04184線性代數(經管類)

√

關于：

①稱為的標準基，中的自然基，單位坐標向量；

②線性無關；

③；

④；

⑤任意一個維向量都可以用線性表示.√

行列式的計算：

①

若都是方陣（不必同階）,則

②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.③關于副對角線：

√

逆矩陣的求法:

①

②

③

④

⑤

√

方陣的冪的性質：

√

設，對階矩陣規定：為的一個多項式.√

設的列向量為,的列向量為，的列向量為,√

用對角矩陣左乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；

用對角矩陣右乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√

兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘,與分塊對角陣相乘類似,即：

√

矩陣方程的解法：設法化成當時,√

和同解（列向量個數相同）,則：

①

它們的極大無關組相對應,從而秩相等；

②

它們對應的部分組有一樣的線性相關性；

③

它們有相同的內在線性關系.√

判斷是的基礎解系的條件：

①

線性無關；

②

是的解；

③

.①

零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.②

單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關.③

部分相關,整體必相關；整體無關,部分必無關.④

原向量組無關,接長向量組無關；接長向量組相關,原向量組相關.⑤

兩個向量線性相關對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關.⑥

向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.⑦

向量組線性相關向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.向量組線性無關向量組中每一個向量都不能由其余個向量線性表示.⑧

維列向量組線性相關；

維列向量組線性無關.⑨

.⑩

若線性無關，而線性相關,則可由線性表示,且表示法惟一.?

矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數.?

矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關系.向量組等價

和可以相互線性表示.記作：

矩陣等價

經過有限次初等變換化為.記作：

?

矩陣與等價作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣與作為向量組等價

矩陣與等價.?

向量組可由向量組線性表示≤.?

向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關.向量組線性無關,且可由線性表示,則≤.?

向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價；

?

任一向量組和它的極大無關組等價.?

向量組的任意兩個極大無關組等價,且這兩個組所含向量的個數相等.?

若兩個線性無關的向量組等價,則它們包含的向量個數相等.?

若是矩陣,則,若，的行向量線性無關；

若，的列向量線性無關,即：

線性無關.線性方程組的矩陣式

向量式

矩陣轉置的性質：

矩陣可逆的性質：

伴隨矩陣的性質：

線性方程組解的性質：

√

設為矩陣,若,則,從而一定有解.當時,一定不是唯一解.,則該向量組線性相關.是的上限.√

矩陣的秩的性質：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥≥

⑦

≤

⑧

⑨

⑩

且在矩陣乘法中有左消去律:

標準正交基

個維線性無關的向量,兩兩正交,每個向量長度為1..是單位向量

.√

內積的性質：

①

正定性：

②

對稱性：

③

雙線性：

施密特

線性無關,單位化：

正交矩陣

.√

是正交矩陣的充要條件：的個行（列）向量構成的一組標準正交基.√

正交矩陣的性質：①；

②；

③

是正交陣,則（或）也是正交陣；

④

兩個正交陣之積仍是正交陣；

⑤

正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣

.的特征多項式

.的特征方程

.√

上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素.√

若,則為的特征值,且的基礎解系即為屬于的線性無關的特征向量.√

√

若,則一定可分解為=、,從而的特征值為：,.√

若的全部特征值，是多項式,則:

①的全部特征值為；

②

當可逆時,的全部特征值為,的全部特征值為.√

√

與相似

（為可逆陣）

記為：

√

相似于對角陣的充要條件：恰有個線性無關的特征向量.這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值.√

可對角化的充要條件：

為的重數.√

若階矩陣有個互異的特征值,則與對角陣相似.與正交相似

（為正交矩陣）

√

相似矩陣的性質：①

若均可逆

②

③

（為整數）

④,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是關于的特征向量,是關于的特征向量.⑤

從而同時可逆或不可逆

⑥

⑦

√

數量矩陣只與自己相似.√

對稱矩陣的性質：

①

特征值全是實數,特征向量是實向量；

②

與對角矩陣合同；

③

不同特征值的特征向量必定正交；

④

重特征值必定有個線性無關的特征向量；

⑤

必可用正交矩陣相似對角化（一定有個線性無關的特征向量,可能有重的特征值,重數=）.可以相似對角化

與對角陣相似.記為：

（稱是的相似標準型）

√

若為可對角化矩陣,則其非零特征值的個數（重數重復計算）.√

設為對應于的線性無關的特征向量,則有：

.√

若，則：.√

若,則,.二次型

為對稱矩陣

與合同

.記作：

（）

√

兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負慣性指數.√

兩個矩陣合同的充分條件是：

√

兩個矩陣合同的必要條件是：

√

經過化為標準型.√

二次型的標準型不是惟一的,與所作的正交變換有關,但系數不為零的個數是由

惟一確定的.√

當標準型中的系數為1，-1或0時,則為規范形

.√

實對稱矩陣的正（負）慣性指數等于它的正（負）特征值的個數.√

任一實對稱矩陣與惟一對角陣合同.√

用正交變換法化二次型為標準形:

①

求出的特征值、特征向量；

②

對個特征向量單位化、正交化；

③

構造（正交矩陣）,；

④

作變換,新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值.正定二次型

不全為零，.正定矩陣

正定二次型對應的矩陣.√

合同變換不改變二次型的正定性.√

成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：

①

正慣性指數為；

②的特征值全大于；

③的所有順序主子式全大于；

④

合同于，即存在可逆矩陣使；

⑤

存在可逆矩陣，使

（從而）；

⑥

存在正交矩陣，使

（大于）.√

成為正定矩陣的必要條件：；.