如圖。選D）

【練習11】、（高考模擬）若一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3

＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：進行原始操作以發現規律：第二位數字不可能為1，若為2，則左邊有1，右邊有0、1可選，此時有1×2個凸數；若為3，則左邊有1、2，右邊有0、1、2可選，此時有2×3個凸數；若為4，則左邊有1、2、3，右邊有0、1、2、3可選，此時有3×4個凸數；……若為9，則……此時有8×9個凸數，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240個凸數，選A）

結

語

以上就10類方法對如何快速正確解答選擇題給予了簡要論述，凡所選用之115道例題和習題，基本上是近年高考真題或者高考模擬題中靈活性相對較大者，意在解放思想，開闊視野，提高能力，服務讀者。需要說明的是，以上各種方法其實有時是互相交織難以難以截然分開的，因此分類方面也只能是相對合理，不能窮究。事實上，在分別熟悉以上方法以后，B、C、D、（提示：你可以拿一本書豎立在桌面上，拿一支筆代表直線去比劃，會發現當中有一個角等于的時候，另一個角等于0，可以取到；當直線與二面角的棱重合時，可以取到0，所以選C）

【練習10】、（05全國）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有（）個。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先畫一個三棱錐，然后想象用一個平面以各種方式置于四個頂點之間，發現四個頂點有被平面分成2+2或者1+3兩類情形，分別有3，4種可能，如圖。選D）

【練習11】、（高考模擬）若一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3

＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：進行原始操作以發現規律：第二位數字不可能為1，若為2，則左邊有1，右邊有0、1可選，此時有1×2個凸數；若為3，則左邊有1、2，右邊有0、1、2可選，此時有2×3個凸數；若為4，則左邊有1、2、3，右邊有0、1、2、3可選，此時有3×4個凸數；……若為9，則……此時有8×9個凸數，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240個凸數，選A）

結

語

以上就10類方法對如何快速正確解答選擇題給予了簡要論述，凡所選用之115道例題和習題，基本上是近年高考真題或者高考模擬題中靈活性相對較大者，意在解放思想，開闊視野，提高能力，服務讀者。需要說明的是，以上各種方法其實有時是互相交織難以難以截然分開的，因此分類方面也只能是相對合理，不能窮究。事實上，在分別熟悉以上方法以后，B、C、D、（提示：你可以拿一本書豎立在桌面上，拿一支筆代表直線去比劃，會發現當中有一個角等于的時候，另一個角等于0，可以取到；當直線與二面角的棱重合時，可以取到0，所以選C）

【練習10】、（05全國）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有（）個。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先畫一個三棱錐，然后想象用一個平面以各種方式置于四個頂點之間，發現四個頂點有被平面分成2+2或者1+3兩類情形，分別有3，4種可能，如圖。選D）

【練習11】、（高考模擬）若一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3

＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：進行原始操作以發現規律：第二位數字不可能為1，若為2，則左邊有1，右邊有0、1可選，此時有1×2個凸數；若為3，則左邊有1、2，右邊有0、1、2可選，此時有2×3個凸數；若為4，則左邊有1、2、3，右邊有0、1、2、3可選，此時有3×4個凸數；……若為9，則……此時有8×9個凸數，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240個凸數，選A）

結

語

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A、3

B、4

C、6

D、7

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B、C、D、（提示：你可以拿一本書豎立在桌面上，拿一支筆代表直線去比劃，會發現當中有一個角等于的時候，另一個角等于0，可以取到；當直線與二面角的棱重合時，可以取到0，所以選C）

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A、3

B、4

C、6

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【練習11】、（高考模擬）若一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3

＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：進行原始操作以發現規律：第二位數字不可能為1，若為2，則左邊有1，右邊有0、1可選，此時有1×2個凸數；若為3，則左邊有1、2，右邊有0、1、2可選，此時有2×3個凸數；若為4，則左邊有1、2、3，右邊有0、1、2、3可選，此時有3×4個凸數；……若為9，則……此時有8×9個凸數，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240個凸數，選A）

結

語

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【練習10】、（05全國）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有（）個。

A、3

B、4

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【練習11】、（高考模擬）若一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3

＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

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結

語

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＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

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結

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＜a2，則稱這樣的三位數為凸數（如343、275、120等），那么所有凸數個數為（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：進行原始操作以發現規律：第二位數字不可能為1，若為2，則左邊有1，右邊有0、1可選，此時有1×2個凸數；若為3，則左邊有1、2，右邊有0、1、2可選，此時有2×3個凸數；若為4，則左邊有1、2、3，右邊有0、1、2、3可選，此時有3×4個凸數；……若為9，則……此時有8×9個凸數，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240個凸數，選A）

結

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